2020年天津市七校高三上学期期末考试数学(理)试题(Word版含解析)
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
天津津津中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析
天津津津中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数满足对任意，则的取值范围( ) Ks5uA． B. C． D．参考答案：C略2. 如图1，四棱柱中，、分别是、的中点．下列结论中不正确的是A． B．平面C． D．平面参考答案：【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．G4 G5D 解析：在B中：连接A1B，由平行四边形的性质得A1B过E点，且E为A1B的中点，则EF∥A1C1，又A1C1?平面ACC1A1，EF?平面ACC1A1，∴EF∥平面ACC1A1，故B正确；在A中：由正方体的几何特征可得B1B⊥面A1B1C1D1，又由A1C1?面A1B1C1D1，可得B1B⊥A1C1，由EF∥平面ACC1A1可得EF⊥BB1，故A正确；在C中：由正方形对角线互相垂直可得AC⊥BD，∵EF∥A1C1，AC∥A1C1，∴EF∥AC，则EF与BD垂直，故C正确；在D中：∵EF⊥BB1，BB1∩BC=B，∴EF与BC不垂直，∴EF⊥平面BCC1B1不成立，故D错误．故选：D．【思路点拨】在B中：连接A1B，由平行四边形的性质得EF∥A1C1，由此能推导出EF∥平面ACC1A1；在A中：由正方体的几何特征得B1B⊥面A1B1C1D1，由A1C1?面A1B1C1D1，得B1B⊥A1C1，由此能求出EF⊥BB1；在C中：由正方形对角线互相垂直可得AC⊥BD，从而得到EF与BD垂直；在D中：由EF⊥BB1，BB1∩BC=B，得EF与BC不垂直，从而EF⊥平面BCC1B1不成立．3. 某颜料公司生产A、B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨；生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨、200吨．如果A产品的利润为300元/吨，B产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天内可获得的最大利润为（）A．14000元B．16000元C．18000元D．20000元参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，再利用利润z=300x+200y的几何意义求最值即可．【解答】解：设生产甲x吨，乙y吨，则（x，y∈N）利润z=300x+200y，可行域如图所示，由，可得x=40，y=10，结合图形可得x=40，y=10时，z max=14000．故选：A．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用及一元一次不等式组的解法的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键．4. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位参考答案：A【分析】由条件利用的图像变换规律，得到结论。
2020年天津南开区第七十四中学高三数学理上学期期末试题含解析
2020年天津南开区第七十四中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是减函数，若f（ln）+f（ln）﹣2f（1）＜0，则的取值范围是（）A．（0，）B．（，e）C．（e，+∞）D．（0，）∪（e，+∞）参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由函数为定义在R上的偶函数且在区间[0，+∞）上是单调减函数，则不等式可转化为f（ln）＜f（1），求解对数不等式即可解得答案．【解答】解：∵f（x）定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调减函数∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，又f（ln）+f（ln）﹣2f（1）＜0，∴f（ln）＜f（1），∴|ln|＞1，∴ln＞1或ln＜﹣1，可以解得，的取值范围是（0，）∪（e，+∞）．故选：D．2. 已知是定义在上的函数，且满足,．若曲线在处的切线方程为，则曲线在处的切线方程为A． B． C ． D．参考答案：D【知识点】函数的图象与性质 B4 B8由题意可知函数为偶函数，且函数关系对称，所以函数的周期为4，又根据处的切线方程为，可知处的切线方程为，所以向右平移4个单位可得在处的切线方程.【思路点拨】根据函数的性质可判定函数的对称轴与周期，再经过图象的平移可得到切线方程.3. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A、B、C、D、参考答案：A略4. 函数是（）A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数参考答案：A，所以是最小正周期为的奇函数，选A.5. 已知点A（1，0），若曲线G上存在四个点B，C，D，E．使△ABC与△ADE都是正三角形，则称曲线G为“双正曲线”．给定下列四条曲线：①4x+3y2=0；②4x2+4y2=1；③x2+2y2=2；④x2－3y2=3其中，“双正曲线”的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B略6. 复数的值是（）A． B． C．D．参考答案：B7. 已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（）（A）（B）1 （C）（D）参考答案：B8. 下列有关命题的说法中错误的是（）A．若“”为假命题，则、均为假命题B．“”是“”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．若命题p：“实数x使”，则命题为“对于都有”参考答案：9. 在边长为2的正方形内随机抽取一个点，则此点在正方形的内切圆内部的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A10. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A． B．C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数在内有极小值，则实数的取值范围是___________．参考答案：略12. 如图，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ．已知PA=AB=2，PO=8．则BD 的长为．参考答案：【知识点】切割线定理N1 解析：连接BO,设圆的半径为，由切割线定理可得，解得，在中根据余弦定理，所以，所以再次利用余弦定理有,所以,故答案为。
天津市南开区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析
