数学建模范例
数学建模的简单实例ppt课件
§1.1 方桌问题
问题：适当变换方桌的方位，能否将方桌放稳？
分析：问题的目标是“放
A
A
D
稳”。“放稳”可以用各
脚离地面的高度这一数量
B
指标来表达。于是，引入
各脚离地面的高度的数学
记号。
B
C
C
1
依次记 A、B、fc fD
A
D
fA( ) fB ( ) fC ( ) fD ( )
2
注意到，在任何情况下，总有三只脚能同时着地，且这三 只脚中总有两只脚处在对角位置上，于是我们记：
f ( ) fB( ) fD( ) g( ) fA( ) fC ( )
则 有 , f ( ) g( ) 0
仓库;可关闭2号或3号仓库。 公司不主张仓库的个数 超过4个。 由于向客户供货的运费和仓库改建的费用
均由公司负担， 故需建模为公司选择方案。
若有可能， 应将所建模型推广为适应于类似地更一般 情 形 下 的 方 案 选 择。
13
问题分析
公司的目标是费用尽可能小
费用是怎样构成的
工厂到仓库
运输费用
工厂到客户 问题分析
0
cij Ai到B j及Ck的单位运输费;
d jk B j到Ck的单位运输费;
e1 B1扩建的月增费; e5 B5的月增费; e2 , e3 B2 , B3变更时发生的费用;
保留B2 关闭B2
;
xij
Ai
到B
j
及C
的运
k
量;
新建B5 不建B5
;
y jk
B
j
到C
的运
数学建模案例精选
数学建模案例精选数学建模是指利用数学方法和技术解决实际问题的过程，它在工程、经济、管理、自然科学等领域都有着广泛的应用。
在数学建模中，数学模型是解决问题的核心，通过建立合适的数学模型，可以更好地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。
下面我们将介绍几个数学建模案例，来看看数学在实际问题中是如何发挥作用的。
案例一，交通拥堵问题。
在城市交通管理中，交通拥堵一直是一个严重的问题。
如何合理规划道路和交通流量，是一个复杂的问题。
数学建模可以通过建立交通流模型，分析不同道路的交通流量，预测交通拥堵的可能发生区域和时间，从而指导交通管理部门制定相应的交通疏导措施。
案例二，股票价格预测。
股票市场的波动一直是投资者关注的焦点，而股票价格的预测是投资决策的重要依据。
数学建模可以通过分析历史股票价格数据，建立股票价格预测模型，利用数学统计方法和时间序列分析方法，预测股票价格的未来走势，帮助投资者做出更明智的投资决策。
案例三，物流配送优化。
在物流配送领域，如何合理规划配送路线和减少配送成本是企业关注的重点。
数学建模可以通过建立物流配送网络模型，分析不同配送方案的成本和效率，优化配送路线，降低物流成本，提高配送效率，从而提升企业的竞争力。
案例四，环境污染监测。
环境污染是一个严重的问题，如何有效监测和治理环境污染成为了各国政府和环保部门的重要任务。
数学建模可以通过建立环境污染监测模型，分析环境污染源的分布和扩散规律，预测污染物的扩散范围和影响，为环境污染治理提供科学依据。
通过以上几个案例的介绍，我们可以看到数学建模在实际问题中的重要作用。
数学建模不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，还可以推动科学技术的发展，促进社会经济的进步。
因此，加强数学建模的研究和应用，对于推动科学技术创新和社会发展具有重要意义。
希望通过今后更多的实际案例和研究，能够进一步挖掘数学建模的潜力，为解决更多实际问题提供更加有效的方法和工具。
数学建模实例
数学建模实例
数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过对模型进行分析和求解来解决问题的一种方法。
以下是数学建模的一些实例：
1. 客流热力学模型：在城市轨道交通拥挤情况下，建立客流热力学模型，分析出客流分布的状况，有效提高轨道交通系统的运行性能。
2. 互联网广告投放模型：针对互联网广告投放的问题，建立数学模型，分析各种广告投放策略的影响，提出最佳的广告投放策略。
3. 股票价格预测模型：针对股票市场，建立数学模型，通过对历史数据的分析和预测，预测未来股票价格的走势，为投资决策提供科学依据。
4. 生态系统模型：建立生态系统稳定性数学模型，探究物种间相互作用的影响，预测生态系统发展趋势，为环境保护提供科学依据。
5. 智能交通路网模型：建立智能交通路网数学模型，分析路网拥堵状况，提出最优路径，实现交通系统的智能化管理。
6. 供应链管理模型：建立供应链管理数学模型，分析供应链各环节的影响，优化供应链各环节的质量和效率，提升企业综合效益。
7. 机器学习模型：应用机器学习算法，通过对大量历史数据的分析和学习，预测未来数据的走势，为商业决策提供科学依据。
数学建模：第六章建模范例三
103.133872
(3)
101.310287
(3,1)
98.472872
(5)
96.731702
(5,1)
94.787533
(5,2)
92.480158
(5,3)
90.844949
(5,3,1)
4108.656375
(5,5)
*
M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）
3
改为
4
利用
5
软件求解（程序略）M=5000万元，
6
n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）
7
*
M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）
存1年定期
存2年定期
存3年定期
存5年定期
取款数额（到期本息和）
