1.2.1集合之间的关系
高中数学第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.2.1交集与并集bb高一数学
.
解析:由题意得A={x|x>a},B={x|x>2},
因为A∪B=B,所以A⊆B.
在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,
则实数a必须在2的右边或与2重合,所以a≥2.
答案:a≥2
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5.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m=
解析:由于A∩B={2,3},则3∈B,又B={2,m,4},则m=3.
事实上有:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
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一
二
三
3.填写下表:
交集的运算性质
A∩B=B∩A
A∩A=A
A∩⌀=⌀∩A=⌀
如果 A⊆B,则 A∩B=A
并集的运算性质
A∪B=B∪A
A∪A=A
A∪⌀=⌀∪A=A
如果 A⊆B,则 A∪B=B
3.做一做:已知集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N等于(
A.{0}
B.{1}
C.{0,1,2}
D.{0,1}
解析:按照交集的定义求解即可.
M∩N={x|-2≤x<2}∩{0,1,2}={0,1}.
故选D.
答案:D
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)
一
二
三
二、并集
【问题思考】
1.集合A∪B中的元素个数如何确定?
提示:(1)当两个集合无公共元素时,A∪B的元素个数为这两个集
合元素个数之和;
(2)当两个集合有公共元素时,根据集合元素的互异性,同时属于A
和B的公共元素,在并集中只列举一次,所以A∪B的元素个数为两个
1.2.1 集合之间的关系1
1.2.1 集合之间的关系教材知识检索考点知识清单1.子集(1)定义：如果 ；那么集合A 叫做集合B 集合的子集。
(2)符号： ，读作： 。
2.真子集(1)定义：如．果集合A 是集合B 的子集，并且 那么集合A 叫做集合B 的真子集． (2>符号： ，读作： ． 3. 集合的相等(1)集合相等的定义：一般地，如果集合A 的 都是集合B 的元素，反过来，集合B 的 也都是集合强的元素，那么就说集合A 等于集合B ，记作____．(2)推论：如果 ，又 ，则A=B 反之．如果A=B ，则____且____． 4．韦恩图韦恩(Venn)图：通常用 表示一个集合，这个图形通常叫做韦恩图. 5．两个重要规定(1)空集是 的子集．(2)空集是 的真子集． 6．传递性根据子集、真子集的定义可以推知：(1)对于集合4、B 、C ，如果A ⊆ B ，B ⊆C ，则____．(2)对于集合A 、B 、C ，如果A ≠⊂B ，B ≠⊂C ，则 .要点核心解读1．准确理解子集、真子集的概念(1)空集是任何非空集合的真子集，即∅≠⊂A （A 是非空集合）； (2)任何集合都是它本身的 子集，即;A A ⊆(3)子集、真子集都有传递性，即若,,C B B A ⊆⊆则;C A ⊆⋅若A B B,≠⊂A ≠⊂则.C A ≠⊂2．集合相等的概念课本中是用B A ⊆“且A B ⊆则B A =”来定义集合相等的．其实，A 与B 非空且元素完全相同或∅==B A 时，B A =都成立．课本中的定义实际上给出了一种证明两个集合相等的方法，即欲证,B A =只需证B A ⊆与A B ⊆都成立． 3．符号，，“⊆∈ ≠⊂” 的区分要注意区分，与“⊆∈⊆与≠⊂”“∈”表示元素与集合之间的从属关系，而“⊆”表示集合之间的包含关系，“⊆”与≠⊂均表示集合间的包含关系，但后者是前者“≠”情形时的包含关系。
4．“元素个数”与“子集个数”之间的关系 (1)列下表．①若},{a A =则其子集可以是},{,a ∅子集个数为2；②若},,{b a A =则其子集可以是},,{},{},{,b a b a ∅子集个数为4；③若},,,{c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ∅},,{},,{c a b a },,,{},,{c b a c b 子集个数为8；④若},,,,{d c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ∅},,{},{b a d },,{},,{da c a },,{},,{dbc b },,,{},,{c b ad c },,,{d b a },,,{},,,{d c b d c a },,,,{d c b a 子集个数为16.