微积分05-06(1)期中测试试题汇总
交通大学微积分第一学期期中考试试卷及答案
交 通 大 学2010-2011学年第一学期《微积分》期中考试试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________一、填空题（每题2分，共20分）1、已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -是等价无穷小，则a =32-2、设()()1x e ef x x x -=-，则1x =是()f x 的第 一 类间断点.3、当1x →-时,2ax x b -+与1x +为等价无穷小，则a =1-，b = 0 . 4、设()()()()12,f x x x x x n =+++则()'0f =!n5、设232x y x e-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则'0x y ==136、设()()31tx f t y f e π=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，其中f 可导，且()'00f ≠，则0t dy dx == 3 . 7、设21cos x t y t ⎧=+⎨=⎩，则22d y dx =3sin cos 4t t t t -8、设tan y x y =+，则dy =2cot ydx9、()2212x x de e --=)222x x e e -+10、极坐标系下对数螺线r e θ=在点()2,,2r e ππθ⎛⎫= ⎪⎝⎭处的切线的直角坐标方程为2x y e π+=二、单项选择题（每题2分，共30分）1、设()()22,0,,0,2,0,,0,x x x x g x f x x x x x -≤⎧<⎧==⎨⎨+>-≥⎩⎩，则()g f x =⎡⎤⎣⎦ D . (A) 22,0,2,0,x x x x ⎧+<⎨-≥⎩（B ）22,0,2,0,x x x x ⎧-<⎨+≥⎩（C ）22,0,2,0,x x x x ⎧-<⎨-≥⎩.（D ）22,0,2,0,x x x x ⎧+<⎨+≥⎩2、202sinlimtan x x x x→= C . (A) 1，（B ）2, (C) 0,（D ）不存在.3、当0x →时，tan sin x x -与kx 是同阶无穷小，则k = C . (A)1.（B ）2（C ）3.（D ）4. 4、设()sin 3sin 5x x xf x e eπ=-，则当x π→时， D . （A ）()f x 是x π-的等价无穷小， （B ）()f x 是x π-的低阶无穷小， （C ）()f x 是x π-的高阶无穷小，（D ）()f x 是x π-的同阶但非等价的无穷小。
经济数学微积分课程期中模拟考试卷及答案
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。
《经济数学-微积分》课程期中模拟考试卷（A ）答案202 ——202 学年第一学期姓名学号班级题号 一二三四五六总分得分一、 单选题(每小题2分，共计10分)1.1=x 是函数xx f -=11arctan)(的 （ C ） A .连续点. B .可去间断点. C .跳跃间断点. D .无穷间断点.2.若1)0(='f ，则=--→hh f f h 3)()0(lim0（ B ） A . 0. B . 31. C . 3. D . 31-.3.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2;1,1|1|)(2x x x x x f 则在1=x 处函数)(x f （ A ）A . 不连续.B . 连续，但不可导.C . 可导，但导函数不连续.D . 可导，且导函数连续.4.设)(x f y =是由方程0ln =+y xy 确定的函数，则=dxdy（ C ） A . xy ln -. B . 2y -. C . 12+-xy y . D . xy y 12+-.5.设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，若0)(0='x f ，则)(0x f （ D ）A . 是极大值.B .是极小值.C . 是拐点的纵坐标.D .可能是极值也可能不是极值.得分二、 填空题(每小题2分，共计10分)1. =+∞→)sin 1sin(lim xx x x x 1 .2. 设xx f 2)(=，则='-'→x f x f x )0()(lim0 2ln 2 . 3. 设xx f 211)(-=，则=)1()10(f !10210⋅- . 4. 设曲线2x y =的切线与曲线3x y =的切线相互垂直，则曲线2x y =上的点的横坐标=x 361- . 5. 函数x y cos =在23,2[ππ上符合罗尔定理结论中的=ξ π .三、计算题(每小题9分，共计54分)1. ])12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n .解: )12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n211211[21lim ]1211215131311[21lim =+-⋅=+--++-+-⋅=∞→∞→n n n n n .得分 得分2. 已知213)tan )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求20)(lim x x f x →.解:由于3ln )(lim 3ln )(lim 3ln tan )(lim 13)tan )(1ln(lim220000x x f x x x f x x x f x x f x x x x x →→→→===-+=,所以3ln 2)(lim2=→x x f x 。
微积分(II)期中考试试题(A卷)
