【高考二轮必备】高考数学二轮经典试题专训第一部分18个必考问题能力突破《必考问题11直线斜率不存在、截距
高考二轮数学考点突破复习
高考二轮数学考点突破复习2021年高考二轮数学考点突破复习：数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着紧密的联系，方程f(x)=0的解确实是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。
我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观看过程中指导。
我注意关心幼儿学习正确的观看方法，即按顺序观看和抓住事物的不同特点重点观看，观看与说话相结合，在观看中积存词汇，明白得词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观看雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么模样的，有的小孩说：乌云像大海的波浪。
有的小孩说“乌云跑得飞速。
”我加以确信说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这确实是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得如何样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观看，让幼儿把握“倾盆大雨”那个词。
雨后，我又带幼儿观看晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
”如此抓住特点见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观看的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活体会联系起来，在进展想象力中进展语言。
【高考二轮必备】高考数学二轮经典试题专训第一部分18个必考问题能力突破《必考问题11直线斜率不存在、截距
11．直线斜率不存在、截距为0不可忽视一、忽视直线斜率不存在的情况【例1】► 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点．若|AB |＝23，求直线l 的方程．解 (1)当直线l 的斜率不存在时，画出图象可知，直线x ＝1也符合题意．(2)当直线l 的斜率k 存在时，其方程可设为y －2＝k (x －1)，又设圆心到直线l 的距离为d .由d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22，得k ＝34， 代入y －2＝k (x －1)，得y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.所以直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0和x ＝1.老师叮咛：在确定直线的倾斜角、斜率时，要注意倾斜角的范围、斜率存在的条件；在利用直线方程的几种特殊形式时要注意它们各自的适用范围，特别是在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解.二、忽视直线在坐标轴上的截距为0的情形【例2】► 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；解 当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时2＋a ＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得：2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以，直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.老师叮咛：直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以设为\f(x,a )＋\f(y,a )＝1，此时ab ≠0，而且不要忘记当a ＝0时，直线y ＝kx 在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等，所以要充分考虑截距为0的情形.必考问题12 圆锥曲线【真题体验】1．(2012·江苏，8)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析 建立关于m 的方程求解∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m ＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.答案 22．(2010·江苏，16)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析 法一 x ＝3代入x 24－y 212＝1，y ＝±15，不妨设M (3，15)，右焦点F (4,0)．∴MF ＝1＋15＝4.法二 由双曲线第二定义知，M 到右焦点F 的距离与M 到右准线x ＝a 2c ＝1的距离比为离心率e ＝c a ＝2，∴MF 3－1＝2，MF ＝4. 答案 43．(2012·江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知(1，e )和⎝⎛⎭⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .(ⅰ)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ⅱ)求证：PF 1＋PF 2是定值．解 (1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca ，由点(1，e )在椭圆上，得1a 2＋c 2a 2b2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1， 又点⎝⎛⎭⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2.因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＞0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1x 1＋1＝my 1，得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0， 解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2，故AF 1＝(x 1＋1)2＋(y 1－0)2＝(my 1)2＋y 21＝2(m 2＋1)＋m m 2＋1m 2＋2.①同理，BF 2＝2(m 2＋1)－m m 2＋1m 2＋2.②(ⅰ)由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62得m 2＝2，注意到m ＞0， 故m ＝ 2.所以直线AF 1的斜率为1m ＝22.(ⅱ)因为直线AF 1与BF 2平行，所以PB PF 1＝BF 2AF 1，于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1，故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1.由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22，从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)．同理PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2·(22－AF 1)．因此，PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)＝22－2AF ·BF 2AF 1＋BF 2.又由①②知AF 1＋BF 2＝22(m 2＋1)m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2，所以PF 1＋PF 2＝22－22＝322.因此，PF 1＋PF 2是定值．【高考定位】(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求． 【应对策略】圆锥曲线主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质．主要是求它们的标准方程及其基本量，几何性质的应用，与直线和圆的综合等问题，其中椭圆是要重点关注的内容.必备知识1．椭圆的定义与标准方程设F1，F2(F1F2＝2c)是平面内两定点，P是平面内动点，PF1＋PF2＝2a，则a＞c⇔P点轨迹是椭圆，并且当焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，当焦点坐标为F1(0，－c)，F2(0，c)，其标准方程为x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)．2．椭圆的第二定义设F为平面内一定点，P是平面内动点，l是定直线(F∉l)，动点P到定点F的距离与P到定直线l的距离之比为e，则当0＜e＜1时，动点P的轨迹是椭圆．e＝ca是椭圆的离心率，直线l是椭圆的准线．3．椭圆的几何性质设P(x0，y0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1(－c,0)，F2(c,0)，则有PF1＋PF2＝2a，且x20a2＋y20b2＝1(a＞b＞0)，|x0|≤a，|y0|≤b，a－c≤PF1≤a＋c，a－c≤PF2≤a＋c，|PF1－PF2|≤2c 等．必备方法1．与椭圆有关的参数问题的讨论常用的两种方法：(1)不等式(组)求解法：依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的变化范围；(2)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．2．椭圆中最值的求解方法有两种：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征的意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现某一明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值常用的方法：配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法．