每年发放奖学金数额
第一年初
105.650679
103.527252
220.429705
2.255
*
由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。
由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复） 只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,3,1)九种，
*
根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为：
据上公式用
可以求得n=10年，M=5000万元时
基金使用的最优方案：（单位：万元）
每年奖学金：
问题三求解：
方案一：只存款不购买国库券
1
因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1.2倍，
数学建模获奖作品范例
数学建模获奖作品范例近年来，数学建模竞赛在高中和大学生中越来越受欢迎。
数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，通过建立数学模型，对问题进行分析和预测，得出有关结论和解决方案。
下面将介绍一些数学建模获奖作品的范例，以展示数学建模的应用和价值。
第一个范例是关于城市交通流量的建模。
城市交通流量是一个复杂的问题，涉及到车辆的流动、道路的拥堵、信号灯的控制等多个因素。
一支参赛团队利用数学建模的方法，通过收集城市交通数据和实地观察，建立了一个交通流量模型。
他们使用了微分方程和概率统计等数学工具，对车辆的速度、密度和流量进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们提出了一些优化交通流量的方法，如调整信号灯的时长、增加道路的容量等。
他们的建模方法和解决方案得到了专家的肯定，并在数学建模竞赛中获得了一等奖。
第二个范例是关于物种扩散的建模。
物种扩散是生态学中的一个重要问题，研究物种的扩散过程对于了解生态系统的稳定性和保护生物多样性具有重要意义。
一支参赛团队通过数学建模的方法，结合实地调查和数据分析，建立了一个物种扩散模型。
他们使用了偏微分方程和随机过程等数学工具，对物种的扩散速度和扩散范围进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们揭示了物种扩散的规律和影响因素，并提出了一些保护生物多样性的建议。
他们的建模方法和研究成果在数学建模竞赛中获得了特等奖。
第三个范例是关于金融风险管理的建模。
金融风险管理是一个重要的经济问题，涉及到金融市场的波动、投资组合的风险等多个因素。
一支参赛团队利用数学建模的方法，通过收集金融数据和分析市场趋势，建立了一个金融风险管理模型。
他们使用了时间序列分析、随机过程和蒙特卡洛模拟等数学工具，对金融资产的风险价值进行了建模和预测。
通过模型的分析，他们提出了一些风险管理的策略，如分散投资、对冲交易等。
他们的建模方法和风险管理方案在数学建模竞赛中获得了一等奖。
以上是关于数学建模获奖作品的三个范例。
这些范例展示了数学建模在不同领域中的应用和价值。
数学建模简单13个例子
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停
得住车。
第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，
D
即T 至少应当达到 （L+D）/v。
L
返回
9、砖块延伸
出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上
要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。
停车是需要时间的，在这段时间内，车辆
仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在
离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽
管它没被画在地上），见图。对于那些黄
D
灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
L
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确
总距离为 n 1 ，
故有砖点n块 出向人右意可料时 叠。k1至, 2knk任1 2意1k远，n这1 一21n结果多少返回
10、寻找黑匣子
飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种 射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。 确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离， 试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参 数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣 子发射射线的强度。
I2 I1
1
方法二
A
在方法一中，两检测点与黑匣子
位于β一α a
直线上，这一点比较容易 点是结果对照度测
量的精C做度到要， 求主 较要 高缺 ，B
很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很
