吉林省长春外国语学校2014-2015学年高三上学期期末考试试卷 数学理 Word版含答案
长春外国语学校2015届高三上第一次月考数学试卷(文)含答案
长春外国语学校2015届高三年级第一次诊断考试文科数学试卷考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共4页 满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。
2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确. 1. 已知集合}4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，若=B A },{b a ，则b a +=（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 92. 已知集合}076|{2<--=x x x A ，}082|{2≥-+=x x x B ，则B C A R =( ) A . }71|{<<-x x B .}42|{-<>x x x 或 C .}21|{<<-x x D .}74|{<<-x x 3. 若命题p ：0122>+-x x ，命题q ：0342≤+-x x ，则p 是q 的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 已知命题p ：R x ∈∀，0422>+-x x ，则命题p 的否定形式为（ ）A . R x ∈∀，0422≤+-x xB . R x ∈∀，0422<+-x xC . R x ∈∃，0422≤+-x xD . R x ∈∃，0422<+-x x5. 已知命题p ：012=-x ，命题q ：a x <||，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1≤aB. 1<aC. 1≥aD. 1>a6. 已知函数1||4)(2--=x x x f ，则其定义域为（ ）A.[2-，2]B.[2-，11() ，2]C.]2,1()1,1()1,2[ ---D. )2,1()1,1()1,2( ---7. 已知函数⎩⎨⎧<+≥=)0)(2()0()(2x x f x x x f ，则=-)7(f （ ）A. 1B. 4C. 16D. 498. 若函数)(x f 对任意的R x ∈满足)()(x f x f -=-，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=则不等式0)(>x xf 的解集是（ ）A. ),2(+∞B. )0,2(-),2(+∞C. )2,(--∞),2(+∞D. )2,0()0,2( -9. 在复平面内，复数i z -=1对应于点P ，则该点在以原点为极点，实轴的正半轴为极轴的极坐标系中所对应的极坐标是（ ）A. )47,2(π B. )45,2(π C. )43,2(πD. )43,2(π10. 已知圆的极坐标方程为θρcos 2=，则它所对应的参数方程为（ ）A ．)(sin 1cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+==y x B. )(sin -1cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C. )(sin cos 1为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x D. )(sin cos 1-为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x111.已知圆C ：θρsin 4=与直线)(423为参数t t y tx ⎩⎨⎧-==交于B A ,两点，则=||AB （ ）A. 2B. 4C. 6D. 812.已知函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足0)()(=+-x f x f ,)()2(x f x f =-,且当]1,0[∈x 时,ax x f =)(,若方程0lg )(=-x x f 恰有五个实根,则实数a 的取值范围是（ ）A. )13lg ,3lg 2()7lg ,11lg ( -- B. )13lg ,11(lg )7lg ,3lg 2( -- C. )3lg 2,7(lg )11lg ,13lg ( -- D. )11lg ,7(lg )3lg 2,13lg ( --第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置. 13.曲线122=+y x 经过⎩⎨⎧='='yy xx 43:ϕ变换后，得到的新曲线的方程为________________.14.定义}|{B x A x x B A ∉∈=*且，若}51|{<<=x x M ，}086|{2≥+-=x x x N ,则N M *=______________________.15.若函数)(x f 对任意的R y x ∈,满足)()()(y f x f y x f +=+且4)2(=f ,则=-)1(f ____. 16. 对于函数x x e e x f --=)(的叙述正确的是_____________.(填正确序号) （1）)(x f 为奇函数 （2）)(x f 为增函数（3）)(x f 在0=x 处取极值 （4）)(x f 的图象关于点（0,1）对称三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(12分) 已知数列}{n a 满足231+=+n n a a ，*∈N n ，11=a ，1+=n n a b (1)证明数列}{n b 为等比数列.(2)求数列}{n a 的通项公式n a 与前n 项和n S .18.（12分）最近我校对高一学生进行了体检，为了了解甲乙两班男生的身高状况，随机从甲乙两班中各抽取10名男生的身高（单位cm ）,绘制身高的茎叶图如右图：（1）通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高？ （2）计算甲班的样本方差.（3）现从乙班样本身高不低于172cm 的同学中随机抽取两名同学，求身高为176cm 19.（12分）在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥底面1==AC AB ,∠0120=BAC ,异面直线C B 1与1AA 成E D ,分别是BC ,1AB 的中点. (1) 求证：DE ∥平面C C AA 11. (2) 求三棱锥ABC B -1的体积.20.（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，椭圆上一点到其两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆C 的标准方程. （2）如果斜率为21的直线与椭圆交于F E ,两点，试判断直线AF AE ,的斜率之和是否为定值？若是，求出其定值.若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数2ln )(2++=x a x x f .（1）若)(x f 在1=x 处的切线与直线13-=x y 平行，求实数a 的值. （2）若)(x f 在),2(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围. 22.（10分）已知曲线1C ：)(sin 3cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x ，直线2C )(221为参数t t y tx ⎩⎨⎧=-=（1）将曲线21C C 与的参数方程化为普通方程. （2）若曲线21C C 与交于B A ,两点，求AB 的长长春外国语学校2015届高三年级第一次诊断考试13._____________.14.____________.15.____. 16.______.第一次诊断考试数学答案（文科） 一 选择题1B 2D 3D 4C 5D 6C 7A 8C 9A 10C 11B 12A 二 填空题13116922=+y x 14 }{42<<x x15 -2 16 ①② 三 解答题17（1）31111=++=++n n n n a a b b （2）13--=n S n n 18 （1）170=甲x ，170=乙x（2）57.2 （3）52 19（1）略（2）123 20 （1）13422=+y x （2）是常数0 21 （1）1=a （2）8-≥a22 （1）134:221=+y x C 01:2=-+y x C （2）724。
