高中数学 第2章 统计 2.3 总体特征数的估计 2.3.1 平均数及其估计目标导引素材 苏教版必修3
高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计讲义苏教版必修3
2.3 总体特征数的估计1．众数一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数． 2．中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于中间位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的中间的那个数．当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的平均数．3．平均数(1)若给定一组数据a 1，a 2，…，a n ，则称a ＝1n ∑i ＝1n a i ＝a 1＋a 2＋…＋a n n为这n 个数据的平均数或均值．(2)若一组数据中取值为a 1，a 2，…，a n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均数为a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a n p n .4．方差与标准差一般地，设样本数据分别是x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ，则称s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n－x )2]为这个样本的方差，其算术平方根s ＝分别简称样本方差、样本标准差． 5．极差一组数据的最大值与最小值的差称为极差．1．下面是高一(8)班十位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99, 101,118,98,110，则该组数据的中位数是________．98 [将这组数据从小到大排列为73,82,84,91,98,98,99, 101,110,118，则最中间的两个数为98,98，故中位数为98.]2．在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间(单位：分钟)，结果如下：80,70,70,70,60,60,80,60,60,70.在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是________分钟． 68 [平均每天所需时间为80×2＋70×4＋60×410＝68.]3．某老师从星期一到星期五收到的信息数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.3．2 [5个数据的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7.所以s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.]4．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________． 2 [平均数x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，所以s ＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2] ＝ 2.]178,178,182,182,178,180,178,180,181,180,181,180,180,182.则这个球队的队员平均身高是________cm(精确到1 cm)．(2)有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5，18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5]，8,0.08.则该样本数据的平均数为________．(1)180 (2)19.42 [(1)法一：利用平均数的定义计算： 平均身高x ＝114(178＋178＋182＋182＋178＋180＋178＋180＋181＋180＋181＋180＋180＋182)＝114×2 520＝180(cm)．法二：利用加权平均数公式计算： 平均身高x ＝114(178×4＋182×3＋180×5＋181×2)＝114×2 520＝180(cm)． 法三：利用新数据法进行计算：取a ＝180，将各数据同时减去180，得到一组新数据： －2，－2,2,2，－2,0，－2,0,1,0,1,0,0,2. 这组新数据的平均数为x ′＝114(－2×4＋2×3＋0×5＋1×2)＝0，所以平均身高x ＝a ＋x ′＝180＋0＝180(cm)．(2)利用频率平均数公式计算：样本数据平均数x ＝13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.]1．一般情况下，要计算一组数据的平均数，可使用平均数公式x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )来计算．2．如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋A ．当数据较大，且大部分数据在某一常数左右波动时，本例中“法三”可以减少运算量，故此法比较简便．3．一般地，如果在n 个数中，x 1出现的频数为f 1，x 2出现的频数为f 2，…，x k 出现的频数为f k (其中f 1＋f 2＋…＋f k ＝n )，那么x ＝1n(x 1f 1＋x 2f 2＋…＋x k f k )＝1n i ＝1kx i f i 叫做这n 个数的频数平均数，也称加权平均数，其中f 1，f 2，…，f k 叫做权．4．一般地，若取值为x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，那么其平均数为x＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n.如本例(2)中求平均数方法．提醒：当条件给出某几个范围内的数据的频率或频数时，可用组中值求平均数．1．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150,152,153,149,148,146,151,150,152,147，由此估计这车苹果单个重量的平均值是________．149．8克[平均数为x＝150＋152＋153＋149＋148＋146＋151＋150＋152＋14710＝149.8(克)．]2．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数为x，则新数据的平均数是________．x－3.1 [设原来数据为a1，a2，…，a n，则a1＋a2＋…＋a n＝n x，从而新数据的平均数为(a1－3.1)＋(a2－3.1)＋…＋(a n－3.1)n＝n x－3.1nn＝x－3.1.](1)极差；(2)方差；(3)标准差．[解] (1)该组数据中最大值为9，最小值为5，故该组数据的极差为9－5＝4.