所以表格中依次填2、4、8、16. 综上所述，，集合中的元素个数每增加1个，其子集的个数变为原来的2倍， 其对应关系为： 元素个数 子集的数目1 221=2 21222=⨯3 32222=⨯4 43222=⨯(2)由(1)可以猜想：若集合中有n 个元素，其子集的个数应为n2个，其真子集的个数应为)12(-n 个．典例分类剖析考点1 求集合的子集或真子集[例1]已知集合M 满足},5,4,3,2,1{}3,2{⊆⊆M 求集合M ． [解析]，(1)当M 中舍有两个元素时，M 为};3,2{(2) 当M 中含有三个元紊时，M 为};5,3,2{},4,3,2{},1,3,2{(3)当M 中合有四个元素时 M 为},5,1,3,2{},4,1,3,2{};5,4,3,2{ (4)当M 中含有五个元素时：M 为}.5,4,1,3,2{所以满足条M 件集合M 为},1,3,2{},3,2{},4,3,2{},5,3,2{},4,1,3,2{},5,4,3,2{},5,1,3,2{},5,4,1,3,2{ 集合M 的个数为8．[点拨】 对于求集合的子集问题，一定要注意有两个集合比较特殊，即∅和集合本身．因此解决这类问题时.(1)要注意对符号h ⊆≠⊂的辨析．(2)合理使用分类讨论的思想，按集合元素的个数多少分类写出母题迁移 1．满足条件-⊆⊆=+22|{}01|{x x M x x }01=的M 为考点2 集合关系的判定[例2] 已知集合},,1|{2N a a x x M ∈+==集合==y y P |{},,222N b b b ∈++试问M 与P 相等吗？[解析] 设,P y ∈则1)12222++=++=b b b y （,,1,N a N b N b ∈∈+∴∈ 又 .,M p M y ⊆∈∴故 .1,1,0M x a ∈∴==时当而,,1)1(2222N b b b b y ∈++=++=,0≥∴b 即.2≥y,1P ∉∴故M 不是P 的子集．综上所述，.P M =/[点拨] 解答本题时，首先观察两个集合中函数式的结构特点．关键是要“变”（或“凑”）形式，即由”“222++b b 向+2a ”1的形式变化，再由Nb N a ∈∈,进行判断．母题迁移2．（2010年武汉调考题）已知集合{},)12(91A Z k k x x ∈+==},,9194|{z k k x xB ∈±==则集合A 、B 之间的关系为( )．A A .B ≠⊂ B B .A ≠⊂ B AC =. B AD =/. 考点3 集合相等问题[例3] 设集合,},,,{},,,1{2B A ab a a B b a A ===则a= =b , [解析] 由集合的相等关系，且均有元素a ，故有⎩⎨⎧==ab b a ,12或⎩⎨⎧==,,12a b ab 且.1,1=/=/b a .0,1=-=∴b a[答案]-10[点拨] (l ）两个集合的元素相 同.(2)注意集合内元素的互异性，为避免出错，常代回检验．母题迁移 3．已知三元素集合=-=B y x xy x A },,,{},|,|,0{y x 且,B A =求x 与y 的值，考点4 利用集合关系，求字母参数或取值范围[例4] 设},01|{},0158|{2=-==+-=ax x B x x x A 若,A B ⊆求实数a 组成的集合． [解析] ,A B ⊆即B 是A 的子集，只需求出A ，即可分类讨论解决． 由于,},5,3{A B A ⊆=(1)若;0,=∅=a B 则 (2)若,∅=/B 则,0=/a 这时有31,5131===a a a 即或或⋅=51a综上所述，由实数a 组成的集合为⋅}31,51,0{[点拨] 要解决本题，首先要搞清楚集合A 的元素是什么，然后根据,A B ⊆求a 的值．特别要注意讨论B 为⋅∅的情况，在A B ⊆中，含有∅=B 这种情况，解题时需注意，防止遗漏．在集会这一单元中含有丰富的分类讨论的内容，要增强分类讨论的意识，掌握分类的方法．母题迁移 4.(1)若集合 ==-+=B x x x A },06|{2},01|{=+mx x 且,A B ≠⊂求m 的值． (2)设集合+++==+=x a x x B x x x A )1(2|{},04|{22}.,012R a a ∈=-若,A B ⊆求实数a 的值．自主评价反馈考点知识清单1．(1)集合A 中任何一个元素都是集合B 的元素B A ⊆)2( A 包含于B2．(l)存在元素B x ∈且A x ∉B A ≠⊂)2(A 真包含于B3．(1)任何一个元素任何一个元素B A =B A ⊆)2( A B ⊆ B A ⊂ A B ⊂4．封闭图形5．(1)任何集合 (2)任何非空集合C A ⊂)1.(6 C A ≠⊂)2(母题迁移}1{}1,1{}1{.1或或或--∅2．