2013年余姚中学自主招生数学模拟卷(一)
【推荐下载】浙江省余姚三中2013届高三月考数学试题
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的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 显示解析 3.在由正数组成的等比数列{an}中，a1+a2=1，a3+a4=4，则 a4+a5=( ) A.6B.8C.10D.12 显示解析 4.已知| a |=2| b |≠0，且关于 x 的方程 x2+| a |x+ a
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=(m，n)， b =(p，q)，令 a * b =mq-np.给出以下四个命题：(1)若 a 与 b 共线，则 a *
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b =0;(2) a * b = b * a ;(3)对任意的λ∈R，有(λ a )*
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• b =0 有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围是( ) A.[0，π 6 ]B.[π 3 ，π]C.[π
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3 ，2π 3 ]D.[π 6 ，π] 显示解析 5.若将一个真命题中的平面换成直线、直线换成平面后仍是真命题，则该 命题称为可换命题下列四个命题，其中是可换命题的是( ) ①垂直于同一平面的两直线平行; ②垂直于同一平面的两平面平行; ③平行于同一直线的两直线平行; ④平行于同一平面的两直线平行. A.①②B.①④C.①③D.③④ 显示解析 6.定义平面向量之间的一种运算*如下：对任意的 a
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11. 一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯 形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 1 显示解析 12.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在 [0，1]上的最大值和最小值之和为 a，则 a 的值为 1 2 . 显示解析 13.设 Sn 为等比数列{an} 的前 n 项和，已知 3S3=a4-2，3S2=a3-2，则公 比 q=4. 显示解析 14.满足不等式 x2-(a+1)x+a 小于 0 的所有整数解之和为 27，则实数 a 的取值范围是(7，8]. 显示解析 15.在边长为 1 的正三角形 ABC 中， BD =1 2
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷及答案
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ B ） A.71 B. 71-C.21 D. 21-解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。
连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A −PB −C 的平面角。
不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。
在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。
2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ A）A. ]31,31[-B. ]21,21[-C. ]31,41[- D. [−3，3] 解：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。
由对称性排除C ，从而只有A 正确。
一般地，对k ∈R ，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。
由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。
3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。
2013余姚中学自主招生数学试卷
