必修4平面向量复习题

高一年级数学科 必修四 平面向量一．知识规律1.向量的有关概念：名称 定义向量 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或称模）零向量长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的，记作：0→.单位向量 长度等于1个单位的向量平行向量 方向相同或相反的非零向量，平行向量又叫共线向量，规定：零向量与任一向量是平行向量相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量长度相等且方向相反的向量向量可用字母a,b,c,…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB →例1.下列给出的命题正确的是（ ）A.零向量是唯一没有方向的向量B.平面内的单位向量有且仅有一个C.a →与b →是共线向量，b →与c →是平行向量，则a →与c →是方向相同的向量D.相等的向量必是共线向量 【答案】D 。

例2.如右图，设O 正六边形ABCDEF 的中心，分别写出与→OA 、→OB 、→OC 相等的向量.【答案】→→→==DO CB OA ；→→→==EO DC OB ； . 1..设→a 为单位向量： 若→a 为平面内的某个向量，则练习→→→=a a a ； 若→a 与→0a 平行，则→→→=a a a ；③若→a 与→0a 平行且1=→a ，则→→=a a 。

上述命题中，假命题的个数是 。

【答案】0个 2.平面向量的线性运算（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 设→AB =→a ，→BC =→b ，→a +→b =→AB +→BC =→AC①规定：→0+→a =→a +→0=→a ②向量的加法满足交换律和结合律三角形法则：AB +BC =AC ，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。

（2）四边形法则：已知两个从同一点A 出发的两个向量AC 、AB ，以AC 、A B 为邻边作→→→→===FOED AB OC⇒直线AB ∥直线CD 。

平行四边形ACDB ，则以A 为起点的对角线AD 就是向量AC 、AB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。

（3）向量的减法：向量→a 加上向量→b 的相反向量叫做→a 与→b 的差，记作：→a -→b =→a +（-→b ），求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

简记为：共起点、连终点、方向指向被减向量。

（4）-(-a)=a ；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。

例3.． BA CD DB AC +++等于________．【答案】→0 （5）例4.若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①DA BC CD AB →→→→+=+②AD BC BD AC →→→→+=+;③AB DC BD AC →→→→+=-.其中正确的有（ ）【答案】②③(2)向量数乘运算及其几何意义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 。

它的长度与方向规定如下：①a a λλ=；②当λ>0时，λa 的方向和a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向和a 的方向相反，当λ = 0时，λa =0。

用坐标表示的情况下有：λAB =λ(x 2-x 1,y 2-y 1)=(λx 2-λx 1,λy 2-λy 1) 设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质： (λμ)a = λ(μa ) (λ + μ)a = λa + μa λ(a ±b ) = λa ± λb (－λ)a =－(λa ) = λ(－a )平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行 共线向量定理：如果 a ≠0，那么向量b 与a 共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa 。

总结： 证三点共线:两向量共线且有一个公共点，若BC AB λ=，即AB 与BC 共线且有一个公共点B ，则A 、B 、C 三点共线； 证两直线平行:CD AB λ=⇒AB ∥CDAB 、CD 不重合例5.计算 (1)a4×)3-( (2)a b a b a -)-(2-)+(3(3))+2-3(-)-3+2(c b a c b a【答案】（1）-12a (2)5b (3) -a+5b-2c例6.如图，已知AB AD 3=、BC DE 3=，试判断AC 与AE 是否共线?【答案】共线例7.如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，E 是BC 延长线上的点，且BE=2BC 求，用(1)BA 、BC 表示DE .(2)用CA 、CB 表示DE【答案】BC BA BC AB BE DB DE 2+21-=2+21=+=)1(→→→→→→→→→→→→→→23-21-=2+21+21=2+)+(21=2+21=+=)2(CBCA BC CB AC BCCB AC BC AB BE DB DE 例7.已知向量，→a 与→b 不共线，→→→→→→-=),∈,+=b a d R k b a k c （，如果→→//d c ，那么（ ） A.k=1,且→c 与→d 同向 B.k=1,且→c 与→d 反向 C.k=-1,且→c 与→d 同向 D.k=-1,且→c 与→d 反向 【答案】D.练习2.对于非零向量→a 与→b ，”“→→→0=2+b a 是→a //→b 的（ ) 【答案】A. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 练习3.下列命题正确的是（ ） A.向量a →、b →共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得a b →→=λB.在ABC 中，0=++CA BC ABC.不等式b a b a b a →→→→→→+≤+≤-中两个等号不可能同时成立D.向量a →、b →不共线，则向量a →+b →与向量a →-b →必不共线、【分析】A.0→→≠a B.0与0→不分 C.当0→→=a 或0→→=b 时两等号成立。