2019-2020学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共9小题）1.设全集2，3，，集合，，则等于A. B. C. D. 3，2.命题“，ln ”的否定是A. ，lnB. ，lnC. ，lnD. ，ln3.下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是A. B. C. D.4.已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5.设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.6.过点，斜率为k的直线，被圆截得的弦长为，则k的值为A. B. C. D.7.函数的最大值与最小值之和为A. B. C. 0 D.8.已知点，抛物线C：的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则：A. 2：B. 1：2C. 1：D. 1：39.四边形ABCD中，，，，，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题）10.复数的共轭复数是______．11.曲线在点处的切线方程为______．12.四棱锥的底面ABCD是正方形，平面ABCD，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，，则此球的表面积等于______．13.设双曲线C经过点，且与具有相同渐近线，则C的方程为______；渐近线方程为______．14.已知正数x，y满足，则当x______时，的最小值是______．15.对于实数a和b，定义运算“”：，设，若函数恰有三个零点，，，则m的取值范围是______；的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题）16.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，的面积为．Ⅰ求a及sin C的值；Ⅱ求的值．17.如图，已知直三棱柱的底面是直角三角形，，，．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ求点到平面的距离．18.已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，若右焦点到直线的距离为3．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ设椭圆C与直线相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E．当，时，射线OE交直线于点为坐标原点，求的最小值；当，且时，求m的取值范围．19.已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ令，证明：；Ⅲ求．20.已知函数．Ⅰ讨论的单调性；Ⅱ若对恒成立，求实数a的取值范围；Ⅲ当时，设为自然对数的底若正实数，满足，，，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：全集2，3，，集合，，，．故选：B．先求出，由此能求出的值．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，ln ”的否定是：，ln ．故选：A．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.【答案】A【解析】解：函数为奇函数，不满足条件．B.函数的定义域为，函数为偶函数，当时，为减函数，不满足条件．C.为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D.，函数为偶函数，当时，为增函数，满足条件，故选：A．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】C【解析】解：等差数列的公差为d，，，，则“”是“”的充要条件，故选：C．化简求解，再判断充要性．本题考查充要性，以及数列，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：，，，，，，，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A【解析】解：设直线方程为，即，圆截得的弦长为，圆心到直线的距离为，，．故选：A．设直线方程为，利用圆截得的弦长为，求出圆心到直线的距离为1，即可得出结论．本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，确定圆心到直线的距离为1是关键．7.【答案】D【解析】解：函数，由，得，所以，所以y的最大值为2，最小值为，所以y的最大值与最小值之和为．故选：D．化函数y为正弦型函数，根据x的取值范围即可求出y的最大值与最小值之和即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：抛物线C：的焦点为，点A坐标为抛物线的准线方程为l：，直线AF的斜率为，过M作于P，根据抛物线物定义得中，，，可得，得因此，，可得：：故选：C求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率过M作于P，根据抛物线物定义得中，根据，从而得到，进而算出，由此即可得到：的值．本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，以点B为原点，直线BA为x轴，建立平面直角坐标系，则：，设，，，，，，，设，，，，的取值范围为．故选：C．根据题意，以点O为原点，以直线BA为x轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出，设，从而可求出的坐标，根据条件可得出，从而得出，从而可设，从而可得出，从而可得出的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，向量坐标的数量积运算，圆的参数方程，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．10.【答案】【解析】解：复数的共轭复数是．故答案为：．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．11.【答案】【解析】解：的导数，，而切点的坐标为，曲线在在处的切线方程为．故答案为：根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．12.【答案】【解析】解：因为四边形ABCD是正方形，且平面ABCD，所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中，则该长方体的长、宽、高分别为2、2、4，它们的外接球是同一个，设半接球半径为R，所以，解得，所以表面积为．故答案为：．根据四棱锥的特征，确定其所属的类型可以转化为长方体外接球问题，即可求解．本题考查球的表面积，考查长方体的外接球问题，属于中档题．13.【答案】；【解析】解：与具有相同渐近线的双曲线方程可设为，，双曲线C经过点，，即双曲线方程为，即，对应的渐近线方程为，故答案为：，．利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．14.【答案】9【解析】解：正数x，y满足，，可得，，令则且，，，当且仅当即，此时取最小值9，故答案为：，9．由已知可得，，可得，代入后进行分离，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．15.【答案】【解析】解：当时，即，，当时，即，，所以，因为有三个零点，所以与的图象有三个交点，即与函数有三个交点，作出的图象，如图，所以，不妨设，易知，且，所以由解得，所以，所以．故答案分别为和首先根据定义求出函数的解析式，因为有三个零点，所以与的图象有三个交点，根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而求解三个零点之积的取值范围．本题考查函数的零点与函数图象间交点的关系，属于常规题．16.【答案】解：Ⅰ在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，，的面积为，，，，．再根据正弦定理可得，即，．Ⅱ，，故．【解析】Ⅰ由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin A的值，再根据三角形的面积求得b、c的值，再利用余弦定理、正弦定理求得a及sin C的值．Ⅱ利用二倍角公式求得sin2A、cos2A的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角差的余弦公式，属于中档题．17.