2013余姚中学自主招生数学试卷一、择选题（每小题4分，共32分）1．已知a 是实数，下列选项正确的是（ ）A．a = B ．32a a ≥C．2a = D=时，1a =±2．如图BG ，BF ，CE 切⊙O 于G 、F 、D ，那么，下列结论正确的是（ ） ①BG+BF=BC+CE+BE ， ②BD ·BH=BF ·BG ， ③△BDE ∽△BFHA ．3B ．2C ．1D ．03．某班有54名学生，其中会打篮球的有36人，会打排球的有40人，这两种球都不会打的人数比都会打的人数41还少1人，问既会打篮球又会打排球的人数是（ ）A ．26 B.27 C.28 D.294．如图所示，在正三棱柱ABC -111C B A 中，已知AB=BC=CA=2，A 1A =4，一只蚂蚁从A 点出发绕三棱柱侧面两圈到达1A ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．132B ．1022+C ．134D ．1045．已知，BD 为△ABC 的中线，E 为BD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，若BC 长为7，则BF 的长为（ ）A ．37B ．47C ．57D ．676．若c bx ax y ++=2是关于x 的二次函数，其中a 是整数，并有不等式)1(2422+≤++≤x c bx ax x 在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为（ ）A ．122++x xB ．222++x x C.2221x x ++ D. 2222x x ++7．函数 y=2()()x a x b --（0a b <<），则函数的图象大致为（ ）C ．8．如图所示，在Rt △ABC 中，∠B=90º，△ABC 的内切圆⊙O 切AC 于D ，过点D 作BC 的垂线交BC 于E ，设AD=a ，CD=b ，则△DEC 的面积为（ ）A ．232()a b a b +B ．2()a b a b +C ． 22()a b a b +D ． 32()a b a b +二、填空题（每小题4分，共32分）9．已知一个一元两次方程为x ²-7x+1=0，设方程的两个根为为1,2x x ， 则12x x -= ．10．若某抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，已a 、b 为正整数，c 为整数，2b a >且当11≤≤-x 时，有24≤≤-y 成立，则抛物线的解析式为 ．11．当（x+20≥时，x 的取值范围是 ．12．如图所示，两个直角三角形叠放在一起，已知AB=AC=4，AE=3，CD=2，则FD 的长度为 ．13．如图所示，在圆形转盘中，∠AOB=∠BOC=90º，拨动指针，指针指向区域a 的概率为1P ；在矩形转盘中，CD=1，BD=2，拨动指针，指针指向a 区域的概率为2P ，则12P P + = ．14．某学校组织高二年级全体学生外出旅游，租了若干辆大巴车。
2013年余姚中学自主招生数学模拟卷(一)
2013年余姚中学自主招生考试数学模拟卷（一）（考试时间90分钟，总分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每一小题给出四个选项中，有且仅有一个选项是符合题目要求．)1．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）.A 、91216B 、31216C 、13216D 、192162．不等式0322>++-x x 的解为（ ）A ．31<<-xB ．13-<>x x 或C ．13<<-xD ．31-<>x x 或3．如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝41AB ， 连结EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC ︰CD 为……………（ ）A 、2︰1B 、3︰2C 、3︰1D 、5︰24, 函数y=22621x x x x -++有（ ）。
A 、最大值97 B 、最大值97- C 、最小值97 D 、最小值97- 5．一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时， y 的最小值和最大值分别为l 和9， 则k+b 的值为（ ）A 、9B 、1C 、1或9D 、-56．若c b a +＝a c b +＝bc a +＝m ，则关于x 的一次函数y mx m =+必经过第（ ）象限 A 、一、二 B 、二、三 C 、三、四 D 、一、四7．如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n －1A n 都是等腰直角三角形，点P 1，P 2，P 3，…，P n 都在函数xy 4=(x > 0)的图象上，斜边OA 1、A 1A 2、A 2A 3、…、A n －1A n 都在x 轴上．4A 点的横坐标为（ ） A 、8 B 、10 C 、12 D 、168.如图，等腰三角形ABC 中，AC=BC=10，AB=12．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ．则sin ∠E 的值为（ ）． A 、725 B 、925 C 、1425D 、2425 9．将一正五边形纸片沿其对称轴对折．旋转放置， 做成科学方舟模型．如图所示，该正五边形的边心距OB 长为10，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，则12AC AB +的值为（ ） A 、5 B 、10 C 、25 D 、5010．在直角坐标系中，O 为原点，点A 坐标为（1，2），则直线31y x =+ 沿射线OA 后的解析式为（）。
余姚中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题及答案