C.0,,0.3A B A B ∈∴=∈∴ 集合A 为三元素集，,xy x =/∴.0=/∴x 又,0,,0=/∴∈∈y B y B 从而⋅==-y x y x ,0 这时，},|,|,0{},0,,{2x x B x x A ⋅==|,|2x x =∴则0=x （舍去）或1=x （舍去）或.1-=x经验证：1,1-=-=y x 是本题的解．4．(1)},2,3{}06|{2-==-+=x x x A自主评价反馈,A B ≠⊂当∅=B 时，0=m 适合题意；当∅=/B 时，方程01=+mx 的解为,1mx -= 则31-=-m 或,21=-m 31=∴m 或⋅-=21m综上可知，所求m 的值为⋅-2131,0R A B ⊆)2(可分为A B A B B =≠⊂∅=,,三种情况，而=A }.4,0{-当B A =时，},4,0{-=B 即 40-==x x 与是方程01)1(222=-+++a x a x 的两根，求得.1=a 当∅=B 时，方程01)1(222=-+++ a x a x 无解，由判别式.10)1(4)1(422-<⇒<--+=∆a a a当,A B ≠⊂且∅=/B 时．}0{=B 或},4{-=B 即方程01)1(222=-+++a x a x 有两个相等的实数根． 此时.10)1(4)1(422-=⇒=--+=∆a a a}0{=∴B 满足条件．综上所述，所求实数a 的取值为.11=-≤Ra a优化分层测试学业水平测试1. 在下列所给的五个关系式：①};0{≠⊂∅,1,2{}2,1,2{=-②}2-};2,1{}1{;∈③};3{)}3,3{(=④}{∅⑤{}012=++=x x x 中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个 D.3个2.若集合},1,{},,3,1{2x B x A ==且,A B ⊆则满足条件的实数x 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43.若集合},21|{<<=x x A 集合},0|{2>=x x B 则A B ．4.若集合},0|{},2,1{2=++==b ax x x B A 若,B A =则=a =b .5.判定下列集合之间的关系，用适当的符号表示它们的关系． (1){}{x x b z n n x z x =∈=∈=,,2A 是偶数}； (x x A |{)2=是平行四边形}，x x B |{=是正方形}； (3){}{};,,,22R x x y R y B R y x y R x A ∈=∈=∈-=∈(4){x x A =是奇数}，}.,14|{z n n x R x B ∈±=∈=6. 设集合{x x A =是三角形},{x x B =是锐角三角形},{x x c =是正三角形},指出A 、B 、C 三者之间的关系，并用韦恩图表示.高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．下列各式中，正确的个数是( )．};0{=∅① };0{⊆∅② };0{∈∅③ };0{0=④ };0{0∈⑤ };3,2,1{}1{∈⋅⑥ };3,2,1{}2,1{⊆⑦ }.,{},{b a b a ⊆⑧1.A2.B3.C4.D2．设集合,)12(|{},,)12(1{ππ-==∈+==k x x N z k k x x M },z k ∈则M 、N 之间的关系为( )．N M A ≠⊂. N M B ⊇. N M C ⊆. N M D =.3．已知集合},2,1{=P 那么满足P Q ⊆的集合Q 的个数是( )．4.A 3.B 2.C 1.D4．（2010年江西南昌调研测试题）集合A S },5,4,3,2,1,0{=是S 的一个子集，当A x ∈时，若A x ∉-1 且,1A x ∉+则称X 为A 的一个“孤立元素”，那么 S 中无“孤立元素”的含有4个元素的子集个数是( )．A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 5．（2007年全国高考题）设,,R b a ∈集合=+},,1{a b a },,,0{b ab则=-a b ( )． 1.A 1.-B 2.C 2.-D6．（2010年天津高考题）设=∈<-=B R x a x x A },,1|||{},,2|||{R x b x x ∈>-若,B A ⊆则实数a,b必满足( )．3||.≤+b a A 3||.≥+b a B 3||.≤-b a C 3||.≥-b a D7．已知a 为不等于零的实数，那么集合=M },01)1(2|{2R x x a x x ∈=++-的子集的个数为( )．A ．1B ．2C ．4D ．1或2或 48．（2008年四川高考题）集合A A },1,0,1{-=的子集中含有元素O 的子集共有( )． A ．