吉林省长春外国语学校2014-2015学年高三上学期期末考试理综物理试题
吉林省长春外国语学校2014-2015学年高三上学期期末考试第Ⅰ卷二、选择题：本题共8题，每小题6分。
有的只选一个答案；有的选多个答案；全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14. 如图所示，两根细线挂着两个质量相同的小球A 、B ，上、下两根细线的拉力分别为F A 、F B ，现使两球带同种电荷，此时上、下细线受力分别为F A ′，F B ′，则 ( )A ．F A ＝F A ′，FB ＞F B ′ B ．F A ＝F A ′，F B ＜F B ′C ．F A ＜F A ′，F B ＞F B ′D ．F A ＜F A ′，F B ＜F B ′15.如图所示，虚线表示某电场中一簇等势面，相邻等势面之间电势差相等，一带正电的粒子以一定的初速度进入电场中，只在电场力作用下从M 点运动到N 点，此过程中电场力对该粒子做负功，则由此可知（ ） A.M 点的电势要比N 点的高B.此带电粒子在M 点受到的电场力比在N 点要大C.带电粒子在M 点的电势能比在N 点要小D.带电粒子经过M 点时的速率比经过N 点的要小16. 如图7示，一宽40cm 的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。
一边长为20cm 的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v ＝20cm/s 通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行，取它刚进入磁场的时刻为t ＝0，在图8所示的图线中，正确反映感应电流随时间变化规律的是 （ ）17. 如图所示，金属导轨上的导体棒ab 在匀强磁场中沿导轨做下列哪种运动时，线圈c 中将有感应电流产生( )A ．向右做匀速运动B ．向左做匀速运动C ．向右做减速运动D ．向右做加速运动18. 中国科学家发现了量子反常霍尔效应，杨振宁称这一发现是b图7图8诺贝尔奖级的成果．如图所示， 厚度为ｈ，宽度为ｄ的金属导体，当磁场方向与电流方向垂直时，在导体上下表面会产生电势差，这种现象称为霍尔效应．下列说法正确的是（ ） A ．上表面的电势高于下表面电势B ．仅增大ｈ时，上下表面的电势差增大C ．仅增大ｄ时，上下表面的电势差减小D ．仅增大电流Ｉ时，上下表面的电势差减小19. .两个电荷量相等但电性相反的带电粒子a 、b 分别以速度v a 和v b 射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，磁场宽度为d ，两粒子同时由A 点出发，同时到达B 点，如图所示，则（ ）A ．a 粒子带正电，b 粒子带负电B ．两粒子的轨道半径之比R a ∶R b ＝3∶1C ．两粒子的质量之比m a ∶m b ＝1∶2D ．两粒子的速度之比v∶v ＝1∶2C ．BLv 21D ．BLv 3121. 在如图7－2－13所示的电路中，R 1、R 2、R 3和R 4皆为定值电阻，R 5为可变电阻，电源的电动势为E 、内阻为r.设电流表A 的读数为I ，电压表V 的读数为U ，当R 5的滑动触点向图中的a 端移动时( ) A ．I 变大，U 变小 B ．I变大，U变大C ．I 变小，U 变大 D ．I 变小，U 变小第II 卷三、非选择题：第22题~第32题为必考题，每个试题考生都必须做答。
吉林省长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学(理)试题1
长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学试题卷(理科)考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上） 1. 已知集合{1,16,4}A x =，2{1,}B x =，若B A ⊆，则x =A. 0B. 4-C. 0或4-D. 0或4±2. 如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则12z z =A. 5B. 3C.D. 123. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是A. 3y x =B. ln()y x =-C. xy xe -= D.2y x x=+4. 已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n，||-=m n ||+=m nA. B. 3C.D.5. 已知x 、y 取值如下表：m 的值（精确到0.1）为A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.86. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 8(3π+B. 8(3π+C. (4π+D. (8π+7. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d =正视图侧视图俯视图A. 2-B. 2C. 4-D. 48. 函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是Ox O yx O yx.Ox .CD9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 1710. 若2xa =，b =12log c x =，则“a b c >>”是“1x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件11. 过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A 、B 两点，O是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是A. [(0,3]B. (,[22,)-∞-+∞C. (,[3,)-∞+∞D. [(0,22]-12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=，②()(2)0fx f x ---=，③在[1,1]-上表达式为[1,0]()1(0,1]x f x x x ∈-=- ∈⎪⎩，则函数()f x 与函数1220()log 0x x g x x x ⎧ ⎪=⎨ >⎪⎩≤的图像在区间[3,3]-上的交点个数为A. 5B. 6C. 7D. 8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若函数1()f x x x=+，则1()e f x dx =⎰____________.14. 在42()(1)x x x+-的展开式中，2x 项的系数是____________.15. 若实数,x y 满足2211y x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则22z x y =+的取值范围是___________. 