(2)求方差可以有三种方法：法一：因为x＝110(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，所以s2＝110×[(7－7)2＋(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝1.2，法二：同“法一”，求得x＝7，所以s2＝110[(72＋62＋82＋…＋72)－10×72]＝1.2，法三：将各数据减去7，得一组新数据：0，－1,1,1，－2,2,0,0，－1,0，则x′＝0，所以x ＝x ′＋7＝7.所以s 2＝110[02＋(－1)2＋12＋…＋02]－10×02＝1.2.(3)由(2)知，标准差s ＝s 2＝ 1.2＝305.1．极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．2．方差的计算(1)s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；(2)s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n －n x 2)； (3)s 2＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2. 3．方差的性质(1)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差相等．(2)若数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，则数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2(a ，b ∈R )．(3)标准差、方差的范围为[0，＋∞)． 4．标准差的计算方差的算术平方根即标准差，要求标准差先求出方差，再开方取其算术平方根即可． 提醒：方差、标准差的单位不一致要注意区别．3．若一组样本数据2,3,7,8，a 的平均数为5，则该组数据的标准差s ＝________. 1305 [由平均数为5，得a ＝5×5－(2＋3＋7＋8)＝5，则s 2＝15(32＋22＋22＋32＋02)＝265，s ＝265＝1305.] 4．已知样本x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差为3，则样本4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的标准差是________．4 3 [根据方差的性质知4x 1＋1,4x 2＋1,4x 3＋1,4x 4＋1,4x 5＋1的方差为42×3＝48.所以其标准差为48＝4 3.]8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67； 乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，成绩超过1.65 m 就很有可能获得冠军，该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测成绩超过了1.70 m 方可获得冠军呢？思路点拨：[解] 甲的平均成绩和方差：x 甲＝18×(1.70＋1.65＋…＋1.67)＝1.69，s 2甲＝18×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.乙的平均成绩和方差：x 乙＝18×(1.60＋1.73＋…＋1.75)＝1.68，s 2乙＝18×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若成绩超过1.65 m 就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔比赛中乙有5次成绩在1.70 m 以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但当成绩超过1.70 m 方可获得冠军时，应派乙参加比赛．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(方差或标准差)，方差(标准差)越大，说明取值分散性越大，方差(标准差)越小，说明取值分散性越小，取值比较集中、稳定．5．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数： 甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10； 乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.根据以上数据估计两个供货商的交货情况：哪个供货商交货时间短一些？哪个供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商？思路点拨：先分别计算出甲、乙两组数据的平均数及方差，再作判断．[解] x甲＝110(10＋9＋…＋10)＝10.1，s2甲＝110(102＋92＋…＋102)－10.12＝0.49；x乙＝110(8＋10＋…＋12)＝10.5，s2乙＝110(82＋102＋…＋122)－10.52＝6.05>s2甲.从交货天数的平均值来看，甲供货商的交货时间短一些；从方差来看，甲供货商的交货时间较稳定．因此甲供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商．6．从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？思路点拨：看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数．[解] (1)x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30(cm)，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)，因为x甲<x乙．故乙种玉米苗长得高．(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2(cm2)．s2乙＝110[(27－31)2＋(16－31)2＋(44－31)2＋(27－31)2＋(44－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2＋(40－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2]＝128.8(cm2)．因为s2甲<s2乙，所以甲种玉米的苗长得齐．1．本节课的重点是会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差，难点是理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．2．本节课要掌握以下几类问题(1)当平均数大于中位数时，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中存在较小的极端值．