高三数学备考冲刺140分问题09高考数学导数解答题大盘点含解析

问题09 高考数学导数解答题大盘点
一、考情分析
导数解答题是高考必考问题，一般为压轴题，含有参数的函数单调性及极值的讨论.不等式的证明、根据零点或恒成立等问题求参数范围、构造函数证明不等式。

其中极值点偏移问题、隐零点问题是近几年的热点。

二、经验分享 (1) 用导数判断单调性
用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．
（2）已知单调性确定参数的值(范围)，要分清“在某区间单调”与“单调增(减)区间是某区间”的不同，“在某区间不单调”，一般是该区间含导数变号零点．
（3）导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件． （4）极值与最值的区别
“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值．
当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ①0＜a ＜2时，
2
a
＞1，
当x ∈(0，1)或x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫2a
，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，
2a 时，f ′(x )＜0，f (x )
单调递减；
【点评】 (1)大多数高考试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号．(2)研究函数单调性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域．(3)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．分类讨论时，要做到不重不漏．
【小试牛刀】【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
（2），即，
令，则，
令，则.
①若，当时，，从而在上单调递增，
因为，故当时，，即，
从而在上单调递增，因为，
故当时，恒成立，符合题意；
②若，当时，恒成立，从而在上单调递减，
则，即时，，
从而在上单调递减，此时，不符合题意；
③若，由，得，当时，，故在上
单调递减，则，即，
故在上单调递减，故当时，，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为
(三)利用导数解决函数的最值问题
【例3】【河北省保定市2019届高三上学期期末】已知函数，且函数的图像在点
处的切线与轴垂直.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数在区间上的最小值为，试求的最小值.
（2）因为所以由得
解得（舍去）或
由（1）知的减区间为，增区间为,
所以，若即时， .
若即1<t<3时，，
，
则，
1<t<3时，<0
，在上为减函数，且，
令，得，所以的递增区间为，同理，可得的递减区间为，
所以即，
故在单调递减.
1
，
当时，
当即时，，
故有一个零点，也有有一个零点.
综上可知，当时，无零点；
当时，有一个零点.
(五)利用导数法证明不等式
【例5】【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考】设为实数，函数。

(Ⅰ)求的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当且时，。

【解析】∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），
单调递增区间是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2处取得极小值，
极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．
【点评】用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；由作差或者作商来构造函数是最基本的方法．【小试牛刀】【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】已知函数. （1）设是的极值点，求的值；
（2）在（1）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
【解析】（1）∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．
经检验m=1符合题意.
五、迁移运用
1．【山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟】已知函数．
(1)若，判断上的单调性；
(2)求函数上的最小值；
(3)当时，是否存在正整数n，使恒成立？若存在，求出n的最大值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）当时，
由于，故，
在单调递增.
故
若即时单调递减
，
综上所述：当时，的最小值为1；
当时，的最小值为
当时，的最小值为.
3．【福建省泉州市2019届高三1月质检】已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围. 【解析】解法一：（1）
①当时，
所以在上单调递减，在单调递增. ②当
时，
的根为
或
.
若，即，
所以在
，
上单调递增，在
上单调递减.
综上： 当时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当时，在
，
上单调递增，在
上单调递减；
自时，在上单调递增，无减区间； 当
时，
在，
上单调递增，在
上单调递减.
解法二：（1）同解法一；
（2）令，
所以，
5．【广东省惠州市2019届高三第三次调研】已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，求证：.
（2）当时，
，，所以在上单调递增，又，
所以，使得，即
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为
又函数是单调减函数，所以
即恒成立。

又，所以
又所以，所以
6．【河南省实验中学2019届高三质量预测模拟】已知函数（e是自然对数的底数）．（1）求证：；
（2）若不等式在]上恒成立，求正数a的取值范围．
（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，
亦即在x∈[，2]上恒成立，令g（x）=，，
以下求在上的最小值，
,当时，，
当]时，，
∴当]时，单调递减，当]时，单调递增，
∴在处取得最小值为，
∴正数a的取值范围是．
9．【山东省潍坊市2019届高三上学期期末】已知，.
（1）若，判断函数在的单调性；
（2）证明：，；
（3）设，对，，有恒成立，求的最小值. 【解析】（1）.
又，因此，而，
所以，故在单调递增.
（3）由题意知，
，
设，
则，
由于，故，
时，单调递增，又，，
因此在存在唯一零点，使，即，
且当，，，单调递减；
，，，单调递增；
故，
故
，
设
，又设
故在上单调递增，因此，
即，在单调递增，
，
又，
所以，
故所求的最小值为.
当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减，
要使有两个零点，只要，所以.（因为当时，，当时，
）
下面我们讨论当时的情形：
当，即时，在上单调递增，不可能有两个零点；
当，即时，因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
因为，，所以，没有两个零点；
12．【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】已知函数.
（1）设，求的最大值及相应的值；
（2）对任意正数恒有，求的取值范围.
【解析】（1）∵，∴，
∴
则。