浙江省余姚中学2012-2013学年高一下学期期中一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1.在等比数列{}n a 中，已知3231891===q a a n ，，，则n 为 （ ） A ．2 B ．3C ．4D ．52.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 （ ）A ．1 B53C ．- 2D 33.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若B b A a cos cos =，则ABC ∆的形 状为 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰或直角三角形4.已知数列1111{},,1(2)4n n n a a a n a -==-≥，则4a = （ ） A ．45B ．14C ．14-D ．155.数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9 （ ） A ．98 B ．99C ．96D ．976.在∆ABC中，若222()sin a c b B +-=，则角B 的值为 （ ）A . 63ππ或 B . 3π C . 6π D. 233ππ或7.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前8项和nS 等于 （ ）A ．72B ． 64C ．100D ．1208.在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a = （ ）A ．2ln n n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n +D ． 1ln n n ++9.设y x ,满足约束条件组360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为24，则46a b+的最小值为 （ ）A .83 B . 276 C . 4 D. 256332220122012201310{},(201220111)1)sin ,1)320111)cos,6((2012(()n n a n S a a a a S ππ--=-=++-.等差数列的前项和则为已知等于A . 2013B . 4026C . 0 D.二．填空题 （本大题共7小题，每小题4分，共28分．请将答案填在相对应空格．） 11.若0x >，则2x x+的最小值为 . 12.已知数列}{n a 的前n 项的和n S 满足n S n =+)1(log 2,则n a = ．13.若关于x 的不等式2122x x mx -+>-的解集为 {|02}x x <<，则m = .14.设1010101111112212221A =++++++-，则A 与1的大小关系是_____________.15.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于_______________.16.把正偶数数列{2}n 的数按上小下大，左小右大的原则排列 成如图“三角形”所示的数表，设ij a *(,)i j ∈N 是位于这个三 角形数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数，若mn a =2014,则m n += .17.在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，7cos b aC a b+=，则tan C tan C+=tanA tanB______三．解答题（共5题，第18、19 、20小题14分，第21、22小题15分，共72分） 18.等比数列{}n a 中, 252,128a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令4log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和。
浙江余姚第五中学13-14学年高一上摸底考试-数学
余姚市第五中学2013-2014学年高一上学期摸底考试数学试题有一个是正确的. 1. 下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）的对称轴为（直线x= — 1 6.若函数y=]—「.的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则 m的取值范围是（） A . m v-2B . m v 0C . m >- 2D . m> 0 7.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上.另一个顶点在纸.选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分）下面每题给出的四个选项中，只A . 1, 2, 45, 112. 若 a+b=3, a — b=7,则 ab=(A . — 10B . — 40 3. 下面简单几何体的左视图是(B . 4, 5, 9C . 4, 6, 8D . 5,)C . 10D . 40)B. m C4. 为支援雅安灾区，小慧准备通过爱心热线捐款，他只记得号码的前 2这三个数字组成，但具体顺序忘记了.他第一次就拨通电话的概率是5位，后三位由5, 1,A . 1B . 1D . 