平面与平面垂直的判定和性质
合集下载
平面与平面垂直的判定和性质
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
平面与平面垂直的判定
想一想：
平面ADD1A1 ┴平面ABCD，过点A在 平面ADD1A1内的直线满足什么条件才能 与平面ABCD垂直呢？
3、性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个 平面内垂直于它们交线的直线垂直于 另一个平面
A D E
在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,
则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE 又AB⊥CD 所以AB⊥β
两个平面垂直的判定
1、定义：
两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，则两个平面垂直。
记作α⊥β
性质: 1、凡是直二面角都相等
2、两个平面相交,可引成四个二面角,如 果其中有一个是直二面角,那么其他各个 二面角都是直二面角
已知：AB┴β
想一想
AB
求证： ┴β
两个平面相交，如果其中一个 平面内只有一条直线垂直于另一个 平面，能否得到两个平面垂直？
C
B
而BE和CD是β内的两条相交直线
面面垂直
线面垂直
小 结：
1、两个平面互相垂直的定义 2、两个平面互相垂直的判定定理 3、两个平面互相垂直的性质定理
作业:
1、书P74 习题7、B组、1
A
D
C
B
证明：设 =CD AB
AB ┴
ABCD共面
பைடு நூலகம்
CD
AB ┴ CD
内作BE ┴ CD
设垂足为B，过B点在平面
则∠ABE是二面角 CD 的平面角
又 AB ┴ BE
∴∠ABE是直角
A
D
CD 是直二面角
高二数学平面和平面垂直的判定与性质
O C
B
说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
六、两个平面垂直课堂练习
1．给出下列四个命题： ①垂直于同一个平面的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线平行． 其中正确的命题的个数是（ B ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α，β，γ表平面）。 ①若a⊥b，a∥α，则b⊥α； ②若a∥α，α⊥β，则a⊥β； ③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β； ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。 其中不正确的命题的个数是（ D ）． A． 1 B．2 C．3 D．4
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：
l
画法：
问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的 一面墙和地面是否垂直呢？ 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
4、法向量垂直法
； / PPT模板
嫌不够，又朝秦顺儿挥咯壹下手，秦顺儿这回可是真不明白咯：“爷，奴才……”“你该忙啥啊就忙啥啊去吧，爷这里现在用不着你。”秦顺 儿这才明白，爷这是嫌他碍眼咯。壹边悄悄退下，壹边暗自懊悔自己怎么这么没有眼力劲儿。秦顺儿退下の时候，玉盈正在跟膳房の太监交接 食盒，她背对着房门，根本不知道秦公公已经退下咯。因此，当她提着食盒进到屋子の时候，才发现屋里只有王爷壹各人，坐在椅子上，正在 专心地看书呢。玉盈见状好生奇怪，秦公公去咯哪里？本来她是想将食盒交给秦公公她就万事大吉可以走人咯，可是这屋子里只有王爷壹各人， 她走也不是，留也不是，总不能将食盒交给爷自己吧，玉盈再次陷入咯进退维谷の境地。这各进退维谷の境地就是他为她专门设下の，他哪里 是在看书，他这是分明在看她の笑话！他到是要再看看，现在の玉盈会怎么办。玉盈还能怎么办？她只有将食盒赶快放到桌子上，然后去拧咯 热巾。当她再次回到桌旁，不待她说话，他就像壹各听话の孩子，乖乖地伸出咯手。净过手后，她又默默地回到桌边，打开食盒，她只粗粗地 看咯壹下，就知道跟昨天壹样，今天还是四荤四素，因此荤菜她根本就没有从食盒中拿出来，只是将那四各素菜壹壹取出。今天居然有蘑菇， 她知道他喜欢这各菜，于是就将蘑菇放到咯离他最近の位置。从她昨天の表现他就知道，她非常咯解自己の口味，虽然他们只共进过壹次斋饭。 而刚刚她又细心体贴地将蘑菇放到咯离自己最近の位置，他更是感动，因为上壹次の斋饭里，根本就没有这道菜。他只是跟宝光寺の住持谈论 食经の时候偶尔提及过，她就记在咯心里，他怎么能不感动？虽然她壹直在躲着他，可是她の行动已经明白无误地表明咯，她の心中是这么地 惦记着他。这壹顿饭，他吃得既甘甜又苦涩，因为从点滴之处咯解到玉盈对他の心意而甘甜，因为直到现在都没有找到解决他们俩从问题の办 法而苦涩。眼见着爷快要用完晚膳咯，她赶快去端来茶水。从头到尾，他们没有说过壹句话，可是她将他服侍得又周到又体贴，完美得无懈可 击。第壹卷 第231章 微恙用过晚膳，王爷壹刻未停，径直就去德妃那里请安。二十三小格望眼欲穿地等咯将近有壹各时辰，终于盼星星盼月 亮地将十小格盼咯回来。壹见十小格进门，他の气就不打壹处来：“十哥，您刚才干啥啊去咯！”“壹各幕僚约我，好不容易替我牵咯壹各线 ……”“您下次别再用晚膳の时间咯！”“这哪是我能决定得咯の事情！好不容易才得到の大好机会，前面错过咯好几次呢。哎，我说，你至 于嘛！不就是多等咯壹会儿，也没耽误你吃没耽误你喝の，不就是少喝咯几口酒吗？下回十哥请你。”“这就不是耽误吃喝の事情！”“不是
两个平面垂直的判定和性质
C A D B
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥
平面与平面垂直的性质和判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直的判定方法① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥平面与平面垂直的性质一、 选择题：1、下列命题中，不正确的是（ ）A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 平面的垂线一定与平面相交C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论：①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内；③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。
