16.3.2_二次根式的混合运算1
16.3 二次根式的加减(第2课时)(课件)八年级数学下册(人教版)
他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细
彩带？( 2≈1.414，结果保留整数)
解：镶壁画所用的金色彩带的长为：
4×（ 800+ 450）
=4×（20 2+15 2）
=140 2≈197.96（cm），
因为1.2m=120cm＜197.96cm，
整式乘法法则与整式乘法公式进行计算。运用的乘法公式主要是：平方
差公式与完全平方公式。
(a b)(a b) a 2 b 2 ,(a b) 2 a 2 2ab b 2
练一练
1、某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为 128米，宽为 50
米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部
分），每个长方形花坛的长为 13 + 1 米，宽为 13 − 1 米．
(1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/
1.
3 11
32
3.设实数 3的整数部分为m，小数部分为n，则(2m+n)(2m﹣n)的值是( A )
A．2 3
B．−2 3
C．2 3 − 2
D．2 − 2 3
4.化简( 3 − 2)2002 · ( 3 + 2)2003 的结果为(B )
A．－1
B． 3 + 2
C． 3 − 2
m a n b 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含
根号.
课堂练习
1.计算:
1
2 3
人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
16.3.2-二次根式的混合运算(教师版)
16.3 二次根式(gēnshì)的混合(hùnhé)运算(yùn suàn)教学(jiāo xué)目标(mùbiāo)：1.（知识与技能）：熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算;2.（过程与方法）：经历探索进行二次根式的混合运算的过程逐步形成独立思考、主动探索的习惯；3．（情感、态度与价值观）：培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.教学重点：二次根式混合运算．教学难点：快速准确进行二次根式混合运算.教学过程：一、展示目标：二、学习过程（一）复习回顾：计算：（1）··（2）（3）（二）合作交流1.探究计算：（1）（）×6（2）2.计算：（1）（2）（三）展示反馈计算：（限时8分钟）（1）（2）（3）（4）（-）（-10-7）（四）精讲点拨(diǎn bo)整式的运算法则和乘法(chéngfǎ)公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算.（五）达标(dá biāo)测试：1.计算(jì suàn)：（1）（2）（3）2.在中，与是同类(tónglèi)二次根式的是 .3.若最简二次根式与是同类二次根式，则.4.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是cm.5.已知，则。
6.已知则7.计算：⑴⑵8.已知，求的值。
（六）课堂(kètáng)小结：本节课你学到了那些(nàxiē)知识？（七）作业(zuòyè)：课本(kèběn)P15习题(xítí)第3题（3）（4）、第4题.内容总结（1）16.3 二次根式的混合运算教学目标：1.（知识与技能）：熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算（2）（七）作业：课本P15习题第3题（3）（4）、第4题.。
二次根式的混合运算
注意：有理化因式一般只写最简单的形式，如： x y的有理化因式是 x y.
自主探究
2. 2 3的有理化因式是
;
x y的有理化因式是
总结提高
作业 教材第15页习题16.3第4，6题.
LOGO
9
(2)( a b )( a - b)； a-b
(3)( 3 2)2; 7 4 3
(4) (2 5- 2)2. 22-4 10
二次根式的化简求值
已知a 3 2,b 3 2,求下列式子的值 .
(1)a2b ab2; (2)a2 b2.
注：先化简，后求值
总结提高
课堂小结 这节课你学到了哪些知识？你有什么收获？
;
x 1 x 1的有理化因式是 _________ .
自主探究
1.计算：
(1) 2( 3 5);
6 10
(2)( 80 40) 5; 4 2 2
(3)( 5 3)( 5 2); 11 5 5
(4) ( 6 2)( 6 2). 4
自主探究
2.计算：
(1)(4 7)(4- 7);
类比：怎样计算(a 2b)(2a b)？
（2）怎样计算 3 2 2 3 2 2 ?
回顾：(a b)(a b)
.
（3） 3 2 2 2 呢?
自主探究
结论： 在进行二次根式的混合运算时，我 们曾学过的整式的乘法法则和公式仍然 适用.
自主探究
例3 计算： （1）( 8 3) 6; （2）(4 2 3 6) 2 2.