【答案】解：依题意，以C为原点，CB为x轴，为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，Ⅰ证明：，设平面的一个法向量为，则，令，则，，即，平面；Ⅱ，设平面ABD的一个法向量为，则，令，则，又平面的一个法向量为，，即二面角的余弦值为；Ⅲ设点到平面的距离为d，则易知，而，点到平面的距离为．【解析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，Ⅰ求出及平面的法向量，验证它们平行即可得证；Ⅱ求出两个平面的法向量，利用向量公式得解；Ⅲ设点到平面的距离为d，则易知，由此得解．本题考查利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解Ⅰ，设椭圆的右焦点，，由题意得：，，，解得：，，所以椭圆的方程：；Ⅱ设，，将直线与椭圆联立整理得：，，即，且，，所以MN的中点，所以射线OE：，与直线的交点，所以，所以，当且仅当，，所以时有最小值2．当，且时，则，所以，即，，，解得，所以m取值范围．【解析】Ⅰ由题意得b值及右焦点到直线的距离得c的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆方程；Ⅱ直线MN与椭圆联立，得两根之和进而求出中点坐标，写出射线OE求出n的值，再求，用均值不等式求出最小值；由题意知，斜率互为负倒数得m与k之间的关系，再与判别式大于零联立得m的范围．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．19.【答案】解：Ⅰ设数列是公比为q的等比数列，数列是公差为d的等差数列，由，，，，可得，，，解得，，，则，；Ⅱ证明：，；Ⅲ由，可设，，相减可得，化简可得．【解析】Ⅰ设数列是公比为q的等比数列，数列是公差为d的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公比、公差，可得所求通项公式；Ⅱ由对数的运算性质求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证；Ⅲ由，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和、错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.【答案】解：Ⅰ函数的定义域为，，当时，，函数在上单调递增；当时，令解得，令解得，故此时函数在上单调递增，在上单调递减；Ⅱ对恒成立，即为对任意的，都有，设，则，令，则，在上单调递减，且，当时，，，单调递增；当，，，单调递减，，实数a的取值范围为．Ⅲ证明：当时，，，不妨设，下先证：存在，使得，构造函数，显然，且，则由导数的几何意义可知，存在，使得，即存在，使得，又为增函数，，即，设，则，，，，由得，，即【解析】Ⅰ求导，分及解不等式即可得到单调性；Ⅱ依题意，问题可转化为对任意恒成立，进而转化为求函数的最值问题；Ⅲ先证存在，使得，结合为增函数，可得结论，令，再利用所证结论即可得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，本题的背景知识是拉格朗日中值定理及凸函数的定义，要求学生有较丰富的知识储备及较强的运算分析能力，属于难题．。
天津自立中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析
天津自立中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若则=（）A．B．C．D．参考答案：2. 已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C．D．参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z1，z2，求出z1、z2在复平面上对应的点的坐标A、B，则答案可求．【解答】解：∵（1+2i）z1=﹣1+3i，∴z1===1+i，∵，∴z2=1+（2i）5=1+32i，∴z1、z2在复平面上对应的点的坐标分别为A（1，1）、B（1，32），则|AB|=．故选：A．3. m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m?α，m⊥β，则α⊥βD．若m?α，α⊥β，则m⊥β参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B中，m与β平行或m?β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m与β相交、平行或m?β．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m与β平行或m?β，故B错误；在C中，若m?α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m?α，α⊥β，则m与β相交、平行或m?β，故D错误．故选：C．4. 若函数满足：“对于区间(1,2)上的任意实，恒成立”，则称为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是A． B． C．D．参考答案：A略5. 给出两个命题：：的充要条件是为非负实数；：奇函数的图像一定关于原点对称，则假命题是A．或Ｂ．且C．﹁且D．﹁或参考答案：C6. 若，，，则（）A． B． C． D．参考答案：D试题分析：，，，，故选D.考点：定积分；比较大小7. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )A．3 B. C. D．3参考答案：C8. 已知函数，则不等式的解集是（）A. [－1,2]B. [－2,1]C. (－∞, －1]∪[2,+∞)D. (－∞,－2]∪[1,+∞)参考答案：A【分析】先判断函数的奇偶性，将不等式化为，再由函数的单调得到，求解即可得出结果.【详解】因为函数，所以，因此函数为奇函数，所以化为，又在上恒成立，因此函数恒为增函数，所以，即，解得.故选A 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、以及单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念以及利用导数研究函数的单调性的方法即可，属于常考题型.9. 已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点.若，则双曲线的离心率为()A． B．C． D．参考答案：D略10. 设，则∩=（）A．B．C．D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数（a为常数）在（-2，2）内为增函数，则实数a的取值范围是.参考答案：12. 若实数x，y满足，则x+2y的最小值是．参考答案：【考点】7C ：简单线性规划．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，即可求出z=x+2y 的最小值．【解答】解：依题意作出可行性区域，标函数z=x+2y 可看做斜率为﹣的动直线在y 轴上的纵截距． 数形结合可知，当动直线过点O 时， 目标函数值最小z=0+0=0 故答案为：0．13. 已知点满足则点构成的图形的面积为 ．参考答案：2 略14. 已知过曲线上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为，则点坐标是___________.参考答案：15. 设点P 是曲线上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为．参考答案：[0°，90°]∪[120°，180°）略16. 已知直线与曲线相切于点，则。
【精准解析】天津市西青区2020届高三上学期期末考试数学试题+Word版含解析
直线 PF1 的斜率及直线 PF2 的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得 a, b 的关系，根据
只要坚持 梦想终会实现
-3-
高中学习讲义
双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.