(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.1．已知1,2,3,4，x 1，x 2，x 3的平均数是8，那么x 1＋x 2＋x 3的值是( ) A ．56 B ．48 C ．46 D ．24C [由条件知，1＋2＋3＋4＋x 1＋x 2＋x 3＝8×7， 所以x 1＋x 2＋x 3＝46.]2．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． (1)7 (2)2 [(1)x ＝110(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7. (2)s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，所以s ＝s 2＝4＝2.]3．已知一个样本为1,3,2,5，x ，它的平均数是3，则这个样本的标准差是________． 2 [x ＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，∴x ＝4. 由方差公式有：s 2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，∴s ＝ 2.]4．有两位射击运动员在一起射击，测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：8,7,9,7,5,4,10,9,7,4； 乙：5,9,8,7,7,6,6,8,7,7.如果这是一次选拔性考核，应当选择谁？思路点拨：平均数反映总体的平均水平，而方差反映了总体的稳定程度，我们可用平均数与方差从不同的方面估计总体．[解] x 甲＝110(8＋7＋9＋7＋5＋4＋10＋9＋7＋4)＝7，x 乙＝110(5＋9＋8＋7＋7＋6＋6＋8＋7＋7)＝7.s2甲＝110[(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(10－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4.s2乙＝110[(5－7)2＋(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2.由x甲＝x乙知两个射击运动员的平均成绩是一样的．由s2甲>s2乙知，甲的成绩不如乙的成绩稳定．综合考虑，应选择乙．。
高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.2方差与标准差教案苏教版必修3
2.3.2 方差与标准差整体设计教材分析“方差与标准差〞这节课在上节课平均数根底上，从实例“有甲、乙两种钢筋，检查它们抗拉强度〞中平均数不是反映总体质量、水平唯一特征数，在平均值相差不大情况下，数据稳定程度可以作为评价对象质量上下又一重要因素，从而说明引入方差、标准差必要性，同时使学生养成从多个角度看问题习惯，锻炼了学生创造性思维.为了让学生充分体会“稳定性〞意义，教材中用数轴表示两组数据，形象地表现出数据“聚散〞程度，并用极差反映数据稳定性.当两组数据极差相差不大时，就不适宜用极差来表示稳定性，这时可用“方差与标准差〞作为比拟数据稳定性特征数.初中已学过方差概念，现在教学不能停留在原有水平上，要将用方差刻画数据稳定程度理由讲清楚，充分提醒用方差作为比拟数据稳定性水平特征数思维过程.通过方差单位与原数据单位比拟,通过实际问题分析,让学生了解到用方差反映稳定性水平缺乏之处是与原数据单位不一致,且平方后可能夸张偏差程度等,从而引入“标准差〞概念,这一过程应让学生在形成问题和解决问题过程中加以探索.三维目标1.通过对具体案例分析掌握样本数据平均数、方差与标准差根本概念和计算方法，培养学生分析问题和解决问题能力,激发学生探究数学问题兴趣和动机.2.在解决统计问题过程中，进一步体会用样本估计总体思想，形成对数据处理过程进展初步评价意识.3.引导学生对一些生活中实际问题学习, 进一步培养学生数学素养和增强学生数学应用意识及认真、耐心、细致学习态度和学习习惯.4.渗透数学来源于实践，反过来又作用于实践观点.重点难点教学重点：1.通过实例理解样本数据方差与标准差意义和作用,学会计算数据样本方差与标准差.2.根据方差与标准差对事件进展科学决策，形成对数据处理过程进展初步评价意识.教学难点：1.方差与标准差计算方法及运算准确性.2.用样本根本数字特征估计总体根本数字特征,从中进一步理解统计根本思想.课时安排1课时教学过程导入新课平均数向我们提供了样本数据重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体片面判断.某地区统计报表显示，此地区年平均家庭收入是10万元，给人印象是这个地区家庭收入普遍比拟高.但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有家庭收入计算出来，那么它就既不能代表贫困家庭年收入，也不能代表极富有家庭年收入.因为这个平均数掩盖了一些极端情况.而这些极端情况显然是不能被无视.因此，只有平均数还难以概括样本数据实际情况.举例：有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本〔如下表〕检查他们抗拉强度〔单位：kg/mm2〕，通过计算发现，两个样本平均数均为125.哪种钢筋质量较好？两种钢筋平均数都是125，那么,它们有没有什么差异呢推进新课作出图形，作直观比拟：直观上看，还是有差异.乙强度比拟分散，甲强度相对集中.因此，我们还需要从另外角度来考察这两组数据.例如，在作统计图、表时提到过极差甲强度极差＝135-110=25,乙强度极差＝145-100=45.它在一定程度上说明了样本数据分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据信息，显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分〞统计谋略.新知探究1.方差(variance)概念：考察样本数据分散程度大小，最常用统计量是方差，一般用s2表示.假设样本数据是x1,x2,…,x n，x表示这组数据平均数.结合上节课有关离差讨论可知,离差越小,稳定性就越高. 因此，通常用如下公式计算方差：.因为方差与原始数据单位不同,且平方后可能夸张了离差程度,因此将其算术平方根作为样本标准差〔standard deviation〕,分别简称样本方差、样本标准差.1,x2,…,x n标准差算法是：S1 算出样本数据平均数x；S2 算出每个样本数据与样本平均数差x i-x(i=1,2,…，n)；S3 算出S2中x i-x(i=1,2,…，n)平方；S4 算出S3中n个平方数平均数；S5 算出S4中平均数算术平方根，即为样本标准差.关于方差、标准差一点说明：〔1〕方差、标准差是用来描述样本数据离散程度，它反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围程度.方差与标准差越小，说明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，方差标准差越大，说明各个样本数据在样本平均数周围越分散.