统考版2021高考数学二轮专题复习课时作业13椭圆双曲线抛物线文含解析.doc
2021年高考数学二轮专题突破(新高考)-专题六 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线(解析版)
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线【要点提炼】考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a(0<2a<|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． 【热点突破】【典例】1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 216＋y 225＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 29＋y 225＝1 D.x 225＋y 216＝1 【答案】 D【解析】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，可得2a ＋2c ＝16，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，可得c a ＝35，解得a ＝5，c ＝3，则b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP|＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52D ．2 【答案】 B【解析】 方法一 由题意知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP|＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3. 方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4. 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 203＝1，x 20＋y 20＝2，解得|y 0|＝32. 所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3.易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．【拓展训练】1 (1)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x 【答案】 C【解析】 方法一 因为以MF 为直径的圆过点(0,2)，所以点M 在第一象限．由|MF|＝x M ＋p 2＝5，得x M ＝5－p 2， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2. 从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2. 因为点N 的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y 轴相切于点(0,2)，从而2＝122p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2， 即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x. 方法二 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设点A(0,2)，点M(x 0，y 0)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知，得AF →·AM →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，解得y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4. 由|MF|＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5. 又因为p>0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.(2)已知椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点为F ，点A(－2,2)为椭圆C 内一点，若椭圆C 上存在一点P ，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m 的取值范围是( )A ．(6＋25，25]B ．[9,25]C ．(6＋25，20]D ．[3,5]【答案】 A【解析】 椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点F 的坐标为(2,0)．设左焦点为F ′，则F ′(－2,0)．由椭圆的定义可得2m ＝|PF|＋|PF ′|，即|PF ′|＝2m －|PF|，可得|PA|－|PF ′|＝|PA|＋|PF|－2m ＝8－2m.由||PA|－|PF ′||≤|AF ′|＝2，可得－2≤8－2m ≤2，解得3≤m ≤5，所以9≤m ≤25.①又点A 在椭圆内，所以4m ＋4m －4<1(m>4)， 所以8m －16<m(m －4)(m>4)，解得m<6－25(舍)或m>6＋2 5.②由①②得6＋25<m ≤25，故选A.【要点提炼】考点二 圆锥曲线的几何性质1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝c a. (2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)共渐近线bx ±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． 【热点突破】【典例】2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1→·AF 2→＝0，AF 2→＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34C.53D.74【答案】 C【解析】 ∵AF 2→＝2F 2B →，设|BF 2|＝x ，则|AF 2|＝2x ，∴|AF 1|＝2a －2x ，|BF 1|＝2a －x ，∵AF 1→·AF 2→＝0，∴AF 1⊥AF 2，在Rt △AF 1B 中，有(2a －2x)2＋(3x)2＝(2a －x)2，解得x ＝a 3，∴|AF 2|＝2a 3，|AF 1|＝4a 3， 在Rt △AF 1F 2中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＝(2c)2，整理得c 2a 2＝59，∴e ＝c a ＝53. (2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l ：y ＝x －1与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，则点M 到抛物线准线的距离为( )A.72B ．4C ．7D ．8 【答案】 B【解析】 由题意可知直线y ＝x －1过抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)，如图，AA ′，BB ′，MM ′都和准线垂直，并且垂足分别是A ′，B ′，M ′，由图象可知|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)， 根据抛物线的定义可知|AA ′|＋|BB ′|＝|AB|，∴|MM ′|＝12|AB|，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝6，∴|AB|＝x 1＋x 2＋2＝8，∴|MM ′|＝4.二级结论 抛物线的有关性质：已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则(1)|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为直线l 的倾斜角)． (2)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)1|AF|＋1|BF|＝2p. 【拓展训练】2 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C 的准线与双曲线Γ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则Γ的离心率e 等于( ) A.32 B.233 C.217 D.213 【答案】 D【解析】 抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2， 联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 2，y ＝±b a x ，解得y ＝±pb 2a ，可得|AB|＝pb a ， 由△ABF 为等边三角形，可得p ＝32·pb a ， 即有b a ＝23， 则e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋43＝213.(2)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M(x 0,22)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p 2截得的弦长为3|MA|，若|MA||AF|＝2，则|AF|等于( ) A.32B ．1C ．2D ．3 【答案】 B【解析】 如图所示，由题意知，|MF|＝x 0＋p 2.∵圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p 2截得的弦长为3|MA|， ∴|MA|＝2|DM|＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 2. ∵|MA||AF|＝2，∴|MF|＝32|MA|， ∴x 0＝p.又∵点M(x 0,22)在抛物线上，∴2p 2＝8，又∵p>0，∴p ＝2.∴|MA|＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 2＝2，∴|AF|＝1. 【要点提炼】考点三 直线与圆锥曲线的位置关系解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的式子，进而求解即可．【热点突破】【典例】3 (2020·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m<5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【解析】解 (1)由题设可得25－m 25＝154，得m 2＝2516， 所以C 的方程为x 225＋y 22516＝1. (2)设P(x P ，y P )，Q(6，y Q )，根据对称性可设y Q >0，由题意知y P >0.由已知可得B(5,0)，直线BP 的方程为y ＝－1y Q(x －5)， 所以|BP|＝y P 1＋y 2Q ，|BQ|＝1＋y 2Q .因为|BP|＝|BQ|，所以y P ＝1.将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3.由直线BP 的方程得y Q ＝2或8，所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3,1)，Q 1(6,2)；P 2(－3,1)，Q 2(6,8)．所以|P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ， 点A(－5,0)到直线P 1Q 1的距离为102， 故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52； |P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103， 点A 到直线P 2Q 2的距离为13026， 故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52. 综上，△APQ 的面积为52. 规律方法 解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义．(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．【拓展训练】3 (1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【答案】 B【解析】 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，连接F 1A ，令|F 2B|＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m.由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A|＝a ＝|F 1A|，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝c a ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13，因为cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y22＝1.(2)设F 为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F 交抛物线于A ，B 两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB 的斜率为( ) A.12 B ．1 C. 2 D.3 【答案】 D【解析】 假设A 在第一象限，如图，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D ，E ， 过A 作EB 的垂线，垂足为C ，则四边形ADEC 为矩形， 由抛物线定义可知|AD|＝|AF|， |BE|＝|BF|， 又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B 为CE 的三等分点， 设|BF|＝m ，则|BC|＝2m ，|AF|＝3m ，|AB|＝4m ， 即|AC|＝|AB|2－|BC|2＝16m 2－4m 2＝23m ，则tan ∠ABC ＝|AC||BC|＝23m2m ＝3，即直线AB 的斜率k ＝ 3.专题训练一、单项选择题1．(2020·福州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±23x ，则此双曲线的离心率为( ) A.134B.132 C.133D.134【答案】 C【解析】 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±23x ，所以b a ＝23，所以双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝133.2．(2020·全国Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px(p>0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】 C【解析】 设A(x ，y)，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12.又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N)，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( )A.x 212＋y28＝1 B.x 212＋y24＝1 C.x 23＋y22＝1 D.x 23＋y 2＝1 【答案】 C【解析】 由△AF 1B 的周长为43， 可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M ()－3，0，N(3，0)． 设点A(x 0，y 0)(x 0≠±3)， 由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 203，②由①②解得b 2＝2. 所以C 的方程为x 23＋y22＝1.4．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 【答案】 A【解析】 如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c24，①将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的公共弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ|＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2.由|PQ|＝|OF|，得2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0， 即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝ 2.5．(2020·潍坊模拟)已知点P 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，直线PF 1与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若|PF 1|＝4|HF 1|，则该双曲线的离心率为( )A.153 B.213 C.53 D.73【答案】 C【解析】 如图，取PF 1的中点M ，连接MF 2.由条件可知|HF 1|＝14|PF 1|＝12|MF 1|，∵O 是F 1F 2的中点， ∴OH ∥MF 2，又∵OH ⊥PF 1，∴MF 2⊥PF 1， ∴|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c.根据双曲线的定义可知|PF 1|＝2a ＋2c ， ∴|HF 1|＝a ＋c2，直线PF 1的方程是y ＝ab (x ＋c)，即ax －by ＋ac ＝0，原点到直线PF 1的距离|OH|＝|ac|a 2＋b2＝a ，∴在△OHF 1中，a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2，整理为3c 2－2ac －5a 2＝0，即3e 2－2e －5＝0， 解得e ＝53或e ＝－1(舍)．二、多项选择题6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n>0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n>0，则C 是两条直线 【答案】 ACD【解析】 对于A ，当m>n>0时，有1n >1m >0，方程化为x 21m ＋y21n ＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确．对于B ，当m ＝n>0时，方程化为x 2＋y 2＝1n，表示半径为1n的圆，故B 错误． 对于C ，当m>0，n<0时，方程化为x 21m －y2－1n ＝1，表示焦点在x 轴上的双曲线，其中a ＝1m，b ＝－1n，渐近线方程为y ＝±－m n x ；当m<0，n>0时，方程化为y 21n －x2－1m ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线，其中a ＝1n，b ＝－1m，渐近线方程为y ＝±－mnx ，故C 正确． 对于D ，当m ＝0，n>0时，方程化为y ＝±1n，表示两条平行于x 轴的直线，故D 正确． 7．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为 3 C ．曲线y ＝ex －2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点 【答案】 AC【解析】 因为渐近线方程为y ＝±33x ，所以可设双曲线方程为x 29－y23＝λ，代入点(3，2)，得λ＝13，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；该双曲线的离心率为233，选项B 不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y ＝ex －2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C 正确；把x＝2y ＋1代入双曲线方程，得y 2－22y ＋2＝0，解得y ＝2，故直线x －2y －1＝0与曲线C 只有一个公共点，选项D 不正确．8．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( ) A ．p ＝4 B.DF →＝FA →C ．|BD|＝2|BF|D ．|BF|＝4【答案】 ABC【解析】 如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF.抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF|＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF 为等边三角形，∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则DF →＝FA →，故B 正确；∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C 正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D 错误．三、填空题9．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________． 【答案】 (3，15)【解析】 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M|＝2c ＝8，所以|F 2M|＝2a －8＝4.设M(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M|2＝x ＋42＋y 2＝64，x>0，y>0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．10．(2020·全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________． 【答案】 2【解析】 如图，A(a,0)．