16.3二次根式的加减二次根式的混合运算(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式的加减法则和混合运算的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在实践活动方面，我发现同学们对于实验操作非常感兴趣，这也让他们对二次根式的理解更加深刻。但在操作过程中，有些同学可能因为手法不熟练而影响了实验结果。为了提高实践活动的效果，我考虑在下次课前进行一次简短的实验技巧培训，让同学们在操作时更加得心应手。
最后，从学生的反馈来看，他们对于二次根式的学习还是充满热情的。但在教学过程中，我也发现了自己需要改进的地方，如在讲解难点时更加耐心、细致，关注每一个学生的掌握情况。同时，我还要在课后及时了解学生的疑问和困惑，以便在下一节课中进行针对性的解答。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的基本概念。二次根式是形如\( \sqrt{a} \)的表达式，其中\( a \)是一个非负实数。它在数学中有着广泛的应用，特别是在几何、物理和工程领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算\( \sqrt{18} + \sqrt{12} \)，通过这个案例，我们将学习如何将不同的二次根式转换为同类项，并进行加减运算。
-处理含有分数和变量的二次根式运算：难点在于如何正确处理分数和变量在二次根式运算中的规则。
-例如：解决\( \frac{1}{4}\sqrt{8x^2} \times \sqrt{2x} \)的问题，强调先简化根号内的表达式，然后进行乘法运算。
16.3.2 二次根式的混合运算-人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
人教版初中数学八年级下册16.3.2 二次根式的混合运算同步练习夯实基础篇一、单选题：1．下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；B、，此选项错误，不符合题意；C、，此选项正确，符合题意；D、，此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．计算：（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将括号内化为最简二次根式，合并，再计算除法即可．【详解】故选B．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．3．化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】分子分母同时乘以即可求解．【详解】解：．故选B．【点睛】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．4．估计的值在（ ）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【答案】B【分析】先根据二次根式的混合计算法则计算原式，然后对所得的结果进行估算即可得到答案．【详解】解：，∵，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，无理数的估算，正确根据二次根式的相关计算法则求出原式的结果是解题的关键．5．与的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．以上都不对【答案】A【分析】根据与的积为1，可得出与互为倒数，再选择即可．【详解】解：，与互为倒数，【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题时要注意观察式子的形式，灵活借助平方差公式进行运算．6．已知，，则的值为（）A．-32B．32C．D．【答案】C【分析】直接将原式变形，结合因式分解、二次根式的混合运算法则计算，进而得出答案．【详解】解：∵，，∴＝ab（a﹣b）＝（4+2）（4﹣2）（4+24+2）＝（16﹣20）×4＝﹣16．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用因式分解是解题关键．7．计算：的结果是（）A．B．6C．D．【答案】C【分析】利用平方差公式及积的乘方的法则对式子进行运算，从而可求解．【详解】解：=====【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．二、填空题：8．计算：＝_____．【答案】【分析】利用二次根式的乘法法则和加减运算法则进行计算即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．9．计算：______．【答案】##【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式以及二次根式的混合运算法则．10．化简：_____．【答案】【分析】先找到分母得有理化因式，再利用分式的性质进行化简．【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化计算是解题关键．11．比较大小_____．【分析】利用作差法进行比较即可，如a-b＞0，则a＞b．【详解】解：作差法可得：，∵与0的大小并不能直接观察得出，∴利用平方法比较与的大小，∵，又∵，∴，则，∴即＜0，∴，得出：，故答案为：．【点睛】本题考查无理数的大小比较，可以利用近似值、作差法、分母有理化、求倒数等方法进行比较，选择合适的方法，灵活计算是解题的关键．12．已知，，则的值为_________．【答案】【分析】先把二次根式进行化简，然后把，，代入计算，即可得到答案.【详解】解：=，∵，，∴原式=；故答案为：.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则进行解题.13．已知，，则ab＝_____；a2+b2＝_____．【答案】 1 14【分析】先求出a+b、ab，再利用平方差公式、完全平方公式计算即可．【详解】解：∵，，∴a+b＝2+2﹣＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1．∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2＝14．故答案为：1，14．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键．三、解答题：14．计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成相应任务．……第一步……第二步……第三步任务一：填空：以上步骤中，从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________________；任务二：请写出正确的计算过程；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】一；运用完全平方公式错误，去括号错误；；注意二次根式的化简要彻底（答案不唯一，合理即可）【分析】直接利用完全平方公式将原式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：任务一：根据题意可得第一步错误，错误的原因是运用完全平方公式错误，去括号错误；故答案为：一；运用完全平方公式错误，去括号错误；任务二：；任务三：除上述错误外，二次根式的化简要彻底．