1．设()=+z f ax by ，其中f 可微，则( )． （A ）∂∂=∂∂z z x y （B ）∂∂=-∂∂z z x y （C ）∂∂=∂∂z z a b x y （D ）∂∂=∂∂z z b a x y2．定积分⎰--1 12d 1x x 的值是（ ）．（A ）4π （B ）2π（C ）1 （D ）π 3．函数()33ln y x z +=在）（1,1处的全微分=z d （ ）． （A ）y x d d + （B ）()y x d d 2+（C ）()y x d d 23+ （D ）()y x d d 3+ 4．下列方程是微分方程的是（ ）． （A ）x y x y y d )(d ln -=（B ）02tan 3sin =+x x y（C ）0232=+-y y （D ）533-+=x x y5．下列广义积分发散的是（ ）． （A ）⎰∞+ 1d xx x （B ）⎰∞+ 12d x x（C ）⎰∞+ 1 2d xx x （D ） 1d x x +∞⎰ 6．设222)ln(yx xx y z --+-=的定义域D 的图形是（ ）．（A ） （B ）（C ） （D ）7．（答题区域：1-10行内）求32e x y x z y+=，求 x z∂∂，yz ∂∂， y x z ∂∂∂2．8．（答题区域：11-20行内）设()y x f z xy cos ,e =，其中f 有一阶连续偏导数，求x z ∂∂，yz∂∂．9．（答题区域：21-30行内）设v u z =，y x u 2+=，y x v -=，求xz∂∂，y z ∂∂．三、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）10．求极限21cos 0d e lim2x t xt x ⎰→． 11．求定积分 e2 1ln d x x x ⎰．12.（答题区域：51-60行内）求定积分 8⎰． 添加1． 220|1|d -⎰x x 添加2 设2 0()12 0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩,,，求2(1)d f x x -⎰．四、解答下列各题（本大题共3个小题，第13小题6分，14、15小题各8分，共22分）13．（答题区域：61-75行内）求微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解．14.求一阶线性微分方程 3)1(12+=+-'x y x y 在初始条件10==x y 下的特解．15. （答题区域：91-105行内）若()f x 在[0,1]上连续，且 122 01()()d 1f x x f t t x=++⎰，求 1()d f x x ⎰及)(x f ．五、应用题（本大题共1个小题，共13分）16．（答题区域：106-120行内）设由曲线2x y =与1=y 所围成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．六、证明题（本大题共1个小题，共5分）17．（答题区域：121-135行内）设)(x f 在],[b a 上连续，证明x x b a f x x f bab ad )(d )(⎰⎰-+=．参考答案一、 单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6． D二、计算下列各题（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）7． 23e 2x xy xz y +=∂∂，)e e (2y y y x y z +=∂∂ y y y y x y x y x z e )1(20)e e (22+=++=∂∂∂ ． 8．)(cos e 21y f y f xzxy ⋅'+'=∂∂=21cos e f y f y xy '+'，)sin (e 21y x f x f yzxy -'+'=∂∂21sin e f y x f x xy '-'= ． ……7分 9．u u vu x zv v ln 1+=∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-)2ln(2)2()(y x y x y x y x y x ， ……3分)1(ln 21-⋅+⋅=∂∂-u u vu y zv v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=-)2ln(2)(2)2()(y x y x y x y x y x ． ……7分 10．xx x t x x xt x 2)sin (e lim d e lim22cos 021 cos 0-⋅-=→→⎰ 2e lim2cos0xx →= 2e=． 11． e 2 1ln d x x x ⎰=)31(d ln 3e 1 x x ⎰⎰-=e 1 23d 311e ln 31x x x x ……4分1e 911e ln 3133x x x -= 913e 23+=． 12.令3t x =，t t x d 3d 2=，2080t x ，8⎰=t tt d 132 0 2⎰+ ……4分 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-202)1ln(23t t t ……6分 =3ln 3． ……7分四、解答下列各题13．微分方程0d )1(d )1(=+--x y y x 的通解. 解：分离变量，得x xy y d 11d 11-=+， ……2分两边积分，得C x y ln )1ln()1ln(+--=+，方程的通解为 C y x =+-)1)(1(． ……6分 14.求一阶线性微分方程 3)1(12+=+-'x y x y 在初始条件10==x y 下的特解. 解：12)(+-=x x p ，3)1()(+=x x q . ……2分 方程通解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰+⎰=⎰+-+--C x x y x x x x d e )1(ed 123d 12 ……3分 []⎰+++=C x x x d )1()1(2 ……5分])1(21[)1(22C x x +++=. ……6分将1|0==x y 代入通解中，得21=C ， ……7分所求特解为：]1)1[()1(2122+++=x x y ． ……8分15. 若()f x 在[0,1]上连续，且 122 01()()d 1f x x f t t x =++⎰，求 1 0()d f x x ⎰及)(x f ．