2011届北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试(数学文)
北京市海淀区2011届高三上学期期末考试(数学文)扫描版
参考答案第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA , ...............................7分 π<<A 0 , 3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分 ,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且AC BD O = ，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A = 且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分 ⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，....................................10分由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+； 当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠= ，所以120DOC ∠= . ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩ ， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ， 代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t ty t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠，所以有212212240836722112136MQt y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQt y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A = ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>= 不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分 由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ，从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分。
朝阳区高三文科数学期末试题及答案
北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2016.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{1,0,1},{11}A B x x =-=-<≤，则AB =A ．{0,1}B ．{1,0}-C ．{0}D ．{1,0,1}- 2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A ．()f x =B ．1()f x x=C ．()e xf x = D ．()sin f x x =3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有km/h ）频率A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆第 4题图5. 已知m ，n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且m n αβ⊂⊂，,则下列说法正确的是A ．若//αβ，则//m nB ．若m β⊥，则αβ⊥C ．若//m β，则//αβD ．若αβ⊥，则m n ⊥6.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且与y 轴交于点A ,若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A.24y x =±B. 24y x =C. 28y x =±D. 28y x =7. 已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C为圆心），且满足13||=+CB CA ，则=AB A.23 B.C. 2D. 48. 设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，当x m D +∈时，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ），若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A. 0a >B. 20a <C. 10a <D. 5a <第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.计算:i(1i)-= (i 为虚数单位).10. 双曲线2213y x -=的渐近线方程为 .11. 在ABC ∆中，若1BC =，2AC =，1cos 4C =，则AB = ,sin A = .12．已知正数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则21()2x y z +=的最小值为 .13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 ，侧面积为 .第13题图14. 在ABC ∆中，AB AC =，D 为线段AC 的中点，若BD 的长为定值l ，则ABC ∆ 面积的最大值为 （用l 表示）.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且113a b ==，2214a b +=，3453a a a b ++=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设*,n n n c a b n =+∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．16. （本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x a =+的图象过点(,1)6π. （Ⅰ）求实数a 的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的最小值.侧视图俯视图17. （本小题满分13分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的2人都是女同学的概率；（Ⅱ）设 “选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N ，求事件N 发生的概率．18. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA AD =，且平面PAD ⊥平 面ABCD ，试证明AF ⊥平面PCD ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB 上是否存在点M ,使得EM ⊥平面PCD ?（直接给出结论，不需要说明理由）19. （本小题满分13分）已知函数()(21)ln 2kf x k x x x=-++，k ∈R . （Ⅰ）当1k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当e k =时，试判断函数()f x 是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数()f x 的单调区间.20. （本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证:OA OB ⊥；（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（文史类） 2016.1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >. 依题意有，1121114,3(3).a d b q a d b q ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 由113a b ==,又0q >， 解得3,2.q d =⎧⎨=⎩所以1(1)32(1)21,21n n a a n d n n a n =+-=+-=+=+即,n *∈N .111333n n n n b b q--==⨯=,n *∈N . ………………………………………7分（Ⅱ）因为213,nn n n c a b n =+=++所以前n 项和1212()()n n n S a a a b b b =+++++++12(3521)(333)n n =++++++++(321)3(13)213n n n ++-=+- 3(2)(31).2nn n =++-所以前n 项和*3(2)(31),2nn S n n n =++-∈N ．………………………………13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()cos cos f x x x x a =+1cos2222x xa +=++ 1sin(2)62x a π=+++.因为函数()f x 的图象过点(,1)6π，所以1()sin(2)16662f a πππ=⨯+++=.解得12a =-.函数()f x 的最小正周期为π. …………………………………………………………7分（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以2x ππ7π≤+≤666. 则sin(2)x 1π-≤+≤126.所以当2x π7π+=66，即x π=2时，函数()f x 在[0,]2π上的最小值为12-. ……………13分17.（本小题满分13分）解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为A ，B ，C ，女同学分别记为X ，Y ，Z ．从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为：{A ，B}，{A ，C}，{A ，X}，{A ，Y}，{A ，Z}，{B ，C}，{B ，X}，{B ，Y}，{B ，Z}， {C ，X}，{C ，Y}，{C ，Z}，{X ，Y}，{X ，Z}，{Y ，Z}，共15个． ……………4分 （Ⅰ）设“选出的2人都是女同学”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有{X ，Y}，{X ，Z}，{Y ，Z}，共3个， 所以，事件M 发生的概率 31()155P M ==．……………………………………8分 （Ⅱ）事件N 包含的基本事件有{A ，Y}，{A ，Z}，{B ，X}，{B ，Z}，{C ，X}，{C ，Y}，共6个， 所以，事件N 发生的概率 62()155P N ==． ……………………………………13分18. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是正方形， 所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AB ∥平面PCD ．又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =，所以AB ∥EF ．……………………5分 （Ⅱ）在正方形ABCD 中，CD AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD平面ABCD AD =，所以CD ⊥平面PAD ．又AF ⊂平面PAD 所以CD AF ⊥． 由（Ⅰ）可知AB ∥EF ，又因为AB ∥CD ,所以CD ∥EF .由点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点． 