3．定点定值问题，所考查的数学思想主要是函数与方程思想、数形结合思想、等价化归思想以及基本不等式的运用等，并且基本上都是建立目标函数，通过目标函数的各种性质来解决问题．关于定点定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题：(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值) .命题角度一圆锥曲线的定义与标准方程[命题要点] (1)求圆锥曲线方程；(2)圆锥曲线的性质的应用．【例1】► (2012·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＝t (－4＜t ＜4)与椭圆x 216＋y 29＝1交于两点P 1(t ，y 1)、P 2(t ，y 2)，且y 1＞0、y 2＜0，A 1、A 2分别为椭圆的左、右顶点，则直线A 1P 2与A 2P 1的交点所在的曲线方程为________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 将A 1P 2与A 2P 1的交点(x ，y )用P 1(t ，y 1)、P 2(t ，y 2)坐标的关系来代换．解析 直线A 1P 2的方程为y ＝y 2t ＋4(x ＋4)，A 2P 1的方程为y ＝y 1t －4(x －4)，两式左右分别相乘得y 2＝y 1y 2t 2－16(x 2－16)，因为点P 1(t ，y 1)、P 2(t ，y 2)在椭圆x 216＋y 29＝1上，所以t 216＋y 219＝1，t 216＋y 229＝1，即y 21＝9⎝⎛⎭⎫1－t 216，y 22＝9⎝⎛⎭⎫1－t 216，又y 1＞0、y 2＜0，所以y 1y 2＝9⎝⎛⎭⎫t 216－1，代入y 2＝y 1y 2t 2－16(x 2－16)得x 216－y 29＝1；答案 x 216－y 29＝1求圆锥曲线方程的常用方法：轨迹法、定义法、待定系数法【突破训练1】 (2012·南师大附中信息卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，且PF 1＝12，F 1F 2＝2 3.(1)求椭圆C 的方程．(2)以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由． 【突破训练1】 解 (1)∵F 1F 2＝23，∴c ＝3，又PF 1⊥F 1F 2，∴PF 22＝PF 21＋F 1F 22＝494，PF 2＝72， ∴2a ＝PF 1＋PF 2＝4，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， ∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设能构成等腰直角三角形ABC ，其中B (0,1)，由题意可知，直角边BA ，BC 不可能垂直或平行于x 轴，故可设BA 边所在直线的方程为y ＝k x ＋1(不妨设k ＜0)，则BC 边所在直线的方程为y ＝－1k x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1x 2＋4y 2＝4，得x 1＝0(舍)，x 2＝－8k 1＋4k 2，故A ⎝⎛⎭⎫－8k 1＋4k 2，－8k21＋4k 2＋1，∴AB ＝⎝⎛⎭⎫－8k 1＋4k 22＋⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 22＝8|k |1＋k 21＋4k 2，用－1k 代替上式中的k ，得BC ＝81＋k 24＋k 2，由AB ＝BC ，得|k |(4＋k 2)＝1＋4k 2，∵k ＜0， 即k 3＋4k 2＋4k ＋1＝0，即(k ＋1)(k 2＋3k ＋1)＝0， ∴解得k ＝－1或k ＝－3±52，故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形．命题角度二 圆锥曲线的几何性质及其应用[命题要点] (1)根据条件确定圆锥曲线的离心率； (2)由圆锥曲线的离心率确定基本量．【例2】► 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 由题设可得出M 点的坐标，M 点的坐标满足椭圆方程，进而得出a ，c 的关系． 解析 过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得M 的横坐标c ，所以纵坐标 2c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 2＋4c 2a 2－c 2＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2，∴e ＝2－1.答案2－1求圆锥的离心率，关键是建立椭圆的基本量a ，c 所满足的方程组，求出a ，c之间的关系．【突破训练2】 (2012·南通期末调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与F A →同向，则双曲线离心率e 的大小为________． 解析 设OA ＝m －d ，AB ＝m ，OB ＝m ＋d ，由勾股定理，得(m －d )2＋m 2＝ (m ＋d )2.解得m ＝4d .设∠AOF ＝α，则cos 2α＝OA OB ＝35.cos α＝1＋cos 2α2＝25，所以，离心 率e ＝1cos α＝52.5答案2命题角度三 直线与圆锥曲线的综合问题[命题要点] 定点问题；定值问题；最值问题；应用问题和探索性问题；【例3】► (2012·南通模拟)已知椭圆C 1∶x 22＋y 2＝1和圆C 2：x 2＋y 2＝1，左顶点和下顶点分别为A ，B ，F 是椭圆C 1的右焦点．(1)点P 是曲线C 1上位于第二象限的一点，若△APF 的面积为12＋24，求证：AP ⊥OP ；(2)点M 和N 分别是椭圆C 1和圆C 2上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，证明直线MN 恒过定点．[审题视点] [听课记录][审题视点] 由△APF 的面积求得P 点的坐标，通过计算AP →·OP →＝0从而证明AP ⊥OP ；根据条件求M 、N 的坐标，进而求出直线MN 的方程，再求MN 恒过的定点． 证明 (1)设曲线C 1上的点P (x 0，y 0)，且x 0＜0，y 0＞0，由题意A (－2，0)，F (1,0)，∵△APF 的面积为12＋24，∴S △APF ＝12·AF ·y 0＝12(1＋2)y 0＝12＋24，解得y 0＝22，x 0＝－22，即P ⎝⎛⎭⎫－22，22∴AP →·OP →＝⎝⎛⎭⎫22，22·⎝⎛⎭⎫－22，22＝0，∴AP ⊥OP . (2)设直线BM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率为2k ，又两直线都过点B (0，－1)， ∴直线BM 的方程为y ＝k x －1，直线BN 的方程为y ＝2k x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2－4k x ＝0， 解得x M ＝4k 2k 2＋1，y M ＝k ·4k2k 2＋1－1＝2k 2－12k 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2k 2＋1，2k 2－12k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2k x －1x 2＋2y 2＝2，得(1＋4k 2)x 2－4k x ＝0， 解得x N ＝4k 4k 2＋1，y M ＝2k ·4k 4k 2＋1－1＝4k 2－14k 2＋1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 4k 2＋1，4k 2－14k 2＋1.直线MN 的斜率k MN ＝4k 2－14k 2＋1－2k 2－12k 2＋14k 4k 2＋1－4k2k 2＋1＝(4k 2－1)(2k 2＋1)－(4k 2＋1)(2k 2－1)4k (2k 2＋1)－4k (4k 2＋1)＝－12k ， ∴直线MN 的方程为y －2k 2－12k 2＋1＝－12k ⎝⎛⎭⎫x －4k 2k 2＋1，整理得，y ＝－12kx ＋1，∴直线MN 恒过定点(0,1)．关于定点、定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题；(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值)．【突破训练3】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且圆C ∶x 2＋y 2＋3x －3y －6＝0过A ，F 2两点．(1)求椭圆标准的方程；(2)设直线PF 2的倾斜角为α，直线PF 1的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点P 在一定圆上；(3)设椭圆的上顶点为Q ，证明：PQ ＝PF 1＋PF 2.(1)解 圆x 2＋y 2＋3x －3y －6＝0与x 轴交点坐标为A (－23，0)，F 2(3，0)， 故a ＝23，c ＝3，所以b ＝3，∴椭圆方程是x 212＋y 29＝1.(2)证明 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设点P (x ，y )，则k PF 1＝tan β＝y x ＋3，k PF 2＝tan α＝yx －3，因为β－α＝2π3，所以tan(β－α)＝－ 3因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝－23yx 2＋y 2－3，所以－23yx 2＋y 2－3＝－ 3.化简得x 2＋y 2－2y ＝3.所以点P 在定圆x 2＋y 2－2y ＝3上．(3)证明 ∵PQ 2＝x 2＋(y －3)2＝x 2＋y 2－6y ＋9，因为x 2＋y 2＝3＋2y ，所以PQ 2＝12－4y .又PF 21＝(x ＋3)2＋y 2＝2y ＋6＋23x ，PF 22＝(x －3)2＋y 2＝2y ＋6－23x ，∴2PF 1·PF 2＝24(y ＋3)2－12x 2＝4(y ＋3)2－3x 2，因为3x 2＝9－3y 2＋6y ，所以2PF 1·PF 2＝44y 2，∵β＝α＋2π3＞2π3，又点P 在定圆x 2＋y 2－2y ＝3上，∴y ＜0，所以2PF 1·PF 2＝－8y ，从而(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋2PF 1·PF 2＋PF 22＝4y ＋12－8y ＝12－4y ＝PQ 2.所以PQ ＝PF 1＋PF 2.。