由BF ⊥x 轴且AB 的斜率为3，知点B 在第一象限，且B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 则k AB ＝b 2a－0c －a ＝3，即b 2＝3ac －3a 2.又∵c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴e 2－3e ＋2＝0.解得e ＝2或e ＝1(舍去)．故e ＝2.11．设双曲线mx 2＋ny 2＝1的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________． 【答案】3【解析】 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴mx 2＋ny 2＝1的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上， ∴a 2＝1n ，b 2＝－1m，c ＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a 2＋b 2＝1n －1m ，又离心率为2，即41n ＝4，解得n ＝1，m ＝－13，∴此双曲线的方程为y 2－x23＝1，则双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为 d ＝|23|1＋3＝ 3.12.如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p24，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，D ，B ，C 四点，则AB →·CD →的值为________．【答案】 p24【解析】 易知AB →·CD →＝|AB|·|CD|，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝p 2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，|AB →|＝|CD →|＝p 2，所以AB →·CD →＝p 2·p 2＝p24；当直线l 的斜率存在时，设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x 1＋p 2－p 2＝x 1，同理|CD|＝x 2，设l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，可得k 2x 2－(pk 2＋2p)x ＋k 2p 24＝0，则AB →·CD →＝|AB|·|CD|＝x 1·x 2＝p 24.综上，AB →·CD →＝p24.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|＝43|AB|.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF|＝5，求C 1与C 2的标准方程． 【解析】解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ， 其中c ＝a 2－b 2. 不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b2a ；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB|＝2b 2a ，|CD|＝4c. 由|CD|＝43|AB|得4c ＝8b 23a ， 即3×c a ＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2， 解得c a ＝－2(舍去)，c a ＝12. 所以C 1的离心率为12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1. 设M(x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c2＝1，y 20＝4cx 0， 故x 204c 2＋4x 03c＝1.① 由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF|＝x 0＋c ，而|MF|＝5，故x 0＝5－c ，代入①得5－c 24c2＋45－c 3c ＝1， 即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)，c ＝3.所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1， C 2的标准方程为y 2＝12x.14．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E 上，且到原点的距离为2 3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF 交抛物线于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．【解析】(1)解 由题意可得⎩⎨⎧ m 2＝4p ，4＋m 2＝23，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x. (2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨取A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)， 联立⎩⎨⎧ y ＝22x －1，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 所以直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，易知直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 因为点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r ，所以以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值.2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程;(2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程;(2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0<m<1,且m 是常数)上,过点P 作双曲线C 的两条切线PA ,PB ,切点为A ,B ,求证:直线AB 过某一个定点.4.(2021·山东济南二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且经过点H (-2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1λ+1μ为定值.5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;(2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B.①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB.6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.答案及解析1.(1)解 由题意知直线l 的斜率不为零,故设其方程为x=ty+4,与椭圆方程联立,消去x 得(3t 2+4)y 2+24ty+36=0,Δ=144(t 2-4)>0,解得t<-2或t>2.故直线l 的斜率k=1t 的取值范围为(-12,0)∪(0,12).(2)证明 F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),由(1)得y 1+y 2=-24t3t 2+4,y 1y 2=363t 2+4,所以ty 1y 2=-32(y 1+y 2).由PF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{1−x 3=λ(x 1-1),-y 3=λy 1,即{-x 3=λx 1-λ-1,-y 3=λy 1. 又点P 在椭圆上,即有3x 32+4y 32=12,代入上式得3(λx 1-λ-1)2+4λ2y 12=12,即λ2(3x 12+4y 12)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=12, 又3x 12+4y 12=12,所以12(λ+1)(λ-1)-6λ(λ+1)x 1+3(λ+1)2=0.易知λ+1≠0,故λ=35−2x 1,同理可得μ=35−2x 2.又(5-2x 1)(5-2x 2)=25-10(x 1+x 2)+4x 1x 2 =25-10[t (y 1+y 2)+8]+4(ty 1+4)(ty 2+4)=9+6t (y 1+y 2)+4t 2y 1y 2=9+6t (y 1+y 2)+4t ·(-32)(y 1+y 2)=9, 所以λμ=9(5-2x1)(5-2x 2)=1.2.解 (1)由点M 到点F 的距离比到y 轴的距离大p ,得点M 到点F 的距离与到直线x=-p 的距离相等.由抛物线的定义,可知点M 在抛物线C 上,所以4=4p ,解得p=1. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)存在满足题意的m ,其值为1或-3. 理由如下:由{y 2=4x,x-m(y +2)−5=0,得y 2-4my-8m-20=0. 因为Δ=16m 2+4(8m+20)>0恒成立,所以直线l 与抛物线C 恒有两个交点. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4(2m+5).因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)=(y 124-1)(y 224-1)+(y 1-2)(y 2-2)=y 12y 2216−(y 1+y 2)2-2y 1y 24+y 1y 2-2(y 1+y 2)+5=16(2m+5)216−(4m)2+8(2m+5)4-4(2m+5)-8m+5=0,所以MA ⊥MB ,即△MAB 为直角三角形.设d 为点M 到直线l 的距离,所以|MA|·|MB|=|AB|·d=√1+m 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2·√1+m 2=4·|1+m|·√16m 2+16(2m +5)=16·|1+m|·√(m +1)2+4=64√2,所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0, 解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍). 所以m=1或m=-3.所以当实数m=1或m=-3时,|MA|·|MB|=64√2.3.(1)解 由{ba =b,2a 2-1b 2=1,解得{a =1,b =1,故双曲线方程为x 2-y 2=1.(2)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的斜率为k ,P (m ,y 0).则PA:y-y1=k(x-x1),联立方程组{y-y1=k(x-x1), x2-y2=1,消去y,可得x2-[kx+(-kx1+y1)]2=1,整理可得(1-k2)x2-2k(y1-kx1)x-(y1-kx1)2-1=0.因为PA与双曲线相切,所以Δ=4k2(y1-kx1)2+4(1-k2)·(y1-kx1)2+4(1-k2)=0,整理得4(y1-kx1)2+4(1-k2)=0.即k2x12-2kx1y1+y12+1-k2=0,即(x12-1)k2-2kx1y1+(y12+1)=0,因为x12−y12=1,所以x12-1=y12,y12+1=x12代入可得y12k2-2x1y1k+x12=0,即(y1k-x1)2=0,所以k=x1y1.故PA:y-y1=x1y1(x-x1),即y1y=x1x-1.同理,切线PB的方程为y2y=x2x-1.因为P(m,y0)在切线PA,PB上,所以有{y0y1=mx1-1, y0y2=mx2-1,A,B满足直线方程y0y=mx-1,而两点唯一确定一条直线,故AB:y0y=mx-1,所以当{x=1m,y=0时,无论y0为何值,等式均成立.故点(1m ,0)恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点(1m,0).4.(1)解由题意知e=ca =√1−b2a2=√22,则a2=2b2.又椭圆C经过点H(2,1),所以4a2+1b2=1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为x 26+y23=1.(2)证明 设直线AB 的方程为x=my-3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my-3,x 26+y 23=1联立消去x ,得(m 2+2)y 2-6my+3=0,所以Δ=36m 2-12(m 2+2)>0,y 1+y 2=6mm 2+2,y 1y 2=3m 2+2,由题意知,y 1,y 2均不为1.设M (x M ,0),N (x N ,0),由H ,M ,A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,所以x M -x 1=(-y 1)(-2-x M ),化简得x M =x 1+2y 11−y 1.由H ,N ,B 三点共线,同理可得x N =x 2+2y 21−y 2.由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x M +3,0)=λ(1,0),即λ=x M +3. 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理可得μ=x N +3. 所以1λ+1μ=1xM+3+1xN+3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x1-y 1+3+1−y 2x 2-y 2+3=1−y1(m-1)y1+1−y 2(m-1)y 2=1m-11−y 1y 1+1−y 2y 2=1m-1(y 1+y 2y1y 2-2)=1m-1(6mm 2+23m 2+2-2)=2,所以1λ+1μ为定值.5.(1)解 依题意知:M 到C (0,2)的距离等于M 到直线y=-2的距离,故动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.设抛物线方程为x 2=2py (p>0),则p2=2,则p=4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为x 2=8y. (2)证明 ①由x 2=8y 得y=18x 2,y'=14x.设A (x 1,18x 12),B (x 2,18x 22),P (t ,-2),其中x 1≠x 2, 则切线PA 的方程为y-18x 12=x 14(x-x 1),即y=14x 1x-18x 12.同理,切线PB 的方程为y=14x 2x-18x 22. 由{y =14x 1x-18x 12,y =14x 2x-18x 22,解得{x =x 1+x22,y =x 1x 28, 故{t =x 1+x 22,-2=x 1x 28,即{x 1+x 2=2t,x 1x 2=−16.故直线AB 的方程为y-18x 12=18x 22-18x 12x 2-x 1(x-x 1),化简得y=x 1+x 28x-x 1x 28,即y=t4x+2,故直线AB 过定点(0,2).②由①知:直线AB 的斜率为k AB =t4,(i)当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y=2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA=∠PCB ;(ii)当直线PC 的斜率存在时,P (t ,-2),C (0,2),直线PC 的斜率k PC =-2-2t-0=-4t,k AB ·k PC =t 4×-4t =-1,故PC ⊥AB ,∠PCA=∠PCB. 综上所述,∠PCA=∠PCB 得证.6.解 (1)因为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),所以a=2,又2c=2√3,即c=√3,所以b 2=a 2-c 2=4-3=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)存在常数λ=2,满足题意. 理由如下:显然直线l 的斜率存在且不为0,设直线l :y=k (x+4),联立{y =k(x +4),x 24+y 2=1,消去y 并整理,得(1+4k 2)x 2+32k 2x+64k 2-4=0, Δ=(32k 2)2-4(1+4k 2)(64k 2-4)>0,得0<k 2<112.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则T (x 2,-y 2),所以x 1+x 2=-32k 21+4k 2,x 1x 2=64k 2-41+4k 2,直线PT :y-y 1=y 1+y2x 1-x 2(x-x 1),令y=0,得x=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,所以H x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0,若存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立, 所以1λ=|AD|-|DH||AD|·|DH|=1|DH|−1|AD|,又因为D (-2,0),A (-4,0),H (x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2,0),所以|AD|=2,|DH|=x 1-y 1(x 1-x 2)y 1+y 2+2 =x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+4)+k(x 2+4)+2=x 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 1(x 1+x 2)+8kx 1-k(x 1+4)(x 1-x 2)k(x 1+x 2)+8k+2=kx 12+kx 1x 2+8kx 1-kx 12+kx 1x 2-4kx 1+4kx 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k(x 1+x 2)+2kx 1x 2k(x 1+x 2)+8k+2=4k·-32k 21+4k 2+2k·64k 2-41+4k 2k·-32k 21+4k 2+8k +2=-1+2=1,所以1λ=11−12,解得λ=2.所以存在常数λ=2,使得|AD|·|DH|=2(|AD|-|DH|)成立.。
高考数学专题《双曲线》习题含答案解析
专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒==故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a == ，则2c a =，b =，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b ，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）练基础A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D |AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）a =（ ）AB ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c = ，=，解得12a = ，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（ ）．A.2B. C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】22221(0,0)x y a b a b -=>>F A OAF △O 221412x y -=221124x y -=2213x y -=2213y x -=由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)xC y mm-=>的一条渐近线为my+=，则C的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b的关系，再结合双曲线中22,a b对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】my+=化简得y=，即ba，同时平方得2223ba m=，又双曲线中22,1a m b==，故231m m=，解得3,0m m==（舍去），2223142c a b c=+=+=⇒=，故焦距24c=.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】由已知得222431b-=，解得b=或b=，因为0b>，所以b=.因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C：22221x ya b-= (a>0，b>0)的一条渐近线为y= 2222tan60cc a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩221,3a b==2213yx-=x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若则的离心率为( )ABC ．D【答案】B 【解析】由题可知在中，在中,故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心1F 2F 2222:1x y C a b-=O 2F C P 1PF =C222,PF b OF c==PO a∴=2Rt POF V 222cos P O PF b F OF c∠==12PF F △22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==223bc a c=⇒=e ∴=练提升率为（ ）A B ．C D 【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ V 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C D 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213xy -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+ ，200(2,)F P x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c=（c =0的一点，则当M 的纵坐标为2MAF V 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,FF F P FP 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF V 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN V 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN V 的面积6PMN S =V 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=，1=c e a ．1+1. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）ABCD【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y=|OP |=（ ）ABCD【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，1122PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =g ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==，所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。