在△PAD 中，因为PA AD =，所以AF PD ⊥． 又因为PDCD D =，所以AF ⊥平面PCD ．…………………………………11分（Ⅲ）不存在． …………………………………………………………14分19. （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域：),0(+∞∈x .2222)12)(()12(2212)(x x k x x k x k x x k x k x f -+=--+=+--='. （Ⅰ）当1k =时，x xx x f 21ln )(++=. 2)12)(1()(xx x x f -+='. 有3211ln )1(=++=f ，即切点（1,3），21)12)(11()1(2=-+='=f k .所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程是)1(23-=-x y ，即12+=x y .………………………………………………………………………4分（Ⅱ）若e k =，e()(2e 1)ln 2f x x x x=-++.A2(e)(21)()x x f x x +-'=.令0)(='x f ，得1e x =-（舍），12=x .则min 11e 1()()(2e 1)ln 22(1ln 2)e ln 21012222f x f ==-++⋅=-++>.所以函数()f x 不存在零点. ………………………………………………………8分（Ⅲ） 2)12)(()(xx k x x f-+='. 当0≤-k ，即0≥k 时，当10<-<k ，即01<<-k 时，当2=-k ，即2-=k 时，当21>-k ，即21-<k 时，综上，当0≥k 时，)(x f 的单调增区间是),21(+∞;减区间是)21,0(.当021<<-k 时，)(x f 的单调增区间是),0(k -,),21(+∞;减区间是)21,(k -.当21-=k 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞;当21-<k 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(，),(+∞-k ;减区间是),21(k -. ……………………………13分20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=． 所以c e a ==．所以椭圆C …………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥． 同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631kmx x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高. 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=. 当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB =====231k =+ 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当3k =±时，等号成立）．所以max AB =．此时, max (S )OAB ∆=.综上所述，当且仅当k =时，OAB ∆．…………14分。
北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试文科
北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试数学（文史类）试卷 2015.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1. 设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =A. 1B.2C. 2D. 222. 已知全集U =R ，若集合{}20A x x x =-<，则U A =ðA. {0x x ≤，或}1x ≥B. {0x x <，或}1x > C. }{01x x << D.{}1x x ≥ 3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.44.执行如右图所示的程序框图,则输出的i 的值是A.3B.4C.5D.6正视图 侧视图 俯视图5.若,a b 是两个非零的平面向量，则 “a =b ”是“()()=0⋅a +b a b -”的A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，塔AB 底部为点B ，若,C D 两点相距为100m 并且与点B 在同一水平线上，现从,C D 两点测得塔顶A 的仰角分别为45o 和30o ，则塔AB 的高约为（精确到0.1m ，3 1.73≈，2 1.41≈）A. 36.5B. 115.6C. 120.5D. 136.57.已知定义在R 上的函数(1)1,()221,x x x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线y a =与函数()f x 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是A. ()0,2B.[)0,2C.(]0,2D. []1,28. 如图，在正方体中1111ABCD A B C D -，M 为BC 的中点，点N 在四边形11CDDC 及其内部运动．若11MN AC ⊥，则N 点的轨迹为A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D.双曲线的一部分第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． ABCD A 1B 1C 1D 1 M N .DBAC9. 双曲线22:14x C y -=的离心率是 ；渐近线方程是 ． 10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表 如下:按家庭人均月收入分组(百元)第一组[)10,16第二组[)16,22第三组[)22,28第四组[)28,34 第五组[)34,40 第六组[]40,46频率0.10.20.15a0.10.1则这80户居民中, 家庭人均月收入在[)2800,3400元之间的有 户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 .11. 已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人.13. 在平面直角坐标系中，若关于,x y 的不等式组0,,(1)y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是______.14. 设2212()cos (1)sin cos 3sin f x a x a x x x =+-+（22120a a +≠），若无论x 为何值，函数()f x 的图象总是一条直线，则12a a +的值是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）某幼儿园有教师30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下： 本科 研究生 合计35岁以下 5 2 7 35～50岁（含35岁和50岁） 1732050岁以上2 1 3（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率； （Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率. 16. 平面向量a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --，x ∈R ，函数()()f x =⋅-a b c . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若222f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin α的值.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：EF //平面PBC ； （Ⅱ）求证： CE BF ⊥；（Ⅲ）若2AB =，3PD =，当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由.18.已知公比为q 的等比数列{}n a ()n *∈N 中，22a =，前三项的和为7. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若01q <<，设数列{}n b 满足12...n n b a a a =⋅⋅⋅，n *∈N ,求使01n b <<的n 的最小值.19. 已知函数()e ln x f x a x =-，a ∈R . （I ）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值：DAPCEFB（Ⅱ）当e a =时，求证：()e f x ≥.20. 已知离心率为32的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与直线2x =相交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），且2PQ =．点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且APQ BPQ ∠=∠．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类）2015.1一、选择题：（满分40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A D B C D B A二、填空题：（满分30分）题号9 10 11 12 13 14答案52；12y x=±28;0.322111)()339x+y+-=（22 0k< 4（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件A，由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.则61 ()==305 P A.答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为15. ………4分（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为A1，A2，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为B1，B2，B3，50岁以上具有研究生学历的教师为C，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C），记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件D，则D中的结果共有12个，它们是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B 1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，C），（B2，C），（B3，C），故所求概率为124()==155P D．答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为45. ………………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）因为a =(sin ,cos )x x ，b =(sin ,cos )x x -，c =(cos ,sin )x x --， 所以()()sin cos ,sin cos x x x x -=+-b c ，()()f x =⋅-a b c =sin (sin cos )cos (sin cos )x x x x x x ++-.