2个 B.4个 C.6个 D.8个 二、填空题（5分x4=20分）9．设},123|),{(},23|),{(,=--=-=-=∈x y y x B x y y x A R y x 、则A 、B 的关系是 10.已知集合=∈+==⊂C z k k x x B B A },,214|{,},,418|{z k k x x ∈+=那么集合A 与C 的关系为11．设},0|{},21|{<-=<<=a x x B x x A 若B A ≠⊂则a 的取值范围是 12.已知集合},12,3,1{--=m A 集合},,3{2m B =若,A B ⊆则实数m= 三、解答题（10分×4 =40分）13．设数集},,1{},,2,1{2a a B a A -==若,B A ⊇求实数a 的值．14.已知集合},112|{.},43.|{4+≤≤-=≤≤-=m x m x B x x 且,A B ⊂求实数m 的取值范围．15．已知集合++-==+-=x m x x B x x x A )1(|{},023|{22}.0=m (1)若,A B ≠⊂求m 的值组成的集合P ； (2)若,A B ⊂求m 的值组成的集合Q ．16.已知集合|{},03|{2R x Q b x x R x P ∈==+-∈=}.0)43()1(22=-++x x x (1)若,∅=P 是否存在集合M ，使得?Q M P ⊆≠⊂求出这样的集合M;(2)P 是否能成为Q 的一个子集？若能，求出b 的取值或取值范围；若不能，说明理由．。
集合与集合之间的关系
A＝B
等 合 A 的元素，那么就说集
合 A 等于集合 B
图形语言 (Venn 图)
栏目 导引
第一章 集 合
3．性质 (1)规定：空集是__任__意__一__个__集__合___的子集，也就是说，对任意 集合 A，都有∅⊆A． (2)任何一个集合 A 都是它本身的__子__集__，即 A⊆A． (3)如果 A⊆B，B⊆C，则_A_⊆__C____． (4)如果 A B，B C，则__A___C___． (5)若 A⊆B，B⊆A，则 A＝B；反之，若 A＝B，则 A⊆B 且 B⊆A．
栏目 导引
第一章 集 合
已知集合 A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1 ＝0}，B A，求 m 的值． 解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}． 因为 B A，所以 B＝{－3}或 B＝{2}或 B＝∅． 当 B＝{－3}时，由 m·(－3)＋1＝0，得 m＝13． 当 B＝{2}时，由 m·2＋1＝0，得 m＝－12． 当 B＝∅时，m＝0． 综上所述，m＝13或 m＝－12或 m＝0．
栏目 导引
第一章 集 合
4．集合关系与其特征性质之间的关系 我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性 质之间的关系；或用集合特征性质之间的关系，判断集合之 间的关系．
栏目 导引
第一章 集 合
1．已知集合 M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合 M 与 N 之间关系的是( ) A．M<N B．M∈N C．N⊆M D．M N 答案：D
(1)当 A⊆B 时，则 A＝B 或 A B．
(2)判断两个集合间的关系：①用列举法表示两个集合再判断； ②分类讨论． (3)解数集问题学会运用数轴表示集合． (4)集合与集合间的关系可用 Venn 图直观表示．
1.2(1)集合之间的关系
作 A B
B
A
子集的性质
（1）规定：空集是任意集合的子集；
（2）任意集合是其身的子集；
(3) 若A B, B C, 则A C
例题讲解 例1 写出{0,1,2}的所有子集,并 指出其中哪些是它的真子集．
例题讲解
例2.确定整数x, y, 使2 x, x y 7,4
课堂小结
1．子集,真子集的概念与性质；
ห้องสมุดไป่ตู้
2. 集合的相等;
记作
B（或B A） 也说集合A是集合B的子集．
A
定 义（相等）
一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的任何一个元素都是 集合B的元素,同时集合B中的任何 一个元素都是集合A的元素,则称集 合A等于集合B,记作
A=B 若A B且 B A, 则A=B;
定 义(真子集)
对于两个集合A与B,如果A B, 并且B中至少有一个元素不属于A, 则称集合A是集合B的真子集．记
例3. 设A={x,x2,xy}, B={1,x,y}, 且 A=B，求实数x,y的值．
例题讲解
例4.已知A x | x x 6 0 B x | ax 1 0
2
且B A, 求实数a的值.