【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．15．计算：(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；（2）首先利用平方差公式以及完全平方公式化简求出即可；（3）首先运算乘法和化简，以及进行零次幂的运算，最后再进行合并，即可求解；（4）首先运算乘法和化简，再进行合并，即可求解；（5）首先绝对值运算，负指数幂运算，利用平方差公式进行化简，再进行合并，即可求解；（6）首先运算乘法和化简，再进行合并，最后进行除法运算，即可求解．【详解】（1）解：原式==；（2）解：原式==；（3）解：原式===；（4）解：原式===；（5）解：原式====；（6）解：原式===．【点睛】此题考查实数的运算，二次根式的混合运算，负指数幂、零次幂的运算，正确应用乘法公式是解题关键．16．先化简．再求代数式的值，其中【答案】，【分析】先运用分式加法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可化简，然后把x的值代入计算即可求解．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查分式化简求值，二次根式化简，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．17．已知，求的值．【答案】【分析】先化简，然后计算的值，再根据完全平方公式变形求得代数式的值．【详解】解：∵∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确的计算是解题的关键．能力提升篇一、单选题：1．已知，那么的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意xy=3，分两种情况讨论，当x和y都大于0时，当x和y都小于0时，然后分别化简计算即可.【详解】解：当x＞0，y＞0时，=2=；当x＜0，y＜0时，=-2=-；综上所述本题答案应为：C.【点睛】二次根式的化简求值是本题的考点，分类讨论是解题的关键.2．对于任意的正数m，n定义运算※为：，计算的结果为（ ）A．2﹣4B．3C．2D．20【答案】B【分析】根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．3．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】欲求S空白部分=S矩形HL FG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由题意得S正方形ABCH=HC2=16cm2，SLMEF=LM2=LF2=12cm2，故可求HC，LM，LF，进而解决此题．正方形【详解】解：如图：由题意知：S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，∴HC=4cm，LM=LF=cm．∴S空白部分=S矩形HL FG+S矩形MCEF=HL•LF+MC•ME=HL•LF+MC•LF=（HL+MC）•LF=（HC-LM）•LF==cm2．故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．二、填空题：4．设实数的整数部分为a，小数部分为b，则（2a+b）（2a﹣b）＝_____．【答案】##【分析】根据题意先估算的大小，求得的值，然后代入代数式进行计算即可求解．【详解】解：∵实数的整数部分为a，小数部分为b，，∴；（2a+b）（2a﹣b）＝．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，平方差公式，求得的值是解题的关键．5．观察下列三个等式：①；②；③；针对上述各等式反映的规律，写出用n（n为正整数且n≥2）表示的等式________________．【答案】【分析】利用数字之间的变化规律：，，…进而得出等式的规律，求解即可．【详解】解：可化为：，可化为：，可化为：，∴用n（n为正整数且n≥2）表示以上各等式所反映的规律为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了数字变化的规律性问题，分式的规律性问题，二次根式的应用等知识，根据已知数据得出数字之间的关系是解题的关键．三、解答题：6．（1）在边长为cm的正方形的一角剪去一个边长为cm的小正方形，如图1，求图中阴影部分的面积；（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根据小明的思路求图1中阴影部分的面积【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据阴影部分面积=边长为的正方形面积-边长为的正方形面积求解即可；（2）分别求出图2中长方形的长和宽，然后利用长方形面积公式求解即可．【详解】解：（1）由题意得；（2）由题意得，图2中长方形的长为：，图2中长方形的宽为：，∴；【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，完全平方公式和平方差公式，正确得到阴影部分的面积与图1与图2中图形的关系是解题的关键．7．比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论．【答案】（1）＞，＞，=；（2）．两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【分析】（1）分别计算各部分，再比较大小；（2）根据题意找到规律，并用式子表示．【详解】解：（1），，∴＞，，，∴＞，，，∴=，故答案为：＞，＞，=；（2）由题意可得：设两个实数a、b，则．通过观察上述关系式发现，等式的左边都是两个数的平方和的形式，右边是前面两数不平方乘积的2倍，通过几个例子发现两个数的平方的和大于等于这两个数乘积的2倍．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和混合运算，找到题中的规律，进行总结和描述是解题的关键．8．已知且，求的值．【答案】【分析】根据完全平方公式可得，然后由题意及平方差公式可进行求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式及因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解题的关键．。
16.3.2二次根式的混合运算_课件.ppt
2.计算：
1
2 3 1
2
2 3 2 2 3
3 1
3 1
3 1
2 3 2 3 2 3 2 3
6 2 2
2 3 1
2
44 3 3
74 3
提高题
比较根式的大小.要求不用计算器计算。
6 14和 7 13
2
3 2
2
5 2 6 1 5 2 6 9
想一想：还有其他方法吗？
已知a 3 2 , b 3 2， 求a ab b 的值.