则()f x =22sin 2sin cos cos x x x x +-=sin 2cos 2x x -2sin(2)4x π=-.则当222242k x k ππ3ππ+≤-≤π+时，即88k x k 3π7ππ+≤≤π+时，函数()f x 为减函数，k ∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间是,88k k 3π7π⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2sin(2)4f x x π=-，又222f α⎛⎫=⎪⎝⎭， 则22sin()42απ-=，1sin()42απ-=.因为 22sin ()cos ()144ααππ-+-=，所以3cos()42απ-=±. sin sin ()44ααππ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ππππsin()cos cos()sin 4444αα=-+-.所以当3cos()42απ-=时，sin α=12326222224+⨯+⨯=； 当3cos()42απ-=-时，sin α=123226()22224-⨯+-⨯=.………………13分 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PDB ∆中，因为点E 是BD 中点，点F 是PD 中点， 所以EF //PB ．又因为EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，PF所以EF //平面PBC ．…………4分 （Ⅱ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ， 且CE ⊂平面ABCD ， 所以PD CE ⊥．又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是BD 的中点， 所以CE BD ⊥． 因为BDPD D =，所以CE ⊥平面PBD ，而BF ⊂平面PBD ，所以CE BF ⊥． …………9分 （Ⅲ）点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点． 说明如下：由（Ⅱ）可知， CE ⊥平面PBF ．又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥. 设PF x =． 由2AB =得22BD =，2CE =， 所以11122223263P BCF C BPF V V PF BD CE x x --==⨯⨯⋅⋅=⨯⨯=． 由已知2433x =， 所以2x =． 因为3PD =，所以点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．…………14分18. （本小题满分13分） （Ⅰ）由已知得，212327a a a a =⎧⎨++=⎩，解得2q =，11a =或12q =，14a =．则数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或31()2n n a -=，n *∈N ……………5分（Ⅱ）因为01q <<，所以31()2n n a -=，n *∈N .(5)210...(3)21211...()()22n n n n n b a a a ---+++-=⋅⋅⋅==，n *∈N . 由01n b <<，即(5)210()12n n -<<，即(5)02n n ->，即 即5n >.则使01n b <<的最小的n 的值为6． …………………13分19. （本小题满分13分）（I ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为()e xa f x x'=-, 又1x =是()f x 的极值点,所以(1)e 0f a '=-=，解得e a =. 经检验，1x =是()f x 的极值点， 所以a 的值为e . ………5分 （Ⅱ）证明： 方法1：当e a =时，()e eln x f x x =-.所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 若01x <<，则1<e e x <，所以e e x x <，所以e e<0x x -. 所以函数()f x 在(0,1)单调递减.若1x >，则e >e x ，所以e >e x x ，所以e e>0x x -. 所以函数()f x 在(1,)+∞单调递增. 所以当1x =时，min ()(1)e f x f ==.(0x →时， e eln x x -→+∞;x →+∞时， e eln x x -→+∞.) 所以()e f x ≥. ………13分 方法2：当e a =时，()e eln x f x x =-，所以e e e()e x xx f x x x-'=-=. 设()e e x g x x =-，则()e (1)x g x x '=+，所以()g x 在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(0,1)单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞单调递增. （接下来表述同解法1相应内容） 所以()e f x ≥. ………13分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得32e =，则12b a =，设椭圆方程为22221(0)4x y b b b +=>由题意可知点(2,1)P 在椭圆上， 所以224114b b+=．解得22b =． 故椭圆C 的标准方程为22182x y +=． ………4分 （Ⅱ）由题意可知，直线PA ，直线PB 的斜率都存在且不等于0． 因为APQ BPQ ∠=∠，所以PA PB k k =-．设直线PA 的斜率为k ，则直线:1(2)PA y k x -=-（0k ≠）．由2248(12),x y y kx k ⎧+=⎨=+-⎩得222(14)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=……(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式0∆>成立.即()222264(12)4(14)161640k k k k k ∆=--+-->,化简得216(21)0k +>，解得12k ≠-. 因为2是方程（1）的一个解，所以2216164214A k k x k --⋅=+．所以2288214A k k x k--=+． 当方程（1）根的判别式0∆=时，12k =-，此时直线PA 与椭圆相切.由题意，可知直线PB 的方程为1(2)y k x -=--．同理，易得22228()8()288214()14B k k k k x k k ----+-==+-+． 由于点,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，APQ BPQ ∠=∠， 且能存在四边形APBQ ，则直线PA 的斜率k 需满足12k >. 设四边形APBQ 面积为S ，则 112222APQ BPQ A B S S S PQ x PQ x ∆∆=+=⋅-+⋅-2222188288221414B A k k k k PQ x x k k--+-=⋅-=-++ 21614k k =+ 由于12k >，故 216161144k S k k k==++. 当12k >时，144k k +>，即110144k k <<+，即04S <<. (此处另解：设t k =，讨论函数1()4f t t t =+在1,2t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时的取值范围. 222141()4t f t t t-'=-=，则当12t >时，()0f t '>，()f t 单调递增. 则当12t >时，()(4,)f t ∈+∞，即S ∈()0,4.) 所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是()0,4. ………14分。
北京市朝阳区2011年高一上学期期末数学考试试题
北京市朝阳区2010-2011学年第一学期期末考试高一数学 2011.1（考试时间100分钟； 卷面总分100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知{}24A x x =≤，{}0B x x =≠，则A B I = （ ）A ．[]2,2-B ．[)(]2,00,2-UC ．(]0,2D ．()2,0(0,2)-U2. 已知向量a =(1,2)，b =(,4)k ，若向量⊥a b ，则实数k 的值是 （ ） A ．2 B ．8- C ． 4 D ． 2-3. 下列函数中为奇函数的是 （ ） A ．()2xf x = B ． 12()f x x = C .()lg()f x x =- D ． ()sin 2f x x = 4. 方程322xx +=的解所在区间是 （ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）5.在ABC ∆中，AB =u u u r a ，AC =u u u r b ，且2BD DC =u u u r u u u r ,则AD u u u r等于 （ ）A.1233a +b B. 2233a +b C.2133a +b D. 1133a +b 6.已知1tan()3πα+=-，则tan 2α等于 ( )A. 13-B. 13C. 34-D. 347. 函数1sin ,[2,0)()sin ,[0,2]x x f x x x ππ-∈-⎧=⎨∈⎩的零点的个数为 ( )A.3B.4C.5D. 68如图，以Ox 为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆分别交于A ，B 点，则OA OB ⋅u u u r u u u r的值等于 （ ）A. )sin(βα+B. )sin(βα-C. )cos(βα+ D. )cos(βα-9.已知函数()2sin f x x =，将函数()y f x =的图象向左平行移动6π个单位长度，再将所得函数图象上每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为 ( ) A.[]1,2B. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2⎤⎦D. ⎡⎣10.定义在R 上的偶函数cx bax x f ++=2)(的图象如图，则实数a 、b 、c 的大小关系是 （ ） A ．c b a >> B ．b c a >>二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共2411.sin 300o的值为 . 12.若α为锐角，12sin cos 25αα=，则sin cos αα+= . 13.已知向量a =1,22⎛ ⎝⎭，b =()1,0，则a +b = ；则向量a 与向量-a b 的夹角为 .14. 若直线y a =与函数223y x x =--的图象恰有四个公共点，则实数a 的取值范围是 .. 15.如(0,A >)0、)0,1211(π4()3f π16.2010年上海成功举办了举世瞩目的第41届世博会.有一家公司设置了这样一个奖项：对于函数)2(log )(1+=+n n f n ，*n ∈N ，如果正整数k 满足乘积)()3()2()1(k f f f f ⋅⋅Λ为整数，则称k 为“世博幸运数”，每天买到当天第k 张世博门票的游客可以获赠该公司的一份“幸运礼品”.那么每天第一个获得“幸运礼品”的是买到当天第 张世博门票的游客；在某天购得前2010张世博门票的游客中能够获得“幸运礼品”的至多有 人.三、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分8分）已知角α终边上经过点34(,)55P -. (1) 求sin α的值； (2) 求sin(2)3πα-的值.18．（本小题满分8分）已知函数 x x f a log )(=，)1,0(≠>a a ． （1）若10=a ，求2(2)(25)f f +的值； （2）若(2)1f a >-，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分10分）已知2()cos sin cos f x x x x =+，)4sin()4sin(2)(ππ-+=x x x g .（1） 求()f x 的最小正周期及单调增区间；（2） 若5()()6f g αα+=，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈85,83ππα，求sin 2α的值.20.（本小题满分10分）定义在)1,1(-上的函数)(x f 是奇函数，且当)1,0(∈x 时，142)(+=x xx f .（1）求)(x f 在)1,1(-上的解析式；（2）判断)(x f 在)1,0(上的单调性，并给予证明；（3）当实数λ为何值时，关于x 的方程λ=)(x f 在)1,1(-上有解？。