规定：空集是任意集合的子集； 空集是任意非空集合的真子集；
例题讲解
例5.已知A x | 3 x 4 B x | 2m 1 x m 1 且B A, 求实数m的取值范围 .
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有更好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
【人教B版】2013-2014学年高中数学必修一：1.2.1 集合之间的关系 教案
A．3个B. 4个C. 5个D. 8个
2.已知集合M满足 写出集合M.
题型三有关两个集合相等的问题
例3设A={x, x , xy},B={1，x, y},且A=B,求实数x, y的值。
题型四集合关系的判定
例4判定下列集合A 与B的关系
3）集合的表示方法___本并填空
1）、对于两个集合A 和B，如果集合A中__ ____一个元素都是集合 的元素，那么集合 叫作集合 的________，记作_____或______（读作： 包含于 或 包含 ）
注（1） 有两种可能：
① 中所有元素是 中的一部分元素② 与 中的所有元素都相同；
注：（1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等；
（2） 且
6）、集合关系的传递性： ， ;
7）、集合的维恩图表示法
我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做_________.
图（3）
如果集合A是集合B的真子集，那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部（如图（3））
★2.设集合A= ,B= ，若 .求实数 的取值范围
课堂小测
1.已知集合A= , B= ,且A=B,则实数x=________ y= ____
2.已知M= , N= ,则集合M和N的关系为__
3.已知a , x , A= , B= ,
求：（1）使A= 的x的值；（2）使2 ，B A的a, x的值；
★4.已知非空集合 ，
（1）若 .求实数 的取值范围（2）若A=B，求 的值。
5.设集合 , ,且 ,求实数a的取值范围。
变式训练：在以下六个选择中(1).Φ {0} (2). . (3).
1.2.1集合之间的关系教案学生版
§1.2集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系【学习要求】1.理解子集、真子集、两个集合相等的概念．2.掌握有关子集、真子集的符号及表示方法，能利用Venn图表达集合间的关系．3.会求已知集合的子集、真子集．4.能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号准确地表示出来．【学法指导】通过使用基本的集合语言表示有关的数学对象，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；培养用集合的观点分析问题、解决问题的能力；学习用数学的思维方式解决问题、认识世界.填一填：知识要点、记下疑难点1.子集：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A，读作“A包含于B”，或“B包含A”．2.子集的性质：①A⊆A(任意一个集合A都是它本身的子集)；②∅⊆A(空集是任意一个集合的子集)．3.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作或，读作“ A真包含于B ”，或“ B真包含A ”．4.维恩图：我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图 .5.集合相等：一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B ，记作A＝B .用数学语言表示为：如果 A⊆B ，且 B⊆A ，那么A＝B .6.一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A⊆B，则x∈A⇒x∈B，即 p(x)⇒q(x) .反之，如果p(x)⇒q(x)，则 A⊆B研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 已知任意两个实数a，b，则它们的大小关系可能是a<b或a＝b或a>b，那么对任意的两个集合A，B，它们之间有什么关系？今天我们就来研究这个问题．探究点一子集与真子集的概念导引前面我们学习了集合、集合元素的概念以及集合的表示方法．下面我们来看这样三组集合：(1)A＝{1,3}，B＝{1,3,5,6}；(2)C＝{x|x是长方形}，D＝{x|x是平行四边形}；(3)P＝{x|x是菱形}，Q＝{x|x是正方形}．问题1 哪些集合表示方法是列举法？哪些集合表示方法是描述法？问题2 这三组集合每组彼此之间有何关系？问题3 类比表示两集合间子集关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处？问题4 在导引中集合P与集合Q之间的关系如何表示？问题5 空集与任意一个集合A有什么关系，集合A与它本身有什么关系？问题6 对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么集合A与C有什么关系？问题7 “导引”中集合A中的元素都是集合B的元素，集合B中的元素不都是集合A的元素，我们说集合A是集合B的真子集，那么如何定义集合A是集合B的真子集？问题8 集合A，B的关系能不能用图直观形象的表示出来？问题9 如何用维恩(Venn)图表示集合A是集合B的真子集？例1 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．跟踪训练1 写出满足⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P.探究点二集合的相等问题1 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？(1)集合C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；(2)集合C＝{2,4,6}，D＝{6,4,2}； (3)集合A＝{x|(x＋1)(x＋2)＝0}，B＝{－1，－2}．问题2 与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？例2 说出下列每对集合之间的关系：(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5}；(2)P＝{x|x2＝1}，Q＝{x||x|＝1}； (3)C＝{x|x是奇数}，D＝{x|x是整数}．跟踪训练2 用适当的符号(∈，∉，＝，，)填空：(1)0______{0}；0______∅；∅______{0}；(2)∅______{x|x2＋1＝0，x∈R}； {0}______{x|x2＋1＝0，x∈R}；(3)设A＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，C＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，则A______B______C.