数值计算方法-第7章-数值微分与数值积分-part-2

(a0 a1 x)( x x1 )( x x2 )dx (b0 b1 x)dx 1 A1 (b0 b1 x1 ) A2 (b0 b1 x2 ) 因为积分公式具有3次精度,
1

1
1

1
1
(b0 b1 x)dx A1 (b0 b1 x1 ) A2 (b0 b1 x2 )
k 1
n
的充要条件是, 对于任意不超过 n-1 次的多项式p(x), 与n ( x) 在 [a,b]区间上关于权函数 ( x) 正交, 即,

b
a
( x) p( x)n ( x)dx 0 其中, n ( x) ( x xi )
i 1
n
证明.[必要性] 若xi (i=1,…,n)为Gauss点, 则对于任意不超过n-1 次的多项式p(x), p( x)n ( x) 是不超过2n-1 次的多项式, Gauss 积分精确成立, 即,
b a
0
k 1
b
k 1
k
k
a
n
称为正交条件
分别令q(x)=1,x,x2,…,xn-1, 得到n个方程, 解出xi (i=1,2,…,n). 下面证明, xi 一定是Gauss 点.
定理7.4 Gauss积分点的充要条件
第7章 数值微分与数值积分
n点积分公式

b
a
( x) f ( x)dx Ak f ( xk ) 中, xi (i=1,…n) 为Gauss 点


1
1
1
f ( x)dx A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) 具有2n-1=3次代数精度,
则对任意3次多项式P3(x),
1 3
P ( x)dx A1P3 ( x1 ) A2 P3 ( x2 )
精确成立.
利用多项式除法, P 3 ( x) (a0 a1 x)( x x1 )( x x2 ) (b0 b 1 x)
五. Gauss型求积公式


第7章 数值微分与数值积分
Gauss型求积公式的思想
目的
b a
求积公式:
I ( x) f ( x)dx Ak f ( xk )
k 1
n
( x) 0 为权函数.
当节点数n固定时, 选取适当的节点{xk}及系数{Ak}, 使其具有最高 的代数精度. n b l l 回顾: 若具有m次代数精度, 则: a ( x) x dx Ak xk

第7章 数值微分与数值积分
则积分公式:
b a

b
a
( x) pk ( x)dx Aj pk ( x j ) 精确成立.
j 1
n
Ak ( x) pk ( x)dx
其中 pk ( x) 也可写成: 故,
Ak
b a
求Gauss型积分系数的公式
n ( x ) pk ( x) ( xk ) ( x xk )n
其中, n ( x) x x j
j 1
n
n ( x ) ( x) dx ( xk ) ( x xk )n

Gauss求积公式的误差及稳定性
第7章 数值微分与数值积分
定理7.5 Gauss 型求积公式的误差公式
设f(x)在[a,b]上2n阶连续可微, 则带权函数 ( x) 0 的Gauss型求 积公式的误差(余项)为: n b f (2 n ) ( ) b 2 R( f ) ( x) f ( x)dx Ak f ( xk ) ( x ) n ( x)dx a (2n)! a k 1 (2 n ) M f ( ) n 其中, n ( x) i 1 ( x xi ), (a, b), M与f(x)无关. 证明.用节点x1,…,xn构造2n-1次的Hermite插值多项式H(x), 满足:
a
如果正交多项式k ( x) 的k个根为: xi (i=1,…,k), 则:
k ( x) c ( x xi ) c k ( x)
i 1
k
c 是给定的常数.

b
a
( x)k ( x)Qk 1 ( x)dx 0
对 k 1 次多项式Qk-1(x)成立.
由定理7.4, xi 一定是Gauss 积分点. 故Gauss点正好是正交多项式 的根.
k 1 l n
这样, 积分公式至少具有2n-1次代数精度, xi 即为Gauss点.
l
l (l 0,1,, n 1) ( x) x dx Ak xk k 1

定理7.4 【证明】(续-2)
0 1 x 1 1 n 1 n 1 x1 1 x2
1
1
x dx A1 x1 A2 x2
1
A1 A2 2 A1 x1 A2 x2 0
A1 1 A2 1
于是, 求积公式:
具有3次代数精度.
3 3 1 f ( x)dx f ( 3 ) f ( 3 )

推广到一般n节点的情况
第7章 数值微分与数值积分
求积公式:
A P
k 1 k
n
2n
( xk ) 0,
而精确解: I ( x) P2n ( x)dx 0
a
b
求积公式不精确.
结论: n个节点的积分公式最高代数精度为2n-1.