(统考版)高考数学二轮专题复习 课时作业16 函数的图象与性质 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
课时作业16 函数的图象与性质[A·基础达标]1．已知集合M 是函数y ＝11－2x的定义域，集合N 是函数y ＝x 2－4的值域，则M ∩N ＝( )A ．{x |x ≤12}B ．{x |－4≤x <12}C ．{(x ，y )|x <12且y ≥－4}D ．∅2．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝xC ．y ＝|x |D ．y ＝－x 2＋13．[2020·某某市第一次模拟考试]已知定义在[m －5,1－2m ]上的奇函数f (x )，满足x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )的值为( )A ．－15B ．－7C ．3D ．154．[2020·某某市质量检测]函数y ＝x 2e x 的大致图象为( )5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－26．已知函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≥0时，f (x )＝2＋m2x－1，则f (－1)＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－127．将函数f (x )的图象向右平移一个单位长度后，所得图象与曲线y ＝ln x 关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝( )A ．ln(x ＋1)B ．ln(x －1)C ．e x ＋1D ．e x －18．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x －1)≥－1，则x 的取值X 围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[0,1]D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)9．如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0,1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t,0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )10．[2020·某某西工大附中3月质检]已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则( )A ．sgn f (x )>0B ．f (4 0412)＝1C ．sgn f (2k )＝0(k ∈Z )D ．sgn f (k )＝|sgn k |(k ∈Z ) 11．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)12．定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件： ①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝f (x －1)； ②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，都有[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)>0.则f ⎝⎛⎭⎫32，f (2)，f (3)的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)>f (3)B ．f (3)>f (2)>f ⎝⎛⎭⎫32C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f (3)>f (2)D ．f (3)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)13．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)＝________.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则t 的取值X 围是________．15．[2020·某某某某一中模拟]黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0,1]上的函数R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p ，x ＝q p (p ，q 都是正整数，q p 是既约真分数)，0，x ＝0，1或无理数.若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有f (2－x )＋f (x )＝0，当x ∈[0,1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝________.16．[2020·某某市第一次适应性考试]已知函数f (x )＝x e x ＋x ＋2e x ＋1＋sin x ，则f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)的值是________．[B·素养提升]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤e ，ln x ，x >e ，则函数y ＝f (e －x )的大致图象是( )2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －a |＋1，x >1，a x ＋a ，x ≤1(a >0且a ≠1)，若f (x )有最小值，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎫23，1 B ．(1，＋∞)C.⎝⎛⎦⎤0，23∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫23，1∪(1，＋∞) 3．[2020·某某某某新都诊断测试]已知定义在R 上的函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且满足对∀x ∈R ，都有f (x )－f (－x )＝0，则符合上述条件的函数是( )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1B ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |C ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x4．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x ＋2)，其图象连续不间断，当x >2时，函数y ＝f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4的所有x 之积为( )A ．3B ．－3C ．－39D ．395．已知函数f (x )＝xx 2＋1，关于函数f (x )的性质，有以下四个推断：①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12；③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中推断正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax，x ∈[－4，－1]的值域为________．7．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上是增函数．给出以下结论：①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减； ④函数f (x )在[0,100]内有25个零点．其中正确的是________．(把你认为正确结论的序号都填上) 8．如果定义在R 上的函数f (x )满足：对任意的x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”，给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )；③y ＝1－e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，0，x <1；⑤y ＝x x 2＋1. 其中是“H 函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)在(0，＋∞)上单调递减，可知D 正确．故选D.答案：D3．解析：由题意知，(m －5)＋(1－2m )＝0，解得m ＝－4.又当x >0时，f (x )＝2x －1，则f (m )＝f (－4)＝－f (4)＝－(24－1)＝－15.故选A.答案：A4．解析：y ＝x 2e x ≥0，排除选项C ；函数y ＝x 2e x 既不是奇函数也不是偶函数，排除选项D ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除选项B.综上，选A.答案：A5．解析：由题中图象可得a (－1)＋b ＝3. ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1.故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.答案：C6．解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (x )为奇函数．又当x ≥0时，f (x )＝2＋m 2x －1，则f (0)＝2＋m1－1＝0，∴m ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝12x －1.∴f (－1)＝－f (1)＝－⎝⎛⎭⎫12－1＝12.故选C. 答案：C7．解析：因为y ＝ln x 关于直线y ＝x 的对称图形是函数y ＝e x 的图象，且把y ＝e x 的图象向左平移一个单位长度后，得到函数y ＝e x ＋1的图象，所以f (x )＝e x ＋1.故选C.答案：C8．解析：由题意，得f (x )在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x －1)≥f (1)，则|2x －1|≤1，解得0≤x ≤1.故选C.答案：C9．解析：当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.答案：D10．解析：根据题意得函数f (x )是周期为2的函数，作出函数f (x )的大致图象，如图所示，数形结合易知f (x )∈[0,1]，则sgn f (x )＝0或sgn f (x )＝1，可知A 错误； f ⎝⎛⎭⎫4 0412＝f ⎝⎛⎭⎫2 02012＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，可知B 错误； f (2k )＝0(k ∈Z )，则sgn f (2k )＝0(k ∈Z )，可知C 正确；当k ＝2时，sgn(f (2))＝sgn(0)＝0，|sgn 2|＝1，可知D 错误．答案：C11．解析：由函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，可得其图象关于y 轴对称，因此函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，又f (x )在(－∞，a )上是增函数，所以函数y ＝f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．由于x 1<a ，x 2>a 且|x 1－a |<|x 2－a |，所以x 1到对称轴的距离比x 2到对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．答案：A12．解析：对任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝f (x －1)，则f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数；因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称；因为对任意的x 1，x 2∈[0,1]，都有[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)>0，所以该函数在[0,1]上单调递增．因为f (3)＝f (1)，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)＝f (0)，1>12>0，所以f (3)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)，故选D. 答案：D13．解析：方法一 令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.方法二 由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e＝e ，即f (2)＝e.答案：e14．解析：如图，画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≥0)，2x ＋2(x <0)的大致图象，可知函数f (x )是增函数，若f (t ＋1)>f (2t －4)，则只需要t ＋1>2t －4，解得t <5.答案：(－∞，5)15．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＋f (2－x )＝0， 所以f (x )＝－f (2－x )＝f (x －2)，所以2是函数f (x )的周期，则f ⎝⎛⎭⎫185＝f ⎝⎛⎭⎫185－4＝f ⎝⎛⎭⎫－25＝－f ⎝⎛⎭⎫25＝－R ⎝⎛⎭⎫25＝－15， f (lg 30)＝f (lg 3＋lg 10)＝f (lg 3＋1)＝f (lg3－1)＝－f (1－lg 3)＝－R (1－lg 3)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫185＋f (lg 30)＝－15.答案：－1516．解析：f (x )＝x e x ＋x ＋2e x ＋1＋sin x ＝x (e x ＋1)＋2e x ＋1＋sin x ＝2e x＋1＋x ＋sin x ，所以f (－x )＝2e －x ＋1－x ＋sin(－x )＝2e x e x ＋1－x －sin x ，所以f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋2e xe x ＋1＝2，所以f (0)＋f (0)＝2⇒f (0)＝1，所以 f (－5)＋f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝5×2＋1＝11. 答案：11[B·素养提升]＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即⎣⎡⎦⎤－2，－12. 答案：⎣⎡⎦⎤－2，－12 7．解析：令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，得f (－2)＝0，由于函数f (x )为偶函数，故f (2)＝f (－2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的一个周期为4，故①正确．由于函数f (x )为偶函数，故f (－4＋x )＝f (4－x )＝f (4－8－x )＝f (－4－x )，所以直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴，故②正确．根据前面的分析，结合函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，画出函数图象的大致趋势如图所示．由图可知，函数f (x )在[－6，－4)上单调递减，故③错误．根据图象可知，f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (98)＝0，零点的周期为4，所以f (x )在[0,100]内共有25个零点，故④正确．综上所述，正确的序号有①②④.答案：①②④8．解析：因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以f (x 1)(x 1－x 2)－f (x 2)(x 1－x 2)≥0，即[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)≥0，分析可得，若函数f (x )为“H 函数”，则函数f (x )为增函数或常函数．对于①，y ＝－x 3＋x ＋1，则y ′＝－3x 2＋1，所以y ＝－x 3＋x ＋1既不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”；对于②，y ＝3x －2(sin x －cos x )，则y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4>0，所以y ＝3x －2(sin x －cos x )是R 上的增函数，故其是“H 函数”；对于③，y ＝1－e x是R 上的减函数，故其不是“H 函数”；对于④，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，0，x <1，当x <1时，是常函数，当x ≥1时，是增函数，故其是“H 函数”；对于⑤，y ＝x x 2＋1，当x ≠0时，y ＝1x ＋1x ，不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H 函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.答案：②④。
高三数学二轮复习-专题五第二讲-椭圆、双曲线、抛物线课件
抛物线的方程及几何性质
(5分)(2011·山东)设M(x0，y0)为抛物线C: x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为 圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交， 则y0的取值范围是
A．(0,2)
B．[0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
【标准解答】 ∵x2＝8y, ∴焦点F的坐标为 (0,2), 准线方程为y＝－2.
∴c2＝a2－b2＝8.∴e＝ac＝2 4 2＝
2 2.
答案 D
4．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该
抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的 距离为
3 A.4
B．1
5
7
C.4
D.4
解析 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3，∴xA＋xB＝52.
解析 由于直线AB的斜率为－ba，故OP的斜率为－ba，
直线OP的方程为y＝－bax.
与椭圆方程ax22＋by22＝1联立，解得x＝±
2 2 a.
因为PF1⊥x轴，所以x＝－ 22a，
从而－ 22a＝－c，即a＝ 2c. 又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5， 故 2c＋c＝ 10＋ 5，解得c＝ 5， 从而a＝ 10.所以所求的椭圆方程为1x02 ＋y52＝1. 答案 1x02 ＋y52＝1
又双曲线的离心率e＝ a2a＋b2＝ a7，所以 a7＝247， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3， 故双曲线的方程为x42－y32＝1.
答案 x42－y32＝1
圆锥曲线是高考考查的重点，一般会涉及到 圆锥曲线的定义、离心率、圆锥曲线的几何 性质及直线与圆锥曲线的位置关系等. 在命题 中体现知识与能力的综合，一般地，选择题、 填空题的难度属中档偏下，解答题综合性较 强，能力要求较高，故在复习的过程中，注 重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线的综 合问题的强化训练，尤其是对推理、运算能 力的训练.
高中数学高考二轮复习椭圆、双曲线、抛物线理教案含答案(全国通用)
专题六解析几何
第二讲椭圆、双曲线、抛物线
1．椭圆的定义．
平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件．
(1)到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a.
(2)2a＞|F1F2|.
1．双曲线的定义．
平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.
(2)2a＜|F1F2|.