2011朝阳区高三期末试题及答案(数学文)
北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文科） 2011.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集U R =，A =(){}20x x x -<，{}10B x x =->，则A B =（A ）(2, 1)-（B ）[1, 2)（C ）(2, 1]- （D ）(1, 2)2．已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为 （A ）012=+-y x （B ）012=++y x （C ）012=--y x （D ）012=-+y x 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（A ）10 （B ）12 （C ）15 (D) 30 4．若0m n <<，则下列结论正确的是（A ）22mn> （B ） 11()()22m n <（C ）22log log m n > （D ）1122log log m n >5．要得到函数sin(2)4y x π=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移4π单位 （B ）向右平移4π单位 （C ）向右平移8π单位 （D ）向左平移8π单位6．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（A ）若//l α，m αβ=，则//l m ；（B ）若//l α，//m α，则//l m ； （C ）若l α⊥，//l β，则αβ⊥； （D ）若//l α，m l ⊥，则m α⊥．7．设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （A ）21- （B ）212+ （C ）22 （D ）228．如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E ，F分别为棱AB ，1CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（A ）有无数条 （B ）有2条（C ）有1条 （D ）不存在第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上．9．已知3cos 5x =，(),2x ππ∈，则tan x = 10．经过点(2, 3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 ．11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图与侧视图 都是边长为2的正三角形，俯视图半径为1的圆，则这个 几何体的体积为 .12. 设x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则的最大值为 .13．平面向量a 与b 的夹角为60，(2, 0)a，||1b ，则|2|a b = .ABCD A 1B 1C 1D 1EF正视图侧视图俯视图14．按下列程序框图运算：若5x =，则运算进行 次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()3sin cos cos f x x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值．16．（本小题满分13分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，22AB =，M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ；（Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积．17．（本小题满分13分）已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x . （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y=的单调区间.ABCA 1B 1C 1M N输入x结束开始 输出x32x x =-244?x >是否18．（本小题满分13分）已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -⋅-≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.19．（本小题满分14分）已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ）．（Ⅰ）当函数()f x 的图像过点(1, 0)-，且方程()0f x =有且只有一个根，求()f x 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[]2, 2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若() 0,()() 0,f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩当0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数时，试判断()()F m F n +能否大于0？20．（本小题满分14分）已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）满足11n n n a a b ++=，1214nn nb b a +=-，且点1P 的坐标为(1, 1)-.(Ⅰ)求经过点1P ，2P 的直线l 的方程；(Ⅱ) 已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）在1P ，2P 两点确定的直线l 上，求证：数列1{}na 是等差数列.（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求对于所有n *∈N ，能使不等式12(1)(1)(1)n a a a +++≥2311n b b b +⋅⋅⋅k 的值.北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文科）参考答案一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCDCCAA二．填空题：题号 9101112 1314 答案43- 280x y -+=33π 2234，(10, 28]三．解答题： 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为311()sin 2cos 2222f x x x =--1sin(2)62x π=--， ………… 4分 所以22T ππ==，故()f x 的最小正周期为π. …………………… 7分 （Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以52666x πππ--≤≤． ……………………9分所以当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最大值12. ………………11分当662ππ-=-x ，即0x =时，)(x f 有最小值1-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC又因为CN ⊂平面ABC ， 所以1AA CN ⊥. ………………………………… 1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点，所以CN AB ⊥. …………………………………………………… 2分因为1AA AB A =， ……………………………………………………… 3分所以CN ⊥平面11ABB A ． ……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，所以1//NG BB ，112NG BB =. 又因为1//CM BB ，112CM BB =，ABCA 1B 1C 1M NG所以//CM NG ，CM NG =.所以四边形CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6分 所以//CN MG . …………………………………………………………… 7分 因为CN ⊄平面1AMB ，GM ⊂平面1AMB ， …………………………… 8分 所以//CN 平面1AMB ． ……………………………………………………… 9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知GM ⊥平面1AB N . …………………………………………… 10分所以11MN M N 1124423223B A AB V V --==⨯⨯⨯⨯=. ………………………… 13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =， ……………………………1分所以32()2f x x bx cx =+++.所以2()32f x x bx c '=++. …………………………………………………3分 由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=，知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f -=′. ………………………5分所以326,12 1.b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=⎧⎨-=⎩解得3b c ==-. …………… 6分故所求的解析式是32()332f x x x x =--+. ………………………………7分（Ⅱ）因为2()363f x x x '=--， …………………………………………………8分令23630x x --=，即2210x x --=，解得 112x =-，212x =+. ……………………………………………10分 当12x <或12x >()0f x '>， …………………………………11分 当1212x <<()0f x '<， …………………………………………12分 故32()332f x x x x =--+在(, 12)-∞-内是增函数，在(12, 12)+内是减函数，在),21(+∞+内是增函数. …………………………………………………13分18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )MP x y =-，(3, 0)MN =-，(1, )PN x y =--. …………………2分 由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--，化简得223412x y +=，得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13422=+y x . ………………………6分 （Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=. ………………8分因为N 在椭圆内，所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………………………10分因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=， …………12分所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 所以31k --≤≤或13k ≤≤. …………………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=. ……………………………………1分因为方程()0f x =有且只有一个根，所以240b a ∆=-=.