解：设A= 10()d f x x ⎰，则方程化为 2211)(Ax xx f ++=, ……2分 对上式在[0，1]上积分 ，有01)3(arctan 3Ax x A += ,得 8π3=A ， 所以， 228π311)(x xx f ++=． ……8分 五、应用题（本大题共1个小题，共13分）16．设由曲线2x y =与1=y 所围成的平面图形为D ，（1）求D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．解：（1）面积⎰--=112d )1(x x A ……2分11)31(3--=x x ……4分=34. ……6分 （2）体积x x V d )1(π114⎰--= ……3分11)51(π5--=x x ……5分=5π8. ……7分 六、证明题（本大题共1个小题，共5分）17．设)(x f 在],[b a 上连续，证明x x b a f x x f baad )(d )(b ⎰⎰-+=.证明：设x b a t -+=, ……1分 右⎰-=ab t t f )d )(( ……4分⎰=bat t f d )(=左． ……5分。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分综合练习题及参考答案1
综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x 答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B（7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题（1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ． 答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f ．答案：x x x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题（1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e ()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21ex x y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．x e C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分期中考试试题答案
一,求下列极限: （20分） 1, dtte dt e x t x t x ⎰⎰→0220022)(lim 2, 求极限：dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim ，其中)(x f 连续二，求定积分（30分）1．21⎰ 2．0x xdx e e +∞-+⎰ 3．⎰+20cos sin cos πdx xx x 4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x 三，求由方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0所确定的函数y=y(x)的微分dy 。
（10分） 四，求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。
（10分）五，（30分）1）设()f x 在[0,2]a 上连续，证明200()[()(2)]a af x dx f x f a x dx =+-⎰⎰ 2）若f(x)在[0,1]上连续，证明⎰π0)(sin dx x xf =πdx x f ⎰20)(cos π3） 计算20sin 1cos x x dx xπ+⎰1． ()dxte dt e x t x t x ⎰⎰→0220202lim 2220202lim x x x t x xe e dt e ⋅=⎰→20202lim x x t x xe dt e ⎰→= 2222022lim x x xx ex e e +=→2212lim 20=+=→x x 2．dt t f a x x xa a x ⎰-→)(lim)(1)()(lim a af dt t f x xf x a a x =+=⎰→二．1。
210⎰tdt t t t x cos 2cos 2sin 4sin 602⎰=π ⎰=602sin 4πtdt ⎰-=60)2cos 1(2πdt t 602sin 3ππt -=233-=π 2．0x x dx e e +∞-+⎰=dx e e x x 120+=⎰∞+1)(20+=⎰∞+x x e de 0)arctan(∞+=x e 42ππ-=4π= 3．⎰+20cos sin cos πdx x x x ⎰+++-=2cos sin )cos (sin )sin (cos 21πdx x x x x x x ⎰++=20cos sin )cos (sin 21πx x x x d dx ⎰+20121π 4cos sin ln 2120ππ++=x x 4π=4．⎰-=++222cos 1cos ππdx x x x ⎰-+222cos 1ππdx x x +⎰-+222cos 1cos ππdx x x ⎰+=202cos 1sin 2πxx d ⎰-=202sin 2sin 2πx x d x d xx sin )sin 21sin 21(2120-++=⎰π 20sin 2sin 2ln 21πxx -+= 1212ln 21-+=)12ln(2+= 三，解：对原方程⎰x20 t 2dt +⎰x0 dt t 21+ +xy=0两边求微分，得0)(1)2()2(22=+++xy d dx x x d x 有01822=++++xdy ydx dx x dx x 所以所求微分dx xy x x dy +++-=2218四．求抛物线23y x =-与直线2y x =及y 轴所围成在第一象限的平面图形的面积A 及该平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积V 。