详解：设双曲线渐近线 l1 的方程为
y
b a
x
，
l2
的方程为
y
b a
x
，
则设 P 点坐标为 (x, b x) ， a
-7-
高中学习讲义
故答案为： 4 3 .
【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去
推导四面体的几何形态，从而解决问题.
13.已知 ab＞0，a+b＝3，则 b2 a2 的最小值为_____． a 2 b1
3
【答案】
2
【解析】
【分析】
根据 a b 3 ，巧妙配凑出 1，使得均值不等式可以使用，再用均值不等式求解最小值.
【答案】 60
【解析】
只要坚持 梦想终会实现
-6-
高中学习讲义
【分析】 首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种 数. 【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，
然后从 5 名男医生、 4 名女医生中分别抽调 2 名男医生、 2 名女医生， 故选派的方法为： C52C42 10 6 60 . 故答案为 60 ．
【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情 发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元 素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
12.已知四面体 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且 PO⊥平面 ABC，2AC 3 AB，若四 3
2020届天津市和平区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届天津市和平区高三上学期期末数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合{|13}A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，则集合()R A B =I ð（ ） A ．{}1,0- B ．()1,1(2,3]-⋃C ．(0,1)(1,2)(2,3]⋃⋃D ．{}0,3【答案】D【解析】根据集合{|13}A x Z x =∈-<≤，写出集合中的元素，然后根据交并补的定义计算即可.解：{}{|13}=0,1,2,3A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，{}|12R B=x x x ≠≠且ð，则()R A B =I ð{}0,3. 故选：D.本题考查集合交并补的定义和运算，考查列举法表示集合，属于基础题. 2．设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果. 解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件. 故选：C.本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3．奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，则()()63f f +-的值为（ ） A ．-10 B ．15C ．10D ．9【答案】D【解析】根据条件分析，可知()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，进而可以求出()()63f f +-的值.解：()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，即()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，所以()()639f f +-=.故选：D.本题考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ．求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5．设0.22a =，3log 0.9b =，0.11log 4c =+，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】根据对数的运算可以化简0.14og .l 0c =，所以可得01c <<.同理可知12a <<，10b -<<，由此可以比较,,a b c 的大小关系.解：0.22a =，则12a <<，333log 0.9log 9log 10b ==-，10b -<<，0.10.11log 4.log 04c =+=，所以01c <<，所以a c b >>.故选：A.本题考查指对函数大小的比较，考查中间值法的应用，涉及对数函数的运算性质，属于基础题.6．将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．54π【答案】B【解析】先根据题意化简sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到()1sin 22y x ϕ=+，再沿x轴向左平移8π，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据得到的函数为偶函数，所以可知,42k k Z ππϕπ+=+∈，由此解出,4k k Z πϕπ=+∈，逐一判断选项即可得出结果.解：()1sin cos sin 2222y x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，沿x 轴向左平移8π个单位后，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，解得：,4k k Z πϕπ=+∈，所以ϕ的取值不可能是4π-. 故选：B.本题考查正弦函数的二倍角公式、考查三角函数平移以及三角函数的奇偶性，熟悉三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.7．抛物线28y x =的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，()(),0A m n n >为抛物线上一点，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，若||8AF =，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】C【解析】由直线AF 与双曲线有且只有一个交点可知，直线AF 与双曲线的渐近线平行.又抛物线与双曲线共焦点，||8AF =，所以利用抛物线的定义，可求出A 点坐标，从而求出直线AF 的斜率，从而求出双曲线渐近线的斜率ba=率.解：()(),0A m n n >，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，所以直线AF 与双曲线的渐近线平行. ||8AF =，F 为抛物线的焦点，所以6m =，代入28n m =，则n =即(6,A ，AF k ==b a =2e ==.故选：C.本题考查求双曲线的离心率，涉及到直线与双曲线的位置关系，以及抛物线定义的转化，属于中档题.8．某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（ ） A ．136B ．112C ．16D ．13【答案】C【解析】3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，所以要先确定每位同学所选的是何种类型，又每个类型入选的可能为12，13，16，计算结果即可.解：3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，则3名同学的选法共有33A 种情况，每个类型入选的可能为12，13，16，所以全部入选的概率为111123636⋅⋅=，则3名同学所选不同类型的概率为3311112366A ⋅⋅⋅=.故选：C.本题考查相互独立事件的概率，涉及分类加法的思想，属于基础题.9．已知函数21)110()20x x f x x x x x ++-<≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩.若方程()1f x kx =+有两个实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．2(1,]ln 2C ．(1,2]D ．12,2ln 2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】逐段分析函数()f x的单调性和最值，)x ∈+∞时，22()x x f x x++=，以1y x =+为渐近线，所以1k >时，与22()x x f x x++=，)x ∈+∞有一个交点.