【二轮必备】高考数学二轮经典试题精选第一部分25个必考问题能力突破专题训练1.pdf
训练1 函数的图象和性质 (参考时间：80分钟) 一、填空题 1．设函数f(x)＝的定义域为集合A，则集合A∩Z中元素的个数是________． 2．(2012·南京学情调研)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x，则f(－4)的值是________． 3．(2012·扬州质检)定义符号函数sgn x＝，则不等式：x＋2＞(2x－1)sgn x的解集是________． 4．(2012·天一、淮阴、海门中学调研)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________. 5．(2012·苏州模拟，5)已知a＝20.5，b＝2.10.5，c＝log21.5，则a，b，c的大小关系是________． 6．(2012·苏州模拟，6)设函数f(x)＝，则f(f(－1))＝________. 7．设函数y＝f(x)的定义域是R，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝，给出函数f(x)＝－x2＋2，若对于任意的x(－∞，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则K的取值范围是________． 8．二次函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，又f(x)是[0,3]上的增函数，且f(a)≥f(0)，那么实数a的取值范围是________． 9．(2011·苏北四市调研)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x＋2|＋…＋|x＋2 011|＋|x－1|＋|x－2|＋…＋|x－2011|(xR)且f(a2－3a＋2)＝f(a－1)，则满足条件的所有整数a的和是________． 10．(2012·常州调研，10)对于函数y＝f(x)(xR)，给出下列命题： (1)在同一直角坐标系中，函数y＝f(1－x)与y＝f(x－1)的图象关于直线x＝0对称； (2)若f(1－x)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称； (3)若f(1＋x)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)是周期函数； (4)若f(1－x)＝－f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称． 其中所有正确命题的序号是________． 二、解答题 11．(2012·苏州模拟)已知函数f(x)＝，若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称． (1)写出函数g(x)的解析式； (2)记y＝g(x)的定义域为A，不等式x2－(2a－1)x＋a(a－1)≤0的解集为B.若A是B的真子集，求a的取值范围．12．(2011·苏州模拟)已知函数f(x)＝·(ax－a－x)(a>0，且a≠1)． (1)判断f(x)的单调性； (2)验证性质f(－x)＝－f(x)，当x(－1,1)时，并应用该性质求f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的范围． 13．(2012·无锡调研)定义在R上的单调函数y＝f(x)满足f(2)＝3，且对任意x，yR都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)试求f(0)的值并证明函数y＝f(x)为奇函数； (2)若f(m·3x)＋f(3x－9x)＜3对任意xR恒成立，求实数m的取值范围．14．(2012·阜宁调研)已知函数f(x)＝x3－3|x－a|＋λ·sin(π·x)，其中α，λR. (1)当a＝0时，求f(1)的值并判断函数f(x)的奇偶性； (2)当a＝0时，若函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线经过坐标原点，求λ的值； (3)当λ＝0时，求函数f(x)在[0,2]上的最小值． 训练1 函数的图象和性质 1．解析 要使函数f(x)＝有意义，则3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，所以集合A＝[－3,1]，故A∩Z＝{－3，－2，－1，0,1}，有5个元素． 答案 5 2．解析 因为函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x，所以f(－4)＝－f(4)＝－4＝－2. 答案 －2 3．解析 由条件可得x＋2＞(2x－1)sgn x或或，解得0＜x＜3或x＝0或－＜x＜0，所以原不等式的解集为{x|－＜x＜3}． 答案 {x|－＜x＜3} 4．解析 因为函数f(x)＝是定义域为R的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，解得a＝2. 答案 2 5．解析 因为y＝x0.5，x(0，＋∞)是增函数，所以b＝2.10.5＞a＝20.5＞1，又由对数函数性质可知c＝log21.5＜log＝1，所以a，b，c的大小关系是b＞a＞c. 答案 b＞a＞c 6．解析 由题意可得f(－1)＝32＝9，所以f(f(－1))＝f(9)＝f(8)＝…＝f(0)＝3. 答案 3 7．解析 fK(x)＝f(x)恒成立，f(x)≤K恒成立，K≥[f(x)]max，又f(x)＝－x2＋2的最大值是2，k≥2. 答案 [2，＋∞) 8．解析 因为f(3＋x)＝f(3－x)，所以y＝f(x)关于x＝3对称，又因为f(x)是[0,3]上的增函数．所以f(x)是[3,6]上的减函数，又因为f(a)≥f(0)，所以0≤a≤6. 答案 [0,6] 9．解析 原有函数结构直接简化为f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不改变问题本质，f(x)为偶函数，且在－1≤x≤1时，f(x)函数值始终为2，当f(a2－3a＋2)＝f(a－1)时，可能情形有：a2－3a＋2＝a－1或a2－3a＋2＝1－a或从而整数a可有1,2,3，其和为6. 答案 6 10．解析 (1)错，例如y＝x； (2)错，关于直线x＝0对称； (3)对，令x＋1＝t，则f(t)＝f(t－2)，周期为2. (4)对，令1－x＝t，则f(t)＝－f(－t)，为奇函数． 综上，正确命题为(3)和(4)． 答案 (3)(4) 11．解 (1)在函数y＝g(x)的图象上任取一点P(x，y)，则P关于原点的对称点P′(－x，－y)在y＝f(x)的图象上， 则－y＝ ＝ g(x)＝－ (2)由－≥0－1＜x≤－，即A＝ x2－(2a－1)x＋a(a－1)≤0a－1≤x≤a，即B＝[a－1，a] 因为A是B的真子集，故得－≤a≤0 所以a的取值范围为[－，0]． 12．解 (1)设x1<x2，x1－x20. 若a>1，则ax10，所以f(x1)－f(x2)＝·(ax1－ax2)·<0， 即f(x1)<f(x2)，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； 同理，若0ax2，<0， f(x1)－f(x2)＝(ax1－ax2)·<0， 即f(x1)<f(x2)，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． 综上，f(x)在R上为增函数． (2)f(x)＝(ax－a－x)， 则f(－x)＝(a－x－ax)，显然f(－x)＝－f(x)． f(1－m)＋f(1－m2)<0，即f(1－m)<－f(1－m2)f(1－m)<f(m2－1)，函数为增函数，且x(－1,1)， 故解－1<1－m<m2－1<1，可得1<m<. 所以实数m的取值范围是(1，)． 13．解 (1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令x＝y＝0，代入式，得 f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0. 令y＝－x，代入式，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， 又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)， 即f(－x)＝－f(x)对任意xR成立，f(x)是奇函数． (2)f(2)＝3，即f(2)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，f(x)在R上是增函数， f(m·3x)＋f(3x－9x)＜3，可化为：f[(m＋1)·3x－9x]＜f(2)， (m＋1)3x－9x＜2对任意xR恒成立． 即9x－(m＋1)3x＋2＞0对任意xR恒成立． 令t＝3x，则t＞0， 问题等价于：t2－(1＋m)t＋2＞0在(0，＋∞)上恒成立， 令g(t)＝t2－(m＋1)t＋2，其对称轴方程为t＝， 当＜0，即m＜－1时，g(t)在(0，＋∞)上递增且g(0)＝2＞0， m＜－1满足题意． 当≥0时，即m≥－1时g(t)min＝g＞0， －1≤m＜2－1. 综上所述，实数m的取值范围为m＜2－1， 注：本题第(2)小问中，亦可用参变分离法： t2－(1＋m)t＋2＞0在(0，＋∞)上恒成立， 可化为：m＋1＜t＋在(0，＋∞)上恒成立， 令g(t)＝t＋(t＞0)，则g(t)≥2 ＝2， m＜2－1， 综上所述，实数m的取值范围为m＜2－1. 14．解 (1)a＝0时，f(x)＝x3－3|x|＋λ·sin(π·x)， f(－1)＝－4f(1)＝－2， f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，f(x)是非奇非偶函数． (2)x＞0时f(x)＝x3－3x＋λsin(πx)， f′(x)＝3x2－3＋λπcos(πx)，在x＝1处的切线方程为y＋2＝－λπ(x－1)，过原点，λ＝. (3)当a≤0时，x[0,2]时，f(x)＝x3－3x＋3a， f′(x)＝3x2－3， f(x)在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，ymin＝f(1)＝3a－2. 当a≥2时，x[0,2]时，f(x)＝x3＋3x－3a，f′(x)＝3x2＋3＞0，f(x)单调递增，ymin＝f(0)＝－3a. 当0＜a＜2时，f(x)＝ 当0≤x＜a时，f′(x)＝3x2＋3＞0，f(x)单调递增，ymin＝f(0)＝－3a， 当a≤x≤2时，f′(x)＝3x2－3，f(x)在[0,1]上递减，在[1,2]上递增， 若0＜a≤1，则ymin＝f(1)＝3a－2，当1＜a＜2时ymin＝f(a)＝a3， 而0＜a≤1时，3a－2－(－3a)＝6a－2，x∈[0,2]时， ymin＝ 同样1＜a＜2时，a3＞－3a，ymin＝f(0)＝－3a， 综上：a≤时，ymin＝f(1)＝3a－2；a＞时，ymin＝f(0)＝－3a.。