15.若一次函数 y=ax+b （a 老）的图象与 x 轴的交点坐标为（-22, 0),则抛物线 y=ax +bx直线x=1B .直线x= — 2C .直线x= — 4ZE面带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（A. 3cmB. 6cmC. :「cmD. I*.：: -cm8如图，OO的半径OD丄弦AB于点C,连结AO并延长交O O于点E,连结EC.若AB=8 ,CD=2，贝U EC的长为（）A. 2 —B. 8C. 2 不 D . 2 —9. 如图，正方形 ABCD 的边长为4, P 为正方形边上一动点，沿 A T D ^B ^A 的路径匀速移动，设P 点经过的路径长为 x , △ APD 的面积是y ，则下列图象能大致反映10. 对于点 A (X 1, y i ) , B (X 2, y 2),定义一种运算：A ® B= ( X 1+X 2)+ (y i +y 2).例如， A (- 5, 4), B (2，- 3), A ® B= (- 5+2) + (4 - 3) =- 2•若互不重合的四点 C , D , E , F ,满足 C ® D=D ® E=E ® F=F ® D ,贝U C , D , E , F 四点()A . 在同一条直线上B .在同一条抛物线上C . 在同一反比例函数图象上D .是同一个正方形的四个顶点二、填空题(本大题共 7小题，每小题4分，共28分)11. ------------------------- 二次根式 ___________________ 中，x 的取值范围是 .12. _____________________________ 因式分解：ab 2- a= .13.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有 35头，下有94 足，问鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有23只，兔有12只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有 _________________ 只, 兔有 ___________ 只.14•如图，在O O 中，过直径AB 延长线上的点C 作O O 的一条切线，切点为D .若AC=7 ,) 函数关系的是(AB=4，贝U sinC的值为15.如图，在Rt △ ABC 中，/ A=Rt Z, / ABC则厶BDC的面积是的平分线BD交AC于点D, AD=3 , BC=10 ,16•将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是______________ ft-?：第三為乍-丸■七列…・M-H13$.1521 28師二行■591420£1 2 4S1926—7r IS策五行111724 1623篇切17•任何实数a,可用［a］表示不超过a的最大整数，如［4］=4，［二］=1 •现对72进行如下操作：72心［.［.,］=8〉.：—［；］=2丸二.’［.］=1，这样对72只需进行3次操作后变为1, 类似的，①对81只需进行______________ 此操作后变为1;②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是__________ •三、解答题(本题有5小题，第18〜20题每题14分，第21、22题每题15分，共72分)218•当x满足条件G+l<3z- 3 时，求出方程x - 2x - 4=0的根.U(X-4) <4(X-4)L匕J19. 如图，在△ ABC中，AB=AC，/ BAC=54 °以AB为直径的O O分别交AC, BC于点D, E，过点B作O O的切线，交AC的延长线于点F.1求证:BE=CE ;2求/ CBF的度数；(3 )若AB=6，求小的长.920. —个不透明的袋中装有 5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同. （1 ）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是 黄球的概率不小于 4，问至少取出了多少个黑球？921•为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购 A , B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数•下表提供了部分采购数据.（1 ）设A 产品的采购数量为 x （件），采购单价为y i （元/件），求y 1与x 的关系式；（2）经商家与厂家协商，采购A产品的数量不少于B产品数量的11，且A产品采购单价不低于1200元.求该商家共有几种进货方案;（3）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价售出A, B两种产品，且全部售完.在（2）的条件下，求采购A种产品多少件时总利润最大，并求最大利润.922.抛物线y (x - 3) (x+1 )与x轴交于A, B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C, 点D为顶点.(1)求点B及点D的坐标.(2)连结BD , CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E .