所以24(1)0b b --=. 即2b =，1a =. …………………………………3分所以2()(1)f x x =+. ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=--+=222(2)()124k k x ---+-． ………………… 6分 所以当222k -≥或222k --≤时， 即6k ≥或2k -≤时，()g x 是单调函数． …………………………………… 9分 （Ⅲ）()f x 为偶函数，所以0b =. 所以2()1f x ax =+.所以221 0,() 1 0.ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩ ………………………………………………10分因为0mn <，不妨设0m >，则0n <.又因为0m n +>，所以0m n >->.所以m n >-. …………………………………………………………………12分 此时22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->.所以()()0F m F n +>． …………………………………………… 14分 20．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)因为12211314b b a ==-，所以21213a a b ==. 所以211(, )33P . ……… 1分 所以过点1P ，2P 的直线l 的方程为21x y +=. ………………………… 2分 (Ⅱ)因为(, )n n n P a b 在直线l 上，所以21n n a b +=. 所以1112n n b a ++=-. …… 3分由11n n n a a b ++=，得11(12)n n n a a a ++=-. 即112n n n n a a a a ++=-. 所以1112n n a a +-=. 所以1{}na 是公差为2的等差数列. ………………… 5分 （Ⅲ）由(Ⅱ)得1112(1)n n a a =+-. 所以112(1)21nn n a =+-=-.所以121n a n =-. …………………………………………………………… 7分 所以231221n n n b a n -=-=-. ……………………………………………… 8分依题意12231(1)(1)(1)n n k a a a b b b ++++⋅⋅⋅≤恒成立. 设12231()(1)(1)(1)n n F n a a a b b b +=+++⋅⋅⋅，所以只需求满足()k F n ≤的()F n 的最小值. ………………………………… 10分因为12123212231(1)(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)n n n n n a a a a b b b F n F n a a a b b b +++++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅ =1222(1)2123n n n a b n n ++++=++=224841483n n n n ++>++， 所以()F n （x *∈N ）为增函数. ……………………………………… 12分 所以min 23()(1)33F n F ===. 所以233k ≤. 所以max 33k =. ……………………………………… 14分。
北京市朝阳2011届高三第一学期期末考试语文带答案
北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试语文试卷2011.1（考试时长150分钟满分150分）本试卷共6页。
考生务必将答案答在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，只收回机读卡和答题纸。
第一部分（27分）一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。
1.下列词语中，字形和加点的字的读音全都正确的一项是A.关键词穿流不息暴殄（tiǎn）蓦（mù）然回首B.口头禅通货膨胀不啻（chì）弱不禁（jīn）风C.雷震雨见风使舵内讧（hònɡ）不着（zháo）边际D.肇事者相形见拙栖（xī）息否（pǐ）极泰来2.下列句子中，加点的成语使用不恰当的一项是A.新赛季马刺以16胜3负开局，其中包括一个12连胜，湖人、热火等强队都无法望其项背，让各路专家跌破眼镜。
B.博客方兴未艾，微博又来了，新媒体技术日新月异，未来简直无法预料，职业媒体人必须努力追赶新技术的浪潮。
C.近日，1932年版《开明国语课本》受到众多家长的追捧，他们觉得此书中丰子恺先生的画和字看着很赏心悦目。
D.虽然中国队小组赛初战告捷，但比赛中球队在战术意识、进攻手段和体能上的表现很不理想，简直就是差强人意。
3.下列句子中，没有语病的一句是A.最近两年来，蔬菜、肉类、服装、鸡蛋、食用油等农副产品普遍涨价，与之相关的消费品价格也开始提价。
B.1989年上海率先进行了夜景照明建设，此后，城市光环境建设经历了逐步从大城市及东南沿海向内地推移。
C.中国铁路史上修建难度最大、历时最长、单公里造价最高的山区铁路宜万铁路已于12月22日全线通车了。
D.据中国社科院相关部门预测，今年中国网络购物总额将达接近5000多亿元，占社会消费品零售总额的3%。
4.下列有关文学常识的表述，有错误的一项是A.汉魏间，曹操与曹丕、曹植父子三人在文学上均有很高的成就，后人合称之为“三曹”。
B.杜牧的《阿房宫赋》辞藻华美，思想深刻，借秦朝亡国的教训讽谏唐统治者引以为戒。
北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试(数学文)
北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2012.1第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>，则M N 等于（ ）A ．φB ．}321|{<<x x C ．}30|{<<x xD ．{|23}x x <<2.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则实数x 的值为（ ）A ．9-B ．1-C ．1D ．93. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=)0(12)0(2x x x y x 的图象大致是 （ ）4. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于 （ ）A ． 2788n n +B ．2744n n + C ．2324n n+D ．2n n +5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．1-C ． 2-D ．06. 函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)7.已知函数()sin f x x x =，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A. a b c << B.c a b << C.b a c << D.b c a << 8. 已知集合{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+m ∈Z }.若存在实数,a b 使得AB ≠∅成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 若变量x ，y 满足约束条件1,,236,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值为 .10. 已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有 辆.11. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .时速（km/h ）01002 003 00440 50 60 70 8012. 设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB的长为m 的值是 .13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，x *∈N ）的关系为21825y x x =-+-.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14. 已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若1,3a b ==,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n q p ++-（,m n 为正整数），则,m n 的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C所对的边，且满足2sin 0b A -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =2c =，求AB AC 的值．16. （本题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．四边形ABCD 为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求证：//PQ 平面SCD ；（Ⅲ）若SA SD =，M 为BC 中点，在棱SC 上是否存在点N，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.17. （本题满分13分） 如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转MSD BCP Q·转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）． （Ⅰ）请列出一个家庭得分(,)a b 的所有情况；（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品．请问一个家庭获奖的概率为多少？18. （本题满分13分）设函数2()ln 2,R 2ax f x a x x a =+-∈. （Ⅰ）当1a =时,试求函数()f x 在区间[1,e]上的最大值; （Ⅱ）当0a ≥时,试求函数()f x 的单调区间. 19. （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点3(1,)2P ，F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点(4,0)A 的直线l 与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在,A N 两点之间），若AMF △与MFN △的面积相等，试求直线l 的方程.20. （本题满分14分） 数列{}n a ，{}n b （1,2,3,n =）由下列条件确定：①110,0a b <>；②当2k ≥时，k a 与k b 满足：当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ,211--+=k k k b a b ；当011<+--k k b a 时，211--+=k k k b a a ，1-=k k b b . （Ⅰ）若11a =-，11b =，求2a ，3a ，4a ，并猜想数列}{n a 的通项公式（不需要证明）； （Ⅱ）在数列}{n b 中，若s b b b >>> 21(3s ≥,且*s ∈N )，试用11,b a 表示k b ，},,2,1{s k ∈；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{n c (*)n ∈N 满足211=c ，0n c ≠，2212m n n n mc c c ma -+=-+(其中m 为给定的不小于2的整数)，求证：当m n ≤时，恒有1<n c .