【高考二轮必备】高考数学二轮经典试题专训第一部分18个必考问题能力突破《必考问题6向量概念要理清,思考
6．向量概念要理清，思考问题要严密一、对向量的概念要理解透彻【例1】► 给出下列说法：(1)零向量只与零向量相等；(2)零向量没有方向；(3)单位向量都共线；(4)共线的单位向量一定是相等向量；(5)单位向量大于零向量；(6)共线向量一定在同一条直线上；(7)若向量a ，b 是共线向量，向量b ，c 是共线向量，则向量a ，c 也是共线向量．其中正确说法的序号是________．解析 由零向量是长度为0的向量，并且方向是任意的，即零向量有方向，所以(1)正确，(2)错误；因为单位向量的长度都是1，但方向是任意的，所以(3)错误；共线向量的方向可能相同，也可能相反，所以(4)错误；向量不能比较大小，所以(5)错误；共线向量是可以平移到同一条直线上，但不是一定在同一直线上，所以(6)错误；(7)中若向量b ＝0时，向量a ，c 不一定共线，所以错误．故正确说法只有(1)．答案 (1)老师叮咛：如果对向量的有关概念不清楚，就造成有些说法判断错误，如不能将向量共线与直线重合区别开来，(6)就容易判断为正确；对零向量与任意一个向量平行遗忘，即可能将(7)也判断为正确，所以对向量的概念要逐个过关．二、与向量的夹角有关的问题【例2】► 若向量a ＝(x,2x )，b ＝(－3x,2)，且a ，b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．解析∵a，b的夹角为钝角，∴a·b ＝x ·(－3x )＋2x ·2＝－3x 2＋4x ＜0，解出x ＜0或x ＞43，又由a ，b 共线且反向可得x ＝－13，所以得所求实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫－13，0∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫－13，0∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 老师叮咛：注意向量的夹角是钝角与向量的数量积小于0不等价，只由a ，b 的夹角为钝角得到a·b ＜0，但a·b ＜0不能得a ，b 夹角为钝角，因为a ，b 的夹角为180°时也有a·b ＜0，这一点如果遗忘，就会扩大x 的范围，导致错误.必考问题7等差数列、等比数列【真题体验】1．(2012·苏州期中)在等差数列{a n}中，a5＝3，a6＝－2，则a3＋a4＋…＋a8＝________.解析根据等差数列性质计算．因为{a n}是等差数列，所以a3＋a4＋…＋a8＝3(a5＋a6)＝3.答案 32．(2012·苏锡常镇调研)在等差数列{a n}中，已知a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是________．解析因为a8＝a1＋7d≥15，a9＝a1＋8d≤13，所以a12＝a1＋11d＝－3(a1＋7d)＋4(a1＋8d)≤7.答案(－∞，7]3．(2012·南通调研)已知数列{a n}的前n项和为S n＝－2n2＋3n，则数列{a n}的通项公式为________．解析根据通项公式a n与S n的关系求解．当n＝1时，a1＝S1＝－2＋3＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋3n)－[－2(n－1)2＋3(n－1)]＝5－4n，n＝1适合，所以数列{a n}的通项公式是a n＝5－4n.答案a n＝5－4n4．(2012·南京、盐城模拟)记等比数列{a n}的前n项积为T n(n∈N*)，若a m－1a m＋1－2a m＝0，且T2m－1＝128，则m＝______.解析由题意求出a m，再利用等比数列的性质即可求解．由题意可得a2m－2a m＝0，a m≠0，解得a m＝2.又T2m－1＝a1a2…a2m－2a2m－1＝a2m－1m＝22m－1＝128，解得m＝4.答案 45．(2011·江苏，13)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．解析由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.故q≥33，即q的最小值为33.答案3 3【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C 级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n 项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用．试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题．【应对策略】认识数列在高考中的重要地位，对等差数列、等比数列从概念、公式、性质、推导等几个方面理解和掌握，并且能够将基础知识迁移到数列综合题中，在题中设计几个小题时，要充分认识各个小题的设计，实质就是解题路标，要尽可能应用前面小题的结论在后面问题中的应用，尤其前面小题是证明题时，更加如此.必备知识1．等差、等比数列的通项公式等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝a m q n－m2．等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列的前n 项和为 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．(2)等比数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，特别地，若q ≠1，设a ＝a 11－q， 则S n ＝a －aq n .3．等差数列、等比数列常用性质(1)若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ；(2)在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k－S 2k ，…成等比数列，其中S n 为前n 项的和(n ∈N *)．必备方法1．对等差数列、等比数列的考查题型归纳，一般有三个方面：一是应用等差或等比数列的通项公式及其前n 项和公式计算某些量和解决一些实际问题；二是给出一些条件求出首项和公差(或公比)，进而求得等差或等比数列的通项公式和前n 项和公式，或者将递推公式变形转化为等差或等比数列问题间接地求得等差或等比数列的通项公式；三是证明一个数列是等差或等比数列；2．证明一个数列是等差或等比数列的方法有两种，即定义法和中项法．命题角度一 等差、等比数列中基本量的计算[命题要点] 求等差、等比数列的基本量【例1】► 设数列{a n }是公差不为0的等差数列，S n 为其前n 项的和，满足：a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项的和S n ；(2)设数列{b n }满足b n ＝2a n ，其前n 项的和为T n ，当n 为何值时，有T n ＞512. [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)先求出数列{a n }的首项和公差，根据已知条件列出a 1、d 为未知数的方程组即可求解；(2)由{a n }成等差数列，得{2a n }成等比数列． 解 (1)由{a n }是公差不为0的等差数列，可设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7，得⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝(a 1＋3d )2＋(a 1＋4d )2，7a 1＋7×62d ＝7，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1d ＋5d 2＝0，a 1＋3d ＝1，由d ≠0解得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －7， S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)由(1)得a n ＝2n －7，所以b n ＝2a n ＝22n －7，又b n b n －1＝22n －722n －9＝4(n ≥2)，b 1＝2a 1＝125，所以{b n }是首项为125，公比为4的等比数列，所以它的前n 项和T n ＝125(1－4n )1－4＝13×25(4n－1)，于是由T n ＞512， 得4n ＞3×47＋1，所以n ≥8时，有T n ＞512.求等差、等比数列通项与前n 项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n 项和公式的选择．【突破训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{}1＋S n 是公比为2的等比数列．(1)证明：{a n }是等比数列，并求其通项；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为T n ，当n 为何值时，有T n ≤2 012? (1)证明 由题意，得1＋S n1＋S n －1＝2，(n ≥2)即1＋S n ＝4(1＋S n －1)，同理，得1＋S n ＋1＝4(1＋S n )． 两式相减，得S n ＋1－S n ＝4(S n －S n －1)， 即a n ＋1＝4a n ，a n ＋1a n＝4(n ≥2)．又a 1＝3，所以{a n }是首项为3，公比为4的等比数列，所以a n ＝3·4n －1＝3·22n －2.(2)解 由(1)得a n ＝3·22n －2，所以b n ＝log 2(3·22n －2)＝log 23＋2(n －1)，所以{b n }是首项为log 23，公差为2的等差数列，前n 项和为T n ＝n log 23＋n (n －1)，于是由n 2＜n log 23＋n (n －1)≤2 012，得n ＜ 2 012，又n ∈N *，所以1≤n ≤44，即n ＝1,2,3，…，44时，T n ≤2 012.