①若线段BD上一点P,使/ DCP= / BDE，求点P的坐标.②若抛物线上一点M ,作MN丄CD，交直线CD于点N，使/ CMN= / BDE，求点M的坐标.2013年余姚五中高一新生入学测试卷答案一.选择题（本题有10个小题，每小题 5分，共50分）下面每题给出的四个选项中，只 有一个是正确的.123 4 5 6 7S 9 10cABCDA DDBA、填空题 （本大题共7小题，每小题4分，共28分）x>31 区a(d-l)(i+l)13、2211 14. 27—15^1516、851?>3 255、解答题 （本题有 5小题,第18〜20题每题14分，第21、 22题每题15 分・共? /、72分）解方程 x :-2x-4-0 可得 Xi-1-^* x :=l -后*/2<V5<3s /.3<1-75<4,符合题意 /.x=l+V5- .... ..... ..... 4’19、解答：解：(1)连接AE , •/ AB 是O O 直径，•••/ AEB=90 ° 即 AE 丄 BC ,•/ AB=AC ,• BE=CE . .................................... 4'(2)•••/ BAC=54 ° AB=AC ，•/ ABC=63 ° •/ BF 是O O 切线，•/ ABF=90 °•••/ CBF= / ABF -Z ABC=27(3)连接OD , •/ OA=OD , Z BAC=54 ° AOD=72 °18^解答：解*由"1(z - 4)<4 (x- 4)则 2<x<4,•/ AB=6 ,••• 0A=3 ,•••弧AD的长是广厂”--=卜…T - ................... 14'180 r20、解答；（1）T一个不透胡的袋中爰有5个黄13个黒球和22个红琳二摸出一个球摸至債球的概率为.一I—=-, .................. T5+13+22 6（2）设取走x个黒球，则放丸x个黄球，由题意,得-5+^>-，解得’丘旦，5+13+22 9 3答’至少取走了9个黒球. ................... 14-2k解答：⑴ V, ^-20x+1500（0 <jc<20r jc^J整数）（不写取值范II扣1分）（2）根据题意可得'4分x>—(20-x)9-20x4-1500^1200 £15分解得U<x<15X为整数:* x可取的值为>1 tnaii 4,15 二该商家共有弗进货方案（3）解令总利润为.......... ………g 分则W=3D J T-54D X+12000=30(x-9)3 + 9570va = 30 >0二当x>90t，即随舶增大而增大12分14分也弋=10650答：采购A产品15件时总利润最尢最犬利润为10650元.解法二：根据题意可得B产品的采购单价可表示为:讨2 - -10（20 -x） 1300 = 10x 1100则A、B两种产品的每件利润可分别表示为：1760 - y i =20x 260 ..............................1700「y 2= -10x 600则当20x 26^ -10x 600时，A 产品的利润高于B 产品利润,11 _x _15.当x =15时，总利润最高 ....................... 9分此时总利润为(20 X 15+260)X 15+ (-10 X 15+600)X 5=10650 ........................ 10 分 答：略.解法三：列举法（过程2分，5个全算对2分，有部分错误1分，结果给出对应的 x 的值且最大利润正确各1分）x11 12 13 14 15 总利润（元）96909840100501032010650答：略.（其他解法酌情给分）22、解答：(1)v 抛物线y= (x -3) (x+1)与x 轴交于A , B 两点(点A 在点B 左侧), •••当 y=0 时，(x - 3) (x+1 ) =0, 解得x=3或-1,••点 B 的坐标为(3, 0).■/ y= (x - 3) (x+1 ) =x 2 - 2x - 3= (x - 1) 2 - 4,•• •对称轴为直线 x=1, •点E 的坐标为（1, 0）.连接BC ,过点C 作CH 丄DE 于H ,贝U H 点坐标为（1,- 3）,34即x 34时, 3A 产品越多，总利润越高•顶点D•- C 点坐标为（0，- 3）.••• CH=DH=1 , •••/ CDH= / BCO= / BCH=45 °•CD= -, CB=3匚，△ BCD为直角三角形.分别延长PC、DC,与x轴相交于点Q, R.•••/ BDE= / DCP= / QCR ,/ CDB= / CDE+ / BDE=45 ° / DCP ,/ QCO= / RCO+ / QCR=45 ° / DCP,•••/ CDB= / QCO,•••△ BCD QOC ,•—严|i=，OQ CB•OQ=3OC=9，即Q (- 9, 0).•直线CQ的解析式为y= - x - 3,直线BD的解析式为y=2x - 6.由方程组j 1 ，解得f _9 .y=2x - 68'•••点P的坐标为（9，7②（I）当点M在对称轴右侧时.若点N在射线CD上，如备用图1,延长MN交y轴于点F,过点M作MG丄y轴于点G .•••△ MCN s\ DBE ,•••「］=」=,m DE•MN=2CN .设CN=a，贝U MN=2a .