北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）答案 2012.1二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：2sin 0b A -=，根据正弦定理得：2sin sin 0A B A -=.………………………………………………………3分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . ………………………………………………5分 又B 为锐角， 则3B π=. …………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为b =2c =，根据余弦定理，得 2744cos3a a π=+-， ……………………………………8分整理，得2230a a --=．由于0a >，得3a =． ……………………………10分于是222cos214b c a A bc +-===， ………………………………11分所以 cos cos 21AB AC AB AC A cb A ====． ……………13分（16）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为正方形，则CD AD ⊥. …………………1分 又平面SAD ⊥平面ABCD ， 且面SAD 面ABCD AD =，所以CD ⊥平面SAD . ………………………………………………………3分（Ⅱ）取SC 的中点R ，连QR, DR ．由题意知：PD ∥BC 且PD =12BC ．…………………4分在SBC ∆中，Q 为SB 的中点，R 为SC 的中点， 所以QR ∥BC 且QR =12BC ．所以QR ∥PD 且QR=PD ，则四边形PDRQ 为平行四边形. …………………………………………………7分 所以PQ ∥DR .又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ，所以PQ ∥平面SCD ． ……………………………………………………………10分 （Ⅲ）存在点N 为SC 中点，使得平面DMN ⊥平面ABCD ． ………………11分连接PC DM 、交于点O ，连接PM 、SP ， 因为//PD CM ，并且PD CM =，所以四边形PMCD 为平行四边形，所以PO CO =. 又因为N 为SC 中点，所以//NO SP ．………………………………………………………………………12分 因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD 平面ABCD =AD ，并且SP AD ⊥， 所以SP ⊥平面ABCD ，所以NO ⊥平面ABCD ， ……………………………………………………13分 又因为NO ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面ABCD ．……………………………………………………14分 （17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可知，一个家庭的得分情况共有9种，分别为(2,2),(2,3),(2,5),(3,2)，(3,3),(3,5),(5,3),(5,2),(5,5)． …………………………………………………………7分（Ⅱ）记事件A ：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括(2,2)，(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)共5种， ……………………………………………11分 所以5()9P A =． 所以一个家庭获奖的概率为59． …………………………………………………13分（18）（本小题满分13分）解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………………………1分当1a =时,2()ln 22x f x x x =+-，因为21(1)()20x f x x x x -'=+-=≥， …3分 M SDBCAPQ·R (N ) O所以函数()f x 在区间[1,e]上单调递增，则当=e x 时,函数()f x 取得最大值2e (e )12e 2f =+-. …………………………………………………………………5分（Ⅱ）22()ax x af x x-+'=. ………………………………………………………6分当0a =时,因为()20f x '=-<，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减；…7分 当0a >时，⑴当2440a ∆=-≤时，即1a ≥时，()0f x '≥，所以函数()f x 在区间(0,)+∞ 上单调递增； …………………………………………………………9分⑵当2440a ∆=->时，即01a <<时，由()0f x '>解得，0x <<，或x >. …………………………………………10分由()0f x '<x <<； ………………………………11分所以当01a <<时，函数()f x 在区间上单调递增；在11(a a +上单调递减，1()a+∞单调递增. ………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为12c a =，所以2a c =，b =. …………………………………1分 设椭圆方程为2222143x y c c+=，又点3(1,)2P 在椭圆上,所以2213144c c +=，解得21c =， …………………………………………………………………………3分所以椭圆方程为22143x y +=. …………………………………………………………4分 （Ⅱ）易知直线l 的斜率存在,设l 的方程为(4)y k x =-， ……………………………………………………………5分由22(4),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理，得 2222(34)3264120k x k x k +-+-=， ………………………………………………6分由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->， 解得1122k -<<. ……………………………………………………………………7分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则21223234k x x k+=+，⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ①， 2122641234k x x k -=+.… ②. 因为AMF △与MFN △的面积相等，所以AM MN =，所以1224x x =+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ③ ……………………………………10分由①③消去2x 得21241634k x k +=+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ④将2124x x =-代入②得21126412(24)34k x x k --=+.⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⑤ 将④代入⑤2222224164166412(24)343434k k k k k k ++-⨯-=+++，整理化简得2365k =，解得6k =±，经检验成立. …………………………12分 所以直线l的方程为4)y x =-. …………………………………………13分 （20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02112=+=b a b . ……1分 因为0122<-=+b a ,则212223-=+=b a a ,320b b ==. ………………2分 333421222a b a a +===-. ……………………………………………………3分 猜想当2n ≥时，22221111222n n n n a a ---⎛⎫⎛⎫=⨯=-⋅=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭.则21,1,1, 2.2n n n a n -⎧-=⎪=⎨-≥⎪⎩ …………………………………………………………4分（Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， ……………………5分所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =. ……………………6分当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，211--+=k k k b a b , 所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………………8分当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立. 又110b a -≠，所以}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列， ……9分 11121)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s =,又因为1a a k =，所以111121)(a a b b k k +⎪⎭⎫⎝⎛-=-. …………………………10分（Ⅲ）证明：由题意得2212m n n n mc c c ma -+=-+n n c c m+=21. 因为211n n n c c c m +=+，所以2110n n n c c c m+-=>.所以数列{}n c 是单调递增数列. ………………………………………………11分 因此要证)(1m n c n ≤<，只须证1<m c . 由2≥m ，则n n n c c m c +=+211<n n n c c c m ++11，即1111n n c c m+->-. …12分因此1122111)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- m m m m 121+=+-->. 所以11m mc m <<+. 故当m n ≤,恒有1<n c . ………………………………………………………14分。
北京市西城区2011届高三第一学期期末考试(数学文)
