中学数学中的分形几何
分形几何学的基本概念与应用
分形几何学的基本概念与应用分形几何学是一门研究复杂、自相似结构的几何学科。
它的研究对象包括自然界中的许多现象和图形，如云朵、山脉、植物的分枝结构等。
分形几何学的出现和发展，为我们认识自然界的复杂性提供了新的视角。
本文将介绍分形几何学的基本概念，并重点探讨其在科学研究和实际应用中的价值。
一、分形几何学的基本概念分形几何学最核心的概念是“分形”。
分形是指具有自相似性质或统计尺度不变性的几何图形或物体。
它具备以下特点：1. 自相似性：分形的一部分与整体的形状非常相似，即具有自我重复的特性。
无论从整体还是局部的角度观察，其形状和结构都保持不变。
2. 统计尺度不变性：无论在什么尺度上观察分形，都能发现相似的图形和结构。
分形具有无标度的特性，不受空间尺度的限制。
3. 复杂性和碎形维度：分形体现了自然界中复杂系统的普遍性和多样性。
通过碎形维度的衡量，我们可以描述分形的几何形态。
二、分形几何学的应用领域分形几何学的研究成果，对科学研究和实际应用有着广泛的影响和应用价值。
1. 自然科学领域在物理学、化学、天文学等自然科学领域，分形几何学的应用已经取得了许多重要的突破。
例如，在物质表面的研究中，分形维度可以帮助我们更好地理解物质的分布和表面形态；在流体力学领域，分形几何学可以用来描述复杂流体的运动和传输现象。
2. 生命科学领域分形几何学在生物学、医学和生态学等领域的应用也日益增多。
在生物进化研究中，利用分形模型可以揭示物种的分支进化和形态演化；在生物医学图像处理领域，分形分析可以用于肿瘤和病变的诊断。
3. 技术工程领域在工程学、计算机科学和通信领域，分形几何学为我们提供了一些创新的解决方案。
例如，在图像压缩和数据传输中，可以利用分形编码来提高传输效率和图像质量；在通信网络设计中，采用分形结构可以提高网络的可靠性和稳定性。
4. 艺术与设计领域分形几何学的美学价值也不可忽视。
许多艺术家和设计师利用分形几何学的原理和方法创作出具有独特美感的艺术作品和设计。
分形原理及其应用
分形原理及其应用
分形原理，也称为分形几何，是一种描述自相似性和复杂性的数学理论。
它指的是在自然界和人造物中，许多物体和现象都具有在不同尺度上重复出现的特征。
分形几何试图通过数学模型来解释这种自相似性，并提供了一种理解和描述复杂系统的方法。
分形原理的应用非常广泛。
以下是几个常见的应用领域：
1. 自然科学：许多自然界中的物体和现象都具有分形特征，如云朵、植物的分枝结构、山脉的形状等。
通过分形原理，科学家可以更好地理解和描述这些自然现象，并研究它们背后的原理。
2. 数据压缩：分形压缩是一种常用的图像和视频压缩方法。
它基于分形原理，将复杂的图像分解成一系列相似的子图像，并利用这些子图像的变换来重建原始图像。
分形压缩能够在保持图像质量的同时实现较高的压缩比。
3. 金融市场：金融市场的价格走势也常常具有分形特征。
通过分形分析，可以识别出市场中的重要转折点和趋势，为投资决策提供参考。
4. 计算机图形学：分形几何提供了一种生成逼真自然风景的方法。
通过分形算法，可以模拟出山脉、云彩等自然对象的形态和纹理，用于电影特效、游戏开发等领域。
5. 网络优化：分形原理可以应用于网络布线、数据传输等领域的优化。
比如，通过分析网络的分形结构，可以设计出更高效的布线方案，提高数据传输速度和可靠性。
以上只是一些分形原理应用的例子，实际上分形几何在科学、艺术、工程等各个领域都有广泛的应用，并且不断地拓展出新的应用领域。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
中学数学中的分形几何.