〔2〕在实际应用中，方差与标准差常被理解为稳定性.例如在上面比拟两种钢筋抗拉强度时，方差与标准差越小意味着该产品质量越稳定；在描述成绩时，方差与标准差越小，说明成绩越稳定.〔3〕学生思考“标准差取值范围是什么？标准差为0样本数据有什么特点？〞由标准差定义容易得出标准差是非负；标准差为0意味着所有样本数据都相等特性，且与样本平均数也相等，可以构造一个样本容量为2样本：x1,x2(x1<x2)，这样可以体会出两个样本数据分散程度与样本标准差之间关系.应用例如例1 根据以下四组样本数据，说明它们异同点.(1) 5 5 5 5 5 5 5 5 5；(2) 4 4 4 5 5 5 6 6 6；(3) 3 3 4 4 5 6 6 7 7；(4) 2 2 2 2 5 8 8 8 8.分析：从数据数字特征出发.解：四组数据平均数都是5.0，标准差分别是0.00，0.82，1.49，2.83.虽然它们有一样平均数，但是它们有不同标准差，说明数据分散程度是不一样.点评：样本方差、标准差能说明数据分散程度.例2 甲、乙两种水稻试验品种连续5年平均单位面积产量如下〔单位：t/hm2〕,试根据这组数据估计哪一种水稻品种产量比拟稳定.分析：稳固求方差和标准差方法.解：甲品种样本平均数为10，样本方差为［(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2］÷5=0.02,乙品种样本平均数也为10，样本方差为［(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2］÷5=0.24.因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻产量比拟稳定.点评：x甲=x乙，易产生这两种水稻产量一样稳定错觉.这说明在实际问题中，仅靠期望值〔即平均数〕不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值离散程度〔及方差或标准差〕：标准差大说明取值分散性大，标准差小说明取值分散性小或者说取值比拟稳定、集中.2.要对“根据这组数据估计…〞统计意义作必要说明：第一，统计研究是以一定样本为依据，对于确定样本得到确定统计结果；第二，统计结果具有随机性，选择不同样本可能得到不同统计结果.最后还可让学生思考除了品种优劣，影响水稻产量还有哪些因素？根据一组数据得到结果是否可靠？这些问题提出会激发学生对统计学理论兴趣.例3 为了保护学生视力，教室内日光灯在使用了一段时间后必须更换.某校使用100只日光灯在必须换掉前使用天数如下，试估计这种日光灯平均使用寿命和标准差.分析：用每一个区间内组中值作为相应日光灯使用寿命，再求平均使用寿命.解：各组中值分别为165.5，195.5，225.5，255.5,285.5，315.5，345.5，375.5，由此算得平均数约为165.5×1%+195.5×11%+225.5×18%+255.5×20%+285.5×25%+315.5×16%+345.5×7%+375.5×2%=268.4≈268〔天〕.这些组中值方差为1001×［1×(165.5-268.4)2+11×(195.5-268.4)2+18×(225.5-268.4)2+20×(255.5-268.4)2+ 25×(285.5-268.4)2+16×(315.5-268.4)2+7×(345.5-268.4)2+2×(375.5-268.4)2］=2 128.60(天2)，故所求标准差约为6.2128≈46〔天〕.答：估计这种日光灯平均寿命约为268天，标准差约为46天.点评：此例目是：掌握连续性随机变量平均值和标准差一种估计方法，即组中值估计法.因为前一节例3已介绍了连续性随机变量平均值估计方法，所以处理此例时应让学生回忆前例并主动探索解决问题方法.例4 容量是40样本中各数据与30差平方和是250，样本标准差是1.5，求样本平均数.分析：根据样本平均数、样本方差、样本标准差公式解题.解：∵(x 1-30)2+(x 2-30)2+…+(x 40-30)2=250,所以(x 12+x 22+…+x 402)-60(x 1+x 2+…+x 40)+40×302=250.即(x 12+x 22+…+x 402)-60×40x +40×900=250， ① 又∵140［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 40-x )22=2.25， 即(x 12+x 22+…+x 402)-2x(x 1+x 2+…+x 40)+40x 2=90， 即(x 12+x 22+…+x 402)-80x 2+40x 2=90，② ①-②得40x 2-2 400x+40×900=160， 即x 2-60x +896=0,( x -32)( x -28)=0， 所以，x =32或x =28.点评：理解样本方差含义，抓住关键点：x 1+x 2+…+x 40=40x ，通过数形结合，结合消元x 1+x 2+…+x 40合理解决问题.例5 一组数据方差是s 2，将这组数据每个数据都加上10，求所得新数据方差.分析：利用方差公式解题.解：设原数据：x 1,x 2,…,x n ，平均数是x ，方差是s 2， 那么新数据为：x 1+10,x 2+10,…,x n +10，平均数为那么方差为n1［(x 1+10-x -10)2+(x 2+10-x -10)2+…+(x n +10-x -10)2］=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］=s 2.变式训练某班有50名学生，某次数学考试成绩经计算得到平均分数是70分，标准差是s ，后来发现登记有误，某甲得70分却记为40分，某乙50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s 1，那么s 与s 1之间大小关系是〔 〕A.s=s 1B.s<s 1C.s>s 1解析：由题意，平均数不变，所以只要看与平均数离差平方变化情况.因为方差刻画了数据相对于平均值平均偏离程度.s 中有：(40-70)2+(80-70)2=1 000，s 1中有：(70-70)2+(50-70)2=400所以s>s 1.答案：C点评：由本例及变式可推理归纳方差性质：〔1〕假设给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，那么ax 1,ax 2,…,ax n 方差为a 2s 2；〔2〕假设给定一组数据x 1,x 2,…,x n ，方差为s 2，那么ax 1+b,ax 2+b,…,ax n +b 方差为a 2s 2，特别地，当a=1时，那么有x 1+b,x 2+b,…,x n +b 方差为s 2，这说明将一组数据每一个数据都减去一样一个常数，其方差是不变，即不影响这组数据波动性；〔3〕方差刻画了数据相对于平均值平均偏离程度.对于不同数据集，当离散程度越大时，方差越大；〔4〕方差单位是原始测量数据单位平方，对数据中极值较为敏感.知能训练课本本节练习解答：1.甲、乙两个班样本平均数为160，但甲班极差为3，乙班极差为30，故甲班波动较小.2. s 2=3=81［(k 1-k )2+(k 2-k )2+…+(k 8-k )2］， 而883)...