2 2
解二：a ab b
2 2
2 2
a 2ab b ab 2 (a b) ab
3 2 3 2 3 2 3 2
练习：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2） （ 3 3 3）
2 2 3
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
2
1
25 30 3 18 43 30 3
2 1 如何计算 ? 2 1
从例4的第（1）小题的 结果受到启发，把分子 与分母都乘以 ( 2 1) 就可以使分母变成1
2 1 ( 2 1)( 2 1) 2 1 ( 2 1)( 2 1)
人教版八年级数学下册教案16.3.2二次根式的混合运算
2.教学难点
-难点内容：在混合运算中正确应用二次根式的乘除法则，并简化表达式。
-难点一：在乘除混合运算中，正确识别并应用乘除法则，特别是当根号内含有变量或未知数时。
-举例：计算√(x^2) ÷ √x，学生需要理解x必须为正数，得出答案|x|。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的混合运算》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算长方形对角线或面积的情况？”（如地图上的距离估算）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式混合运算的奥秘。
2.能够解决二次根式与其他类型运算（如加减、乘方等）混合的问题，提高解题能力。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过掌握二次根式的乘除法则，使学生能够运用逻辑推理进行混合运算，提高解题过程的条理性和准确性。
2.提升数学运算能力：让学生在解决二次根式混合运算问题时，熟练运用乘法、除法法则，增强数学运算的速度和准确性。
人教版八年级数学下册教案16.3.2二次根式的混合运算
一、教学内容
人教版八年级数学下册教案16.3.2二次根式的混合运算。本节内容主要包括以下两个方面：
1.掌握二次根式的乘法、除法法则，能够熟练地进行二次根式的乘除运算。
-乘法法则：√a × √b = √(a × b)（a ≥ 0，b ≥ 0）
-除法法则：√a ÷ √b = √(a ÷ b)（a ≥ 0，b > 0）
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
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化简
x y ( m n) x y
练习 x 2 xy y x y x y x y
例题3 如图,在面积为 2a 的正方 形 ABCD 中,截得直角三角形 ABE 的面积为 3 a ,求 BE的长. 3 解 因为正方形 ABCD A 面积为 2a, 所以 AB 2a.
1 3 BE 2a a 2 3 6a BE 3
5x 6 3 3 5x.
复习 计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
2 x 1 9x 6 2x ; 2 3 4 x 3 2x x . 3 3 2
五、二次根式的混合运算 例1、计算
(1)( 48 50 ) 6
(2)( 2 6 7 2 ) (7 2 2 6 ) (3)(3 5 4 2 ) (2 5 3 2 )
2 1 3 40 2 0.1; 5
2 x 1 9x 6 2x ; 2 3 4 x 3 2x x . 3 3 2
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
例2、计算
(1)(3 2 4 5 )
2
(2)( 2 3 5 )( 2 3 5 )
(3)( 2 3 5 ) (2 3 5 )
2 2
(4)(3 10 )
2005
(3 10 )
2005
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
2
（ 7 13 ） 20+2 91
又 ∵ 6 14
2
0
7 13
7 13
0
6 14
1 1 已知a ,b , 2 1 2 1 2 2 求a ab b 的值
1已知x
2 3的值
3，求代数式 x 2 x 2 x 2
x y 与 x y 互为有理化因式.
想一想
a b
的有理化因式为
a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
D
2a
B
3 a 3
?
E
C
1 例题3 已知 x ， 3 2 2
x 6 x 2 求 值. x3 先将 x 分母
2
有理化. 例题4 解不等式:
2x 3 3x.
复习
2
1 x 6x 2 1.已知x ,求 的值； x 3 3 2 2 1 x x 1 1 2.已知x ，求 2 2 的值； 2 1 x x x 2x 1 x 1 1 - 2a a 2 a 2 2a 1 3.已知a ，求 的值. 2 a 1 a a 52 1 1 2 2 4.已知a ,b ，求a b 的值. 32 32
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
再见
复习 计算
2
2 2 2 已知 a 3 2 5, b 3 2 5, 求 a b ab 的值
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
(1) (3) (4) (5) 2 3
2
3
(2)2
(1) 2 3 (2)2 3
a 1 x 1 27
(3) a 1
(4) x 1
2
(6)5 2 3 5
(5) 3 (6)5 2 3 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一. 分母有理化常规基本法
练习
1 1 2 3 2 2 1 3 1
二.分解约简法
3
mn m n ; m n
例题2 计算:
10 4 ; 1 5 5 1
先将每一项 分母有理化.
1 1 . 2 2 2 x 1 x x 1 x
10 例：计算（1） 5
4 5 1
(2)
1 x 1 x
2
1 x 1 x
2
2
1 x 6x 2 (3)已知x ,求 的值 x 3 3 2 2
1 计算（1） 3(1 15 ) 3 5
1 当a 时, （3） 2 3
1 1 2 （2） 3 2 2 1 3 1
1-2a+a a 2a 1 求 的值 2 a 1 a a
2 2
提高题
比较根式的大小.
6 14和 7 13
解 :∵ √ 84 √ 84 +14=20+2 （ 6 14） 6+2
16.3.2二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
5x 6 3 3 5x.