命题角度二 与等差、等比数列有关的最值问题[命题要点] (1)数列中最大项或最小项； (2)数列前n 项和的最大值或最小值．【例2】► 等差数列{a n }的首项是2，前10项之和是15，记A n ＝a 2＋a 4＋a 8＋a 16＋…＋a 2n ，求A n 及A n 的最大值．[审题视点][听课记录][审题视点] 由已知可求出公差d .进而得到A n 的表达式． 解 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，10a 1＋10×92d ＝15，解得a 1＝2，d ＝－19， A n ＝a 2＋a 4＋a 8＋…＋a 2n ＝na 1＋d [1＋3＋7＋…＋(2n －1)] ＝na 1＋d (2＋22＋23＋ (2)－n )＝2n －19⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2n ＋11－2－n ＝19(19n ＋2－2n ＋1)， 求A n 的最大值有以下两种解法．法一 数列{a 2n }的通项a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝19(19－2n )令a 2n ＝19(19－2n )＞0，得2n ＜19(n ∈N *)，由此可得a 21＞a 22＞a 23＞a 24＞0＞a 25＞…， 故使a 2n ＞0，n 的最大值为4， 所以(A n )max ＝19(19×4＋2－24＋1)＝469.法二 由A n ＝19(19n ＋2－2n ＋1)，若存在n (n ∈N *)，使得A n ≥A n ＋1，且A n ≥A n －1，则A n 的值最大．⎩⎨⎧19(19n ＋2－2n ＋1)≥19[19(n ＋1)＋2－2n ＋2]，19(19n ＋2－2n ＋1)≥19[19(n －1)＋2－2n ]，解得9.5≤2n ≤19(n ∈N *)，取n ＝4时，A n 有最大值(A n )max ＝19(19×4＋2－24＋1)＝469.上述两种求A n 最值的方法都是运用函数思想．法一是直接研究子数列{a 2n }．法二是研究A n ＝19(19n ＋2－2n ＋1)的单调性求其最值．【突破训练2】 已知等差数列{a n }的首项a 1≠0，公差d ≠0，由{a n }的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝2，b 3＝6.(1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的值； (3)求A n ＝S n －2 012n9的最小值．解 (1)由a 22＝a 1a 6，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，d 2－3a 1d ＝0.又d ≠0，所以d ＝3a 1，所以q ＝4，所以a b n ＝a 1·4n －1.又a b n ＝a 1＋(b n －1)d ＝a 1＋(b n －1)3a 1， 所以a 1·4n －1＝a 1＋(b n －1)3a 1.因为a 1≠0，所以3(b n －1)＋1＝4n －1，故b n ＝4n －13＋23.(2)S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫403＋23＋⎝⎛⎭⎫413＋23＋…＋⎝⎛⎭⎫4n －13＋23 ＝13(1＋4＋…＋4n －1)＋2n 3＝13·1－4n1－4＋2n 3 ＝13⎝⎛⎭⎫4n－13＋2n . (3)由S n ＝13⎝⎛⎭⎫4n－13＋2n ，得A n ＝S n －2 012n 9＝19(4n－2 006n －1)，若存在n ∈N *，使得A n ≤A n ＋1，且A n ≤A n －1，则A n 的值最小．于是由⎩⎨⎧19(4n －2 006n －1)≤19[4n ＋1－2 006(n ＋1)－1]，19(4n－2 006n －1)≤19[4n －1－2 006(n －1)－1]，解得2 0063≤4n ≤4×2 0063(n ∈N *)，取n ＝5，(A n )min ＝2 9839.命题角度三 等差、等比数列的探求[命题要点] 假设存在问题，求解满足条件的数或式子【例3】► 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，令b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .(1)求数列{a n }的通项公式及数列{b n }的前n 项和T n ；(2)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由．[审题视点] [听课记录][审题视点] (1)由等差通项与求和公式求解；(2)假设存在，转化为关于m ，n 的方程是否有整数解．解 (1)n ＝1时，由a 21＝S 1＝a 1，且a 1≠0，得a 1＝1.因为{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)2d .于是由a 2n ＝S 2n －1，得[1＋(n －1)d ]2＝2n －1＋(2n －1)(n －1)d ，即d 2n 2＋(2d －2d 2)n ＋d 2－2d ＋1＝2dn 2＋(2－3d )n ＋d －1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧d 2＝2d ，2d －2d 2＝2－3d ，d 2－2d ＋1＝d －1，解得d ＝2.所以a n ＝2n －1，从而b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)·(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. (2)法一 T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n 2n ＋1，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝⎛⎭⎫m 2m ＋12＝13⎝⎛⎭⎫n2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3.由m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2＞0，即－2m 2＋4m ＋1＞0，∴1－62＜m ＜1＋62. 又m ∈N *，且m ＞1，所以m ＝2，此时n ＝12.因此，当且仅当m ＝2，n ＝12时，数列{T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列． 法二 因为n 6n ＋3＝16＋3n ＜16，故m 24m 2＋4m ＋1＜16，即2m 2－4m －1＜0，∴1－62＜m ＜1＋62，(以下同上)．在一定条件下，判断某种数学对象是否存在，解答此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的，然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去，如果畅通无限，则存在；如果推理过程中，有限或发生矛盾，则说明不存在．【突破训练3】 (2012·苏北四市调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝pa n －2n ，n ∈N *，其中常数p ＞2.(1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列； (2)若a 2＝3，求数列{a n }的通项公式；(3)对于(2)中数列{a n }，若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋1)(n ∈N *)，在b k 与b k ＋1之间插入2k－1(k ∈N *)个2，得到一个新的数列{c n }，试问：是否存在正整数m ，使得数列{c n }的前m 项的和T m ＝2 011？如果存在．求出m 的值；如果不存在，说明理由．【突破训练3】 解 (1)∵2S n ＝pa n －2n ， ∴2S n ＋1＝pa n ＋1－2(n ＋1)，两式相减． ∴2a n ＋1＝pa n ＋1－pa n －2， ∴a n ＋1＝p p －2a n ＋2p －2，∴a n ＋1＋1＝pp －2(a n ＋1)，∵2a 1＝pa 1－2，且p ＞2，∴a 1＝2p －2＞0，∴a 1＋1＞0，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝pp －2≠0， ∴数列{a n ＋1}为等比数列． (2)由(1)知a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫pp －2n ，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫pp －2n －1(n ∈N *)又∵a 2＝3，∴⎝⎛⎭⎫p p －22－1＝3， ∴p ＝4，∴a n ＝2n －1.(3)由(2)得b n ＝log 22n ，即b n ＝n ，(n ∈N *)，在数列{c n }中，b k (含b k 项)前的所有项的和是：(1＋2＋3＋…＋k )＋(20＋21＋22＋…＋2k －2)×2＝k (k ＋1)2＋2k －2.当k ＝10时，其和是55＋210－2＝1 077＜2 011， 当k ＝11时，其和是66＋211－2＝2 112＞2 011， 又∵2 011－1 077＝934＝467×2，是2的倍数， ∴当m ＝10＋(1＋2＋22＋…＋28)＋467＝988时， T m ＝2 011，∴存在m ＝988，使得T m ＝2 011.。
高考二卷数学必考知识点归纳
高考二卷数学必考知识点归纳高考是每个学生都渴望突破的一道门槛，其中数学是令很多学生头疼的科目之一。
在高考数学中，二卷无疑是考察学生数学能力的重要环节。
为了帮助同学们更好地备战高考二卷数学，本文将对数学二卷必考的知识点进行归纳，希望对同学们备考有所助益。
一、函数和一元二次方程是重点在数学二卷中，函数和一元二次方程是必考的重点内容。
函数与方程是数学中的核心概念，对于解题能力的训练和提升具有重要作用。
1.1 函数的性质与应用函数的性质包括定义域、值域、增减性、奇偶性等。
理解并熟练掌握函数的性质可以帮助同学们解决各种函数题。
1.2 一元二次方程的解和判别式一元二次方程是高考中经常出现的题型。
掌握一元二次方程求解和判别式的应用，是解决相关问题的关键。