强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后 ，
到B点再测方向 ，AB 距离为a ，∠BAC=α，
数学建模简单示例
否则一处的车辆将会越积越多。
例4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度。
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 2 的平方成反比，即
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
数学建模举例
10.1牙膏的销售量某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。
试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据表1-1牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据一、问题重述根据过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1。
根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据二、问题分析由于牙膏是生活必需品，对大多属顾客来说，在购买同类产品的牙膏是更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。
因此，在研究各个因素对销量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。
三、模型假设1.画出牙膏销售量与价格差，公司投入的广告费用的散点图2.由散点图确定两个函数模型，再由这两个函数模型解出回归模型3.对模型进行改进，添加新的条件确定更好的回归模型系数，得到新的回归模型4.对模型进一步改进，确定最终的模型四、符号约定牙膏销售量为y，其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为x1，公司投入的广告费用为x2，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为x3和x4,x1=x3-x4。
基于上面的分析，我们仅利用1x和2x来建立y的预测模型。
五、模型的建立和求解1.基本模型利用表1-1的数据用matlab 作出y 与x1的散点图（图1-1），y 与x2的散点图（图1-2） 代码如下：x1=[-0.05 0.25 0.6 0 0.25 0.2 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.2 0.1 0.4 0.45 0.35 0.3 0.5 0.5 0.4 -0.05 -0.05 -0.1 0.2 0.1 0.5 0.6 -0.05 0 0.05 0.55];x2=[5.5 6.75 7.25 5.5 7 6.5 6.75 5.25 5.25 6 6.5 6.25 7 6.9 6.8 6.8 7.1 7 6.8 6.5 6.25 6 6.5 7 6.8 6.8 6.5 5.75 5.8 6.8];y=[7.38 8.51 9.52 7.5 9.33 8.28 8.75 7.87 7.1 8 7.89 8.15 9.1 8.86 8.9 8.87 9.26 9 8.75 7.95 7.65 7.27 8 8.5 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26];A1=polyfit(x1,y,1); yy1=polyval(A1,x1); A2=polyfit(x2,y,2); x5=5:0.05:7.25; yy2=polyval(A2,x5);subplot(1,2,1);plot(x1,y,'o',x1,yy1); title('图1 y 对x1的散点图'); subplot(1,2,2);plot(x2,y,'o',x5,yy2); title('图2 y 对x2的散点图');图（1-1）与图（1-2）从图1可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型：011y x ββε=++（1）拟合的（其中ε是随机误差）。
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前两页空白且不编页码从该页开始编页码摘要本文在依照电力市场交易原则和输电阻塞管理原则的前提下，通过多元线性回归分析、目标规划等方法，对电力市场的输电阻塞管理问题进行了研究。
问题1中，通过对散点图进行分析，可以得到所有机组出力值都与各线路的有功潮流值存在线性关系。
于是，我们利用多元线性回归分析模型，分别得到6条线路的有功潮流与8个机组出力的带有常数项的线性表达式，其中，模型中的参数用最小二乘法估计，并进行了检验，证明函数关系可行。
问题2中，通过分析可知，阻塞费用主要是包括两部分，分别是序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。
“公平对待”就理解为电网公司赔偿两者在交易中所有的收入损失，从而制定出了阻塞费用的计算规则和公式。
针对问题3，为了下一个时段各机组的出力分配预案，我们按照电力市场规则，以在各机组出力存在上下极限（受爬坡速率影响）和机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以购电费用最少为目标函数，建立线性规划模型。