探究点三集合关系与其特征性质之间的关系问题1 已知集合A的特征性质为p(x)，集合B的特征性质为q(x)．“如果p(x)，那么q(x)”是正确命题，试问集合A和B的关系如何？并举例说明．问题2 如果命题“p(x)⇒q(x)”和命题“q(x)⇒p(x)”都是正确的命题，那么怎样表示p(x)，q(x)的关系？例3 判定下列集合A与集合B的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}； (2)A＝{x|x>3}，B＝{x|x>5}；(3)A＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是有一个角为直角的平行四边形}．跟踪训练3 确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：(1)A＝{n|n＝2k＋1，k∈Z}和B＝{m|m＝2l－1，l∈Z}； (2)C＝{n|n＝2k＋1，k∈N*}和D＝{m|m＝2l－1，l∈N*}．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅，则A≠∅. 其中正确的个数是 ( )A．0 B．1 C．2 D．32.满足条件⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是 ( )A．3 B．6C．7 D．83．若集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x，y分别等于__________．4.观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？(1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}． (2)A＝{x|x>3}，B＝{x|3x－6>0}．(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}． (4)A＝{育才中学高一(11)班的女生}，B＝{育才中学高一(11)班的学生}．课堂小结：1.能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合．2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3.注意区别“包含于”，“包含”，“真包含”．4.注意区分“∈”与“⊆”的不同涵义.。
高一数学人教B版必修1：1.2.1 集合之间的关系 学案
§1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系自主学习学习目标了解子集、真子集、空集的概念，掌握用V enn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义．自学导引1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中________________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作________(或________)，读作“____________”(或“____________”)．2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________________，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作________．3．如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的__________，记作________(或________)．4．________是任何集合的子集，________是任何非空集合的真子集．对点讲练知识点一写出给定集合的子集例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)填写下表，并回答问题．原集合子集子集的个数∅{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？规律方法(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．(2)集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集．变式迁移1 已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M.知识点二 集合基本关系的应用例2 (1)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围；(2)本题(1)中，若将“B ⊆A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．规律方法 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．变式迁移2 已知A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＝1}，若B A ，求实数m 所构成的集合M .知识点三 集合相等关系的应用例3 已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a ，b .1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“＝”或“”等表示．2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则此时{1}∈B ，而不能是{1}B .3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：(1)当A ⊆B 时，A ＝B 或A B .(2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论．(3)解数集问题学会运用数轴表示集合．(4)集合与集合间的关系可用V enn 图直观表示.课时作业一、选择题1．下列命题①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A 时，则A ≠∅，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅3．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A4．若集合A ＝{x |x ＝n ，n ∈N }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2，n ∈Z ，则A 与B 的关系是( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝B D ．A ∈B5．在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅{0}；③{0，－1,1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z ＝{正整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题6．