二、解析几何和三角函数是难点解析几何和三角函数是高考二卷数学中的难点内容，也是需要加强复习的重点。
2.1 平面解析几何平面解析几何中几何图形的表示、性质的刻画和解决问题的方法是需要重点掌握的知识点。
2.2 三角函数与解三角形三角函数是高考前的重点内容，熟练应用三角函数解决相关问题，特别是解三角形的问题是需要重点关注的。
三、统计与概率要注重应用统计与概率是数学二卷中的常见考点，需要同学们注重掌握概率与统计知识的应用。
3.1 概率的计算与应用掌握概率的计算方法，特别是混合事件的概率计算方法，能够解决各种概率问题。
3.2 统计调查与分析统计调查和统计分析是学习统计与概率的关键环节。
熟练应用各种统计方法和概念，能够有效分析问题和解决实际应用中的统计问题。
四、几何运动和立体几何的考察几何运动和立体几何是高考二卷数学中经常出现的知识点，需要同学们加强理解和练习。
4.1 几何变换与几何运动几何变换和几何运动是一道重要的知识点，需要同学们能够理解和掌握几何变换的基本概念和方法。
4.2 立体几何与立体图形理解立体几何的相关概念和性质，能够解决各种立体几何题目，是高考中的重要考点。
2025届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题二数列02命题分析03知识方法
专题二 数列1．新高考数学试题数列部分固定一个解答题，至多一个小题，从近几年来看试题难度有上升趋势．2．高考数学试题对数列的考查主要集中在以下考点：(1)项与和的关系．(2)等差、等比数列的概念的判定与性质．(3)等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式．(4)求数列的通项公式．(5)求数列的前n 项和．其中等差、等比数列的概念与性质、通项公式、前n 项和公式是考查的重点，常考数列的公式法求和，驾驭裂项法、分组求和法、错位相减法求和的步骤．3．高考数学试题的命题思路呈现以下特点：(1)立足基础，重视思想：等差、等比数列是数列的基础内容，其概念、通项公式及前n 项和公式是考查的重点内容．(2)通性通法，淡化技巧：数列侧重于基本量的计算，等差数列、等比数列要求不高，不要过度追求“技巧性”，只要从基本的公式动身，运用通性通法解题即可．(3)学问交叉，彰显实力：数列具有肯定的函数性质，所以常与函数、不等式交汇命题，提高试题的区分度．(4)坚持创新，体现素养：数列试题的命制在于核心内容平稳改变，同时坚持创新，突出考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养．1．等差数列．(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d . (3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .②a n ＝a m ＋(n －m )d .③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列．2．等比数列．(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)．(2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q.(3)性质：①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .②a n ＝a m ·q n －m .③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列．3．(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n－S n －1（n ≥2）. (2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特殊留意n ＝1时的状况，防止产生错误．4．数列求和．(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列．。
【二轮必备】高考数学二轮经典试题精选第一部分25个必考问题能力突破专题训练6.pdf
训练6 平面向量 (参考时间：80分钟) 一、填空题 1．(2012·苏州高三期中)已知向量a＝(2，x)，b＝(x－1,1)，若ab，则x的值为________． 2．(2012·重庆改编)设x，yR，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且ac，bc，则|a＋b|＝________. 3．(2012·南通数学密卷)已知m＝(cos ωx，sin ωx)(ω＞0)，n＝(1，)，若函数f(x)＝m·n的最小正周期是2，则f(1)＝________. 4．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当A，B，C三点共线时，实数k的值为________． 5．(2012·天一、淮阴、海门中学联考)在ABC中，已知·＝4，·＝－12，则||＝________. 6．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________． 7．在ABC所在的平面上有一点P满足＋＋＝，则PBC与ABC的面积之比是________． 8．函数y＝tan(0＜x＜4)的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则(＋)·＝________. 9．(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________． 10．(2012·上海)在平行四边形ABCD中，A＝，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________． 二、解答题 11．(2012·无锡模拟)已知a＝(sin α，sinβ)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋(kZ)． (1)若b∥c，求tan α·tan β的值； (2)求a2＋b·c的值．12．已知向量m＝，n＝(xR)，设函数f(x)＝m·n－1. (1)求函数f(x)的值域； (2)已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)＝，f(B)＝，求f(A＋B)的值． 13．(2012·徐州检测)已知向量a＝(4,5cos α)，b＝(3，－4tan α)，α，ab， 求：(1)|a＋b|； (2)cos的值．14．已知向量＝(2,0)，＝＝(0,1)，动点M到定直线y＝1的距离等于d，并且满足·＝k(·－d2)，其中O为坐标原点，k为参数． (1)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型． (2)当k＝时，求|＋2|的最大值和最小值． 训练6 平面向量 1．解析 由ab，得2－x(x－1)＝0，解得x＝2或－1. 答案 2或－1 2．解析 由题意可知解得故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝. 答案 3．解析 f(x)＝m·n＝cos ωx＋sin ωx＝2sin，最小正周期是2，得＝2ω＝π，所以f(1)＝2sin＝－1. 答案 －1 4．解析 因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，且，所以(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，解得k＝－2或11. 答案 －2或11 5．解析 将·＝4，·＝－12两式相减得·(－)＝2＝16，则||＝4. 答案 4 6．解析 由数量积的定义得·＝||·||cosNAM，当N点与C点重合时，||cosNAM最大，解三角形得最大值为，所以·的最大值是6. 答案 6 7．解析 因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的靠近A点的一个三等分点，故＝＝. 答案 8．解析 A点坐标为(2,0)，即＝(2,0)，由y＝tan的图象的对称性知A是BC的中点． ＋＝2， (＋)·＝2·＝2×||2＝8. 答案 8 9．解析 以 ，为基向量，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝－＝λ－，＝－，所以·＝(λ－)·(－)＝－λ·＋2＝－λ×0＋1＝1.又＝，所以·＝(λ－)·＝λ2－·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值为1. 答案 1；1 10．解析 建立坐标系，应用坐标运算将所求问题转化为二次函数在给定区间上的取值范围问题．以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C，D，设M(x1，(x1－2))，N，由条件可得2||＝||，代入坐标化简得4x1＋x2＝，得x2＝－4x1，所以·＝(x1，(x1－2))·＝x1＋(x1－2)＝－4x＋12x1－3，x1.由二次函数的图象可知y＝－4x＋12x1－3在x1上是减函数，所以·的取值范围是[2,5]． 答案 [2,5] 11．解 (1)若bc，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0， 3cos αcos β＋sin αsin β＝0， α，β≠kπ＋(kZ)，tan αtan β＝－3. (2)a2＋b·c＝sin2α＋sin2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2 ＝sin2α＋sin2β＋cos2αcos2β－sin2αsin2β－2 ＝sin2α＋cos2αsin2β＋cos2αcos2β－2＝sin2α＋cos2α－2＝1－2＝－1. 12．解 (1)f(x)＝m·n－1＝·－1＝ 2cossin＋1－1＝sin x. 因为xR，所以函数f(x)的值域为[－1,1]． (2)因为f(A)＝，f(B)＝，所以sin A＝，sin B＝. 因为A，B都是锐角， 所以cos A＝＝，cos B＝＝， 故f(A＋B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B ＝×＋×＝，即f(A＋B)的值为. 13．解 (1)因为ab，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，解得sin α＝，又因为α，所以cos α＝，tanα＝＝，所以a＋b＝(7,1)，因此|a＋b|＝＝5. (2)cos＝cos αcos－sin αsin＝×－×＝. 14．解 (1)设M(x，y)，则由＝(2,0)，＝＝(0,1)且O为原点得，A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)． 从而＝(x，y)，＝(x－2，y)，＝(x，y－1)，＝(x－2，y－1)，d＝|y－1|，代入·＝k(·－d2)， 得(1－k)x2＋2(k－1)x＋y2＝0为所求的轨迹方程． 当k＝1时，所求轨迹是一条直线y＝0；当k≠1时，(x－1)2＋＝1，若k＝0，则为圆；若0＜k＜1或k＜0，则为椭圆；若k＞1，则为双曲线． (2)由(1)知当k＝时，点M的轨迹方程为(x－1)2＋2y2＝1，则0≤x≤2， |＋2|＝ ＝ ＝ ＝ ， 当x＝时，|＋2|min＝＝； 当x＝0时，|＋2|max＝＝4.。