所以答案是D.练习4. 【答案】A练习5.设1e 、2e 是啷个不共线向量，已知218-2=e e AB ，213+=e e CB ,21-2=e e CD ;（1）求证：A 、B 、C 三点共线。

（2）若21-3=ke e BF ，且B、D 、F 三点共线，求k 的值。

【分析】解：（1）证明：由已知得：212121→→→4-=)3+(-)-2(=-=e e e e e e CB CD BD ，→→21→2=∴,8-2=BD AB e e AB ,又因为→→BD AB 与有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线。

（2）由（1）知：21→4-=e e BD ，且21→k -3=e e BF ，因为B 、D 、F 三点共线，所以→→=BD BF λ,即，解得k=123.平面向量的基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量→a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使→a =1λ1e +2λ2e .我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

特别注意：①向量的加法和减法是互逆运算②相等向量和平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。

③向量平行和直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线的情况。

④向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

.例8.【分析】基底是不共线的。

A 零向量与任意向量共线，答案B. 例9.【分析】答案为B. ②只有一对；③可能其中一个为零向量例10.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若)∈,(,+=→→→R AF AE AC μλμλ,则=+μλ【分析】自己画图，可解出32=32=μλ，，所以答案为34（2）向量的夹角已知两个非零向量a →和b →，如图3-1，做a OA →→=，b OB →→=，则)180≤≤0(=∠00θθAOB 叫做向量a →和b →的夹角。

①当00=θ时，a →和b →同向②当0180=θ时，a →和b →反向 图3-1③当a →和b →的夹角是90度时，我们说a →与b →垂直，记作：b a →→⊥（2）平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解如右图，分别取x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 和j 作为基底，对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y ，使得j i a y x →→→+=，这样平面内任一向量a →都可由x,y 唯一确定，把有序数对（x,y)叫做向量a →的坐标，记作a →=(x,y)例11 如右图，用基底i ，j 分别表示向量a 、b 、c 、d ，并 求它们的坐标（3）平面向量的坐标运算),(=11→y x a , ),(=22→y x b)+,+(=+2121→→y yx x b a )-,-(=-2121→→y y x x b a这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）j i j i a y x y x →1→1→1→1→+=)+=λλλλ（ )(=11→y x a λλλ，这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

如右图，已知 ),(=11y x A ,),(=22y x B ,)y -y ,-(=)y ,(-)y ,(=-=12121122→→→x xx x OA OB AB一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． （4）平面向量共线的坐标表示),(=11→y x a ，),(=22→y x b 其中，0→→≠b ，a →与b →共线，当且仅当存在实数λ，使b a →→=λ即：),(=),(2211y x y x λ，化简消去λ得：0=-1221y x y x这就是说，，当且仅当0=-1221y x y x 时，向量a →与b →（0→→≠b ）共线例12.已知向量)4,3(=),0,1(=),2,1(=→→→c b a ，若λ为实数，c b a →→→//)+λ（，则λ= 【答案】λ=0.5.例13.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，)31(=),42(=→→，，AC AB ,则=→BD 【答案】（-3，-5）例14. 已知BC CD y x BC AB 且),3-,2-(=),,(=),1,6(=∥DA ，则x+2y 的值为_____ 【答案】0, 例15.已知向量,+=)2,0(=),4,6(=→→→→→b a OC b a λ，O 为坐标原点，若点C 在函数)12sin(=x y π的图像上，则实数λ的值为 【答案】23-.例16.已知A （-2,4),B （3，-1）C(-3，-4).设,=,=,=→→→c b a CA BC AB ，且c CM →→3=，b CN →→2-=。