推荐高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_1

§1变化的快慢与变化率
[对应学生用书P34]
某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：
问题1：试比较时间x 从0 min 到20 min 和从20 min 到30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快？
提示：从20 min 到30 min 变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率．
问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
平均变化率
(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为
f x 2－f x 1
x 2－x 1
.
其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx
＝
f x 2－f x 1
x 2－x 1
.
(2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.
王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h 的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km ，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”
问题1：限速70 km/h 是指的平均速度不超过70 km/h 吗？
提示：不是，是指瞬时速度．
问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？
提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．
问题3：王先生在该路段平均速度为60 km/h ，是否可能超速行驶？ 提示：有可能．
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝
f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是
Δy Δx ＝f x 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0
Δx
.而当Δx 趋
于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率．
(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．
1.Δy Δx
＝f x 0＋Δx －f x 0
Δx
为平均变化率，其中Δx 可正、可负，不能为零．
2．瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值．
[对应学生用书P35]
[例1] 求函数y ＝x 3
在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化
率的值．
[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．
[精解详析] Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝(x 0＋Δx )3
－x 3
＝3x 2
0Δx ＋3x 0(Δx )2
＋(Δx )3
，
∴函数y ＝x 3
在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为： Δy Δx
＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2
. 当x 0＝1，Δx ＝1
2
时，。