其中真命题是：（ ）A. ②B. ③C. ①、④D. ②、③3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ）A. 2.5B. 5C. 10D. 84、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥；③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ）A. ①、②B. ③、④C. ①、④D. ②、③5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,6、若m n ，是两条不同的直线，α、β、γ三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ=,n βγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥二、填空题7、两个平面互相垂直，一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是8、设直线l 和平面βα、，且βα⊄⊄l l ,，给出如下三个论证:①α⊥l ；②βα⊥；③l ∥β从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是9、下面四个命题： ①三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直；②三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直；③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直；④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直。
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
平面与平面垂直的判定与性质
记作： l
思考1：
我们常说“把门开大些”，是指哪个
角开大一些？我们应该怎么刻画二面角的 大小？ 二、二面角的平面角的定义
半平面
l
半平面
以二面角的棱上 任意一点为端点，在
两个半平面和内分别作 垂直 于棱的两
条射线OB和OA得到平面角AOB称平面角
AOB为二面角 l 的平面角.
B
l
O
A
三、二面角的平面角的作法
C D
例2.如图，已知SA 平面ABC ,平面SAB 平面SBC . 求证：AB BC.
S
D
C
A
思路导引：SA 平面ABC SA BC AB BC BC 平面SAB 平面SAB 平面SBC ? 联想到面面垂直的性质，作AD SB. 证明：作AD SB.
B
平面SAB 平面SBC
PE
AM
平面PCD I 平面ABCD CD AM 平面ABCD
AM PM AM 平面PEM AM ME
AE2 8 1 9
ME 2
21
3
AE 2
ME 2
AM 2
AM 2 4 2 6
AM ME
P
C
D
E
M
B
A
例3.如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面 垂直于矩形ABCD所在的平面,BC 2 2,M是BC 的中点.
PA PA
面ABC 面PAB
面PAB
面ABC
A
C
PA PA
面ABC 面PAC
面PAC
面ABC
B
PA BC
面ABC 面ABC
PA BC AB BC
AB I PA A
BC BC
面面垂直的判定定理
面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。
推论：1、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
2、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）面面垂直性质定理
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。
2面面垂直定理证明
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角
∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B C
A
O
BC 平面PAC 又BC 平面PBC 平面PBC 平面PAC.
【试金石】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1C1CA 平面B1D1DB
解：
D1
在正方体ABCD A1B1C1D1中，AA1 面A1B1C1D 平面A1B1C1D1 AA1 B1D1 ,即B1D1 AA1 A1B1C1D1是正方形 B1D1 A1C1 又AA1 A1C1 A1 B1D1 平面AA1C1C
A
B α D
C
2.如图，已知 ， l , AB , AB l , BC , DE , BC DE.求证：AC DE.
α l D β C
A B E
【课堂小结】
1.内容小结： （1）平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． （2）如果两个平面互相垂直，那么在一个面内垂直于 它们交线的直线垂直于另一个平面．
的判定方法．
【例1】如图，PA 垂直于☉O所在平面，C是圆周上异于 A,B的任意一点，试判断平面PAC与平面PBC的位置关系， 并说明理由． 解：平面PBC 平面PAC
P
PA o所在平面ABC, BC 平面ABC PA BC,即BC PA, AB是O的直径 BC AC PA AC A
【试金石】如图平行四边形ABCD中，AB=3,AD=6,
BAC 900 ,沿对角线AC折成直二面角，求折后两个顶
点B,D之间的距离．
B B C A D D D C
A
【检测】
1.如图，已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线， CD , CD AC .求证：平面ABC 平面ACD.
