轴对称复习二作业

轴对称复习二作业
1．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm ，∠BEG=60°，求折痕
EF 的长．
考点：翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形．
分析：由于∠BEG=60°，根据折叠可以得到∠GEF=∠CEF=60°，而
AD=BC ，AD=30cm ，BE=20cm ，在直角三角形CEF 中利用直角三角
形的性质即可求解．
解：依题意得∠GEF=∠CEF ，而∠BEG=60°，
∴∠GEF=∠CEF=60°，
∵AD=30cm ，BE=20cm ，
∴CE=BC-BE=AD-BE=10cm ，
而在Rt △CEF 中，∠CFE=30°，
∴EF=2CE=20cm ．
2．如图：△ABC 中，AB=AC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、
① 若△BCD 的周长为8，求BC 的长；② 若BC=4，求△BCD
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析：（1）利用线段垂直平分线的性质可知BD+CD=5，易求BC ；
（2）根据第一问中BD+CD=5，易求△BCD 的周长．
解：①AB=AC=5，DE 垂直平分AB ，
故BD=AD ．BD+CD=AD+CD=5．△BCD 的周长为8⇒BC=3；
②∵BC=4，BD+CD=5，
∴△BCD=BD+CD+BC=9．
3．如图所示，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA=DB=DC 。

（1）已知∠A=︒30，求∠ACB 的度数；（2）已知∠A=40∠ACB 的度数；
（3）已知∠A=︒x ，求∠ACB 的度数；（4）请你根据解题结果归纳出一个结论。

考点：三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．
分析：（1）（2）（3）利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出答案；
（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°． B
解：（1）∵在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA=DC ，∠A=30°
∴∠ACD=30°
∵∠CDB 是△ACD 的外角
∴∠CDB=60°
∵DB=CD
∴∠DCB=∠B=60°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=30°+60°=90°；
（2）若∠A=40°，同（1），可知∠ACD=40°，∠CDB=40°+40°=80°
∠DCB=1 2 （180°-∠CDB ）=1 2 （180°-80°）=50°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=40°+50°=90°；
（3）若∠A=x °，同（1），可知∠ACD=x °，∠CDB=x °+x °=2x °
∠DCB=1 2 （180°-∠CDB ）=1 2 （180°-2x °）=90°-x °，故∠ACB=∠ACD+∠DCB=x °+90°-x °=90°；
（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90°．
4．如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE=EF=FC 的道理。

考点：线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质． 分析：先根据线段的垂直平分线的性质和角平分线性质得到有关的角和
线段之间的等量关系：∠OBC=∠OCB=30°，OE=BE ，OF=FC ；
再利用三角形的外角等于不相邻的两内角和求出∠OEF=60°，∠OFE=60°． 从而判定△OEF 是等边三角形即OE=OF=EF ，通过线段的等量代换求证即可． 解：连接OE ，OF 则在等边三角形ABC 中．
∵∠B 、∠C 的平分线交于点O
，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，
∴∠OBC=∠OCB=30°，OE=BE ，OF=FC ．
∴∠OEF=60°，∠OFE=60°．
∴OE=OF=EF ．
∴BE=EF=FC ．
5．已知：如图所示，△ABC 中，AB=AC ，点E 在CA 的延长线上，且∠AEF=∠AFE 。

求证：E F ⊥BC 。

考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析：延长EF 交BC 于点D ，设∠AEF=∠AFE=∠BFD=x °，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠B=∠C=90°-x °，再根据三角形内角和定理即可推出∠BDE=90°，从而得到EF 和BC 的位置关系为垂直．
解：EF ⊥BC ． A B O E F C
延长EF交BC于点D，设∠AEF=∠AFE=∠BFD=x，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B+∠C=∠BAE=180°-2x，
∴∠B=∠C=90°-x，
∴∠BDE=180°-∠B-∠BFD=180°-（90°-x）-x=90°，
∴EF⊥BC．
6 如图14－11所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长（10分）.
考点：线段垂直平分线的性质．
分析：先根据线段垂直平分线的性质求出DA=DB，再通过
等量代换可求出BD+CD的长，根据△BDC的周长即可解答．
解：∵ED是AB的垂直平分线，
∴DA=DB．
又∵△BDC的周长为17m，AB=AC=10m，
∴BD+DC+BC=17，
∴DA+DC+BC=17，即AC+BC=17
∴10+BC=17，
∴BC=7m．
7.如图14－97所示，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线于点F.试证明DE=DF.
考点：等腰三角形的判定；平行线的性质．专题：证明题．
分析：利用平行线及角平分线的性质先求得CD=ED，CD=DF，
然后等量代换即可证明DE=DF．
证明：∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2．
∵CF为外角∠ACG的平分线，
∴∠4=∠5．
∵EF∥BC，
∴∠4=∠F，∠2=∠3．
∴∠1=∠3，∠F=∠5．
∴CD=ED，CD=DF（等角对等边）．
∴DE=DF．。