•••/ CDE= / DCF=45 °•△ CNF , △ MGF均为等腰直角三角形,•NF=CN=a , CF=匚a,•MF=MN+NF=3a ,•MG=FG= ~a,•CG=FG - FC= ,a,•M（一了—3+ -a）.~ ~2代入抛物线y (x- 3) (x+1),解得玄十典，二M(，一2『；备用图2若点N在射线DC上，如备用图2, MN交y轴于点F,过点M作MG丄y轴于点G. •••/ CMN= / BDE，/ CNM= / BED=90 °MCN DBE ,•••'：「=，m DE••• MN=2CN .设CN=a，贝V MN=2a .•••/ CDE=45 °•△ CNF , △ MGF均为等腰直角三角形，•NF=CN=a , CF= .：C a,•MF=MN - NF=a,MG=FG= . ：■ ：■、a,T--CG=FG+FC= >a,•M（-.j :a,- 3+：；..&）.55<K C M N d N B D E A 4r:-l\M C N Y 5J刮詳替®w 潼m M ——^K」ssd N K CV门 43J ■.•亦 M m N m -酣H回岂：曲黑礙梦甘广—圄常0一匕-。
数学文卷·2013届浙江省宁波市余姚中学等十校高三3月联考(2013.03)扫描版
2013年宁波市高三“十校”联考数学（文科）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B A D B BC A C B C二、填空题（11）20 （12）（22，）（13）30 （14）4025（15）1 （16）34（17） ①②③ 三、解答题 18.解：（1）sin 2sin C B =即2c b =， （2分）又ABC ∆中，222cos 2b c a A bc +-=，得2221524b a b-= （5分）解得：ab（7分）（2）115sin sin (0,),(0,)(,)2266B C B πππ=∈∴∈⋃ (9分)23()cos(2)2cos cos221)1326f B B B B B B ππ=++=-+++（12分）所以值域为55(1,)(1)22⋃ （14分）19.解：（1）121112323()5311a a a a d a d +=++=+=，32624a a a =+-，即1112(2)54a d a d a d +=+++-，得2d =，11a =， (5分)1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=-.(7分)⑵2111(1)1(1)222n S na n n d n n n n =+-=⨯+-⨯= (9分)2211111111()1(1)12(2)22n n b S n n n n n n n +=====--+-+++，(11分)11111111111(...)2132435112n T n n n n =-+-+-++-+--++111113()212124n n =+--<++ *()n N ∈. (14分)20、（1）解：//,AD AEDE BC DE AD DE BD AB ACλ==⇒⇒⊥⊥，ADB ∴∠为二面角A DE B --平面角，2ADB π∠=。
（2分）,,AD BCD BE BCD AD BE ∴⊥⊂∴⊥Q 面又面 （4分）又当12λ=时，1,1,,2BD BC BD DE BC BDE DBC DE BD ===∴∆∆:即,EBD DCB BE DC ∴∠=∠∴⊥ （6分）,,BE ADC BE ABE ABE ADC∴⊥⊂∴⊥面又面面面（7分）（2）连结BE，过点D作DH BE⊥于H，连结AH过点D作DO AH⊥于O。
2013高中自主招生考试选拔试题(含答案)
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌赢得比赛的概率为 （得4分）
解(115、（本小题满分10分）
解：解：（1）集合 不是好的集合， 是好的集合。（每个判断正确得2分）
（2）集合 、 、 、 等都可以举。（每举出一个得3分）
16、（本小题满分10分）
证明： ，且 为 三等分点， 为 中点
我们观察操作，将某次操作前的三个数记为 ．因为 对称，不妨设操作 ．则操作后的三个数为 ， ， ．不难发现
也就是说，操作前后平方和不改变，所以经过有限此操作后，三个数的平方和为10不为2014．（得4分）
A．20分钟Ｂ．22分钟
Ｃ．24分钟D．26分钟
5.二次函数 的图象如何移动就得到 的图象（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。
6．下列名人中：①比尔 盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）
13．如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是．
三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。
14．（本小题满分8分）【田忌赛马】
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的下马. 田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情况下：