当1y kx =+与()1)1f x x =++相切时，即2ln 2k <时，1y kx =+与()1)1f x x =++有一个交点，由此，可求出k 的取值范围.解：当10x -<≤时，()1)1f x x =++，在(]1,0-上单调递增，在0x =处有最大值1．当0x >时，22()x x f x x++=，在(上单调递减，在)+∞上单调递增，在x处取得最小值1．以1y x =+为渐近线，直线1y kx =+与()1)1f x x =++必有一个交点，若方程()1f x kx =+有两个实根，则令一根在)+∞上，所以斜率1k >，且不能与()1)1f x x =++相交，'()f x ='2(0)ln 2f ==.所以斜率k 的取值范围是2(1,]ln 2. 本题考查直线与曲线的交点问题，分析函数的单调性以及切线是常用的方法，属于中档题.二、填空题10．设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.由题得i 1i 2i 22a az -==--， 因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a ＝3．故答案为3本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．已知a ＞0，62(?)a x x的二项展开式中，常数项等于60，则(x –)6的展开式中各项系数和为 （用数字作答）． 【答案】1【解析】试题分析：62(?)a x x 展开式通项为6631662()()r r r r r rr a T C x a C x x--+=-=-，由630,2r r -==得常数项2226()60,()1560,2(0)a C a a a -=-⨯==>，所以，令1x =得622(?)x x 的展开式中各项系数和为1 【考点】二项式定理.12．设随机变量X 的概率分布列如下表，则随机变量X 的数学期望EX =__________．X1 2 3 4P13m14 16【答案】94【解析】利用分布列中概率和为1可求出14m =，然后通过求期望的公式即可求出期望值.解：1111346m +++=，所以14m =.所以11119123434464EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：94.本题考查求分布列的期望，解题的关键是熟记期望的公式，属于基础题.13．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，1AC =，60BAC ∠=o ，则此球的表面积等于______． 【答案】8π【解析】【详解】试题分析：由已知条件得：01121sin 6032AA ⨯⨯⨯⨯=，∴12AA =，∵22202cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴3BC =， 设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R =，∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于24(2)8ππ=. 【考点】1.棱柱的体积公式；2.余弦定理；3.球的表面积.14．如图，在ABC V 中，3AB =,4AC =,45BAC ∠=︒,2CM MB =u u u u r u u u r，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若AP mAB =u u u r u u u r ，AQ nAC =u u ur u u u r ，则当32m =时，n =___________,AP AQ ⋅=u u u r u u u r __________．【答案】35272 【解析】(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，根据平行线等分线段成比例，求出13BN AQ =u u u r u u u r ，12NB CQ =u u u r u u u r ，进而得出1123CQ QA =u u ur u u u r ，从而推导出,AQ AC u u u r u u u r 之间的关系. (2).根据第(1)问求出的比例关系，计算出||AP uuu r ，||AQ u u u r的长，又45BAC ∠=︒，由向量的数量积公式即可计算结果.解：(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，32AP AB =u u u r u u u r ，则13BN AQ =u u u r u u u r.又2CM MB =u u u u r u u u r ，则12NB CQ =u u u r u u u r ，∴ 1123CQ QA =u u ur u u u r ，35AQ AC =u u u r u u u r .(2). 32AP AB =u u u r u u u r ，所以39||322AP =⨯=u u u r ，35AQ AC =u u u r u u u r ，312||455AQ =⨯=u u u r ，AP AQ ⋅=u u u r u u u r 9122272||||cos 452525AP AQ ⋅=⨯⨯=o u u u r u u u r . 故答案为：35，2725.本题考查平行线等分线段成比例，考查平面向量数量积的应用，熟悉数量积公式是解题的关键，属于基础题.15．已知正实数,x y 满足22412x y xy +=+，则当x =__________时，121x y xy++的最小值是__________． 【答案】126 【解析】利用基本不等式可知12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号.而121x y xy ++运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在122y x ==时取得最小值，由此得解. 解：由题意可知：2222412244x y xy x y xy +=+≥=⋅，即12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号，21211211222221x y xy x y xy xy xy xy ++≥⋅=+=-∴22226≥-=，当且仅当“122y x ==”时取等号. 故答案为：12，6. 本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.三、解答题16．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、.已知2224cos c a b bc C =+-，且2A C π-=.（1）求cos C 的值； （2）求cos 3B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）cos 5C =（2【解析】（1）2224cos c a b bc C =+-，由余弦定理可得2a c =，再由正弦定理可得sin 2sin A C =,将2A C π-=，代入化简可得2sin cos C C =，从而求出cos C 的值.（2）由条件2A C π-=，可知5cos cos 236B C ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又cos 5C =，进而可求出sin C ，sin 2C ，以及cos 2C 的值，利用两角差的余弦即可求出结果. 解：（1）∵2224cos c a b bc C =+-,由余弦定理可得2a c =， ∴由正弦定理得sin 2sin A C =, 又∵2A C π-=,∴sin sin cos 2A C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, ∴2sin cos C C =，又∵22sin cos 1C C +=,解得cos 5C =.（2）由（1）知sin C =, ∴4sin 22sin cos 5C C C ==,23cos 22cos 15C C =-=, ∴5cos cos cos 2336B A C C ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭55coscos 2sin sin 266C C ππ=+314525=+⋅=本题考查利用正余弦定理转化解三角形，考查两角和与差的余弦以及二倍角公式，属于中档题.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（325．