β A l B α C
若 ， l , AB , AB l , B为垂足, 则 AB
任务二 掌握平面与平面垂直的性质定理
【例2】如图，平面 ， AB, AC , 且 AC AB, BD , 且BD AB, AC 5, AB 3, BD 4, 求CD长．
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直．
若 l ,l
β l
则
α
线面垂直
面面垂直
两个平面垂直的画法
画两个互相垂直的平面时，通常把表示直立平面的 竖边画成与表示水平平面的横边垂直．
β
β
l α
α
任务一 了解平面与平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直
C
A β D
B
解： ， AB, AC , AC AB AC α AD AC AD BD AB, 在RtABD中, AD AB2 BD2 32 4 2 5 在RtACD中，CD AC 2 AD2 52 52 5 2 .
2.解决问题的方法小结：
线线垂直 面面垂直 线面垂直 线面垂直 面面垂直 线线垂直
A1
D A
C
又B1D1 平面BDD1B1 平面B1D1DB 平面A1C1CA 即平面A1C1CA 平面B1D1DB
B
【思考交流】 平面与平面垂直的性质定理
教室内黑板所在的平面与地面所在平面是垂直的， 如果两个平面互相垂直，那么在一个面内垂直于 如何在黑板上作出一条垂直于地面的垂线？ 它们交线的直线垂直于另一个平面．
【探究】
1.什么叫直二面角？在两个平面α 与β 相交所成的四个二面 角中，有一个是直二面角，那么另外三个二面角大小如何？ 这两个平面是什么位置关系？
β A
α
O
B
一般地，两个平面相交，它们所成 的二面角是直二面角，则称这两个平面 互相垂直．
【探究】
2.如图，教室的门在打开的过程中，门所在平面 与地面有怎样的位置关系？
A
O
BC 平面PAC 又BC 平面PBC 平面PBC 平面PAC.
【试金石】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1C1CA 平面B1D1DB
解：
D1
在正方体ABCD A1B1C1D1中，AA1 面A1B1C1D 平面A1B1C1D1 AA1 B1D1 ,即B1D1 AA1 A1B1C1D1是正方形 B1D1 A1C1 又AA1 A1C1 A1 B1D1 平面AA1C1C
A
B α D
C
2.如图，已知 ， l , AB , AB l , BC , DE , BC DE.求证：AC DE.
α l D β C
A B E
【课堂小结】
1.内容小结： （1）平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． （2）如果两个平面互相垂直，那么在一个面内垂直于 它们交线的直线垂直于另一个平面．
的判定方法．
【例1】如图，PA 垂直于☉O所在平面，C是圆周上异于 A,B的任意一点，试判断平面PAC与平面PBC的位置关系， 并说明理由． 解：平面PBC 平面PAC
P
PA o所在平面ABC, BC 平面ABC PA BC,即BC PA, AB是O的直径 BC AC PA AC A
【试金石】如图平行四边形ABCD中，AB=3,AD=6,
BAC 900 ,沿对角线AC折成直二面角，求折后两个顶
点B,D之间的距离．
B B C A D D D C
A
【检测】
1.如图，已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线， CD , CD AC .求证：平面ABC 平面ACD.
β A l B α C
若 ， l , AB , AB l , B为垂足, 则 AB
任务二 掌握平面与平面垂直的性质定理
【例2】如图，平面 ， AB, AC , 且 AC AB, BD , 且BD AB, AC 5, AB 3, BD 4, 求CD长．
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直．
若 l ,l
β l
则
α
线面垂直
面面垂直
两个平面垂直的画法
画两个互相垂直的平面时，通常把表示直立平面的 竖边画成与表示水平平面的横边垂直．
β
β
l α
α
任务一 了解平面与平面垂直的定义，掌握平面与平面垂直
C
A β D
B
解： ， AB, AC , AC AB AC α AD AC AD BD AB, 在RtABD中, AD AB2 BD2 32 4 2 5 在RtACD中，CD AC 2 AD2 52 52 5 2 .
2.解决问题的方法小结：
线线垂直 面面垂直 线面垂直 线面垂直 面面垂直 线线垂直
A1
D A
C
又B1D1 平面BDD1B1 平面B1D1DB 平面A1C1CA 即平面A1C1CA 平面B1D1DB
B
【思考交流】 平面与平面垂直的性质定理
教室内黑板所在的平面与地面所在平面是垂直的， 如果两个平面互相垂直，那么在一个面内垂直于 如何在黑板上作出一条垂直于地面的垂线？ 它们交线的直线垂直于另一个平面．
【探究】
1.什么叫直二面角？在两个平面α 与β 相交所成的四个二面 角中，有一个是直二面角，那么另外三个二面角大小如何？ 这两个平面是什么位置关系？
β A
α
O
B
一般地，两个平面相交，它们所成 的二面角是直二面角，则称这两个平面 互相垂直．
【探究】
2.如图，教室的门在打开的过程中，门所在平面 与地面有怎样的位置关系？