(28)3(2...)3(2)3(2821821⨯-+++=-+-+-k k k k k k =2k -3, s 12=18［(2k 1-6-2k+6)2+(2k 2-6-2k+6)2+…+(2k 8-6-2k+6)2］=4s 2=12.3.甲较稳定.4.甲平均值为10，方差为0.055；乙平均值为10，方差为0.105.点评：从练习中再次体会数据离散程度影响对事件客观判断，体会从平均数、离散程度角度对事件作出科学判断方法.课堂小结1.数据离散程度影响对事件客观判断，体会从平均数、离散程度角度对事件作出科学判断方法，方差与标准差越小，说明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，方差与标准差越大，说明各个样本数据在样本平均数两边越分散；2.衡量离散程度常用计算方法——方差与标准差，熟悉用计算器计算方差与标准差方法，切实掌握相关计算公式、方法、步骤并对有关数据进展合理解释；3.样本有效选择对判断有重要影响，知道影响判断、决策因素是多方面，在对总体作出判断之前，要充分考虑各种因素，切实体会统计思想方法；4.样本数据既具有随机性又具有规律性，在很广泛条件下，简单随机抽样样本数字特征如众数、中位数、平均数、方差与标准差随样本容量增加及时稳定于总体相应数字特征，总体数字特征是一定，不存在随机性.作业课本习题2.3 3、5、7.设计感想本节课一定要让学生体会平均数反映是一组数据平均水平，而方差和标准差那么反映了一组数据波动大小.在实际学习、工作中用得非常多，比方选择运发动参加大型比赛时，要看他以前每次测试平均成绩，但成绩稳定性也非常重要；学习上也是如此，稳定了可以给最后考试提供稳定心理.用这种与生活息息相关性激发学生学数学无限兴趣就是教师最大收获.习题详解1. x =301(2×5.1+3×5.2+6×5.3+8×5.4+7×5.5+3×5.6+1×5.7)≈5.39. 该厂这个月平均日产值约为5.39万元.2.在全部数据中找出最小值4.0和最大值7.4，两者之差为3.4，确定全距为3.5，以组距0.5将区间［4.0,7.5］分成7个组.x =1001(4.25×1+4.75×2+5.25×15+5.75×28+6.25×33+6.75×18+7.25×3)=6.03，估计试验田里麦穗平均长度约为6.0 cm.3.〔1〕甲机床次品数平均值为1.5，乙机床次品数平均值为1.2，故乙机床次品数平均值较小；〔2〕甲方差为1.65，乙方差为0.82，故乙机床生产状况较为稳定.4.估计甲机床平均次品率约为(0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1)÷1 000=0.06%，乙机床平均次品率约为(0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0)÷1 000=0.07%，故甲机床产品质量较好.5.〔1〕此样本中金属棒平均长度约为5.99；〔2〕频率分布表如下：频率直方图如下：〔3〕6×(1-0.2%)≈5.99，6×(1+0.2%)≈6.01，故合格金属棒有15根，合格率约为15÷40≈37.5%.6.〔1〕频率分布表如下：频率分布直方图如下：(2)由组中值估计总体平均数为 (57×5+65×14+73×25+81×11+89×5)×601=72.6，约73次. 实际总体平均数约为72，误差约为1.20.52 kg ，未施新化肥土地平均每块土地产量为17.36 kg ，且施了新化肥土地产量方差约为83.33，未施新化肥土地产量方差约为154.88，说明用了新化肥不仅平均产量高，而且产量稳定，故可认为新化肥取得了成功.。
高中数学苏教版教材目录(必修+选修)
高中数学苏教版教材目录(必修+选修)苏教版-----------------------------------必修1-----------------------------------第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2-----------------------------------第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3-----------------------------------第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切 3.2二倍角的三角函数 3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章 解三角形 1．1正弦定理 1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用 第2章 数列 2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n 项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n 项和 第3章 不等式 3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1----------------------------------- 第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2----------------------------------- 第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1----------------------------------- 第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2-----------------------------------2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
「精品」高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计教学案苏教版必修3
2．3.1 平均数及其估计[新知初探]1．平均数的概念一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是这组数据的平均数(或均值)，一般记为：a ＝a 1＋a 2＋…＋a nn.[点睛](1)平均数反映了一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心”，是度量一组数据波动大小的基准．(2)用样本平均数可估计总体平均数．(3)用平均数可以比较两组数据的总体情况，如成绩、产量等． 2．平均数的计算(1)定义法：已知x 1，x 2，x 3，…，x n 为某样本的n 个数据，则这n 个数据的平均数为x ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x nn.(2)利用平均数性质：如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .(3)加减常数法：数据x 1，x 2，…，x n 都比较大或比较小，且x 1，x 2，…，x n 在固定常数a 附近波动，将原数据变化为x 1±a ，x 2±a ，…，x n ±a ，新数据的平均数为x ′，则所求原数据的平均数为x ′±a .