最终问题4中，把问题3的计算数据代入问题4，通过问题1所得函数关系的计算易知部分线路出现阻塞，需调整出力方案。
于是，我们以在各条线路上的有功潮流的绝对值不超出限值，各机组出力在其上下极限范围内以及机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以阻塞费用最低为目标函数，建立非线性目标规元。
针对问题5，重复问题3、4的工作。
但因其预报负荷较大，无法输电阻塞消除，需将安全裕度纳入考虑范围之内。
于是，根据安全且经济的原则的原则，以各条线路上的有功潮流的绝对值不超出安全裕度上限，各机组出力在其上下极限范围内以及机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比最小和阻塞费用最低为目标函数，建立双目标规划模元。
关键词：多元线性回归分析；最优解；非线性规划；多目标规划一、问题重述近年来我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。
电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。
我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。
根据电力市场交易规则：1.以15分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。
2.在当前时段内，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分，直到它们之和等于预报的负荷。
最后一个被选入的段价（最高段价）称为该时段的清算价，该时段全部机组的所有出力均按清算价结算。
计算当执行各机组出力分配预案时电网各主要线路上的有功潮流，判断是否会出现输电阻塞。
如果不出现，接受各机组出力分配预案；否则，按照如下原则实施阻塞管理：我们需要做的工作如下：1. 某电网有8台发电机组，6条主要线路，表1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。
2.设计一种简明、合理的阻塞费用计算规则，除考虑上述电力市场规则外，还需注意：在输电阻塞发生时公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。
3.假设下一个时段预报的负荷需求是982.4MW，表3、表4和表5分别给出了各机组的段容量、段价和爬坡速率的数据，试按照电力市场规则给出下一个时段各机组的出力分配预案。
4.按照表6给出的潮流限值，检查得到的出力分配预案是否会引起输电阻塞，并在发生输电阻塞时，根据安全且经济的原则，调整各机组出力分配方案，并给出与该方案相应的阻塞费用。
5.假设下一个时段预报的负荷需求是1052.8MW，重复3~4的工作。
二、条件假设1.假设各机组对线路上有功潮流值的影响相互独立，互不干扰；2.假设在误差范围内，可以用有功潮流值与机组出力值关系的近似表达来计算在各机组出力确定的情况下，各线路上的有功潮流值的大小；3.假设机组的段容量区间为左开右闭，便于统一计算处理；4.各机组出力值的总和等于总负荷需求量，不计传输损失。
三、符号说明i ：各机组的序号； s ：下一时段的负荷量；j ：各线路的序号； p ：清算价；i x ：第i 个机组的出力值； w ：总的购电费用；j y ：第j 条线路上有功潮流绝对值的大小； z ：阻塞费用；j i ,β：第i 个机组出力值对第j 条线路上有 1z ：序外容量补偿费；功潮流值大小的影响系数； 2z ：序内容量补偿费；i v ：第i 个机组的爬坡速率； j l ：线路j 上潮流值的限值。
α：线路上有功潮流值超出限值的百分比；四、问题分析我国电力市场发展的初期是发电侧电力市场，采取交易与调制一体化的模式。
因此，在此情况下研究电力市场的输电及其输电阻塞的管理十分必要。
为了解题步骤清晰，给出该模式下的操作流程图，图1 机组出力值计算流程图 针对问题1，题中给出了某一时刻下，各机组的出力值及其个线路上有功潮流值的大小，随后针对该时刻，分别单独地改变每个机组的出力值，记录各线路有功潮流值的大小。
我们可以选取其中某一根线路上的有功潮流值大小进行研究。
表1和表2各机组的出力方案及主线路潮流值中共有33组数据，其中方案0给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了围绕方案0的一些实验数据。
通过观察表1的33组数据后，我们发现表中每连续4组数值（比如：1—4组，5—8组，9—12组等）中只有某一个机组的出力在发生变化而其余7个机组的出力值保持不变。
图2 1y 与1x 的散点图 图3 1y 与2x 的散点图由上图可知，1y 与1x 、2x 都呈线性关系，同理可得，i y (1,2,,6)i 与j x (1,2,,8)j 都呈线性关系。
因此，可以利用线性回归回归分析来求解近似表达式 针对问题2，因为预案中各机组的出力值大小可能导致某条或者多条线路上的有功潮流值的大小超过限值，为此出于安全因素的考虑，需要对原有的预案进行调整，使得处事交易方案不能执行，为此要支付阻塞费用，阻塞费用分为序外补偿费用和序内补偿费用。
我们计算序外容量和序内容量都按照预案清算价和新方案出力对应报价之差计算。
给出相应的补偿公式及其阻塞费用公式。
针对问题3，该问题是在下一时段需求负荷为982.4MW 的情况下，计算各机组出力分配预案，不考虑输电阻塞的因素。