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2013年余姚中学自主招生考试数学模拟卷（一）姓名_________（考试时间90分钟，总分120分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出四个选项中，有且仅有一个选项是符合题目要求．)1．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）. A 、91216 B 、31216 C 、13216 D 、192162．不等式0322>++-x x 的解为（ ） A ．31<<-xB ．13-<>x x 或C ．13<<-xD ．31-<>x x 或3．如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝41AB ， 连结EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC ︰CD 为……………（ ） A 、2︰1 B 、3︰2 C 、3︰1 D 、5︰24, 函数22621x xy x x -=++有（ ）。
A 、最大值97 B 、最大值97- C 、最小值97 D 、最小值97- 5．一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时， y 的最小值和最大值分别为l 和9， 则k ＋b 的值为（ ） A 、9 B 、1 C 、1或9 D 、-5 6．若c b a +＝a c b +＝bc a +＝m ，则关于x 的一次函数y mx m =+必经过第（ ）象限 A 、一、二 B 、二、三 C 、三、四 D 、一、四7．如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n －1A n 都是等腰直角三角形，点P 1，P 2，P 3，…，P n 都在函数)0x (x4y >=的图象上，斜边OA 1、A 1A 2、A 2A 3、…、A n －1A n 都在x 轴上．4A 点的横坐标为（ ） A 、8 B 、10 C 、12 D 、168.如图，等腰三角形ABC 中，AC=BC=10，AB=12．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ．则sin ∠E 的值为（ ）．A 、725 B 、925 C 、1425D 、24259．将一正五边形纸片沿其对称轴对折．旋转放置，做成科学方舟模型．如图所示，该正五边形的边心距OB 长为10，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离， 则12AC AB +的值为（ ） A 、5 B 、10 C 、25 D 、5010．在直角坐标系中，O 为原点，点A 坐标为（1，2），则直线31y x =+ 沿射线OA 后的解析式为（）。
A 、3y x =B 、3y x =C 、31yx =- D 、3y x =11、在△ABC 中，∠A ＝0120，BC ＝6，若△ABC 的内切圆半径为r ，则r 的最大值为（ ） A 、43- B 、23C 、324-D 、336- 12、已知函数)0x (2x )x (f 2>+=，则)2005(f )1003(f )1002(f N +++= 的整数部分为（ ） A 、1506500 B 、1509514 C 、4010 D 、3013 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)13、抛物线221y x x =--关于点（2，3）对称的解析式为 。
14、如图，.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M 为斜边AB 上一动点，过M 作MD ⊥AC,过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为______.15、如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝2BC ＝2，DE ＝DB,则DB ＝ .16、抛物线2(21)1y x a x a =-++-与x 轴的两个交点分别位于点（1，0）的两旁，则a 的取值范围为______。
17、如图，水平地面有一个面积为120πcm 2的灰色扇形OAB ，其中OA 的长度为12cm ，且OA 与地面垂直。
若在没有滑动的情况下，将图最左边的扇形向右滚动至点A再一次接触地面时，2则O 点移动的路径长为_____。
18、若A ，B 两点是抛物线10x 3x y 2--=与X 轴交点（A 左B 右），抛物线上一点P 的横坐标为4，在抛物线AP 段（不包括A ，P 点）上存在一点M ，使得△MAP 的面积最大，点M 的坐标为 。
三、解答题(本大题共5小题，共60分)19、（本题10分）已知二次函数c bx ax y 2++=的图像经过点（－1，2），开口向下，与x 轴交点的横坐标分别为21x ,x ，如果1x 0,1x 221<<-<<-,请问下列结论中，哪些是正确的？（1）0abc >；（2）0c b 2a 4<+-；（3）0b 2a <-；（4）ac 4a 8b 2>+。
