2013中考数学PPT第六单元圆

(1)求证：BD＝CD； (2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径 的圆上？并说明理由．
图28－2
第28讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明 ；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB ＝DE＝DC.
解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC， ∴BD＝CD.∴BD＝CD. (2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD. ∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE， ∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE. 由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC. ∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
第28讲┃ 归类示例 ► 类型之七 反证法 命题角度： 1．反例的作用，利用反例可以证明一个命题是错误的； 2．反证法的含义． 例7 [2012²包头] 已知下列命题： ①若a≤0，则|a|＝－a； ②若ma2>na2，则m>n； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④垂直于弦的直径平分弦． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( B ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第28讲 圆的有关性质 第29讲 直线和圆的位置关系 第30讲 第31讲 圆与圆的位置关系 与圆有关的计算
第28讲┃圆的有关性
第28讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 圆的有关概O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做 圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径
圆周角 定义 圆周角 定理 推论1 推论2 推论3
第28讲┃ 考点聚焦 考点7 圆内接多边形
圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点 都在同一个圆上，这个多边 形叫做圆内接多边形．这个 圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形 的性质
圆内接四边形的______ 对角互补
第28讲┃ 考点聚焦 考点9 反证法
第28讲┃ 归类示例
解：(1)证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠D＝90°. 又∵∠CAB＝∠DPC， ∴△PCD∽△ABC. (2)如图，当点P运动到PC为直径时，△PCD≌△ABC. 理由如下：∵PC为直径， ∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合， ∴PC＝AB，CD＝BC， 故△PCD≌△ABC. (3) ∵AC＝0.5AB，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°. ∴∠CPB＝∠CAB＝60°. ∵PC⊥AB， ∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°， ∴△PBC为等边三角形． 又CD⊥PB， ∴∠BCD＝30°.
图28－1
第28讲┃ 归类示例
[解析] 过圆心O作弦AB的垂线，垂足为E，易证它也与弦 CD垂直，设垂足为F，由垂径定理知AE＝BE，CF＝DF，根 据勾股定理可求OE，OF的长，进而可求出AB和CD的距离 ．
第28讲┃ 归类示例
解：过点O作OE⊥AB，交CD于F，连接OA、OC， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD.在Rt△OAE中， 1 ∵OA＝17cm，AE＝BE＝ AB＝15(cm)， 2 ∴OE＝ 172－152＝8(cm)． 同理可求OF＝ 172－82＝15(cm)． ∵圆心O位于AB，CD的上方， ∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm)，即AB和CD的距离是7 cm.
图28－3
第28讲┃ 归类示例
[解析] 先根据弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°， 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得 出∠BOD＝2∠BCD＝2³40°＝80°.
第28讲┃ 归类示例
圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、 弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的 角(圆心角和圆周角)的转化．
第28讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 确定圆的条件 命题角度： 1. 确定圆的圆心、半径； 2. 三角形的外接圆圆心的性质． 例1 [2012·资阳] 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三 10或8 角形的外接圆半径是________．
第28讲┃ 归类示例
[解析] 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜 边的一半，分两种情况： ①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为 8； ②当两条直角边长分别为16和12时，则直角三角形的斜边长＝ 162＋122＝20， 因此这个三角形的外接圆半径为10. 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.
定义
不直接从命题的已知得出结论，而是假 设命题的结论不成立，由此经过推理得 出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确， 从而得到原命题成立，这种方法叫做反 证法
步骤
(1)假设命题的结论不正确，即提出与 命题结论相反的假设 (2)从假设的结论出发，推出矛盾 (3)由矛盾的结果说明假设不成立，从 而肯定原命题的结论正确
图28－6
第28讲┃ 归类示例
解： (1)作图如下图．(2)作图如下图；互相垂 直平分
第28讲┃ 归类示例
中考需要掌握的尺规作图部分有如下的要求： ①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段， 作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂 直平分线．②利用基本作图作三角形：已知三边作 三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及 其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三 角形．③探索如何过一点、两点和不在同一直线上 的三点作圆．④了解尺规作图的步骤，对于尺规作 图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)． 我们在掌握这些方法的基础上，还应该会解一些新 颖的作图题，进一步培养形象思维能力．
第28讲┃ 归类示例
圆心角、弧、弦之间关系巧记．同圆或等圆中，有 些关系要搞清：等弧对的弦相等，圆心角相等对弧等 ，等弦所对圆心角相等，反之亦成立．
第28讲┃ 归类示例 ► 类型之四 圆周角定理及推论 命题角度： 1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数； 2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算． 例4 [2012²湘潭] 如图28－3，在⊙O中，弦 AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( D ) A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°
垂径定 理
推论
总结
第28讲┃ 考点聚焦 考点5 圆心角、弧、弦之间的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 弧 弦 的______相等，所对的______相等
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑ 两条弧或两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量也分别相 等
第28讲┃ 考点聚焦 考点6 圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 圆周角 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ________，都等于该弧所对的圆心角的 一半 ________ 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 相等 ______ 直角 半圆(或直径)所对的圆周角是______；90° 直径 的圆周角所对的弦是______ 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 直角 那么这个三角形是________三角形
第28讲┃ 归类示例 ► 类型之五 与圆有关的开放性问题 命题角度： 1. 给定一个圆，自由探索结论并说明理由； 2. 给定一个圆，添加条件并说明理由． 例5 [2012²湘潭] 如图28－4，在⊙O上位于直 径AB的异侧有定点C和动点P，AC＝0.5AB，点P在半圆 弧AB上运动(不与A、B两点重合)，过点C作直线PB的 垂线CD交PB于D点．
图28－5
第28讲┃ 归类示例
解：如下图所示，连结MN ，作出MN的垂直 平分线 ，交MN于E，以E为圆心，EM的长为半径 画圆与BD交于点P(标出点P)．如图所示，点P就 是所求作的点．
第28讲┃ 归类示例
变式题 [2010²泰州]如图28－6，已知△ABC，利用 直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求 写作法)，并根据要求填空： (1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D； (2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.由以 互相垂直平分 上作图可得：线段EF与线段BD的关系为____________．
第28讲┃ 归类示例 ► 类型之六 尺规作图 命题角度： 能正确地按要求进行尺规作图 例6 [2012²鞍山]如图28－5，某社区有一矩形广 场ABCD，在边AB上的M点和边BC上的N点分别有一棵景观 树，为了进一步美化环境，社区欲在BD上(点B除外)选 一点P再种一棵景观树，使得∠MPN＝90°，请在图中利 用尺规作图画出点P的位置(要求：不写已知、求证、作 法和结论，保留作图痕迹)． [解析] 先作出MN的中点 ，再以MN为直径作圆与 BD相交于点P.
第28讲┃ 归类示例
(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由 两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要 作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂 直平分线交于同一点．
(2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．
第28讲┃ 归类示例 ► 类型之二 垂径定理及其推论
命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用． 例2 [2012²南通]如图28－1，⊙O的半径为17 cm， 弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB， CD的上方，求AB和CD的距离．
图28－4
第28讲┃ 归类示例
(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC； (2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在 图②中画出△PCD，并说明理由； (3)如图③，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度 数．
第28讲┃ 归类示例
[解析] (1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是 直角，即可得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧 或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠P.(2)由 △PCD∽△ABC，可知当PC＝AB时，△PCD≌△ABC，利用相 似比等于1的相似三角形全等；(3)由∠ACB＝90°，AC＝ 0.5AB，可求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等 得∠P＝∠A＝60°，通过证△PCB为等边三角形，由 CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数