(4)加权平均数法：样本中，数据x 1有m 1个，x 2有m 2个，…，x k 有m k 个，则x ＝m 1x 1＋m 2x 2＋…＋m k x km 1＋m 2＋…＋m k.(5)频率法：一般地，若取值为x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ，则其平均数x ＝p 1x 1＋p 2x 2＋…＋p n x n .(6)组中值法：若样本为n 组连续型数据，则样本的平均数＝组中值与对应频率之积的和．[小试身手]1．(江苏高考)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________． 解析：x ＝4＋6＋5＋8＋7＋66＝6.答案：62．若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为2，则数据2x 1－1,2x 2－1,2x 3－1，…，2x n －1的平均数为________．答案：33．数据2,2，－4，－4，－4,3,3,3,3的平均数为________． 答案：49[典例] (1)某班45名同学的年龄(单位：岁)如下： 14 15 14 16 15 17 16 15 16 16 15 15 17 13 14 15 16 16 15 14 15 15 14 15 16 17 16 15 15 15 16 15 13 16 15 15 17 14 15 16 16 15 14 15 15， 求全班的平均年龄．(2)从高三年级中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图．试利用频率分布直方图估计高三年级学生的平均成绩． [解] (1)法一：利用平均数的公式计算．x ＝145×(14＋15＋…＋15)＝145×684＝15.2(岁)．法二：利用平均数的简化公式计算． 取a ＝15，将已知各数减去15，得－1 0 －1 1 0 2 1 0 1 1 0 0 2 －2平均数的计算－1 0 1 1 0 －1 0 0 －1 0 1 2 1 0 0 0 1 0 －2 1 0 0 2 －1 0 1 1 0 －1 0 0x′＝145×(－1＋0＋…＋0)＝145×9＝0.2(岁)．x＝x′＋a＝0.2＋15＝15.2(岁)．法三：利用加权平均数公式计算．x＝145×(13×2＋14×7＋15×20＋16×12＋17×4)＝145×684＝15.2(岁)．即全班的平均年龄是15.2岁．(2)样本平均数是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均数，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积再求和即可．故平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2.[活学活用]1．某医院的急诊中心的记录表明以往到这个中心就诊的病人需等待的时间的分布如下：则到这个中心就诊的病人平均需要等待的时间估计为________．解析：x＝2.5×0.2＋7.5×0.4＋12.5×0.25＋17.5×0.1＋22.5×0.05＝9.5.答案：9.52．某班进行一次考核，满分5分，3分(包括3分)以上为合格，得1分，2分，3分，4分，5分的人数占该班人数的比例分别为5%,10%,35%,40%和10%，试求该班的平均得分．解：由于本题没有给出该班同学的人数，故无法用定义法求解．而题中给出了相应分数及所占比例，故可用频率平均数公式计算．x ＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.35＋4×0.40＋5×0.10＝3.4，故该班的平均分数为3.4分.[典例] 若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，数据y 1，y 2，…，y n 的平均数为y ，求下列几组数据的平均数．(1)2x 1,2x 2，…，2x n ；(2)kx 1＋a ，kx 2＋a ，…，kx n ＋a ； (3)x 1＋y 1，x 2＋y 2，…，x n ＋y n .[解] 据题意x ＝1n(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )，y ＝1n(y 1＋y 2＋…＋y n )，设第一组数据平均数为z ，第二组数据平均数为甲，第三组数据平均数为乙. (1)z ＝1n (2x 1＋2x 2＋…＋2x n )＝2·1n(x 1＋x 2＋…＋x n )＝2x ，(2)甲＝1n[(kx 1＋a )＋(kx 2＋a )＋…＋(kx n ＋a )]＝1n[k (x 1＋x 2＋…＋x n )＋na ]＝k ·1n(x 1＋x 2＋…＋x n )＋a ＝k x ＋a .(3)乙＝1n[(x 1＋y 1)＋(x 2＋y 2)＋…＋(x n ＋y n )]＝1n [(x 1＋x 2＋…＋x n )＋(y 1＋y 2＋…＋y n )]＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )＋1n(y 1＋y 2＋…＋y n )＝x ＋y .平均数的性质[活学活用]已知数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为12，数据y 1，y 2，y 3，…，y n 的平均数为2，则数据2x 1＋3,2x 2＋3，…，2x n ＋3的平均数为________，数据ax 1＋by 1，ax 2＋by 2，…，ax n ＋by n 的平均数为________．答案：4 12a ＋2b层级一 学业水平达标1．已知1,2,3,4，a ，b ，c 的平均数是8，则a ＋b ＋c ＝________. 解析：据题意17(1＋2＋3＋4＋a ＋b ＋c )＝8，∴a ＋b ＋c ＝46. 答案：462．已知2,4,2x,4y 四个数的平均数是5，而5,7,4x,6y 四个数的平均数是9，则xy 的值是________．解析：据题意⎩⎪⎨⎪⎧14＋4＋2x ＋4y ＝5，14＋7＋4x ＋6y ＝9，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴xy ＝6. 答案：63．在一次知识竞赛中，抽取40名选手，成绩分布如下：则选手的平均成绩是________．解析：x ＝140(6×2＋7×5＋8×7＋9×11＋10×15)＝8.8.答案：8.81． 一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图(单位：厘米)．则甲种树苗高度平均为________；乙种树苗的高度平均为________；甲、乙两种树苗高度平均为________．解析：根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：14,20,21,23,24,30,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,11,14,24,26,30,44,46,46,47，易得甲树苗高度平均为2349＝26，乙树苗高度平均为29810＝29.8，甲、乙两种树苗高度平均为119(234＋298)＝28.