【解析】试题分析：（1）因为顶点在1A 在底面ABC 上的的射影恰好为B 得到1A B AC ⊥，又AB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）建立空间直角坐标系，求出()10,2,2AA =u u u r ，()112,2,0BC B C ==-u u u r u u u u r，利用向量的数量积公式求出棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）求出平面PAB 的法向量1n u r ，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =u u r，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值．试题解析：（1）证明：1A B ABC ⊥Q 面，1A B AC ∴⊥，又AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，1AC AB B ∴⊥面，1AC A AC ⊂Q 面，11A AC AB B ∴⊥平面平面．（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2C B A ，()10,4,2B ，()12,2,2C ，()10,2,2AA =u u u r ，()112,2,0BC B C ==-u u u r u u u u r，1111cos ,288AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅u u u r u u u r u u u u u u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故1AA 与棱BC 所成的角是3π． （3）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()1,3,2P ．设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =u r，则110,{0n AP n AB ⋅=⋅=u r u u u r u r u u u r ，由()()1,3,2{0,2,0AP AB ==u u u r u u u r ，得320{20x y z y ++==，令1z =，则()12,0,1n =-u r ， 而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =u u r ．则12121225cos ,5n n n n n n ⋅〈〉==-=-⋅u r u u r u r u u r u r u u r ． 由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是25．【考点】利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线与平面垂直的判定．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1M 作直线1l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O :2224a x y +=于另一点N .若ABN V 的面积为3，求直线1l 的斜率. 【答案】（1）22143x y +=（2）12± 【解析】（1）由题意可知：当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △面积取最大值，又离心率为12，则可以列出方程222121232c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解出,,a b c 的值即可求出椭圆的方程.（2）首先讨论两条直线中斜率为0和斜率不存在的情况，判断三角形的面积是否为3；然后讨论一般情况，设直线1l 的方程为1y kx =+，直线2l 的方程为11y x k=-+，分别与椭圆和圆联立，用K 表示出线段AB 的长和点N 到直线1l 的距离，表示出ABN V 的面积，即可求出斜率的值.解：（1）∵椭圆C 的离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时， 12PF F △.∴22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为：22143x y +=. （2）若1l 的斜率为0，则||AB =||2MN =， ∴ABN V，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0. 设直线1l 的方程为1y kx =+， 由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122834k x x k -+=+，122834x x k -=+，∴||AB ==直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=，∴||MN ==∴ABN V的面积11||||322S AB MN =⋅==， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±. 本题考查根据基本量求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的表示，同时考查了学生的计算能力和分析问题的能力，属于中档题.19．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528++=a a a ，42a +是3a 、5a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试比较()()11211nk k k k a a a =++--∑与12的大小，并说明理由； （3）若数列{}n b 满足()*21log n n b a n N +=∈，在每两个k b 与1k b +之间都插入()1*2k k N -∈个2，使得数列{}n b 变成了一个新的数列{}p c ，试问：是否存在正整数m ，使得数列{}p c 的前m 项和2019=m S ？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）12n n a -=（2）111112212n +⎛⎫-< ⎪-⎝⎭,详见解析（3）存在992m =，使得2019=m S【解析】（1）根据条件列出方程组，解基本量即可.（2）由（1）可知通项为：()()1211k k k a a a ++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭，对通项裂项可得：()()1112111221212121k k k k k -++⎛⎫=- ⎪----⎝⎭，从而可求出前n 项和，即可比较出大小关系.（3）由（2）可知：212log log 2n n n b a n +===数列{}p c 中含有12,,,n b b b L 含有个2，所以数列{}p c 中，k b 的前所有项之和为()0122(123)22222k S k -=+++++++++L L ，求出S ，代入k 的具体值，可知当10k =时，1077S =，当11k =时，2112S =，所以在10k =的基础之上加上471个2可得2019S =，把前面所有项的个数加起来即可得到m 的值.解：（1）由42a +是3a ，5a 的等差中项，得35424a a a +=+，∴34543428a a a a ++=+=,解得48a =.∴3520a a +=，从而1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵1q >，∴解得2q =.∴11a =，从而12n n a -=.（2）由（1）知()()()()11112211111221212121k k k k k k k k a a a -++++⎛⎫==- ⎪------⎝⎭.∴()()11211nk k k k a a a =++--∑12231111111111221212212122121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111112212n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭ （3）212log log 2n n n b a n +===. 根据题意，数列{}p c 中，k b （含k b 项）前的所有项的和为： ()0122(1)(123)22222222k k k k S k -+=+++++++++=+-L L . 当10k =时，10552210772019S =+-=<，当11k =时，11662221122019S =+-=>，又∵201910779424712-==⨯,∴()28101222471992m =++++++=L 时，2019=m S ，∴存在992m =，使得2019=m S .本题考查用基本量求数列的通项，考查裂项相消求和，考查根据数列的和求数列的项数，属于数列新定义题型，同时考查了学生的计算能力以及学生分析问题的能力，属于难题.20．