满足{0,1,2}A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数是________．7．设M ＝{x |x 2－1＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，则a 的取值集合为________．8．若{x |2x －a ＝0，a ∈N }⊆{x |－1<x <3}，则a 的所有取值组成的集合为________________．三、解答题9．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a 、b 的值．10．已知集合A ＝{x |－2k ＋3<x <k －2}，B ＝{x |－k <x <k }，若A B ，求实数k 的取值范围．【探究驿站】11．已知集合M＝{x|x＝m＋16，m∈Z}，N＝{x|x＝n2－13，n∈Z}，P＝{x|x＝p2＋16，p∈Z}，请探求集合M、N、P之间的关系．§1.2集合之间的关系与运算1．2.1集合之间的关系答案自学导引1．任意一个A⊆B B⊇A A包含于BB包含A2．集合B是集合A的子集(B⊆A)A＝B3．真子集A B B A4．空集空集对点讲练例1 解(1)不含任何元素的集合：∅；含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；含有两个元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}；含有三个元素的集合：{0,1,2}．故集合{0,1,2}的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中除去集合{0,1,2}，剩下的都是{0,1,2}的真子集．(2)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n－2.变式迁移1解由已知条件知所求M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．例2 解(1)∵B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1m ＋1≤42m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.(2)显然A ≠∅，又A ⊆B ，∴B ≠∅，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1<m ＋12m －1<－3m ＋1>4，解得m ∈∅.变式迁移2 解 由x 2－5x ＋6＝0得x ＝2或x ＝3.∴A ＝{2,3}由B A 知B ＝∅或B ＝{2}或B ＝{3}若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{2}，则m ＝12；若B ＝{3}，则m ＝13. ∴M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13. 例3 解 方法一 ∵A ＝B∴集合A 与集合B 中的元素相同∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 2y ＝2x ， 解得x ，y 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝14y ＝12验证得，当x ＝0，y ＝0时，A ＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．∴x ，y 的取值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12. 方法二 ∵A ＝B ，∴A 、B 中元素分别对应相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x ＋y 2，x ·y ＝2x ·y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y (y －1)＝0， ①xy (2y －1)＝0. ② ∵集合中元素互异，∴x 、y 不能同时为0.∴y ≠0.由②得x ＝0或y ＝12. 当x ＝0时，由①知y ＝1或y ＝0(舍去)；当y ＝12时，由①得x ＝14. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧ x ＝14，y ＝12.变式迁移3 解 由集合相等得：0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，易知a ≠0， ∴b a＝0，即b ＝0，∴a 2＝1且a 2≠a ，∴a ＝－1. 综上所述：a ＝－1，b ＝0.课时作业1．B [仅④是正确的．]2．B [∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3a ＋2≥5∴3≤a ≤4.]3．D [∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .]4．A 5.B6．7解析 本题即求集合{3,4,5}的非空子集个数，共23－1＝7个．7．{－1,1,0}8．{0,1,2,3,4,5}9．解 ∵A ＝B 且1∈A ，∴1∈B .若a ＝1，则a 2＝1，这与元素互异性矛盾，∴a ≠1.若a 2＝1，则a ＝－1或a ＝1(舍)．∴A ＝{1，－1，b }，∴b ＝ab ＝－b ，即b ＝0.若ab ＝1，则a 2＝b ，得a 3＝1，即a ＝1(舍去)． 故a ＝－1，b ＝0即为所求．10．解 ∵A B ，①若A ＝∅，且B ≠∅，则k >0，且－2k ＋3≥k －2⇒0<k ≤53； ②若A ≠∅，且B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ k >0－2k ＋3<k －2－k ≤－2k ＋3k ≥k －2且－k ＝－2k ＋3与k ＝k －2不同时成立，解得53<k ≤3. 由①②可得实数k 的取值范围为{k |0<k ≤3}．11．解 M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }． N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }． P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }． ∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z ，∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1，从而N ＝P .而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1，∴M N ＝P .。
1.2.1集合关系与其特征性质之间的关系
记作：A B A B, B A A B A B, A B A B
四.集合的维恩（ venn）图表示法：
A B
A /B
B
A
A
B
题型一 概念的理解
例1 写出集合A = {1, 2,3} 的所有子集和真子 集.