2023年高考全国卷2数学18题总结
2023年高考全国卷2数学18题总结
2023年高考全国卷2的数学18题，是一道涉及不等式证明的题目，具体考查了数学归纳法和放缩法。
该题要求考生证明一个给定的不等式，通过数学归纳法和放缩法两种策略，逐步推导和证明不等式的正确性。
在解题过程中，考生需要仔细分析题目给出的条件和不等式的结构，选择合适的方法进行推导和证明。
数学归纳法和放缩法是两种常用的策略，但具体使用哪种方法需要根据不等式的特点和题目要求进行判断。
总体而言，该题目难度较大，要求考生具备较强的数学思维和推理能力。
同时，也提醒考生在备考过程中，要注重数学归纳法和放缩法等策略的训练和掌握，以提高解题能力和数学思维能力。
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11．直线斜率不存在、截距为0不可忽视一、忽视直线斜率不存在的情况【例1】► 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点．若|AB |＝23，求直线l 的方程．解 (1)当直线l 的斜率不存在时，画出图象可知，直线x ＝1也符合题意．(2)当直线l 的斜率k 存在时，其方程可设为y －2＝k (x －1)，又设圆心到直线l 的距离为d .由d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22，得k ＝34， 代入y －2＝k (x －1)，得y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.所以直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0和x ＝1.老师叮咛：在确定直线的倾斜角、斜率时，要注意倾斜角的范围、斜率存在的条件；在利用直线方程的几种特殊形式时要注意它们各自的适用范围，特别是在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解.二、忽视直线在坐标轴上的截距为0的情形【例2】► 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；解 当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时2＋a ＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得：2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以，直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.老师叮咛：直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以设为\f(x,a )＋\f(y,a )＝1，此时ab ≠0，而且不要忘记当a ＝0时，直线y ＝kx 在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等，所以要充分考虑截距为0的情形.必考问题12 圆锥曲线【真题体验】1．(2012·江苏，8)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析 建立关于m 的方程求解∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m ＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.答案 22．(2010·江苏，16)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析 法一 x ＝3代入x 24－y 212＝1，y ＝±15，不妨设M (3，15)，右焦点F (4,0)．∴MF ＝1＋15＝4.法二 由双曲线第二定义知，M 到右焦点F 的距离与M 到右准线x ＝a 2c ＝1的距离比为离心率e ＝c a ＝2，∴MF 3－1＝2，MF ＝4. 答案 43．(2012·江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．已知(1，e )和⎝⎛⎭⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .(ⅰ)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ⅱ)求证：PF 1＋PF 2是定值．解 (1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca ，由点(1，e )在椭圆上，得1a 2＋c 2a 2b2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1， 又点⎝⎛⎭⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2.因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＞0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1x 1＋1＝my 1，得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0， 解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2，故AF 1＝(x 1＋1)2＋(y 1－0)2＝(my 1)2＋y 21＝2(m 2＋1)＋m m 2＋1m 2＋2.①同理，BF 2＝2(m 2＋1)－m m 2＋1m 2＋2.②(ⅰ)由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62得m 2＝2，注意到m ＞0， 故m ＝ 2.所以直线AF 1的斜率为1m ＝22.(ⅱ)因为直线AF 1与BF 2平行，所以PB PF 1＝BF 2AF 1，于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1，故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1.由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22，从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)．同理PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2·(22－AF 1)．因此，PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)＝22－2AF ·BF 2AF 1＋BF 2.又由①②知AF 1＋BF 2＝22(m 2＋1)m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2，所以PF 1＋PF 2＝22－22＝322.因此，PF 1＋PF 2是定值．【高考定位】(1)中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质，B 级要求； (2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求． 【应对策略】圆锥曲线主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质．主要是求它们的标准方程及其基本量，几何性质的应用，与直线和圆的综合等问题，其中椭圆是要重点关注的内容.必备知识1．椭圆的定义与标准方程设F1，F2(F1F2＝2c)是平面内两定点，P是平面内动点，PF1＋PF2＝2a，则a＞c⇔P点轨迹是椭圆，并且当焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，其标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，当焦点坐标为F1(0，－c)，F2(0，c)，其标准方程为x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)．2．椭圆的第二定义设F为平面内一定点，P是平面内动点，l是定直线(F∉l)，动点P到定点F的距离与P到定直线l的距离之比为e，则当0＜e＜1时，动点P的轨迹是椭圆．e＝ca是椭圆的离心率，直线l是椭圆的准线．3．椭圆的几何性质设P(x0，y0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1(－c,0)，F2(c,0)，则有PF1＋PF2＝2a，且x20a2＋y20b2＝1(a＞b＞0)，|x0|≤a，|y0|≤b，a－c≤PF1≤a＋c，a－c≤PF2≤a＋c，|PF1－PF2|≤2c 等．必备方法1．与椭圆有关的参数问题的讨论常用的两种方法：(1)不等式(组)求解法：依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的变化范围；(2)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．2．椭圆中最值的求解方法有两种：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征的意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现某一明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值常用的方法：配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法．