设函数()xf x ae =，()lng x x b =+，其中,a b ∈R ,e 是自然对数的底数. （1）设()()F x xf x =，当1a e -=时，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a e -=，1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切；（3）当22a e≥时，证明：()[()]f x x g x b >-. 【答案】（1）最小值2e --（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）求出()F x 的解析式，求导求单调性，然后则可求出最小值.（2）总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切，及()y f x =与()y g x =永远都存在两条公切线，分别设出切点求出切线方程，根据切线方程为同一条，列出方程组求解，证明等式恒成立即可. （3）即证明当22a e ≥时，ln 0xae x x->.令()ln (0)xae G x x x x=->，求导求令()G x 的最小值大于0即可. 解：（1）1()x F x xe -=，1()(1)x F x x e '-=+，当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，()F x 单调递减；当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，故1x =-时，()F x 取得最小值()21F e --=-. （2）∵()1x f x e-'=， ∴()1x f x e-=在点()1,m m e -处的切线方程为11(1)m m y e x m e --=+-； ∵()1g x x'=， ∴()ln g x x b =+在点(),ln n n b +处的切线方程为1ln 1y x n b n =++-. 由题意得111(1)ln 1m m e nm e n b --⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，则1(1)e 0m m m b ---+=. 令1()(1)n h m m e m b -=--+，则1()1m h m me '-=-，由（1）得1m <-时，()h m '单调递增，又()10h '=，1m <时，()0h m ¢<， ∴当1m <时，()0h m ¢<，()h m 单调递减； 当1m >时，()0h m ¢>，()h m 单调递增. 由（1）得21(1)(2)110b h b b e e--=-+-+>…， 又2233(3)(2)23(2)(3)23024b h b b e b b b b b -⎛⎫-=-+->--+-=-+> ⎪⎝⎭， ()110h b =-<，所以函数()h m 在()1,1b -和()1,3b -内各有一个零点， 故当1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（3）()[()]ln 0xae f x x g x b x x>-⇔->. 令()ln (0)xae G x x x x=->，以下证明当22a e ≥时，()G x 的最小值大于0.求导得22(1)1(1)()x x a x e a x e x G x x x x '---=-=. ①当01x <≤时，()0G x '<，()(1)0G x G ae =>…； ②当1x >时，2(1)()(1)x a x x G x e x a x '⎡⎤-=-⎢⎥-⎣⎦， 令()(1)x x H x e a x =--，21()0(1)x H x e a x '=+>-， 又2222(2)0ae H e a a -=-=…，取()1,2t ∈且使2(1)t e a t >-，即2211ae t ae <<-， 则22()0(1)t t H t e e e a t =-<-=-， ∵()()20H t H <,故()H x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()G x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000ln x ae G x x x =-， 且()()000001x x H x e a x =-=-，即()0001x x e a x =-，故()0001ln 1G x x x =--， ∵()()02001101G x x x '=-<-，故()0G x 是()1,2上的减函数. ∴()0(2)1ln 20G x G >=->,所以()0G x >. 综上，当22a e≥时，()[()]f x x g x b >-. 本题考查利用导数求函数的最小值，考查利用导数求曲线的切线，设计到了公切线问题和导数的零点代换问题，考查了学生的计算能力和转化问题的能力，属于难题.。
天津市数学高三上学期理数期末考试试卷
天津市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·江西模拟) 若复数满足，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·甘谷期中) 已知，为不共共线的非零向量，且| |=| |=1，则以下四个向量中模最大者为（）A . +B . +C . +D . +4. （2分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . （+2）πB . （+4）πC . （+2）πD . （+2）π7. （2分）(2018·长安模拟) 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前n项和）.则 =（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·辽宁模拟) 函数的部分图象大致是（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·商丘模拟) 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）A . 2B . 4C . 6D . 811. （2分）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn ，且，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·成都期中) 已知x、y满足不等式组，则z=3x+y的最大值为________．14. （1分） (2017高一上·江苏月考) 函数的定义域为________．15. （1分） (2019高二下·大庆月考) 设函数，则使得成立的的取值范围是________.16. （1分） (2018高二下·四川期中) 若对都有恒成立，则实数的取值范围为________三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2018高一下·彭水期中) 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足 .（1）求角的大小；（2）若，，求的面积 .18. （5分）(2020·晋城模拟) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn＝2n2＋kn＋k，（1）求{an}的通项公式；（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.19. （10分） (2019高三上·郑州期中) 如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.20. （5分） (2019高二下·富阳月考) 已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，若点在抛物线上.（1）求抛物线的方程；（2）如图，过点且斜率为的直线与抛物线的另一个交点为，过点与直线垂直的直线交轴于点，求直线的斜率的取值范围.22. （10分） (2019高二上·田阳月考) 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆分别交于两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．23. （10分） (2017高二下·陕西期末) 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、4-1、7-1、8-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018～2019学年度第一学期期末七校联考 高三数学（理科） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 【分析】 求解集合A，然后根据补集的运算求解，再根据集合的交集的运算，即可求解.