答案：26 29.8 285．50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.列出样本的频率分布表并求这50名同学的平均分．解：频率分布表如下：法一：总成绩约为45×2＋55×3＋65×10＋75×15＋85×12＋95×8＝3 810(分)，故50名同学的数学平均分约为3 810÷50＝76.2(分)．法二：求组中值与对应频率之积的和．45×0.04＋55×0.06＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.24＋95×0.16＝76.2(分)．层级二应试能力达标1．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________．答案：－32．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________.答案：91.5,91.53．一个企业，30%的员工年收入为1万元，65%的员工年收入为3万元，5%的员工年收入为11万元，则这个企业员工的年平均收入是________万元，年收入的中位数是________万元．解析：年平均收入为1×0.3＋3×0.65＋11×0.05＝2.8，中位数为3. 答案：2.8 34．已知x 是x 1，x 2，…，x 100的平均数，a 是x 1，x 2，…，x 40的平均数，b 是x 41，x 42，…，x 100的平均数，则下列各式正确的是________．(填序号)①x ＝40a ＋60b 100；②x ＝60a ＋40b100；③x ＝a ＋b ；④x ＝a ＋b2.答案：①5．已知数据x 1，x 2，…，x 8的平均数为6，则数据2x 1－6,2x 2－6，…，2x 8－6的平均数为________． 答案：66．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为h ，y 1，y 2，…，y m 的平均数为k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为____________．答案：nh ＋mk n ＋m7．一个高中研究性学习小组对本地区2014年至2016年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图)，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．解析：2014年：30×1.0＝30(万)，2015年：45×2.0＝90(万)，2016年：90×1.5＝135(万)，x ＝13(30＋90＋135)＝85(万)．答案：858．某餐厅共有7名员工，所有员工的工资情况如下表：解答下列问题：(1)餐厅所有员工的平均工资是________．(2)所有员工工资的中位数是________．(3)用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？________.(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是________，是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？________.(填“能”或“不能”)解析：(1)平均工资为(3 000＋700＋500＋450＋360＋340＋320)÷7＝810.(2)由表格可知中位数为450.(3)用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当．(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资为(700＋500＋450＋360＋340＋320)÷6＝445.平均工资能反映该餐厅员工工资的一般水平．答案：(1)810 (2)450 (3)中位数(4)445 能9．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得x ＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y ＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图：以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．10．有一组数据：x 1，x 2，…，x n (x 1<x 2<…<x n )的算术平均数为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均数为9；若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均数为11.(1)求出第一个数x 1关于n 的表达式及第n 个数x n 关于n 的表达式；(2)若x 1，x 2，…，x n 都是正整数，试求第n 个数x n 的最大值，并举出满足题目要求且x n 取到最大值的一组数据．解：(1)依条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋…＋x n ＝10n ， ①x 1＋x 2＋…＋x n －1＝n －， ②x 2＋x 3＋…＋x n ＝n －， ③由①－②得x n ＝n ＋9.又由①－③得x 1＝11－n .(2)由于x 1是正整数，故x 1＝11－n ≥1⇒1≤n ≤10，故x n ＝n ＋9≤19.当n ＝10时，x 1＝1，x 10＝19，x 2＋x 3＋…＋x 9＝80，此时，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8，x 5＝9，x 6＝11，x 7＝12，x 8＝13，x 9＝14.。
2018-2019学年高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计课件苏教版必修
3．某老师从星期一到星期五收到的信息数分别为 10,6,8,5,6，则该组数 据的方差 s2＝________.
10＋6＋8＋5＋6 3．2 [5 个数据的平均数 x ＝ ＝7. 5 1 所以 s ＝5[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.]
3．平均数
a1＋a2＋„＋an 1 n (1)若给定一组数据 a1，a2，„，an，则称 a＝n ai＝________________
n i＝1
为这 n 个数据的平均数或均值． (2)若一组数据中取值为 a1，a2，„，an 的频率分别为 p1，p2，„，pn， a1p1＋a2p2＋„＋anpn 则其平均数为___________________.
1 [解] (1) x 甲＝6×(5＋17＋25＋24＋7＋6)＝14， 1 x 乙＝6×(10＋15＋20＋17＋12＋10)＝14. (2)极差：甲地温度极差＝25－5＝20； 乙地温度极差＝20－10＝10.