Gauss型积分公式的定义
对于n个节点的积分公式:

b
a
( x) f ( x)dx Ak f ( xk ) , 如果具有
n
将任意不超过2n-1次的多项式写为:
P2 n1 ( x) q( x)n ( x) r ( x)
其中, n ( x)
(x x )
i 1 i
q( x), r ( x) 都是不超过n-1次的多项式.
要求积分公式具有2n-1次代数精度, 则

即 而
b
a
P2 n 1 ( x) ( x)dx Ak P2 n1 ( xk )

即,
b
a
( x) p( x)n ( x)dx Ak p( xk )n ( xk )
k 1
n
0

b
a
( x) p( x)n ( x)dx 0
满足正交条件
必要性得证.

定理7.4 【证明】(续-1)
第7章 数值微分与数值积分
[充分性] 对于任意不超过 n-1 次的多项式q(x), 正交条件成立:

1
1
(a0 a1 x)( x x1 )( x x2 )dx 0 对 a0 , a1 成立.

从简单问题得到的启示（续）
第7章 数值微分与数值积分
分别取: a0 1, a1 0
a0 0, a1 1

1
1
( x x1 )( x x2 )dx 0

1
1
对于任意不超过n-1次的多项式r(x), 可写成:
r ( x) cl x l
n

b
a
l l Ak cl xk ( x)r ( x)dx cl ( x ) x l dx cl Ak xk
n 1
b
n 1
n
l 0 n 1
l 0
a
l 0
k 1
k 1
H ( xk ) f ( xk ), 且, (k 1,, n)

b
a
( x) H ( x)dx Ak H ( xk ) 精确成立.
如何求Gauss积分系数Ai 可分别取不超过n-1次多项式: 1, x, x2, …, xn-1, 代入积分公式, 解n 个联立方程组, 得到Ai. 这样做比较麻烦. 较方便的方法如下: n x xj pk ( x) 分别取n-1次多项式: (k 1,, n) x x j 1, j k k j 0, j k pk ( x j ) 1, j k
n 1 x2
第7章 数值微分与数值积分
1 A1 A xn 2 有唯一解 n 1 xn An
A1 A 2 An
n 1
Vandermonde矩阵, 非奇异.
k 1
n
(k 1,, n)
这样, 积分公式至少具有2n-1次代数精度, xi 即为Gauss点. 证毕#

Gauss点正好是正交多项式的根
第7章 数值微分与数值积分
由第6章定理6.3: 设 k ( x)是最高次系数非零的k次多项式, 则k ( x) 是[a,b]上关于权函 数 ( x) 的正交多项式的充要条件是, 对任意次数不超过k-1次的多 b 项式 Qk 1 ( x) , 都有: (k , Qk 1 ) ( x)k ( x)Qk 1 ( x)dx 0
k a
( x)[q( x)n ( x) r ( x)]dx Ak [q( xk )n ( xk ) r ( xk )] Ak r ( xk )
n
( x)r ( x)dx A r ( x ) 精确成立. ( x)q( x) ( x)dx 0 对 n 1 次多项式q(x)成立.
对所有 l 0,1,, m 精确成立.
1 x 1 m x1 1 x2
m x2
k 1
1 A1 0 其中, b ( x) xl dx, (l 0,1,, m) l a xn A2 1 这里有m+1个方程, 未知量有2n m m 个: x , A (i=1,2,…,n) xn An i i