【详解】由题意或，所以， 所以，故选B.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的混合运算问题，其中解答总正确求解集合A，准确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
2.设，直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】 【分析】 根据直线平行的等价条件求出得取值范围，结合充分条件和必要条件的定义，进行判定，即可得到答案.
【详解】由题意，当时，两直线，此时两直线不平行， 当时，若，则满足， 由得，解得或， 当时，成立， 当时，成立，即两直线是重合的（舍去），故 所以是的充要条件，故选C.
【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及两直线位置关系的应用，其中解答中根据直线平行的等价条件求出得值是解答的本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ） A. -5 B. 1 C. 2 D. 7
【答案】B
【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合图象确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解.
【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 由目标函数，可得， 由图象可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，最小值为，故选B. 【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A. 7 B. 14 C. 30 D. 41 【答案】C
【解析】 【分析】 由已知中的程序语句可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序运行的过程，分析循环中各变量的变化情况，即可求解.
【详解】由题意，模拟程序的运行，可得， 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，； 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，； 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，； 不满足条件，执行循环体，，满足条件能被整除，； 此时，满足，推出循环，输出S的值为30，故选C.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5.已知，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D
【解析】 【分析】 现判断函数是奇函数，同时又是增函数，结合指数幂和对数的性质判断，三个变量的大小，结合单调性进行判定，即可得到答案.
【详解】函数是奇函数，当时，为增函数， 又由， 则，所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的单调性，合理得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6.己知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列是函数的单调递增区间的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B
【解析】 【分析】 由函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，求得，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，利用三角函数的性质，即可求解.
【详解】函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2， 所以函数的最小正周期为4，则，解得，所以， 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数， 令，解得， 当时，函数的单调单调递增区间为，故选B.
【点睛】本题主要考查了函数的图象变换的应用，以及正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A
【解析】 【分析】 设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，得到， 在直角三角形中，可得，得到，再由双曲线的定义，解得，利用双曲线的离心率的定义，即可求解.
【详解】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A， 由，且为的中位线，可得， 即有， 在直角三角形中，可得，即有， 由双曲线的定义可得，可得， 所以，所以，故选A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 8.定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. ， B. C. ， D. 【答案】C
【解析】 【分析】 根据函数的性质和函数的解析式，求得， 则若时，恒成立转化为且，即可求解.
【详解】当时，， 则， 当时，，则， 则当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以时，， 所以，
“若时，恒成立”等价于， 解得，故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意根据函数的性质和函数的解析式，求得函数的最值，再把恒成立问题转化为不等式组求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.已知复数(是虚数单位)，则复数的虚部为___________.
【答案】2 【解析】 【分析】 根据复数的代数形式的四则运算，化简复数，即可得到答案.
【详解】由题意，复数，所以复数的虚部为.
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
10.若二项式的展开式中的常数项为，则_____________.
【答案】124 【解析】 【分析】 根据题意，利用二项式求得的值，再求出被积分函数的原函数，即可求解.
【详解】由题意，二项展开式的通项为， 由，得，所以，
则.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及定积分的计算问题，其中解答中根据二项展开式的通项，求得的值，再根据定积分的计算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 11.已知正方体中，四面体的表面积为，则该正方体的体积是_____________.
【答案】8 【解析】 【分析】 由已知画出图形，设正方体的棱长为，由四面体的表面积为求的的值，则正方体的体积，即可求解.
【详解】如图所示，设正方体的棱长为，则四面体的棱长为， 其表面积，得， 所以正方体的体积是.
【点睛】本题主要考查了多面体的体积的计算问题，其中解答中熟记正四面体的表面积的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题.
12.已知抛物线的参数方程为（为参数，），其焦点为，顶点为，准线为，过点斜率为的直线与抛物线交于点（在轴的上方），过作于点，若的面积为，则_____________
.
【答案】 【解析】 【分析】 把抛物线C的参数方程化为普通方程，写出过交点F的斜率为的直线方程，与抛物线方程联立，求出点A的坐标，写出点B的坐标，利用的面积列出方程，即可求出P的值.