3.等轴双曲线． 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2
＝λ(λ≠0)，离心率e
y ＝±x ．
1．抛物线的定义．
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
若二元方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，或曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，则必须满足以下两个条件：
1．曲线上点的坐标都是二元方程f (x ，y )＝0的解(纯粹性)．
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点(完备性)．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)．
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(³)
(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(√)
(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．(√) (5)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(³)。
高考数学二轮专题复习训练：专题第讲 椭圆双曲线抛物线
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 (推荐时间：60分钟) 一、填空题 1．(2011·湖南改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．3．(2011·江西)若双曲线y 216－x 2m＝1的离心率e ＝2，则m ＝________. 4．P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则PM －PN 的最大值为________．5．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a >b ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 等于________．6．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于________．7．(2011·山东改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．8．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．9．(2011·辽宁)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．10．已知抛物线y ＝2x 2上任意一点P ，则点P 到直线x ＋2y ＋8＝0的距离的最小值为________．11．已知椭圆长轴长为短轴长的3倍且经过点P (3,0)，则椭圆的标准方程是________________．12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的离心率为e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点O ，则k 1·k 2的值为________．二、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过点A (4,0)且与抛物线交于P 、Q 两点，并设以弦PQ 为直径的圆恒过原点．(1)求焦点坐标；(2)若FP →＋FQ →＝FR →，试求动点R 的轨迹方程．14. (2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD . (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 15．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝217，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值．答 案1．2 2. 2 3. 48 4. 9 5. 133 6. 210 7.x 25－y 24＝1 8.⎣⎡⎦⎤33，22 9．2 10. 127580 11. x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1 12. 3 13．解 (1)设直线的方程为x ＝ky ＋4，代入y 2＝2px ，得y 2－2kpy －8p ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝2kp ，y 1y 2＝－8p .而OP →·OQ →＝0，故0＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋4)(ky 2＋4)－8p ＝k 2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)＋16－8p ， 即0＝－8k 2p ＋8k 2p ＋16－8p ，得p ＝2，所以焦点F (1,0)．(2)设R (x ，y )，由FP →＋FQ →＝FR →得(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(x －1，y )，所以x 1＋x 2＝x ＋1，y 1＋y 2＝y .而y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，可得y (y 1－y 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．又FR 的中点坐标为M (x ＋12，y 2)， 当x 1≠x 2时，由k PQ ＝k MA 得4y ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2x ＋12－4， 整理得y 2＝4x －28.当x 1＝x 2时，R 的坐标为(7,0)，也满足y 2＝4x －28.所以y 2＝4x －28即为动点R 的轨迹方程．14. 解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ， ∵P 在圆上， ∴x 2＋(54y )2＝25， 即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB 的长度为 AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋1625)(x 1－x 2)2 ＝4125×41＝415. 15．(1)解 由e ＝12得c a ＝12， 即a ＝2c ，b ＝3c .由右焦点到直线x a ＋y b＝1的距离为 d ＝217，得|bc －ab |a 2＋b2＝217， 解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 ①直线AB 斜率不存在时， 设A (m ，n )，B (m ，－n )，则n m ×－n m＝－1，∴m 2＝n 2. 把m 2＝n 2代入x 24＋y 23＝1，得m 2＝127. ∴O 到直线AB 的距离为|m |＝2217. ②直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆x 24＋y 23＝1联立消去y 得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0.即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－123＋4k 2－8k 2m 23＋4k2＋m 2＝0， 整理得7m 2＝12(k 2＋1)，所以O 到直线AB 的距离d ＝|m |k 2＋1＝127＝2217. 由①②可知，点O 到直线AB 的距离为定值．。
2021年高考数学二轮复习 椭圆、双曲线、抛物线训练题 理
2021年高考数学二轮复习 椭圆、双曲线、抛物线训练题 理1．与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－2x 2＝1C.y 22－x 22＝1 D.y 23－x 2＝1 2．(xx·北京高考)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m>12B. m≥1C ．m>1D. m>23．(xx·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px(p ＞0)的准线分别交于A, B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3， 则p ＝( )A ．1B.32 C ．2D ．34．(xx·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x5．(xx·荆州质量检查)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝12，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为( )A. 2B.7 2C．2 D.7 46．(xx·海淀模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则|PF||PA|的最小值是( )A.12B.22C.32D.2337．(xx·济南模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点F恰好是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点，且双曲线的渐近线方程为y＝±3x，则双曲线方程为________．8．(xx·北京顺义一模)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________．10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．11．(xx·合肥市质量检测)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积．12．(xx·郑州质量预测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆C 上，·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，过点F 2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)线段OF 2(O 为坐标原点)上是否存在点M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．1．选C 椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n＝1(m>0，n>0)，则⎩⎨⎧3m －1n＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2.2．选C 依题意，e ＝c a ，e 2＝c2a2>2，得1＋m>2，所以m>1.3．选C 因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.4．选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A(0,2)，抛物线上点M(x 0，y 0)，则＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，·＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4. 由|MF|＝5得，⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5， 又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.5．选A 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c.由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2ba＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P(x 1，x 2)到原点(0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝x 1＋x 22－2x 1x 2＝ 2.6．选B 依题意知x≥0，焦点F(1,0)，则|PF|＝x ＋1，|PA|＝x ＋12＋y 2＝x ＋12＋4x.当x ＝0时，|PA||PF|＝1；当x>0时，1<|PA||PF|＝1＋4xx ＋12≤1＋4x 2x2＝2(当且仅当x ＝1时取等号)．因此当x≥0时，1≤|PA||PF|≤2，22≤|PF||PA ≤1，|PF||PA|的最小值是22. 7．解析：抛物线的焦点坐标为(1,0)，故在双曲线中a ＝1，由双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，可得b ＝3，故所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝18．解析：抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以∠AFO ＝60°，又tan 60°＝y A1－－1，所以y A ＝2 3.因为PA ⊥l ，所以y P ＝y A ＝23，代入y 2＝4x ，得x A ＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.答案：49．解析：设椭圆方程为x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，解得a＝4.又离心率e＝ca＝22，故c＝2 2.所以b2＝a2－c2＝8，所以椭圆C的方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝110．解：(1)将(0,4)代入C的方程得16b2＝1，解得b＝4.又e＝ca＝35，得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，则a＝5.所以C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，所以x 1＋x 2＝3.设AB 的中点坐标为(x －，y －)， 则x －＝x 1＋x 22＝32， y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.11．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8， ∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x. (2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M.由⎩⎨⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴ x 1x 2＝y 1y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴l 2：x ＝y ＋8，M(8,0)． 故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM|·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.12．解：(1)由题意知，∠AF 1F 2＝90°， cos ∠F 1AF 2＝35，注意到||＝2， 所以||＝32，||＝52，2a ＝||＋||＝4，所以a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3， 故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在这样的点M 符合题意．设线段PQ 的中点为N ，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，N(x 0，y 0)，直线PQ 的斜率为k(k≠0)，注意到F 2(1,0)，则直线PQ 的方程为y ＝k(x －1)， 由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx －1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8k24k 2＋3，故x 0＝x 1＋x 22＝4k 24k 2＋3，又点N 在直线PQ 上，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k24k 2＋3，－3k 4k 2＋3.由·＝·可得·(＋)＝2·＝0， 即PQ ⊥MN ，所以k MN ＝0＋3k 4k 2＋3m －4k 24k 2＋3＝－1k ，整理得m ＝k 24k 2＋3＝14＋3k 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14，所以线段OF 2上存在点M(m,0)符合题意，其中m ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14.`38262 9576 镶35306 89EA 觪21102 526E 剮24228 5EA4 庤37007 908F 邏40664 9ED8 默N 35752 8BA8 讨r24143 5E4F 幏R40048 9C70 鱰30479 770F 眏。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(解析版)-2024届新高考数学大题精选30题
