6-二阶常系数齐次微分方程B6561770
6 常系数二阶齐次线性微分方程的解法
例3 求解初值问题
y y y 0
y(0)
0,
y(0)
1
解 特征方程为 r2 r 1 0 ,
解得
r1，2
1 (1 2
3i) ,
故所求通解为
1x
y e 2 (C1 cos
3 2
x
C
2
sin
Байду номын сангаас
3 x). 2
确定常数 C1 和 C2
y
1 2
1x
e2
(C1
cos
3 2
x
C
2
sin
3 x) 2
根
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i ) x ,
重新组合
y1
1 2
(
y1
y2 )
ex cos x,
y2
1 2i
( y1
y2 )
ex sin x,
得齐次方程的通解为
y ex (C1 cosx C2 sinx).
② 特征方程有两个相等的实根
特征方程的根 若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck1 xk1 )erx
若是k重共轭 复根 j
[(C0 C1x Ck1xk1)cosx (D0 D1 x Dk1 xk1 )sinx]ex
注意 n 次代数方程有 n 个根, 而特征方程的每一 个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一 个任意常数.
(r 1)2(r2 4r 13) 0,
特征根为
r1,2 1, r3,4 2 3i
故所求通解为
y e x (C1 C2 x) e2x (C3 cos 3x C4 sin 3x).
二阶常系数齐次微分方程
二阶常系数齐次微分方程
一、二阶常系数齐次微分方程
二阶常系数齐次微分方程是指二阶以上的齐次微分方程，由一个系数多项式以及与其相乘的根变量组成，系数多项式是有一定特征的特殊多项式。
二、作用
二阶常系数齐次微分方程在工程学、物理学、数学建模等学科领域都有着广泛的应用，可用来描述动量定律、热力学定律、电路理论、声学定律以及被称为时域范数的微分方程等。
三、特点
二阶常系数齐次微分方程的多项式特殊性，使得它有三个确定性特点：一是存在两个有界的根；二是系数多项式一定为复数；三是它一定有解，而解一定是线性无穷组合形式。
四、解法
二阶常系数齐次微分方程求解可以根据等价变换法。
这种方法通过将常系数微分方程转化为一系列积分方程，再将其解得出，就能够获得解析解。
另外，也可以使用解析法来求解，解析法一般采用拉普拉斯变换的方式，来将微分方程转化为一系列的函数，再对函数进行求解，以得出解析解。
五、总结
二阶常系数齐次微分方程是一种二阶以上的齐次微分方程，由一个系数多项式以及与其相乘的根变量组成，在工程学、物理学、数学建模等学科领域都有着广泛的应用，有三个确定性特点：存在两个有界的根、系数多项式一定为复数，它一定有解，而解一定是线性无穷组合形式。
通常可以采用等价变换法和拉普拉斯变换两种方法来求解常系数微分方程，以获得解析解。
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源：文都教育在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C eC e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112xx y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dxλλλ'-=⇒=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ (1)1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。
二阶常系数齐次线性微分方程
= e rx 带入原方程。
二、 求解方法： ① 求解其特征3; q = 0
r1、 = 2
−p±
p 2 − 4q 2
p 2 − 4q > 0 ，则 r1 ， r2 是两个不相等的实
根。 如果 p 实根：
2
② 分组讨论： i
ii
− 4q = 0 ，则 r1 ， r2 是两个相等的
二阶常系数齐次线性微分方程
一、 定义：
在二阶齐次线性微分方程 y′′ +
P ( x ) y′ + Q ( x ) y = 0 中，如 py′ + qy = 0 py′ + qy = 0 称为二阶常系数
果 P（x）和 Q（x）都为常数，即 y′′ + 其中 p、q 均为常数，则 y′′ +
齐次线性微分方程。如果 P（x）和 Q（x）不全为常数，则称
微分方程 y′′ +
py′ + qy = 0 的通解
y = C1er1x + C2er2 x y = (C1 + C2 x)e r1x y = eax (C1 cos β x + C2 sin β x)
= α ± iβ
iii
p 2 2 如果 p − 4q < 0 ，则 r ， r2 是一对共轭复 1 r1 = r2 = −
根。
r1 = α + iβ ， r2 = α − iβ
③ 根据特征方程两个根的不同情形，按照下表写出方程的通
解：
特征方程两个根 r ， r2 1 两个不相等的实根 r ， r2 1 两个相等的实根 r = r2 1 一对共轭复根 r 1.2
二阶常微分方程解法
二阶常微分方程解法二阶常微分方程是数学中常见的方程形式，可以通过不同的方法来求解。
本文将介绍二阶常微分方程的解法，并通过例题来说明具体步骤。
一、齐次二阶常微分方程的解法齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，设y=e^(λx)为方程的解，其中λ为待定常数。
2. 求解特征方程λ^2 + P(x)λ + Q(x) = 0的根。
设该方程的根为λ1和λ2。
3. 根据特征根λ1和λ2的值，分别列出对应的解y1=e^(λ1x)和y2=e^(λ2x)。
4. 则原方程的通解为y=C1y1 + C2y2，其中C1和C2为任意常数。
例题1：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解题步骤：1. 特征方程为λ^2 - 4λ + 4 = 0，解得λ=2。