中学数学中的分形几何广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣（542502）桂林市第十八中学数学组蒋雪祥（541004）内容提要：本文论述了规则图形的容量维，对容量维的计算作了说明，同时还对4个较为著名的与中学有关的，或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。
关键字：容量维 Sierpinski三角毯 Koch曲线Koch岛 Sierpinski-Menger海绵1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
数千年来，几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。
分形几何对我们大多数人来说是陌生的，因为它看起来离我们太远。
其实分形就在我们身边，在近年的竞赛与高考中，分形的影子已经出现。
中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。
笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。
一、规则图形的容量维为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。
维数是描述客体的重要几何参量。
也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。
已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。
这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。
维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘2，就得到另一个线段，长度为n=2个原线段长度。
一正方形，每边长×2，得到一个大的正方形，它等于4个原来大小的正方形。
一立方体，每边长×2，得到一个大的立方体，它等于8个原来大小的立方体。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种数学理论，包括了自相似性、不规则性和复杂性等特点，它能够描述自然界和人造物体中所存在的复杂形态。
分形几何可以将复杂的形状分解为简单的结构单元，从而更好地解释和描述复杂系统的特征。
分形几何的研究对象可以是自然界中的云雾、山脉、植物等，也可以是人类创造的艺术作品、城市景观等。
通过分形几何的研究，人们能够更深入地理解形态的形成规律和演化过程，为科学研究和艺术创作提供了新的视角。
分形几何的特点在于其不规则性和自相似性。
不规则性指的是形状的复杂度和不规则程度，而自相似性则是指在不同尺度上体现相似性。
分形几何的特点使得人们可以用简单的数学模型来描述复杂的自然现象，从而更好地理解事物的本质及其演变规律。
分形几何是一种独特的数学理论，它不仅在科学领域有着广泛的应用，还在艺术领域中扮演着重要的角色。
通过分形几何的研究和应用，人们能够更好地理解世界的复杂性和多样性，从而为人类的进步和发展提供新的思路和方向。
1.2 分形几何的应用分形几何在应用领域有着广泛的用途，其独特的性质和特点使其在科学、工程、医学等领域发挥着重要作用。
分形几何在图像压缩和图像处理中有着重要的应用。
通过分形图像压缩技术，可以大大减少图像传输和存储时所需的数据量，从而提高图像的传输速度和保存效率。
分形图像处理技术还可以用于图像的放大和缩小，不会出现传统方法中所产生的模糊和失真现象。
在地理信息系统中，分形几何可以用来模拟地形特征，以实现更加逼真的地形图像。
分形几何在地震预测、金融市场分析、气象预测等领域也有着广泛的应用。
分形几何的应用领域十分广泛，不断地为各个领域带来新的发展和突破。
1.3 分形几何在艺术中的作用分形几何在艺术中的作用主要体现在其能够呈现出独特而美丽的几何形状和图案。
分形几何的特点使得它能够生成各种复杂、丰富并且具有自相似性的图像。
这种自相似性使得分形几何产生的图案看起来既具有整体性又具有细节性，给人以视觉上的愉悦和惊叹。
《分形几何学》课件
分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
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特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形
分形几何的典型范例
分形几何有许多典型的范例，以下是其中一些：
1. 谢尔宾斯基三角形：这是一种自相似的分形图形，通过不断将三角形划分为更小的三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。