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选30题)1(2024·山东·二模)已知椭圆的焦点分别是F 13,0 ,F 2-3,0 ，点M 在椭圆上，且MF 1 +MF 2 =4．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y =kx +2与椭圆交于A ,B 两点，且OA ⊥OB ，求实数k 的值．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)62或-62．【分析】(1)根据所给条件求出a ,b ，即可得出椭圆标准方程；(2)联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA ⊥OB ，列出方程求k 即可.【详解】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)．由题意可知c =32a =4a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =1,c =3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，如图，联立方程y =kx +2x 24+y 2=1，消去y ，得1+4k 2 x 2+82kx +4=0，则x 1+x 2=-82k 1+4k 2,x 1x 2=41+4k2，从而y 1y 2=kx 1+2 kx 2+2 =k 2x 1x 2+2k x 1+x 2 +2=2-4k 21+4k 2，因为OA ⊥OB ,OA ⋅OB=0，即x 1x 2+y 1y 2=0，所以41+4k 2+2-4k 21+4k 2=6-4k 21+4k 2=0，解得k =62或-62，经验证知Δ>0，所以k 的值为62或-62．2(2024·江苏南通·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C :x 2a 2+y2b2=1a >b >0 的离心率为32，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 2作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，且△AF 1F 2的周长是4+23.(1)求椭圆C 的方程；(2)当AB =32DE 时，求△ODE 的面积.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)223【分析】(1)由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出a ,b ，得椭圆C 的方程；(2)设直线l 1，l 2的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和AB =32DE 求出DE 和l 2的方程，再求出O 到直线l 2的距离，可求△ODE 的面积.【详解】(1)由题意知，2a +2c =4+23c a =32b 2=a 2-c 2 ，解得a =2,b =1,c=3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)若直线l 1的斜率不存在，则直线l 2的斜率为0，不满足AB =32DE ，直线l 1的的斜率为0，则A ,F 1,F 2三点共线，不合题意，所以直线l 1的斜率存在且不为0，设直线l 1的方程为x =my +3，由x =my +3x24+y 2=1，消去x 得m 24+1 y 2+3m 2y -14=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-3m2m 24+1，y 1y 2=-14m 24+1，∴AB =1+m 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 2⋅4m 2+1m 2+4=4m 2+1 m 2+4.同理可得DE =41m2+11m 2+4=4m 2+1 1+4m 2.，由AB =32DE ，得4m 2+1 m 2+4=32⋅4m 2+1 1+4m 2，解得m 2=2，则DE =43，∴直线l 2的方程为y =±2x -3 ，∴坐标原点O 到直线l 2的距离为d =63=2，S △ODE =12×43×2=223.即△ODE 的面积的面积为223.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3(2024·河北邯郸·二模)已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过M 2,0 ,N 1,-32 两点．(1)求C 的方程．(2)A ,B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x24+y2=1(2)存在，3个【分析】(1)设椭圆C的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，根据条件得到4m=1m+34n=1，即可求出结果；(2)设直线DA为y=kx+1，直线DB为y=-1kx+1，当k=1时，由椭圆的对称性知满足题意；当k2≠1时，联立直线与椭圆方程，求出A,B的坐标，进而求出AB中垂线方程，根据条件中垂线直经过点D(0,1)，从而将问题转化成方程k4-7k2+1=0解的个数，即可解决问题.【详解】(1)由题设椭圆C的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，因为椭圆过M2,0,N1,-3 2两点，所以4m=1m+34n=1，得到m=14,n=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)由(1)知D(0,1)，易知直线DA,DB的斜率均存在且不为0，不妨设k DA=k(k>0)，k DB=-1k，直线DA为y=kx+1，直线DB为y=-1kx+1，由椭圆的对称性知，当k=1时，显然有DA=DB，满足题意，当k2≠1时，由y=kx+1x24+y2=1，消y得到14+k2x2+2kx=0，所以x A=-8k1+4k2，y A=-8k21+4k2+1=1-4k21+4k2，即A-8k1+4k2,1-4k21+4k2，同理可得B8kk2+4,k2-4k2+4，所以k AB=k2-4k2+4-1-4k21+4k28kk2+4+8k1+4k2=(k2-4)1+4k2-(k2+4)(1-4k2)8k(1+4k2+k2+4)=k2-15k，设AB中点坐标为(x0,y0)，则x0=-8k1+4k2+8kk2+42=12k(k2-1)(k2+4)(1+4k2)，y0=1-4k21+4k2+k2-4k2+42=-15k2(k2+4)(1+4k2)，所以AB中垂线方程为y+15k2(k2+4)(1+4k2)=-5kk2-1x-12k(k2-1)(k2+4)(1+4k2)，要使△ADB为AB为底边的等腰直角三角形，则直AB中垂线方程过点(0,1)，所以1+15k2(k2+4)(1+4k2)=-5kk2-10-12k(k2-1)(k2+4)(1+4k2)，整理得到k4-7k2+1=0，令t=k2，则t2-7t+1=0，Δ=49-4>0，所以t有两根t1,t2，且t1+t2=7>0,t1t2=1>0，即t2-7t+1=0有两个正根，故有2个不同的k2值，满足k4-7k2+1=0，所以由椭圆的对称性知，当k2≠1时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D为顶点，AB为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第(2)问，通过设出直线DA 为y =kx +1，直线DB 为y =-1kx +1，联立椭圆方程求出A ,B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点D (0,1)，再转化成关于k 的方程的解的问题.4(2024·广东广州·模拟预测)已知椭圆C :x 28+y 2b2=1(0<b <22)，右顶点为E ，上､下顶点分别为B 1,B 2,G 是EB 1的中点，且EB 1 ⋅GB 2=1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点D -4,0 的直线l 交椭圆C 于点M ,N ，点A -2,-1 ，直线MA ,NA 分别交直线x =-4于点P ,Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)x 28+y 22=1(2)证明见解析【分析】(1)通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；(2)设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点P ,Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】(1)由题可得a 2=8,∵E a ,0 ，B 10,b ,B 20,-b ，∴EB 1的中点为G a 2,b2，∵EB 1 ⋅GB 2 =(-a ,b )⋅-a 2,-3b 2 =a 22-3b 22=1,∴b 2=2,故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1；(2)依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k x +4 ，由y =k x +4x 28+y 22=1消去y 并化简得1+4k 2 x 2+32k 2x +64k 2-8=0，由Δ=1024k 4-41+4k 2 64k 2-8 >0，得k 2<14,-12<k <12.设M x M ,y M ,N x N ,y N ，则x M +x N =-32k 21+4k 2,x M x N =64k 2-81+4k 2，依题意可知直线MA ,NA 的斜率存在，直线MA 的方程为y +1=y M +1x M +2x +2 ，令x =-4，得y P =-2y M -x M -4x M +2=-2k x M +4 -x M -4x M +2=-2k -1 x M -8k -4x M +2=-2k -1 x M +2 -4k -2x M +2=-2k -1-4k +2x M +2，同理可求得y Q =-2k -1-4k +2x N +2，∴y P +y Q =-4k -2-4k +2x M +2-4k +2x N +2=-4k -2-4k +2 1x M +2+1x N +2=-4k -2-4k +2 ⋅x M +x N +4x M x N +2x M +x N +4=-4k -2-4k +2 ⋅-32k 21+4k 2+464k 2-81+4k 2+2-32k 21+4k2+4=-4k -2+(4k +2)=0，∴线段PQ 的中点为定点-4,0 .【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5(2024·辽宁·二模)平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点A ,B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且OP =23OA +33OB，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点E 4,1 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点M ,N 时，在线段MN 上取点Q ，满足|EM |⋅|QN|=|QM |⋅|EN|．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)点Q 在定直线上，定直线方程为3x +y -3=0【分析】(1)设点P ,A ,B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得x 0=32x y 0=3y，结合正方形面积得Γ的方程；(2)设l :y =kx +1-4k ，Q ,M ,N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得M ,N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得x 0-x 1x 2-x 0=4-x 14-x 2，化简得x 0=2+4k3+k，代入直线方程即可y 0，从而求出定直线方程.【详解】(1)设P x ,y ,A x 0,0 ,B 0,y 0 ，由OP =23OA +33OB =23(x 0,0)+33(0,y 0)=23x 0,33y 0 ，得x =23x 0y =33y 0，所以x 0=32x y 0=3y，因为正方形ABCD 的面积为AB 2=9，即x 20+y 20=9，所以32x 2+(3y )2=9，整理可得x 24+y 23=1，因此C 的轨迹方程为x 24+y 23=1．(2)依题意，直线l 存在斜率，设l ：y -1=k (x -4)，即y =kx +1-4k ，设点Q x 0,y 0 ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 x 1<x 0<x 2 ，由y =kx +1-4k3x 2+4y 2=12，消y 得3x 2+4(kx +1-4k )2=12，即(3+4k 2)x 2+8k (1-4k )x +4(1-4k )2-12=0，由Δ=64k 21-4k 2-163+4k 2 1-4k 2-3=161-4k 24k 2-3+4k 2 +483+4k 2 =483+4k 2 -1-4k 2 =48-12k 2+8k +2 =96-6k 2+4k +1 >0，可以得到2-106<k <2+106，所以k ≠-3，可得x 1+x 2=-8k (1-4k )3+4k 2，x 1x 2=4(1-4k )2-123+4k 2，由|EM |⋅|QN |=|QM |⋅|EN |，得|QM ||QN |=|EM||EN |，所以x 0-x 1x 2-x 0=4-x 14-x 2，可得x 0=4(x 1+x 2)-2x 1x 28-(x 1+x 2)=4-8k (1-4k )3+4k 2 -24(1-4k )2-123+4k 28--8k (1-4k )3+4k 2=-32k 1-4k -81-4k 2+2424+32k 2+8k -24k 2=-32k +128k 2-128k 2+64k -8+2424+8k =16+32k 24+8k =2+4k 3+k，所以y 0=kx 0+1-4k =2k +4k 23+k +1-4k 3+k 3+k =3-9k3+k，因为3x 0+y 0=6+12k 3+k +3-9k3+k=3，所以点Q 在定直线上，定直线方程为3x +y -3=0．6(2024·福建厦门·三模)在直角坐标系xOy 中，已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M ,N 两点，且当l 的斜率为1时，MN =8．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q (异于原点)，线段MN 的中点为R ，若QR ≤3，求△MNQ 面积的取值范围．【答案】(1)y 2=4x ；(2)2,63 .