2. 因此，对应的特解为y1=e^(2x)。
3. 原方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二、非齐次二阶常微分方程的解法非齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)非齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，求解对应的齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解，假设为y=C1y1 + C2y2。
2. 再根据待定系数法，设非齐次方程的特解为y*，代入原方程得到特解的形式。
3. 求解特解形式中的待定系数，并将特解形式代入原方程进行验证。
4. 特解形式正确且验证通过后，非齐次方程的通解为y=C1y1 +C2y2 + y*。
例题2：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：1. 对应的齐次方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
常系数齐次微分方程
是特征方程的重根
取 u = x , 则得
因此原方程的通解为
3. 当
时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
因此原方程的通解为
小结:
特征方程:
实根
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
若特征方程含 k 重复根
若特征方程含 k 重实根 λ , 则其对应的特解为
二阶常系数齐次线性微分方程:
和它的导数只差常数因子,
代入①得
称②为微分方程①的特征方程,
1. 当
时, ②有两个相异实根
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为
( λ 为待定常数 ),
①
所以令①的解为
②
则微分
其根称为特征根.
2. 当
时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
则其对应特解为
特征方程:
推广:
若特征方程含 n个不同实根, 则其通解为
例1.
的通解.
解: 特征方程
特征根:
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
解: 特征方程
有重根
因此原方程的通解为
利用初始条件得
于是所求初值问题的解为
例3.
的通解.
解: 特征方程
特征根:
因此原方程通解为
例5.
解: 特征方程:
答案:
通解为
通解为
通解为
备用题
为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,
并求其通解 .
解: 根据给定的特解知特征方程有根 :
【2019年整理】二阶线性常系数齐次微分方程的解
通解形式
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铃
解 微分方程的特征方程为
r22r10 即(r1)20 特征方程有两个相等的实根r1r21 因此微分方程的通解为yC1ex C2xex 即y(C1C2x)ex
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返回下页结束铃源自•特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
中p、q均为常数 •特征方程及其根
方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
r1, 2
p
p2 4q 2
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•特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
方程ypyqy0的通解
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
•第一步 写出微分方程的特征方程
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的 通解
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•特征方程的根与通解的关系
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•特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
二阶常系数齐次线性微分方程
微积分Calculus二阶常系数齐次线性微分方程()(1)11()()()()n n n n y P x y P x y P x y f x −−'++++=当均为常数时，称为阶常系数线性微分方程，否则，称为变系数微分方程。
n ()i p x 一n 阶常系数线性微分方程n 阶线性微分方程本节只研究二阶常系数线性微分方程：时，二阶常系数线性齐次微分方程()0f x =时，二阶常系数线性非齐次微分方程()0f x ≠形如的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中为常数.'''09-24y py qy ++=（）p q 、1二阶常系数齐次线性微分方程定理一如果函数都是齐次方程（9-24）的解，则也是方程（9-24）的解，其中为任意常数。
)((2211x x y c y c +）c c 21、y 1(x)和y 2(x)定义一设两个函数在区间内有定义1）若常数，即与不成比例，则称函数在内线性无关.（2）若（常数），即与成比例，则称函数在内线性相关。
定理二若函数是齐次方程（9-24）的两个线性无关的解，则其通解为其中为任意常数。