2. 谢尔宾斯基垫片：这是由谢尔宾斯基三角形进一步演化而来的一种分形图形，由三角形内部的三角形构成，整体呈现出一个自相似的模式。
3. 科赫曲线：又称为科赫雪花或科赫蛇，是一种分形曲线。
通过不断将一段线段分割成等长的两段，然后将每一段线段的中间部分弯曲成等边三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。
4. 曼德布罗集：这是由数学家本华·曼德布罗提出的分形图形，通过不断将单位正方形进行切割和填充，最终得到的图形是一个具有无限复杂性的集合。
5. 皮亚诺曲线：这是一种由意大利数学家皮亚诺提出的分形图形，它是一种在平面上的连续曲线，通过不断将线段进行延长和弯曲，最终得到的图形具有无限复杂性和自相似性。
这些只是分形几何中的一些典型范例，实际上还有许多其他的分形图形和结构，如朱利亚集、费根堡姆曲线等。
这些分形图形的特点是具有无限的复杂性和自相似性，并且在许多领域中得到了应用。
自仿射分形,自反演分形和自平方分形
自仿射分形,自反演分形和自平方分形自仿射分形、自反演分形和自平方分形分形（Fractal）是指在任意缩放下都能保持自相似性的几何形状。
在数学上，分形是一种具有非整数维度的特殊几何体。
自仿射分形、自反演分形和自平方分形是三种常见的分形类型。
本文将对这三种分形进行介绍和探讨。
一、自仿射分形自仿射分形是指通过平移、旋转、缩放等仿射变换产生的分形。
其中最经典的自仿射分形是科赫曲线（Koch Curve）。
科赫曲线是通过迭代地将线段分成三等分，并以等边三角形代替中间的一段线段而生成的。
科赫曲线具有无穷细节和边长无限增长的特点，即使只是一条有限长度的线段，也能产生复杂的形态。
自仿射分形还包括谢尔宾斯基三角形、棉花糖曲线等。
二、自反演分形自反演分形是指通过对自身进行反演操作而生成的分形。
最著名的自反演分形是谢尔宾斯基地毯（Sierpinski Carpet）。
谢尔宾斯基地毯是通过在一个正方形中去除中央的正方形并以余下部分的8个缩小副本填充而生成的。
经过无限次反演操作后，谢尔宾斯基地毯逐渐呈现出结构复杂、形状不规则的特点。
此外，自反演分形还包括谢尔宾斯基三角形、迭代函数系统等。
三、自平方分形自平方分形是指通过自身的平方操作而生成的分形。
其中最典型的自平方分形是曼德勃罗集（Mandelbrot Set）。
曼德勃罗集是以数学家本尼迪克特·曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）命名的，它是复平面上一组逃逸时间无限的点的集合。
曼德勃罗集的图像呈现出规则的几何结构和复杂的边界特征，具有无限细节和自相似性。
此外，自平方分形还包括朱利亚集、维诺亚图等。
总结：自仿射分形、自反演分形和自平方分形是分形中的三种重要类型。
它们分别以自我仿射、自我反演和自我平方的方式生成具有非整数维度的几何形状。
这些分形呈现出丰富的细节和复杂的结构，具有独特的美学价值和数学属性。
通过研究分形，我们不仅可以欣赏到自然界和数学世界中的奇妙形态，还可以深入探索细节世界中的规律和普遍性。
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中学数学中的分形几何
广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣（542502）
桂林市第十八中学数学组蒋雪祥（541004）
内容提要：本文论述了规则图形的容量维，对容量维的计算作了说明，同时还对4个较为著名的与中学有关的，或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。
关键字：容量维Sierpinski三角毯Koch曲线
Koch岛Sierpinski-Menger海绵
1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
数千年来，几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。
分形几何对我们大多数人来说是陌生的，因为它看起来离我们太远。
其实分形就在我们身边，在近年的竞赛与高考中，分形的影子已经出现。
中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。
笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。
一、规则图形的容量维
为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。
维数是描述客体的重要几何参量。
也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。