【分析】(1)先设l 的方程为x =my +p2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；(2)先设出R 2m 2+1,2m ，进而可求P ,Q 的坐标，可得直线QR ⎳x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】(1)不妨先设l 的方程为x =my +p2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，代入y 2=2px ，可得y 2-2mpy -p 2=0，所以y 1+y 2=2mp ，y 1y 2=-p 2，则MN =x 1+x 2+p =m y 1+y 2 +2p =2m 2p +2p ，由题意可知当斜率为1时，m =1，又MN =8，即2p +2p =8，解得p =2，所以C 的方程为y 2=4x ；(2)由(1)知p =2，直线l 的方程为x =my +1，抛物线方程y 2=4x ，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4所以R 的纵坐标y R =y 1+y 22=2m ，将R 的纵坐标2m 代入x =my +1，得x =2m 2+1，所以R 的坐标2m 2+1,2m ，易知抛物线的准线为x =-1,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标-1,-2m ，则直线OP 的方程为x =m2y ，把x =m2y 代入y 2=4x ，得y 2=2my ，即y =2m 或y =0，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把y =2m 代入x =m 2y ，得x =m2y =m 2，所以Q m 2,2m ，因为R 的坐标2m 2+1,2m ，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线QR ⎳x 轴，且QR =2m 2+1-m 2 =m 2+1 ，所以△MNQ 面积S △MNQ =S △MRQ +S △NRQ =12QR y 1-y 2 ，因为y 1-y 2 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=16m 2+16，所以y 1-y 2 =16m 2+16=4m 2+1，所以S △MNQ =12m 2+1 ×4m 2+1=2m 2+1 32=2QR 32，因为点Q 异于原点，所以m ≠0，所以m 2+1 >0，因为QR ≤3，所以1<QR ≤3，所以2<2QR 32≤63，即△MNQ 面积的取值范围为2,63 .7(2024·浙江丽水·二模)已知抛物线E :y 2=4x ，点A ,B ,C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方(B 在C 左侧)，A ,C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值(O 为坐标原点)；(2)若点Q 的横坐标为-1，且MB ⋅MC =89，求△AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)x -19 2+y 2=49【分析】(1)根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；(2)根据(1)的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】(1)设直线AB 的方程为x =my +t m >0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则C x 1,-y 1 ,M t ,0 ，由x =my +ty 2=4x，消去x ，得y 2-4my -4t =0，Δ=16m 2+t >0⇒m 2+t >0，所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4t ，直线BC 的方程为y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1x -x 1 ，化简得y =4xy 2-y 1-y 1y 2y 2-y 1，令y =0，得x Q =y 1y 24=-t ，所以Q -t ,0因此OM OQ =t-t =1.(2)因为点Q 的横坐标为-1，由(1)可知，Q -1,0 ,M 1,0 ，设QA 交抛物线于D ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 1,-y 1 ,D x 4,y 4 ，如图所示又由(1)知，y 1y 2=-4，同理可得y 1y 4=4，得y 4=-y 2，又x 1+x 2=my 1+1+my 2+1=m y 1+y 2 +2=4m 2+2，x 1x 2=y 214⋅y 224=y 1y 2 216=1，又MB =x 2-1,y 2 ,MC=x 1-1,-y 1 ，则MB ⋅MC=x 2-1 x 1-1 -y 1y 2=x 1x 2-x 1+x 2 +1+4=4-4m 2，故4-4m 2=89,结合m >0，得m =73.所以直线AB 的方程为3x -7y -3=0,又y 1-y 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=16m 2+16=163，则k AD =y 1-y 4x 1-x 4=y 1-y 4x 1-x 4=y 1-y 4y 214-y 224=4y 1+y 4=4y 1-y 2=34，所以直线AD 的方程为3x -4y +3=0，设圆心T (s ,0)(-1<s <1),因为QM 为∠AQB 的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以3s +3 5=3s -3 4，因为-1<s <1，解得s =19，故圆T 的半径r =3s +35=23，因此圆T 的方程为x -19 2+y 2=49.8(2024·江苏苏州·模拟预测)已知点A (1,0)，B (0,1)，C (1,1)和动点P (x ,y )满足y 2是PA ⋅PB ，PA⋅PC的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线C 1按向量a =-34,116平移后得到曲线C 2，曲线C 2上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点Q (0,b )，如果∠MON (O 为坐标原点)为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在(2)的条件下，如果b =2时，曲线C 2在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)y =x 2-32x +12；(2)b <0或b >1；(3)证明见解析.【分析】(1)根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，由平移公式可得曲线C 2的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；(3)根据题意，求导可得在点M ,N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】(1)由题意可得PA =(1-x ,-y )，PB =(-x ,1-y )，PC=(1-x ,1-y )，则PA ⋅PB=(1-x )⋅(-x )+(-y )⋅(1-y )=x 2+y 2-x -y ，PA ⋅PC=(1-x )⋅(1-x )+(-y )⋅(1-y )=x 2+y 2-2x -y +1，又∵y 2是PA ⋅PB ，PA ⋅PC 的等差中项，∴x 2+y 2-x -y +x 2+y 2-2x -y +1 =2y 2，整理得点P (x ,y )的轨迹方程为y =x 2-32x +12．(2)由(1)知C 1:y =x 2-32x +12，又∵a =-34,116 ，∴平移公式为x =x -34y =y +116 即x =x +34y =y -116，代入曲线C 1的方程得到曲线C 2的方程为：y -116=x +342-32x +34 +12，即y =x 2．曲线C 2的方程为y =x 2．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y =kx +b ，由y =x 2y =kx +b消去y 得x 2-kx -b =0，令M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 x 1≠x 2 ，则x 1+x 2=kx 1x 2=-b ，∴OM =x 1,y 1 =x 1,x 21 ，ON =x 2,y 2 =x 2,x 22 ，又∵∠MON 为锐角，∴cos ∠MON =OM ⋅ON |OM |⋅|ON |>0，即x 1x 2+x 21x 22|OM |⋅|ON |>0，∴x 1x 2+x 21x 22>0，又x 1x 2=-b ，∴-b +(-b )2>0，得b <0或b >1．(3)当b =2时，由(2)可得x 1+x 2=kx 1x 2=-b =-2，对y =x 2求导可得y =2x ，∴抛物线C 2在点，∴M =x 1,x 21 ，N x 2,x 22 处的切线的斜率分别为k M =2x 1，k N =2x 2，∴在点M ，N 处的切线方程分别为l M :y -x 21=2x 1x -x 1 ，l N :y -x 22=2x 2x -x 2 ，由y -x 21=2x 1x -x 1y -x 22=2x 2x -x 2x 1≠x 2，解得交点R 的坐标(x ,y )．满足x =x 1+x 22y =x 1⋅x2即x =k2y =-2，∴R 点在定直线y =-2上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9(2024·江苏南通·二模)已知双曲线E 的渐近线为y =±33x ，左顶点为A -3,0 .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线l :x =t 交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)x 23-y 2=1(2)①34,0 ；②S >27π16且S ≠7π4【分析】(1)根据渐近线方程及顶点求出a ,b 得双曲线方程；(2)①设D t ,0 ，由四点共圆可得k AG ⋅k OH =1，根据斜率公式转化为B ,C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】(1)因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)，从而渐近线方程为：y =±b a x ，由题条件知：b a =33.因为双曲线的左顶点为A -3,0 ，所以a =3，b =1，所以双曲线的方程为：x 23-y 2=1.(2)如图，①D t ,0 ，设直线BC 的方程为：my =x -t ，将x =my +t 代入方程：x 2-3y 2-3=0，得m 2-3 y 2+2mty +t 2-3=0，当m 2-3≠0且Δ=12t 2+m 2-3 >0时，设B x 1,y 1 ，C x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2mt m 2-3，y 1y 2=t 2-3m 2-3.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设0<α<π2，则∠AGH =π2-α，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：∠HOD =∠AGH ，所以直线OH 的倾斜角为π2-α，k AG ⋅k OH =tan α⋅tan π2-α =sin αcos α×sin π2-α cos π2-α=1.直线AC 的方程为：y =y 2x 2+3x +3 ，令x =t ，则y =y 2t +3 x 2+3，从而H t ,y 2t +3x 2+3，所以k OH =y 2t +3 t x 2+3 ，又k AG =k AB =y 1x 1+3，得：y 1x 1+3×y 2t +3 t x 2+3=1⇒t +3 y 1y 2=t x 1+3 x 2+3 ，又x 1=my 1+t ，x 2=my 2+t 代入上式得：t +3 y 1y 2=t my 1+t +3 my 2+t +3 ，⇒t +3 y 1y 2=t m 2y 1y 2+m t +3 y 1+y 2 +t +3 2 ，⇒t +3 ⋅t 2-3m 2-3=t m 2⋅t 2-3m 2-3+m t +3 ⋅-2mt m 2-3+t +3 2，化简得：4t 2+33t -3=0，解得：t =-3(舍)或t =34.故点D 的坐标为34,0.②直线AG 的方程为y =tan α⋅x +3 ，由①知：t =34，所以G 34,534tan α .直线OH 方程；y =1tan αx ，所以H 34,34tan α，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan α>0时，534tan α>34tan α；若G ，H 在x 轴下方时，即tan α<0时，534tan α<34tan α，所以tan α>55或tan α<-55.又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠±33.所以0<α<π，tan α>55或tan α<55且tan α≠±33.因为OG =34 2+53tan α4 2=1431+25tan 2α ，设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2R =OG sin α=1431+25tan 2α sin α，所以R 2=364×1+25⋅tan 2α sin 2α=164×1+25tan 2α sin 2α+cos 2α sin 2α=364×1+25tan 2α 1+tan 2α tan 2α=36425tan 2α+1tan 2α+26≥364225tan 2α⋅1tan 2α+26=2716，当且仅当25tan 2α=1tan 2α即tan α=±55时，上述不等式取等号，tan α>55或tan α<-55且tan α≠±33.所以R 2>2716且R 2≠74，从而S >27π16且S ≠7π4.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出k AG ⋅k OH =tan α⋅tan π2-α =sin αcos α×sin π2-α cos π2-α=1这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10(2024·江苏南京·二模)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)有公共的焦点F ，且p =4b ．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足λ1|OP |+1|OQ |=1|AF |-1|BF |，求λ的取值范围．【答案】(1)y =±33x (2)0,12【分析】(1)由两曲线有公共的焦点F ，且p =4b ，得c =2b ，a =3b ，可求渐近线方程；(2)通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出1|OP |+1|OQ |和1|AF |-1|BF |，由λ1OP +1OQ=1AF -1BF求λ的取值范围．【详解】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有p2=c ，又p =4b ，则c =2b .由a 2+b 2=c 2，得a =3b ，所以E 的渐近线的方程为y =±33x (2)设l :x =my +c ，P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有m 2<3，由x =my +c y =±33x，解得y 1=c 3-m ，y 2=c -3-m，1OP +1OQ =12y 1 +12y 2=3-m +-3-m 2c =3-m --3-m 2c =3c .设A x 3,y 3 ,B x 4,y 4 ，由x =my +cy 2=2px，消去x 得y 2-2pmx -p 2=0，则有y 3+y 4=2pm ,y 3y 4=-p 2，1AF-1BF=11+m 2y 3 -11+m 2y 4=11+m 2⋅y 3 -y 4 y 3 y 4=11+m 2⋅y 3+y 4 y 3y 4 =11+m 2⋅2pm p 2=2p ⋅m 2m 2+1，由λ1OP +1OQ=1AF -1BF，p 2=c ，有λ⋅3c =2p⋅m 2m 2+1，即3λ=m 2m 2+1，由m 2<3，有3λ∈0,32 ，所以λ∈0,12 .【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11(2024·重庆·三模)已知F2,0，曲线C上任意一点到点F的距离是到直线x=12的距离的两倍.(1)求曲线C的方程；(2)已知曲线C的左顶点为A，直线l过点F且与曲线C在第一、四象限分别交于M，N两点，直线AM、AN分别与直线x=12交于P，H两点，Q为PH的中点.(i)证明：QF⊥MN；(ii)记△PMQ，△HNQ，△MNQ的面积分别为S1，S2，S3，则S1+S2S3是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)x2-y23=1(2)(i)证明见解析；(ii)是，12【分析】(1)设曲线C上任意一点坐标为x,y，利用坐标可得曲线C的方程；(2)(i)设直线MN：x=my+2，M x1,y1，N x2,y2，联立方程组可得y1+y2=-12m3m2-1，y1y2=93m2-1，求得直线AM：y=y1x1+1x+1，求得P，H，进而可得Q的坐标，求得FQ的坐标，直线MN的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii)法一：利用(i)可求得MN=61+m21-3m2；QF=31+m22，进而可得S3=12MN⋅QF=91+m2 3 221-3m2 ，进而求得S1+S2=14PH⋅x1+x2-1，代入运算可求得S1+S2=91+m23241-3m2，可求结论.法二：(利用双曲线的第二定义)由(1)知，MF=2x1-1 2，同理NF =2x2-12，计算可得S1+S2=1 8PH⋅MN，又S3=12MN⋅QF，S1+S2S3=14PHQF，进而计算可得结论成立.【详解】(1)设曲线C上任意一点坐标为x,y，则由题意可知：x-22+y2=4x-1 22⇒x2-4x+4+y2=4x2-4x+1⇒x2-y23=1，故曲线C的方程为x2-y23=1.