最终的预案应该使得到的清算价取得最小值。
此外除了各机组的出力值总和要等于需求负荷，每个机组的预算出力值还要受到当前出力值和该机组的爬坡速率的影响，即，机组的出力值有范围限制。
对此我们可以建立0-1规划的目标规划模型，清算价为目标函数，实现其最小，爬坡速率等限制条件作为约束条件，利用lingo 即可求出对应的各机组出力分配预案。
针对问题4，本问题是对问题3的后序处理，首先利用问题1所得到的线路有功潮流值关于机组出力大小的关系表达式，计算问题3预案机组出力分配情况下每条线路上的有功潮流值，判断是否出现阻塞，如果出现阻塞，就应该调整原有的预案分配。
其中出现补偿情况，为了使补偿费用最小，用补偿费用作为优化目标建立目标规划模型，增加有功潮流限值的约束条件，利用lingo 求解得到新的机组出力分配预案。
针对问题5，下一时段的需求负荷为1052.8MW 的情况，此问题除了对问题3,4进行再讨论外，主要是针对在出现输电阻塞，且无论如何调整各机组出力的分配预案也无法消除阻塞情况的分析。
此时需要使用安全裕度输电，此方案不仅要使阻塞费用最小，还要求每条线路上潮流值超出限值的百分比尽量小，对此我们可以建立双目标规划求解，在问题4的约束条件下还要添加每条线路上潮流值超过限值的百分比小于安全裕度的约束条件。
利用lingo 求解出各机组出力的分配预案。
五、模型建立与求解5.1 问题1的建模与求解5.1.1 模型分析利用线性回归回归分析的方法求出8个机组对该线路上有功潮流值大小影响关系表达式，继而求出6条线路上，每条线路上有功潮流值大小与各机组出力的近似表达式，并进行误差分析，讨论所得的近似表达式是否可以用来计算在机组出力值确定的情况下，计算每条线路上有功潮流值的大小。
5.1.2 模型建立假设每个机组对线路上有功潮流值大小的影响都是独立的，且每条线路上潮流值的变化与各机组出力分配成线性关系，即可以表示为8,81,1,0x x y j j j j •++•+=βββ其中，i x 表示第i 个机组的出力值，j i ,β表示第i 个机组对线路j 的影响系数。
以1y 为例进行求解。
设887766554433221101x b x b x b x b x b x b x b x b b y ++++++++=。
相同的方法，我们可以得到j y ()6,5,4,3,2,1=j 均与87654321,,,,,,,x x x x x x x x 成线性关系，故都可以用上式表达。
5.1.3 模型求解直接利用matlab 统计工具箱中的命令regress 求解，使用格式为：[]()alpha x y regress stats r r b b ,,int,,int,,=其中输入y 为模型（3）中y 的数据（n 维向量，n=30），x 为对应于回归系数()876543210,,,,,,,,b b b b b b b b b b =的数据矩阵[],,,,,,,,,187654321x x x x x x x x （n*9矩阵，其中第一列为全1向量），alpha 为置信水平α（缺省时05.0=α）；输出b 为β的估计值，常记作b ，bint 为b 的置信区间，r 为残差向量xb y -，rint 为r 的置信区间，stats 为回归模型的检验统计量，有3个值。
第1个是回归方程的决定系数2R （R 是相关系数），第2个是F 统计量值，第3个是与F 统计量值对应的概率值p 。
得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平05.0=α）、检验统计量值2R ，F,p 的结果见表 0.9995,5862, 3.5536F P E 表1 问题1模型的计算结果结果分析：利用多重判定系数2R 、统计量F 、F 所对应的概率P 来验证模型的可行性。
2R 越接近1，回归平面拟合程度越高，统计量F 越大，回归平面拟合程度越高，当F 所对应的概率05.0=<αp 时，拟合程度越高。
这样我们得到了1y 关于87654321,,,,,,,x x x x x x x x 的近似表达式，同理也可得到65432,,,,y y y y y 关于87654321,,,,,,,x x x x x x x x 的近似表达式。
具体形式如下：8765432120985.00186.01127.00867.00332.00001.01275.00547.03521.131x x x x x x x x y +--++-+-=8765432132012.00028.00024.01247.00099.01565.00620.00694.09928.108x x x x x x x x y --++--+--=8765432140763.01452.00057.00120.00209.02050.01028.00346.06116.77x x x x x x x x y +++--+--=8765432150092.00039.00700.00655.00412.00647.02428.00003.01334.133x x x x x x x x y --+---++=8765432160004.01664.00003.00466.00929.00781.00607.02376.08481.120x x x x x x x x y ++-++--+=对求出的j i ,β进行残差分析并对各组系数在进行线性回归时的显著性程度p进行分析P=0.0013 p=0.0010 p=0.0011p=0.0010 p=0.0011 p=0.0014图 4 j i ,β进行残差分析上述的显著性程度平均小于α=0.0025，可知回归模型中得到的系数矩阵可以接受，即正确。