分析：如何一个不漏地写出集合A的所有子集？
按照子集中所含元素个数多少顺序来写， 不要忘记空集和 集合A本身
（1）A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5}
（2）P={x|x 2 =1}, Q={x| x 1} (3)C {x | x是奇数}例4：若集合A={1,2,3},则满足 B A的集合B的个数 是( C )，满足C A的集合C的个数是( B ) A．6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
(6)E {x ( x 1)(x 2) 0}, F {x | 3 x 0, x Z}
三.集 合 相 等 如果集合 A的 每 一 个 元 素 都 是 集 B 合 的元素，反过来 集 合B的 元 素 也 都 是 集 合 A的 元 素 ， 就 说 集 合 A等 于 集 合B.
2.已知 x x 1 0 A 1,0,1, 集合A的 8 个 子集个数是_______
2
3. 设集合A= x 2 x 5,B= x a 1 x 2a 1， 若B A .求实数 a 的取值范围
a3
小结
1.子集，真子集，集合相等概念 2.集合关系与其特征性质之间的关系
思考2：集合的相等与 集合的特征性质有关系 吗？
结论2
设A x px,B x qx ,
如果A B, 则p(x) q(x), 且q(x) p(x), 即p(x) q(x)
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（1）A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3，4，5，6}
（2） ，
（3）A={0}，B＝{x|x2＋2＝0}；
（4）A={}，B=；
（5）A={x|x=2m-1,m Z}，B={x|x=2m+1,m Z}；
重点
难点
重点：子集的概念；
难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.
教学步骤
教师与学生活动设计
设计意图
旧
知
回
顾
已知：M＝{－1，1}，N＝{－1，1，3}，P＝{x|x2－1＝0}．问
1.哪些集合表示方法是列举法？
2.哪些集合表示方法是描述法？
3.集合M中元素与集合N有何关系？集合M中元素与集合P有何关系？
（5） ；（6） ．
例3.(1)写出集合A＝{1，2}的所有子集及真子集．
(2)写出集合B＝{1，2，3}的所有子集及真子集．
例4.若集合 ，求满足这样条件的集合A的个数。
例6.已知 ，若 ，求实数a的值。
例5.已知 ，若 ，求实数a的值。
归纳
小结
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个
一般地，如果集合A的每一个元素都是集合B中的元素，反过来集合B的每一个元素也都是集合A中的元素，那么我们就说集合A等于集合B。
记作：A=B
如果AB，又BA，则A=B；反之，如果A=B，则AB，且BA。
练
习
巩
固
例1.判断下列每对集合之间的关系。
（1）A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3，4，5，6}
（2） ，
（6）A={x|x=4m+1,m Z}，B={x|x=2m+1,m Z}。
（7） ，
例2.用符号“ ”、“ ”、“ ”或“ ”填空：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
例3.(1)写出集合A＝{1，2}的所有子集及真子集．
(2)写出集合B＝{1，2，3}的所有子集及真子集．
例4.若集合 ，求满足这样条件的集合A的个数。
例6.已知 ，若 ，求实数a的值。
例5.已知 ，若 ，求实数a的值。
教学
内容
1.2.1集合之间的关系
教学
目标
1、知识与技能：
（1）理解集合的包含和相等的关系.
（2）了解使用Venn图表示集合及其关系.
（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系
2、情态与价值：
应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力.
二、真子集
如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集．
记作A B(或B A)；
读作“A真包含于B”，或“B真包含A”．
注：空集是任何非空集合的真子集。
三、Venn（维恩）图表示．
集合B同它的真子集A之间的关系，可用Venn图表示如下．
四、集合的相等
考察引入中的集合M与集合P，两个集合中的元素完全相同，只是表示方式不同。
回顾旧知；
学习新知．
新
知
讲
授
一、子集
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．
记作AB或BA；
读作“A包含于B”，或“B包含A”．
注：任何集合都是其自身的子集，并且我们规定空集是任何集合的子集。
如果集合A中存在不属于集合B的元素，则称集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A。
（3）A={0}，B＝{x|x2＋2＝0}；
（4）A={}，B=；
（5）A={x|x=2m-1,m Z}，B={x|x=2m+1,m Z}；
（6）A={x|x=4m+1,m Z}，B={x|x=2m+1,m Z}。
（7） ，
例2.用符号“ ”、“ ”、“ ”或“ ”填空：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；