3．定点定值问题，所考查的数学思想主要是函数与方程思想、数形结合思想、等价化归思想以及基本不等式的运用等，并且基本上都是建立目标函数，通过目标函数的各种性质来解决问题．关于定点定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题：(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值) .命题角度一 圆锥曲线的定义与标准方程[命题要点] (1)求圆锥曲线方程；(2)圆锥曲线的性质的应用．【例1】► (2012·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＝t (－4＜t ＜4)与椭圆x 216＋y 29＝1交于两点P 1(t ，y 1)、P 2(t ，y 2)，且y 1＞0、y 2＜0，A 1、A 2分别为椭圆的左、右顶点，则直线A 1P 2与A 2P 1的交点所在的曲线方程为________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 将A 1P 2与A 2P 1的交点(x ，y )用P 1(t ，y 1)、P 2(t ，y 2)坐标的关系来代换．解析 直线A 1P 2的方程为y ＝y 2t ＋4(x ＋4)，A 2P 1的方程为y ＝y 1t －4(x －4)，两式左右分别相乘得y 2＝y 1y 2t 2－16(x 2－16)，因为点P 1(t ，y 1)、P 2(t ，y 2)在椭圆x 216＋y 29＝1上，所以t 216＋y 219＝1，t 216＋y 229＝1，即y 21＝9⎝⎛⎭⎫1－t 216，y 22＝9⎝⎛⎭⎫1－t 216，又y 1＞0、y 2＜0，所以y 1y 2＝9⎝⎛⎭⎫t 216－1，代入y 2＝y 1y 2t 2－16(x 2－16)得x 216－y 29＝1；答案 x 216－y 29＝1求圆锥曲线方程的常用方法：轨迹法、定义法、待定系数法【突破训练1】 (2012·南师大附中信息卷)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，且PF 1＝12，F 1F 2＝2 3.(1)求椭圆C 的方程．(2)以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由． 【突破训练1】 解 (1)∵F 1F 2＝23，∴c ＝3，又PF 1⊥F 1F 2，∴PF 22＝PF 21＋F 1F 22＝494，PF 2＝72， ∴2a ＝PF 1＋PF 2＝4，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， ∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设能构成等腰直角三角形ABC ，其中B (0,1)，由题意可知，直角边BA ，BC 不可能垂直或平行于x 轴，故可设BA 边所在直线的方程为y ＝k x ＋1(不妨设k ＜0)，则BC 边所在直线的方程为y ＝－1k x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1x 2＋4y 2＝4，得x 1＝0(舍)，x 2＝－8k 1＋4k 2， 故A ⎝⎛⎭⎫－8k 1＋4k 2，－8k21＋4k 2＋1，∴AB ＝⎝⎛⎭⎫－8k 1＋4k 22＋⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 22＝8|k |1＋k 21＋4k 2，用－1k 代替上式中的k ，得BC ＝81＋k 24＋k 2，由AB ＝BC ，得|k |(4＋k 2)＝1＋4k 2，∵k ＜0， 即k 3＋4k 2＋4k ＋1＝0，即(k ＋1)(k 2＋3k ＋1)＝0， ∴解得k ＝－1或k ＝－3±52，故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形．命题角度二 圆锥曲线的几何性质及其应用[命题要点] (1)根据条件确定圆锥曲线的离心率； (2)由圆锥曲线的离心率确定基本量．【例2】► 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 由题设可得出M 点的坐标，M 点的坐标满足椭圆方程，进而得出a ，c 的关系． 解析 过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得M 的横坐标c ，所以纵坐标 2c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 2＋4c 2a 2－c 2＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2，∴e ＝2－1.答案2－1求圆锥的离心率，关键是建立椭圆的基本量a ，c 所满足的方程组，求出a ，c之间的关系．【突破训练2】 (2012·南通期末调研)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与F A →同向，则双曲线离心率e 的大小为________． 解析 设OA ＝m －d ，AB ＝m ，OB ＝m ＋d ，由勾股定理，得(m －d )2＋m 2＝ (m ＋d )2.解得m ＝4d .设∠AOF ＝α，则cos 2α＝OA OB ＝35.cos α＝1＋cos 2α2＝25，所以，离心 率e ＝1cos α＝52. 答案52命题角度三 直线与圆锥曲线的综合问题[命题要点] 定点问题；定值问题；最值问题；应用问题和探索性问题；【例3】► (2012·南通模拟)已知椭圆C 1∶x 22＋y 2＝1和圆C 2：x 2＋y 2＝1，左顶点和下顶点分别为A ，B ，F 是椭圆C 1的右焦点．(1)点P 是曲线C 1上位于第二象限的一点，若△APF 的面积为12＋24，求证：AP ⊥OP ；(2)点M 和N 分别是椭圆C 1和圆C 2上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，证明直线MN 恒过定点．[审题视点] [听课记录][审题视点] 由△APF 的面积求得P 点的坐标，通过计算AP →·OP →＝0从而证明AP ⊥OP ；根据条件求M 、N 的坐标，进而求出直线MN 的方程，再求MN 恒过的定点． 证明 (1)设曲线C 1上的点P (x 0，y 0)，且x 0＜0，y 0＞0，由题意A (－2，0)，F (1,0)，∵△APF 的面积为12＋24，∴S △APF ＝12·AF ·y 0＝12(1＋2)y 0＝12＋24，解得y 0＝22，x 0＝－22，即P ⎝⎛⎭⎫－22，22∴AP →·OP →＝⎝⎛⎭⎫22，22·⎝⎛⎭⎫－22，22＝0，∴AP ⊥OP . (2)设直线BM 的斜率为k ，则直线BN 的斜率为2k ，又两直线都过点B (0，－1)， ∴直线BM 的方程为y ＝k x －1，直线BN 的方程为y ＝2k x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2－4k x ＝0， 解得x M ＝4k 2k 2＋1，y M ＝k ·4k2k 2＋1－1＝2k 2－12k 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2k 2＋1，2k 2－12k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2k x －1x 2＋2y 2＝2，得(1＋4k 2)x 2－4k x ＝0， 解得x N ＝4k 4k 2＋1，y M ＝2k ·4k 4k 2＋1－1＝4k 2－14k 2＋1，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 4k 2＋1，4k 2－14k 2＋1.直线MN 的斜率k MN ＝4k 2－14k 2＋1－2k 2－12k 2＋14k 4k 2＋1－4k2k 2＋1＝(4k 2－1)(2k 2＋1)－(4k 2＋1)(2k 2－1)4k (2k 2＋1)－4k (4k 2＋1)＝－12k ， ∴直线MN 的方程为y －2k 2－12k 2＋1＝－12k ⎝⎛⎭⎫x －4k 2k 2＋1，整理得，y ＝－12kx ＋1，∴直线MN 恒过定点(0,1)．关于定点、定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题；(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值)．【突破训练3】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且圆C ∶x 2＋y 2＋3x －3y －6＝0过A ，F 2两点．(1)求椭圆标准的方程；(2)设直线PF 2的倾斜角为α，直线PF 1的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点P 在一定圆上；(3)设椭圆的上顶点为Q ，证明：PQ ＝PF 1＋PF 2.(1)解 圆x 2＋y 2＋3x －3y －6＝0与x 轴交点坐标为A (－23，0)，F 2(3，0)， 故a ＝23，c ＝3，所以b ＝3，∴椭圆方程是x 212＋y 29＝1.(2)证明 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设点P (x ，y )，则k PF 1＝tan β＝y x ＋3，k PF 2＝tan α＝yx －3，因为β－α＝2π3，所以tan(β－α)＝－ 3因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝－23yx 2＋y 2－3，所以－23yx 2＋y 2－3＝－ 3.化简得x 2＋y 2－2y ＝3.所以点P 在定圆x 2＋y 2－2y ＝3上．(3)证明 ∵PQ 2＝x 2＋(y －3)2＝x 2＋y 2－6y ＋9，因为x 2＋y 2＝3＋2y ，所以PQ 2＝12－4y .又PF 21＝(x ＋3)2＋y 2＝2y ＋6＋23x ，PF 22＝(x －3)2＋y 2＝2y ＋6－23x ，∴2PF 1·PF 2＝24(y ＋3)2－12x 2＝4(y ＋3)2－3x 2， 因为3x 2＝9－3y 2＋6y ，所以2PF 1·PF 2＝44y 2，∵β＝α＋2π3＞2π3，又点P 在定圆x 2＋y 2－2y ＝3上，∴y ＜0，所以2PF 1·PF 2＝－8y ，从而(PF 1＋PF 2)2＝PF 21＋2PF 1·PF 2＋PF 22＝4y ＋12－8y ＝12－4y ＝PQ 2.所以PQ ＝PF 1＋PF 2.。