已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。
这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。
维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘2，就得到另一个线段，长度为n=2个原线段长度。
一正方形，每边长×2，得到一个大的正方形，它等于4个原来大小的正方形。
一立方体，每边长×2，得到一个大的立方体，它等于8个原来大小的立方体。
由此可以推得，一个d维的几何对象，它的每一个独立方向都增长L倍，结果得到N个原来的对象，这三者的关系为,两边取自然对数，得维数。
在本例的正方体中，如果是L=2,则必有N=8,于是就有，即立方体是三维的。
将上式的定义加以推广，就得到d不必一定是整数，它可以是分数，我们就把这样推广定义的维数称为分维（fractal），用字母"" 表示。
对于规则的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数L。
而对于不规整的复杂体，如海岸线的长度，总长度与测量单位有关，为了得到精确的测量，不是把尺寸放大L倍，而是测量单位缩小为原来的ε倍，L＝１／ε，测量长度次数Ｎ随ε减小而增大，记为Ｎ（ε），这时分维定义为：。
上式定义的分维称为容量维，又称为柯尔莫哥洛夫（Ａ.Ｎ.Kolmogorov）容量维。
可以证明，拓扑维d和分维满足如下关系：d≤式中取等号是对普通规则几何对象而言的。
容量维为非整数的典型的例子是康托集合。
如图示，考虑一闭合线段[0,1]，将其分成三等分，舍弃中段，剩下的两段
再分别三等分和舍弃中段，如此继续下去，最后剩下的点的总体就是康托集合。
它是一种处处稀疏的对象（自相似结构），其拓扑维d=0，现在来求它的分维。
当ε＝1/3，N=2；当ε
＝1/9，N=4；...亦即当时，N=。
于是可得康托集合的容量维为由此可见康托集合满足关系d ≤D。
奇怪吸引子的维数从一个侧面反映了说明此吸引子所必须的信息量，它是该系统中最重要和最主要的信息，对它的细致研究将有利于我们抓住问题的主要方面，更根本地分析和认识问题。
二、中学数学分形问题与分形几何学问题的例子
例1、将一个三角形的三边中点连结，挖去所得的小三角形；再将剩下的图形的各边的中点
连结，各得一个三角形，挖去所得三角形；如此继续下去，第七次总共可得多少个三角形（例如第二次挖去后，总共有13个三角形）？
第一次（4个）第二次（13个）第三次（40个）
这个问题就是分形几何学中所说的Sierpinski三角毯，在我们竞赛中是一个数列问题，而在分形几何中，它是一个规则的分形。
其中白色的三角形共有（n为第n次挖取）。
当然在分形几何中，所研究的不是三角形的个数，而是利用下述公式从测度的角度把规则图形的维度D确定为。
这里的是测量单元的尺寸，是测度得到的规则图形的测量单元数。
本例中=，=于是得到此分形图的容量维为
例2、如图，挖去线段中间的后，加上等边三角形的二边，形成四段等长线段组成的折线，如此无限地进行下去，形成处处连续、但处处不可微的Koch曲线。
在数学竞赛中，本问题是要求折线的条数。
第n次变换后有条。
但在分形几何中，用上述的公式可以计算此分形图的容量维为
例3、如图，这是著名的n级三分Koch岛，在我们的问题中，一是可能问及的问题是，每次三分后，边长如何变化；二是当其进行无限次等分后，其面积是多少。
前者是数列通项问题，后者是数列与极限问题。
在分形几何中，其容量维仍为。
例4、正方体27等分（沿三条棱三等分）成27个小正方体，挖去中心和6个面中心位置上总共6个小正方体，留下20个小正方体，如此无限进行，试求当进行到第n次时，有多少个小正方体。
其容量维为多大？
此为分形几何中著名的Sierpinski-Menger海绵，其中正方体有个，其容量维为
上述几个例子说明了分形几何已经成为中学数学的一个问题源。
这只是分形几何中与中学学习中最能让我们理解的几个问题，还有许多问题需要我们许多同行去研究挖掘。
不难看出，这些问题还只是处于其最常见的变形为数列或几何问题，其基本数学思想还没有进入中学。
某些地区已经将分形几何作为中学生学习内容，可以预见，分形几何不仅在内容上走进中学，其根本的思想也将在不久的未来进入中学课堂。
学生经常问数列的一些问题是如何来的，一些立体几何问题为什么那么看起来无聊而又一再考试，这些都是应当看到和说明的。
教师应当了解一点分形几何，从而拓宽自己的数学问题源，让自己的知识更加丰富，通过这些有趣的知识调动学生的学习积极性、激发学生的求知欲，这无疑是一个很好的选择。
教师为学习分形几何可以参考的书有许多，笔者所阅读的书列于本文之后的参考资料。
参考资料：Thomas L.Pirnot 著Mathematics All Around 机械工业出版社，2003年1月第1版
孙霞等编著分形原理及其应用中国科技大学出版社，2003年10月第1版。