北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2011.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{1}A x x =≥-，{3}B x x =<，那么集合A B = [来源:学#科#网Z#X#X#K] （A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <-（D ）{3}x x >2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 （A ）lg y x =（B ）cos y x =（C ）||y x =（D ）sin y x =3. 若a b >，则下列不等式正确的是 （A ）11a b< （B ）33a b >（C ）22a b >（D ）a b >4. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是 （A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤（D ）若1a b +<，则a b <5. 设{}n a 是等差数列，若24a =，57a =，则数列{}n a 的前10项和为 （A ）12（B ）60（C ）75（D ）1206. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入实数x 的取值范围是 （A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞7． 如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =BD CD ⊥，将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平 面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 （A ）A C BD '⊥ （B ）90BA C'∠=（C ）A DC '∆是正三角形（D ）四面体A BCD '-的体积为138. 设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 为虚数单位，则22(1i)=+______. 10. 已知1==a b ，12⋅=a b ，则平面向量a 与b 夹角的大小为______. 11.若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为______.12.在ABC ∆中，若3,3a b =，3B 2π∠=，则c =____. 13. 已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2()3sin 22sin f x x x -. （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A均为正方形，90BAC ∠=，D 为BC 中点.（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ； （Ⅱ）求证：11C A B C ⊥.[来源:学科网ZXXK] [来源:学|科|网]17.（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： [来源:Z&xx&]（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率. [来源:学科网]18.（本小题满分13分）分组[来频数 频率 [10,15) 10 0.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30)20.05 合计M1ABCDC 1 A 1B 1已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积.19.（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.[来源:学.科.网Z.X.X.K]20.（本小题满分14分）[来源:Z,xx,]已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1. （Ⅰ） 若1n b n =+，求4a ；（Ⅱ） 若11(2)n n n b b b n +-=≥，且12,(0)b a b b ab ==≠.[来源:学&科&网] （ⅰ）当1,2a b ==时，求数列{}n b 的前3n 项和；（ⅱ）当1a =时，求证：数列}{n a 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（文科） 2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.2[来二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 6011. 412.3 13. (2,0)±30x y ±= 14. ①③④[来源:] 注：13题第一问2分，第二问3分；14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()6f π232sin 36ππ- ………………2分 321241=-⨯=. ………………4分 （Ⅱ）()f x 3sin2cos21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-. ………………8分[来源:]因为[,]62x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分 所以 1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分 所以()f x 的最大值为1 ，最小值为2-. ………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连结1AC ，设1AC 交1AC 于点O ，连结OD . ………………2分 因为11ACC A 为正方形，所以O 为1AC 中点，又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC ∆的中位线，[来源:学科网]所以1//A B OD . ………………4分 因为OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC . ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，11C A CA ⊥ ………………7分因为侧面11ABB A 是正方形，1AB AA ⊥， 且90BAC ∠=， 所以AB ⊥平面11ACC A . 又11//AB A B ，所以11A B ⊥平面11ACC A . ………………9分 又因为1C A ⊂平面11ACC A ，所以111A B C A ⊥. ………………10分 所以111C A A B C ⊥平面. ………………12分 又1B C ⊂平面11A B C ，所以11C A B C ⊥. ………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. ………………2分 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =. ………………3分40.1040m p M ===. ………………4分 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.……………6分 （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ………8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ………………10分AB CDC 1A 1B 1O而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………12分 所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93） ………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得1,2c a b ==， ………………2分又221a b -=，所以21b =，22a =. ………………3分所以椭圆的方程为2212x y +=. ………………4分 （Ⅱ）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，联立2222,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)40k x kx ++=……（*）， ………………6分解得0x =或2412k x k =-+，所以12412kx k=-+， 所以222412(,)1212k k B k k--++，2221(,)1212k P k k -++， ………………8分 因为直线OP 的斜率为1-，所以112k-=-，[来源:学科网ZXXK] 解得12k =（满足（*）式判别式大于零）. ………………10分 O 到直线1:12l y x =+5………………11分 2211(1)AB x y =+-=253………………12分 所以△OAB 的面积为12252335=. ………………13分19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x'=+>， ………………2分(1)213f '=+=.故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. ………………4分[来源:学§科§网](Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ………………5分 ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………6分②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a -+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.………………8分（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <. ………………9分max ()2g x = ………………10分由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) ………………11分当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， ………13分 所以21ln()a >---， 解得31ea <-. ………………14分 [来源:学科网ZXXK]20.（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+=4336410a a b =+=+=. ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）解：因为11n n n b b b +-=（2n ≥），所以，对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， 即数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. ………………5分又数列}{n b 的前6项分别为21,21,1,2,2,1，且这六个数的和为7.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，36123456()7n k S S k b b b b b b k ==+++++=，当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++ 123775k b b b k =+++=+ ， ………………7分 所以，当n 为偶数时，372n S n =；当n 为奇数时，3732n n S +=. ………………8分（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n ∈*N 有6n n b b +=，又数列}{n b 的前6项分别为111,,,1,,b b b b，且这六个数的和为222b b ++.设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1n n c c +-=66666162636465n i n i n i n i n i n i n i n i a a b b b b b b ++++++++++++++-=+++++222b b=++. 所以，数列}{6i n a +均为以222b b++为公差的等差数列. ………………10分 因为0b >时，2220b b ++>，0b <时，22220b b++≤-<， ………………12分所以{6n i a +}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.所以数列}{n a 中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. ………………14分。