(2)(i )设直线MN ：x =my +2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，其中-33<m <33且x 1>1，x 2>1x =my +23x 2-y 2-3=0⇒3m 2-1 y 2+12my +9=0 ，故y 1+y 2=-12m 3m 2-1，y 1y 2=93m 2-1；直线AM ：y =y 1x 1+1x +1 ，当x =12时，y =3y 12x 1+1 ，故P 12,3y 12x 1+1，同理H 12,3y 22x 2+1，Q 为PH 中点，故y Q =12⋅32y 1x 1+1+y 2x 2+1=34⋅y 1x 2+1 +y 2x 1+1x 1+1 x 2+1；x 1+1 x 2+1 =my 1+3 my 2+3 =m2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9m 2-36m 2+93m 2-13m 2-1=-93m 2-1；(*)y 1x 2+1 +y 2x 1+1 =y 1my 2+3 +y 2my 1+3 =2my 1y 2+3y 1+y 2 =18m -36m 3m 2-1=-18m3m 2-1；故y Q =34⋅18m 9=3m 2，即Q 12,3m 2，则FQ =-32,3m2 ，直线MN 的方向向量a =m ,1 ，a ⋅FQ =-3m 2+3m2=0，故QF ⊥MN .(ii )法一：y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=144m 2-363m 2-1 3m 2-12=61+m 21-3m 2；(**)故MN =1+m 2y 1-y 2 =61+m 2 1-3m 2；QF =2-122+0-3m 2 2=31+m 22，又QF ⊥MN ，故S 3=12MN ⋅QF =91+m 2 3221-3m 2.S 1+S 2=12PQ ⋅x 1-12 +12HQ ⋅x 2-12 =14PH ⋅x 1+x 2-1 ；x 1+x 2-1=m y 1+y 2 +3=-12m 2+9m 2-33m 2-1=31+m 2 1-3m 2；PH =3y 12x 1+1 -3y 22x 2+1 =32y 1x 2+1 -y 2x 1+1x 1+1 x 2+1，=32y 1my 2+3 -y 2my 1+3 x 1+1 x 2+1=92y 1-y 2x 1+1 x 2+1，由(*)知x 1+1 x 2+1 =91-3m 2，由(**)知y 1-y 2 =61+m 21-3m 2，故PH =92⋅61+m 21-3m 2⋅1-3m 29=31+m 2，故S 1+S 2=14⋅31+m 2⋅31+m 21-3m 2=91+m 2 3241-3m 2，则S 1+S 2S 3=12.法二：(利用双曲线的第二定义)由(1)知，MF =2x 1-12 ，同理NF =2x 2-12，故S 1+S 2=14PH x 1+x 2-1 =18PH ⋅MF +NF =18PH ⋅MN ，又S 3=12MN ⋅QF ，故S 1+S 2S 3=14PHQF ，又y P y H =94y 1y 2x 1+1 x 2+1，且由(*)知y P y H =9493m 2-1-93m 2-1=94，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由y P y H =94可得PK ⋅HK =FK 2，即PK FK =FK HK，即△PKF ∽△PFH ，故PF ⊥HF ；又Q 为PH 的中点，故QF =12PH ，即S 1+S 2S 3=14PH QF =12.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ>0(有些题可不考虑).第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．有些运算量大，转化是关徤，运算求解能力也是考查点之一.12(2024·河北·二模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22．(1)若椭圆E 过点2,2 ，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线l 1，l 2均过点P p n ,0 0<p n <a ,n ∈N * 且互相垂直，直线l 1交椭圆E 于A ,B 两点，直线l 2交椭圆E 于C ,D 两点，M ,N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点Q t n ,0 ，设p n =13n .(ⅰ)求t n ；(ⅱ)记a n =PQ ，求数列1a n的前n 项和S n ．【答案】(1)x 28+y 24=1(2)(ⅰ)t n =23n +1；(ⅱ)S n =92(3n -1).【分析】(1)根据椭圆的离心率得到a ,b 之间的关系，再结合椭圆过点2,2 ，求出b 2的值，从而得到椭圆的方程.(2)(ⅰ)利用根与系数的关系及中点坐标公式求得点M ,N 的坐标，再根据M ,N ,Q 三点共线得t n ,p n 之间的关系；(ⅱ)求得a n ，并利用等比数列的前n 项和公式求得S n .【详解】(1)因为e =c a =22，a 2=b 2+c 2，所以a 2=2b 2，所以椭圆E 的方程为x 22b 2+y 2b2=1，因为椭圆E 过点2,2 ，所以42b 2+2b 2=1，解得b 2=4，所以椭圆E 的方程为x28+y 24=1.(2)(ⅰ)当直线l 1,l 2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线MN 与x 轴重合，不符合题意.故直线l 1,l 2的斜率均存在且不为0.设直线l 1的方程为y =k (x -p n )(k ≠0)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ),N (x N ,y N ),联立方程x 22b 2+y 2b 2=1y =k (x -p n) ，消去y 并整理得(1+2k 2)x 2-4k 2p nx +2k 2p 2n-2b 2=0，因为直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以Δ>0，根据韦达定理得，x 1+x 2=4p n k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2p 2n -2b21+2k 2，则x M =2p n k 21+2k 2yM=-p n k 1+2k 2，同理可得x N =2p n k 2+2y N=p n k k 2+2，因为M ,N ,Q 三点共线，所以y N (x N -x M )=(y N -y M )(x N -t n )，易知y N -y M ≠0，则t n =x M y N -x N y My N -y M =2p n k 21+2k 2⋅p n k k 2+2-2p n k 2+2⋅-p n k1+2k 2p n k k 2+2--p n k1+2k 2=2p n3，因为p n =13n ，所以t n =23n +1.(ⅱ)结合(ⅰ)可知a n =|PQ |=|p n -t n |=13n -23n +1=13n +1，所以1a n=3n +1，所以数列1a n 是首项为9，公比为3的等比数列，所以数列1a n 的前n 项和S n =9(1-3n )1-3=92(3n-1).【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交以及等比数列求和的问题.其中关键点是联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和M ,N ,Q 三点共线，求出点Q 的坐标，从而得到t n .13(2024·辽宁沈阳·二模)以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为6和3，P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点B ,PP ⊥x 轴于P ,BB ⊥PP 于B ,B 点的轨迹为Ω．(1)求B 点轨迹Ω的方程；(2)点A 2,1 ，若点M 、N 在Ω上，且直线AM 、AN 的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求∠AOG 的余弦值．【答案】(1)x 26+y 23=1(2)-31010【分析】(1)设B (x ,y ),∠POP =θ，根据条件得到x =OP cos θ=6cos θy =OB sin θ=3sin θ，消元即可求出结果；(2)法一：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，联立直线MN 与椭圆方程得到1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，由韦达定理得x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2，根据题设得到直线MN 的方程为y =-12x +m ，再利用点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 在椭圆上，得到k OG =1，从而有OG 与y 轴负平轴所形成的夹角为α=π4，再求出OA 与x 正半轴所形成的夹角，即可解决问题；法二：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线AM 的方程为y =k (x -2)+1，直接求出M ,N ，再根据条件求出k MN =-12，后面同法一；法三：建立新的坐标系，在新的坐标系中，得椭圆的方程为(x -2)26+(y -1)23=1，及直线MN 的方程为mx +ny =1，联立直线与椭圆，再结合条件得到n =2m ，从而有k MN =-12，后面同法一；法四：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，联立椭圆方程得1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=0，进而得到1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=1+2k 2 x -x 1 x -x 2 ，通过令x =2，得到41+2k 2 +8km +2m 2-2=1+2k 22-x 1 2-x 2 ，令x =1-m k ，得到(m -1)2k21+2k 2+4km 1-m k +2m 2-2=1+2k 2 1-m k -x 1 1-m k -x 2 ，从而有4k 2+2km +m -1=0，下面同方法一.【详解】(1)设B (x ,y ),∠POP =θ，则x =OP cos θ=6cos θy =OB sin θ=3sin θ，消去θ得x 26+y 23=1，所以B点轨迹Ω的方程为x 26+y 23=1.(2)方法一：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，y =kx +mx 26+y 23=1 ，消去y 得1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，Δ=(4km )2-41+2k 2 2m 2-6 =48k 2-8m 2+24>0，即m 2<6k 2+3由韦达定理知x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2，k AM ⋅k AN =y 1-1x 1-2⋅y 2-1x 2-2=kx 1+m -1x 1-2⋅kx 2+m -1x 2-2=k 2x 1x 2+k (m -1)x 1+x 2 +(m -1)2x 1x 2-2x 1+x 2 +4=12，所以(2m 2-6)k 21+2k 2+-4k 2m (m -1)1+2k2+(m -1)22m 2-61+2k 2+8km1+2k 2+4=12，整理得4k 2+2km +m -1=0，即4k 2-1 +m (2k +1)=(2k +1)(2k -1+m )=0，当2k +1=0时，直线MN 的方程为y =-12x +m当2k -1+m =0时，直线MN 的方程为y =k (x -2)+1，恒过A (2,1)点，不合题意设G x G ,y G ，将M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，将M 、N 两点代入到椭圆得x 216+y 213=1x 226+y 223=1，两式相减得x 21-x 226+y 21-y 223=0，即y 1-y 2 y 1+y 2 x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 22-0 x 1-x 2 x 1+x 22-0=-36，所以k MN ⋅k OG =-12，故k OG =1，设OG 与y 轴负平轴所形成的夹角为α，因为k OG =1，所以α=π4，设OA 与x 正半轴所形成的夹角为β，因为A (2,1)，所以sin β=55,cos β=255，cos ∠AOG =cos π2+α+β =-sin (α+β)=-(sin αcos β+cos αsin β)=-31010.方法二：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线AM 的方程为y =k (x -2)+1y =k (x -2)+1x 26+y 23=1消去y 可得：1+2k 2 x 2-8k 2-4k x +8k 2-8k -4=0从而x A ⋅x 1=8k 2-8k -41+2k 2，故x 1=4k 2-4k -21+2k2，将x 1代入直线AM 的方程可得y 1=-4k 2-4k 1+2k 2+1，所以M 4k 2-4k -21+2k 2,-4k 2-4k1+2k 2+1，又k AM ⋅k AN =12，将式点M 中的k 换成12k 得到N 2-4k -4k 21+2k 2,-2-4k1+2k 2+1，k MN =y 2-y 1x 2-x 1=-12，下面同方法一方法三：以A (2,1)为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程(x -2)26+(y -1)23=1，在新坐标系下设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为mx +ny =1将椭圆方程变形可得：x 2+4x +2y 2+4y =0将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得x 2+4x (mx +ny )+2y 2+4y (mx +ny )=0，整理得(4n +2)y 2+(4n +4m )xy +(1+4m )x 2=0即：(4n +2)y x 2+(4n +4m )yx +(1+4m )=0，所以k AM ⋅k AN =y 1x 1⋅y 2x 2=1+4m 4n +2=12，故n =2m ，直线MN 的方程为mx +2my =1,k MN =-12，下面同方法一方法四：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +my =kx +mx 26+y 23=1 消去y 可得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=0因为x 1,x 2是上述一元二次方程的两个根，所以1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-2=1+2k 2x -x 1 x -x 2 ①又k AM ⋅k AN =y 1-1x 1-2⋅y 2-1x 2-2=12整理得：x 1-2 x 2-2 -2y 1-1 y 2-1=x 1-2 x 2-2 -2k 2x 1+m -1k x 2m -1k=0在①式中令x =2得：41+2k 2 +8km +2m 2-2=1+2k 2 2-x 1 2-x 2 ②令x =1-m k 得：(m -1)2k 21+2k 2 +4km 1-m k +2m 2-2=1+2k 2 1-m k -x 1 1-m k -x 2 ③②+③×-2k 2 可得：整理得4k 2+2km +m -1=0，下面同方法一【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第(2)问，通过设出直线MN 的方程为y =kx +m ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立直线MN 与椭圆方程得到1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，由韦达定理得x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k2，根据题设得到直线MN 的方程为y =-12x +m ，再利用点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 在椭圆上，得到k OG =1，从而将问题转化成cos ∠AOG =cos π2+α+β 解决，其中α为OG 与y 轴负平轴所形成的夹角，β为OA 与x 正半轴所形成的夹角.14(2024·广东佛山·二模)两条动直线y =k 1x 和y =k 2x 分别与抛物线C :y 2=2px p >0 相交于不同于原点的A ，B 两点，当△OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =45.(1)求p ；(2)若k 1k 2=-4，弦AB 中点为P ，点M -2,0 关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求△PMN 的面积.【答案】(1)p =2；(2)62.【分析】(1)利用垂直关系，结合斜率坐标公式，列式计算即得.