特征方程法假设方程有形如的解，则代入方程后得特征根因为，故有特征方程2二阶常系数齐次线性微分方程解法二阶常系数齐次线性方程特征方程为1）特征方程有两个不等的实根，则是方程的两个线性无关的解，故齐次方程的通解为2）特征方程有两相等的实根，则一特解为，设另一特解为得齐次方程的通解为3）特征方程有一对共轭复根，y1=e(α+iβ)x,y2=e(α−iβ)x重新组合y1=12(y1+y2)=eαx cosβxy 2=12i(y1−y2)=eαx sinβx得齐次方程的通解为二阶常系数齐次线性方程的特征方程，特征根特征根通解形式实根实重根共轭复根特征方程为求方程的通解。
解解得特征根故所求通解为二相关练习例一特征方程为求方程的通解。
解解得故所求通解为例二特征方程为求解初值问题解特征根为通解为将条件代入得故所求特解为例三。
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特征根为r1 p
p2 4q ,
2
p r2
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C2e r2x ;
2.有两个相等的实根 ( 0)
特征根为
r1
r2
p 2
,
一特解为 y1 e r1x ,
思考题 求微分方程 yy y2 y2 ln y 的通解.
思考题解答
y 0,
yy y2
ln y,
y2
y
ln
y,
y
ln
y
x
y , y
ln y ln y,
令 z ln y 则 z z 0, 特征根 1
设另一特解为 y2 u( x)er1x ,
将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简，
u
(2r1
p)u
(
r2 1
pr1
q)u
0,
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xer1x ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)er1x ;
3.有一对共轭复根 ( 0)
四、设圆柱形浮 筒,直径为 0.5m , 铅直放在水中, 当 稍
向下压后突然放开,浮筒在水中上下振动的 周期为 2s ,求浮筒的质量 .
练习题答案
一、1、 y C1 C2e4 x ；
2、 x
(C1
5t
C2t )e 2
；
3、 y e 3 x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) ；
4、 y C1e2 x C2e2 x C3 cos 3 x C4 sin 3 x .
n
一、定义
n阶常系Байду номын сангаас线性微分方程的标准形式
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
二阶常系数齐次线性方程的标准形式
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x)
二、二阶常系数齐次线性方程解法
解得 r1，2 1 2i,
故所求通解为 y ex (C1 cos2x C2 sin 2x).
三、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
通解 z C1e x C2ex ln y C1e x C2ex .
练习题
一、求下列微分方程的通解:
1、y 4 y 0 ；
2、4
d2x dt 2
20
dx dt
25x
0；
3、 y 6 y 13 y 0； 4、 y(4) 5 y 36 y 0 .
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
例1 求方程 y 4 y 4 y 0的通解.
解 特征方程为 r 2 4r 4 0 , 解得 r1 r2 2 ,
故所求通解为 y (C1 C2 x)e2x .
例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i )
重新组合 y1
x,
1
2
(
y2
y1
e
y2 )
, ( i ) x
ex cos
x
,
y2
1 2i ( y1
y2 )
ex sin x,
得齐次方程的通解为
y ex (C1 cosx C2 sinx).
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r 若是k重共轭
复根 i
(C0 C1 x Ck1xk1 )erx
[(C0 C1x Ck1xk1)cosx (D0 D1x Dk1xk1 )sinx]ex
注意
n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数.
y C1 y1 C2 y2 Cn yn
例3 求方程 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 的通解. 解 特征方程为 r 5 r 4 2r 3 2r 2 r 1 0,
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为 r1 1, r2 r3 i, r4 r5 i,
故所求通解为 y C1ex (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
(见下表)
y py qy 0 r2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
二、下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、4 y 4 y y 0 , y x0 2 , yx0 0；
2、 y 4 y 13 y 0 , y x0 0 , yx0 3.
三、求 作 一 个 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 , 使 1 , e x , 2e x , e x 3都是它的解 .
y py qy 0
-----特征方程法
设 y erx , 将其代入上方程, 得
(r 2 pr q)erx 0
erx 0,
故有 r 2 pr q 0
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q , 2
分三种情形:
1. 有两个不相等的实根( 0)