20、（本题10分） 有一列数123,,,,n a a a a ，满足下列条件：10a =，211a a =+，3211,,1n n a a a a -=+=+.求证：123,,,,n a a a a 这n 个数的算术平均数不小于12-.21、（本题12分）已知点P 是抛物线2y x =上一点，过点M （0，2M ，（1）过点P 作⊙M 的两条切线1l 、2l ，若1l ⊥2l ，求点P 的坐标；（2）若过点Q(2,4)的直线l 与抛物线2y x =只有一个公共点时，求出点M 与直线的距离.22、（本题14分）如图，O 是△ABC 的外心，D 、E 、F 分别在线段BC 、CA 、AB 上，使得DE ⊥CO ，DF ⊥BO ，设K 是△AFE 的外心。
证明：DK ⊥BC 。
23、（本题12分）求所有使z1y 1x 1,xyz ,z y x ++++均为整数的正有理数组)z y x )(z ,y ,x (≤≤。
2013年余姚中学自主招生考试数学模拟卷（一）参考答案一、选择题：作A M ⊥BC 于点M ，连结ID 、IE 、IF ，IA 。
易得AE ＝r 33，AI ＝r 332， AM 3r )CA BC AB (21S ABC =++=Δ， 故336r r r 332ID AI r )r 932(AM -≤⇒+=+≤+=，故选C 。
12、解：注意到：0x 2x x )x (f 2>-+=-， ∴x1x x 2x2x 2x 2x x )x (f 22=+<++=-+=-，于是x 1x 2x 02<-+<，由上知200510031002N +++> ，且+-++-+=+++-)100321003()100221002()200510031002(N 22)200522005(2-++1100241002998200511003110021=+<+++<， 因此，N 的整数部分为1509514200510031002=+++ ，故选B 。
二、填空题：13、261y x x =-+- 14、512 15、2216、1a -> 17、π22 18、)12,1(- 三、解答题(本大题共5小题，共52分)19、解： a-b+c=2 ，f(-2)=4a-2b+c<0，4a-2(a+c-2)+c<0，2a-c+4<02a<c-4<-2，a<-1，b=a+c-2 ，b2+8a-4ac. =(a+c-2)^-4a(c-2) =a^+2a(c-2)+(c-2)^)-4a(c-2) =a^-2a(c-2)+(c-2)^ =(a-c+2)^2 -2〈x1<-1,0<x2<1. 抛物线的对称轴-1<-b/2a<0抛物线的开口向下：a<0 ，0>b>2a ，a+c-2>2aa-c+2<0 ，所以(a-c+2)^2＞0 ，即：b ＾2+8a-4ac ＞0 ，b ＾2+8a ＞4ac a-b+c=2；（1）;4a-2b+c ＜0；（2）;a+b+c ＜0。
（3）（1）与（2）得2a-c ＜-4；（4）;（1）与（3）得a+c<1.（5） （4）与（5）得a ＜-119. 提示：已知式两边平方分别相加解：a1=0，a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1，a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1，a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2， a5=-|a4+4|=-|-2+4|=-2，…，所以，n 是奇数时，an=-(n-1)/ 2 ，n 是偶数时，an=-n/ 2 ， a2012=-2012 /2 =-1006． 故选B ．20、解：考虑以z ,y ,x 为根的多项式)z t )(y t )(x t ()t (f ---=xyz t )zx yz xy (t )z y x (t 23++++++-=。
注意到zx yz xy )z1y 1x 1(xyz ++=++为整数，所以)t (f 是首一的整系数多项式，又其根均为有理数，其根的分母为首项系数的约数，故其根为整数，即z ,y ,x 均为整数。
设k z1y 1x 1=++，因为z y x ≤≤，所以3x 1k z 1y 1x 1x 3≤⇒≥=++≥。
（1）当1x =时，z1y 1+为整数，若1y =，则只能是1z =，得)1,1,1()z ,y ,x (=； 若2y =，由z 3z y x +=++为整数，知z 为整数，故2z =， 所以)2,2,1()z ,y ,x (=；若3y ≥，则3131z 1y 1+≤+，矛盾。
（2）当2x =时，2121121k z 1y 1y 2=-≥-=+≥4y ≤⇒。
若2y =，只能是1z =与2y z =≥矛盾； 若3y =，则6z =，所以)6,3,2()z ,y ,x (=； 若4y =，则4z =，所以)4,4,2()z ,y ,x (=。
（3）当3x =时，3y 3231131k z 1y 1y 2≤⇒=-≥-=+≥，又3x y =≥，则3z ,3y ==，故)3,3,3()z ,y ,x (=。
综上，)3,3,3(),4,4,2(),6,3,2(),2,2,1(),1,1,1()z ,y ,x (=。
（本题10.20.21、证明：过点C 作△ABC 的外接圆⊙O 的切线CH 。
则CH ⊥CO ，∴D E ∥CH 。
从而，∠CDE ＝∠BCG ＝∠BAC ， 所以，A 、B 、D 、E 四点共圆， 同理，C 、D 、F 、A 四点共圆， 故∠CDE ＝∠BCG ＝∠FDB ，又K 是△AFE 的外心，∴∠EDF ＝0180－2∠FAE ＝0180－∠FKE ， 即∠ED F ＋∠FKE ＝0180，从而，E 、D 、F 、K 四点共圆， 故∠EDK ＝∠EFK ＝∠KEF ＝∠KDF ，又由∠CDE ＝∠FDB ，从而，DK ⊥BC 。