(3)标准差： s甲＝ s乙＝ 1 2 2 2 × [ 5 － 14 ＋ „ ＋ 7 － 14 ＋ 6 － 14 ]≈8.4， 6 1 2 2 2 × [ 10 － 14 ＋ „ ＋ 12 － 14 ＋ 10 － 14 ]≈3.5. 6
[解析] 看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度 即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方 差是体现一组数据波动大小的特征数．
1 [ 解 ] (1) x 甲 ＝ 10 (25 ＋ 41 ＋ 40 ＋ 37 ＋ 22 ＋ 14 ＋ 19 ＋ 39 ＋ 21 ＋ 42) ＝ 30(cm)， 1 x 乙＝10(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)， 因为 x 甲< x 乙．故乙种玉米苗长得高．
高中数学 第2章 统计 2.3 总体特征数的估计 2.3.2 方差与标准差目标导引素材 苏教版必修3
1 2.3.
2 方差与标准差
一览众山小
诱学·导入
材料：平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断.例如，某地区的年平均家庭收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍较高.但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有家庭收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困户家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入.在这里众数、中位数可能更为客观.在日常生活中，存在着很多混用这些描述平均位置的统计术语进行误导的现象.这是因为平均数掩盖了一些极端情况.又如前面所说的在很多比赛中，采用的“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略就是为了避免极端情况对平均数的影响，但事实上，这些极端情况是不能忽视的.因此，要较准确地概括样本数据的实际状况，只有平均数是很难做到的.
问题：用什么方法能考查各个数据的差距大小(即离散程度)的情况呢？
导入：可以有多种方法描述样本数据的离散程度，最常用的就是标准差(方差）.这一节我们就研究样本的方差与标准差.它的作用是能判断样本数据的波动大小和稳定程度，从另一个方面来分析样本数据信息.
温故·知新
什么是样本平均值？什么是样本方差？
设样本数据为x 1，x 2，…，x n ，则样本平均值为n
x x x x n +++=
Λ21， 设样本数据为x 1，x 2，…，x n ，则样本方差为： s 2=n x x x x x x n 2
2221)()()(-++-+-Λ.。
苏教版数学必修三：2.3.1《平均数及其估计》ppt课件
栏 目 链 接
数．中位数不受几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)
典 例 剖 析 (2)2012 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样 的方式做了抽样调查，调查结果是10家饭店平均每天使用 一次性筷子2.42盒，求该县2011年、2012年这两年一次性
要 点 导 航
的影响，容易计算．它仅利用了数据中排在中间的数据的
信息．当样本数据质量比较差 ，即存在“一些错误数
据”(如数据的录入错误或测量错误等 )时，应该用抗极端 数据强的中位数表示数据的中心值． 3．平均数是频率分布直方图的“重心”．由于平 均数与样本的每一个数据都有关，所以任何一个样本数据
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典 例 剖 析
题型二
平均数的应用
例2为了估计一次性筷子的用量，2010年某县从 600 家高、中、低档饭店中抽取10家，得到这些饭店每天消
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耗的一次性筷子的数据如下 (单位：盒)；0.6，3.7，2.2，
1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0. (1)通过对样本数据的计算，估计该县2010年共消耗 了多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)．
关数据如下表： 每周做家务的 时间/小时 人数
0 2
1 1.5 2 2.5 2 6 8 12
3 13
3.5 4 4 3
栏 目 链 接
根据上表中的数据，回答下列问题： (1)该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？
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苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章 导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理 第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章 计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。
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2.3.1 平均数及其估计
一览众山小
诱学·导入
材料：在一些大型的赛事中，主持人公布某位选手最后成绩的时候经常会说，去掉一个最高分，去掉一个最低分，这位选手最后得分××分.大家都知道，在大赛中衡量一位选手的成绩如何，经常使用的是多个评委给分的平均数，这样用一个数值就可以综合说明各位评委对选手的综合评价，这也是平均数这种数字特征的一个重要应用.生活中类似的基本数字特征我们学过的还有中位数、众数、方差等.
问题：为什么统计比赛成绩的时候经常要“去掉一个最高分，去掉一个最低分”再求平均数来表示最后结果呢？这样做有什么好处吗？除了这些数字特征外还有哪些呢？
导入点拨：由平均数的计算方法可知，样本中的任何一个数据对其都有直接影响，尤其是一些极端数据对平均数的影响更大.怎样减少样本中一些极端数据对平均数的影响是我们在统计中经常遇到的一个问题.而“去掉一个最高分，去掉一个最低分”正是减少此类影响的一个常用办法.统计学中和平均数类似的数字特征还有方差、标准差等，我们本节就是要学习这些基本的数字特征及其作用和意义.
温故·知新
1.初中学过的数字特征有哪些？
平均数、众数、中位数、方差等.
2.平均数和方差是怎样求的？二者有何区别？ 平均数n x x x x n +++=
21， 方差为s 2=n
1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］. 前者描述数据的大体水平，而后者主要体现数据的波动大小.。