(2)求出P 的轨迹方程，分k 1=-k 2和k 1≠-k 2两种情况讨论，求出直线AB 过定点F (1,0)，再求出N 点坐标，即可求出三角形面积.【详解】(1)由△OAB 的垂心恰是C 的焦点，由抛物线对称性得|OA |=|OB |，AF ⊥OB ，而AB=45，不妨设A 10p ,25 ,B 10p ,-25，而焦点F p 2,0 ，则2510p -p 2⋅-2510p=-1，解得p =2，所以p =2.(2)由(1)知，y 2=4x ，由y =k 1x y 2=4x，解得A 4k 21,4k 1 ，同理B 4k 22,4k 2 ，则P 2k 21+2k 22,2k 1+2k 2，而2k 1+2k 22=4k 21+4k 22+8k 1k 2=22k 21+2k 22-2，因此所以P 的轨迹方程为y 2=2x -2，当k 1=-k 2时，不妨设k 1=2，k 2=-2，此时A (1,2),B (1,-2)，直线AB 过点(1,0)，当k 1≠-k 2时，直线AB 的斜率为4k 1-4k24k 21-4k 22=k 1k 2k 1+k 2=-4k 1+k 2，AB 的方程为y -4k 1=-4k 1+k 2x -4k 21，整理得y =-4k 1+k 2(x -1)，直线AB 过点(1,0)，因此直线AB 过定点F (1,0)，由|FN |=|FM |可得x N +1=3，解得x N =2，于是N (2,-22)或N (2,22)，当N (2,-22)时，MN 的中点为(0,-2)，直线MN 的斜率为-22，此时直线AB 的方程为y =2x -2，由y =2x -2y 2=2x -2 解得P (2,2)或P (1,0)，当P 1,0 时，直线AB 为x =1，不符合题意，舍去，则P 2,2 ，MN =26，△PMN 边MN 上的高h =23，因此△PMN 的面积S △PMN =62，当N (2,22)时，由对称性，同理可得S △PMN =62，所以△PMN 的面积为6 2.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；③求证直线过定点x 0,y 0 ，常利用直线的点斜式方程y -y 0=k x -x 0 或截距式y =kx +b 来证明.15(2024·广东深圳·二模)设抛物线C ：x 2=2py (p >0)，直线l ：y =kx +2交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线y =-2于点M ．对任意k ∈R ，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线l ⎳l ，且l 与C 相切于点N ，证明：△AMN 的面积不小于22．【答案】(1)x 2=4y ；(2)证明见解析.【分析】(1)根据题意，分k =0与k ≠0代入计算，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，再由等差中项的定义列出方程，即可得到结果；(2)方法一：联立直线l 与抛物线的方程，表示出AB 中点E 的坐标，再由点M ，N ，E 三点共线可得△AMN面积为△ABM 面积的14，结合三角形的面积公式代入计算，即可证明；方法二：联立直线l 与抛物线的方程，再由Δ=0，得n =-k 2，点N 2k ,k 2 ，即可得到直线MN 与x 轴垂直，再由三角形的面积公式代入计算，即可证明.【详解】(1)设点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由题可知，当k =0时，显然有k AM +k BM =0；当k ≠0时，直线OM 的方程为y =-1kx ，点M 2k ,-2 ．联立直线AB 与C 的方程得x 2-2pkx -4p =0，Δ=4p 2k 2+16p >0，所以x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=-4p ，因为直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列，所以y 1+2x 1-2k +y 2+2x 2-2k=2k ．即kx1+4x1-2k+kx2+4x2-2k=2k，kx1+4x2-2k+kx2+4x1-2kx1-2kx2-2k=2k，化简得2k2+2x1+x2-4k=0．将x1+x2=2pk代入上式得2k2+22pk-4k=0，则p=2，所以曲线C的方程为x2=4y．(2)(法一)设直线l ：y=kx+n，联立C的方程，得x2-4kx-4n=0．由Δ=0，得n=-k2，点N2k,k2，设AB的中点为E，因为x1+x22=2k，y1+y22=k x1+x2+42=2k2+2，则点E2k,2k2+2．因为2k2+2-22=k2，所以点M，N，E三点共线，且点N为ME的中点，所以△AMN面积为△ABM面积的1 4．记△AMN的面积为S，点M2k,-2到直线AB：kx-y+2=0的距离d=2k2+4k2+1，所以S=18AB×d=181+k2×x1+x22-4x1x2×2k2+4k2+1=k2+232≥22，当k=0时，等号成立．所以命题得证．(法二)设直线l ：y=kx+n，联立C的方程，得x2-4kx-4n=0．由Δ=0，得n=-k2，点N2k,k2．所以直线MN与x轴垂直．记△AMN的面积为S，所以S=12×MN×x1-x22=14×MN ×x1+x22-4x1x2=12×k2+2×4k2-4×-8=k2+2 32≥22．当k=0时，等号成立．所以命题得证．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键采用设线法，联立抛物线方程，根据相切求出N2k,k2，再得出E2k,2k2+2，最后计算出面积表达式求出其最值即可.16(2024·湖南·一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(b>a>1)的渐近线方程为y=±2x，C的半焦距。
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课时作业13 椭圆、双曲线、抛物线[A·基础达标]1．若双曲线y 2a 2－x 29＝1(a >0)的一条渐近线与直线y ＝13x 垂直，则此双曲线的实轴长为( )A ．2B ．4C ．18D ．362．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (x 0,1)到焦点的距离为1，则该抛物线的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，0B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(1,0) D ．(0,1)3．[2020·全国卷Ⅰ]设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52D ．2 4．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D ．3 5．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，且ON ⊥MF 2,3|ON |＝2|MF 2|，则C 的离心率为( )A ．6B ．5C ．4D ．36．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则该双曲线的标准方程为________．7．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝______，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为双曲线C虚轴的一个端点，若线段AF 2与双曲线右支交于点B ，且|AF 1|：|BF 1|：|BF 2|＝3：4：1，则双曲线C 的离心率为________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．10．[2020·全国卷Ⅱ]已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．[B·素养提升]1．如图，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若点P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．双曲线2．[2020·河北九校第二次联考]已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，使得点F 2到直线PF 1的距离为a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞C ．(1，5)D ．(5，＋∞)3．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 上存在一点E (2，t )到焦点F 的距离等于3.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点P 在抛物线C 上且异于原点，点Q 为直线x ＝－1上的点，且FP ⊥FQ ，求直线PQ 与抛物线C 的交点个数，并说明理由．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过点A (－2，－1)，且a ＝2b .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点B (－4,0)的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝－4于点P ，Q ，求|PB ||BQ |的值．课时作业13 椭圆、双曲线、抛物线[A·基础达标] 1．解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±a 3x ，由题意可得－a 3×13＝－1，得a ＝9，∴2a ＝18.故选C.答案：C2．解析：由题意，知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2.将M (x 0,1)代入y 2＝2px (p >0)中，得x 0＝－12p.因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (x 0,1)到焦点的距离为1，所以x 0＋p 2＝12p ＋p2＝1.解得p ＝1.所以该抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫12，0.故选A. 答案：A3．解析：解法一 由题易知a ＝1，b ＝3，∴c ＝2， 又∵|OP |＝2，∴△PF 1F 2为直角三角形，易知||PF 1|－|PF 2||＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16－42＝6，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝3，故选B.解法二 不妨设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝4，x 20－y 203＝1，解得y 0＝32，又|F 1F 2|＝4，∴S △PF 1F 2＝12×4×32＝3，故选B.答案：B 4.解析：如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.答案：A5．解析：连接MF 1，(图略)由双曲线的定义得|MF 1|－|MF 2|＝2a ，因为N 为MF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，所以ON ∥MF 1，所以|ON |＝12|MF 1|，因为3|ON |＝2|MF 2|，所以|MF 1|＝8a ，|MF 2|＝6a ，因为ON ⊥MF 2，所以MF 1⊥MF 2，在Rt △MF 1F 2中，由勾股定理得(8a )2＋(6a )2＝(2c )2，即5a ＝c ，因为e ＝ca，所以e ＝5，故选B.答案：B6．解析：依题意得2b ＝22，tan 60°＝2c b 2a＝3，于是b ＝2，2c ＝3×2a ，∴ac ＝3，a a 2＋2＝3，得a ＝1，因此该双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1.答案：x 2－y22＝17．解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线方程分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p ，三角形的高为p2，因此12×2p ×p2＝2，解得p ＝2.则抛物线焦点坐标为(1,0)，且到直线y ＝2x 和y ＝－2x 的距离相等，均为|2－0|5＝255.答案：2 2558．解析：由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，因为|BF 1||BF 2|＝41，所以|BF 1|＝4|BF 2|，所以3|BF 2|＝2a .又|AF 1|＝|AF 2|，|AF 1|:|BF 2|＝3:1，所以|AF 2|＝3|BF 2|，所以|AF 2|＝2a .不妨设A (0，b )，因为F 2(c,0)，所以|AF 2|＝b 2＋c 2，所以2a ＝b 2＋c 2，又a 2＋b 2＝c 2，所以5a 2＝2c 2，所以c 2a 2＝52，所以e ＝c a ＝102，即双曲线C 的离心率为102. 答案：1029．解析：(1)由题意知，离心率e ＝c a ＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C的标准方程为x24＋y 2＝1.(2)由条件可知F 1(－3，0)，直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 24＋y 2＝1，，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝425， 所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265.10．解析：(1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2.不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a；C ，D 的纵坐标分别为 2c ，－2c ，故|AB |＝2b2a，|CD |＝4c .由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 23a ，即3×c a ＝2－2⎝⎛⎭⎫c a 2，解得c a ＝－2(舍去)或c a ＝12. 所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1.所以C 1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，3c )，(0，－3c )，C 2的准线为x ＝－c .由已知得3c ＋c ＋c ＋c ＝12，即c ＝2.所以C 1的标准方程为x 216＋y 212＝1，C 2的标准方程为y 2＝8x .[B·素养提升]1.解析：如图，连接PC 1，过点P 作PH ⊥BC 于点H .∵C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，PC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴PC 1⊥C 1D 1，∴|PC 1|＝|PH |，故点P 的轨迹是以C 1为焦点，BC 所在直线为准线的抛物线，故选C.答案：C2．解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .设直线PF 1的方程为y ＝k (x ＋c )，因为点P 在双曲线的右支上，所以|k |<b a ，F 2(c,0)到直线PF 1的距离d ＝2|kc |k 2＋1＝a ，解得k 2＝a 24c 2－a 2＝a 23c 2＋b 2，根据k 2<b 2a 2，得a 4<3b 2c 2＋b 2，所以a 4－b 4＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)c 2<3b 2c 2，则a 2－b 2<3b 2.即b 2a 2>14，所以e 2＝1＋b 2a 2>54，则e >52，故选B. 答案：B3．解析：(1)抛物线C 的准线方程为x ＝－p2，所以点E (2，t )到焦点F 的距离为2＋p2＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)直线PQ 与抛物线C 只有一个交点． 理由如下：设点P ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，点Q (－1，m ) 由(1)得焦点F (1,0)， 则FP →＝⎝⎛⎭⎫y 204－1，y 0，FQ →＝ (－2，m )， 由题意可得FP →·FQ →＝0，故－2⎝⎛⎭⎫y 204－1＋my 0＝0，从而m ＝y 20－42y 0. 故直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0－m y 204＋1＝2y 0.故直线PQ 的方程为y －y 0＝2y 0⎝⎛⎭⎫x －y 204，得 x ＝y 0y 2－y 204. ①又抛物线C 的方程为y 2＝4x ， ② 所以由①②得(y －y 0)2＝0，故y ＝y 0，x ＝y 204.故直线PQ 与抛物线C 只有一个交点．。