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北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文科） 2011.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．[来源:] 1．设全集U R =，A =(){}20x x x -<，{}10B x x =->，则A B I = （A ）(2, 1)-（B ）[1, 2)（C ）(2, 1]-（D ）(1, 2)2．已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为 （A ）012=+-y x （B ）012=++y x （C ）012=--y x （D ）012=-+y x 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（A ）10 （B ）12 （C ）15 (D) 30[来源:学科网ZXXK] [来源:学.科.网]4．若0m n <<，则下列结论正确的是（A ）22m n> （B ） 11()()22m n <（C ）22log log m n > （D ）1122log log m n >5．要得到函数sin(2)4y x π=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移4π单位 （B ）向右平移4π单位 （C ）向右平移8π单位 （D ）向左平移8π单位6．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（A ）若//l α，m αβ=I ，则//l m ；（B ）若//l α，//m α，则//l m ；[来源:学+科+网] （C ）若l α⊥，//l β，则αβ⊥； （D ）若//l α，m l ⊥，则m α⊥．7．设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （A1 （B）12 （C） （D）28．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（A ）有无数条 （B ）有2条（C ）有1条 （D ）不存在[来源:Z,xx,]第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上．[来源:学科网ZXXK]9．已知3cos 5x =，(),2x ππ∈，则tan x = 10．经过点(2, 3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 ．11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图与侧视图 都是边长为2的正三角形，俯视图半径为1的圆，则这个 几何体的体积为 .12. 设x ，y 满足约束条件1,,0,x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 则z x y =+2的最[来源大值为 .ABCD A 1B 1C 1D 1EF正视图 侧视图俯视图13．平面向量a 与b 的夹角为60，(2, 0)=a ，||1=b ，则|2|+a b = .[来源:学.科.网]14．按下列程序框图运算：若5x =，则运算进行 次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x -． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当[0, ]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值．16．（本小题满分13分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ；（Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积． 17．（本小题满分13分）已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x .ABCA 1B 1C 1M N（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间. 18．（本小题满分13分）已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -⋅- ≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.19．（本小题满分14分）已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ）．（Ⅰ）当函数()f x 的图像过点(1, 0)-，且方程()0f x =有且只有一个根，求()f x 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当[]2, 2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若() 0,()() 0,f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 当0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数时，试判断()()F m F n +能否大于0？20．（本小题满分14分）已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）满足11n n n a a b ++=，1214nn nb b a +=-，且点1P 的坐标为(1, 1)-.(Ⅰ)求经过点1P ，2P 的直线l 的方程；(Ⅱ) 已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）在1P ，2P 两点确定的直线l 上，求证：数列1{}na 是等差数列.（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求对于所有n *∈N ，能使不等式12(1)(1)(1)n a a a +++ ≥k 的值.北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试[来源:Z §xx §]数学试卷（文科）参考答案15．（本小题满分13分）[来源:] 解：（Ⅰ）因为11()2cos 222f x x x =--1sin(2)62x π=--， ………… 4分所以22T ππ==，故()f x 的最小正周期为π. …………………… 7分 （Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以52666x πππ--≤≤． ……………………9分[来源:学科网ZXXK]所以当262ππ=-x ，即3x π=时，)(x f 有最大值12. ………………11分 当662ππ-=-x ，即0x =时，)(x f 有最小值1-． ………………13分[来源:学+科+网] 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC又因为CN ⊂平面ABC ， 所以1AA CN ⊥. ………………………………… 1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点，所以CN AB ⊥. …………………………………………………… 2分因为1AA AB A =I ， ……………………………………………………… 3分 所以CN ⊥平面11ABB A ． ……………………………………………………… 4分C 1（Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，所以1//NG BB ，112NG BB =. 又因为1//CM BB ，112CM BB =，所以//CM NG ，CM NG =.所以四边形CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6分所以//CN MG . …………………………………………………………… 7分[来源:学科网]因为CN ⊄平面1AMB ，GM ⊂平面1AMB ， …………………………… 8分 所以//CN 平面1AMB ． ……………………………………………………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM ⊥平面1AB N . …………………………………………… 10分所以11MN M N 11443223B A AB V V --==⨯⨯=. ………………………… 13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =， ……………………………1分所以32()2f x x bx cx =+++.所以2()32f x x bx c '=++. …………………………………………………3分 由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=，知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f -=′. ………………………5分 所以326,12 1.b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=⎧⎨-=⎩解得3b c ==-. …………… 6分故所求的解析式是32()332f x x x x =--+. ………………………………7分 （Ⅱ）因为2()363f x x x '=--， …………………………………………………8分令23630x x --=，即2210x x --=，解得 11x =21x = ……………………………………………10分当1x <1x >()0f x '>， …………………………………11分当11x <<+()0f x '<， …………………………………………12分 故32()332f x x x x =--+在(, 1-∞内是增函数，在(1 1内是减函数，在),21(+∞+内是增函数. …………………………………………………13分 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )MP x y =- ，(3, 0)MN =- ，(1, )PN x y =--. …………………2分由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--，化简得223412x y +=，得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13422=+y x . ………………………6分 （Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-，设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .[来源:Z_xx_]由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=. ………………8分因为N 在椭圆内，所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ ………………………………………………………10分因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(kk k k k k k ++-=+++--+=， …………12分 所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤.所以1k -≤或1k ≤. …………………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为(1)0f -=，所以10a b -+=. ……………………………………1分因为方程()0f x =有且只有一个根，所以240b a ∆=-=.所以24(1)0b b --=. 即2b =，1a =. …………………………………3分所以2()(1)f x x =+. ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=--+[来源:Z 。