16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为R 的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c a C b -=2cos 2. (1) 求角B ；(2) 若△ABC的面积S =，4=+c a ，求b 的值. 18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-.(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n n a b 2log =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19.（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1) 求某两人选择同一套餐的概率；(2) 若用随机变量X 表示某两人所获优惠金额的总和，求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分） 如图所示几何体是正方体1111ABCD A BC D -截去三棱锥111B A BC -后所得，点M 为11AC 的中点.(1) 求证：平面11AC D ⊥平面MBD ； (2) 求平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）如图，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1222122S S S S +的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数2()1xe f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；(2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.MAC 1DBCD 1A1长春市2014—2015学年新高三起点调研考试 数学（理科）试题答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. A3. D4. B5. C6. D7. B8. B9. C 10. B 11. D 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.【试题解析】C 由题可得216x =或24x x =，则4,0,4x =-，又当4x =时，A 集合出现重复元素，因此0x =或4-. 故选C.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数模的概念，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.【试题解析】A 由图可知：1z i =，22z i =-，，则122z i z i =-故选A.3. 【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查. 【试题解析】D 由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值. 故选D.4. 【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.【试题解析】B 由||-m n 且2222||||2226-++=+=m n m n m n 可知，||3+=m n . 故选B.5. 【命题意图】本题考查了回归直线的特征，对解释变量的运算也有提及.【试题解析】C 将 3.2x =代入回归方程为ˆ1y x =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得1.675m =，即精确到0.1后m 的值为1.7. 故选C.6. 【命题意图】本题通过三视图考查几何体表面积的运算.【试题解析】D 如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即2148(82S r rl ππππ=⋅+=+=+. 故选D.7. 【命题意图】本题考查数列基本量的求法.【试题解析】B 由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=，作差可得816d =，即2d =. 故选B.8. 【命题意图】本题通过图像考查函数的奇偶性以及单调性.【试题解析】B 由题可知，()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点，故()f x 的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.9. 【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.【试题解析】C 由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.10. 【命题意图】本题考查指对幂三种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.【试题解析】B 如右图可知，“1x >”⇒“a b c >>”，但“a b c >>” /⇒“1x >”，即“a b c >>”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B.11. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.【试题解析】D 由题可知，点B 的横坐标4B px ≤时，满足OB FB ≤，此时22B y -≤≤，故直线AB （即直线FB）的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D.12. 【命题意图】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数等问题. 【试题解析】B 根据①可知()f x 图像的对称中心为(1,0)，根据②可知()f x 图像的对称轴为1x =-，结合③画出()f x 和()g x 的部分图像，如图所示，据此可知()f x 与()g x 的图像在[3,3]-上有6个交点. 故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 212e +14. 12-15. 1[,25]216. 3R简答与提示：13. 【命题意图】本题考查利用微积分基本定理求解定积分的知识.【试题解析】计算可得221111()(ln )22ee x e x dx x x ++=+=⎰.14. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】在42()(1)x x x+-的展开式中，2x 项是1332442()()12x C x C x x x⋅-+-=-，故2x 的系数为12-. 15. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点距离的平方，故z 的取值范围是1[,25]2.16. 【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体体积的最值问题.【试题解析】设三棱柱的高为2t，由题意可得，正三棱柱的体积为23)V R t t =-，求导可得当t R =时，V 取得最大值为3R . 三、解答题17. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =-即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-整理得2sin cos sin C B C =，即1cos 2B =，3B π=. （5分）(2) 由△ABC的面积1sin 2S ac B ==3ac =，而4a c +=由余弦定理得b ===（10分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.【试题解析】解：(1) 当1n =时，11122a S a ==-，解得12a = 当2n ≥时，112222n n n n n a S S a a --=-=--+，有12n n a a -=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，有2n n a =. （6分）(2) 由（1）知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n ⋅=⋅ 212222n n T n =⨯+⨯++⨯①①2⨯，231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯② ①-②，得212222n n n T n +-=+++-⨯整理得1(1)22n n T n +=-⋅+. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为1111331388228832P =⋅+⋅+⋅=. （4分）(2) 由题意知某两人可获得优惠金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.111(400)8864P X ==⋅=12136(500)8864P X C ==⋅⋅=339(600)8864P X ==⋅=12118(700)8264P X C ==⋅⋅=121324(800)2864P X C ==⋅⋅=1116(1000)2264P X ==⋅= （8分）综上可得X（10分）X 的数学期望169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间平面的垂直关系，以及二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】(1) 证明：因为几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得，11111111111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC AC D MBD A M C M DM BM M AC AC D ⎫⎫=⎫⇒⊥⎪⎬⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎬⇒⊥=⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎭⎪⊂⎪⎭平面平面平面平面.（6分） (2) 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA =， 依题意知，11(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A B C ， 有111(0,1,1),(1,1,0)A B AC =-=- 设平面11A BC 的一个法向量(,,)n x y z =，有11100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩代入得00y z x y -=⎧⎨-+=⎩， 设1x =，有(1,1,1)n =，平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)m =， 设平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角大小为α，有3cos ||||n m n m α⋅==， 所以平面11A BC 与平面ABCD .（12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =， 因此椭圆的离心率为12c e a ==.（4分）(2) 由(1)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）所以22243(,)4343ck ckG k k -++. 因为DG AB ⊥，所以2223431443D ckk k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. （10分）令12St S =，则9t >，从而 1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41. （12分）22. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ （2分）因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =. （4分）(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得1x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,12-，(1)++∞； （9分）(3) 当a 取正实数时，222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+， 令()0f x '=得2210ax ax -+=，当1a >时，解得12x x ==. ()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值1()f x ，极小值2()f x ，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当x →+∞时，2()1xe f x ax =→+∞+，当x →-∞时，2()01xe f x ax=→+. 因此当21()()f x m f x <<时，关于x 的方程()f x m =一定总有三个实数根，结论成立；当01a <≤时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无论m 取何值，方程()f x m =最多有一个实数根，结论不成立.因此所求a 的取值范围是(1,)+∞. （12分）。
吉林省长春外国语学校2015届高三上学期第一次月考 数学文 Word版含答案
长春外国语学校2015届高三年级第一次诊断考试文科数学试卷出题人：王先师 审题人：杨柳考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共4页 满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。
2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确. 1. 已知集合}4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，若=B A },{b a ，则b a +=（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 92. 已知集合}076|{2<--=x x x A ，}082|{2≥-+=x x x B ，则B C A R =( ) A . }71|{<<-x x B .}42|{-<>x x x 或 C .}21|{<<-x x D .}74|{<<-x x 3. 若命题p ：0122>+-x x ，命题q ：0342≤+-x x ，则p 是q 的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 已知命题p ：R x ∈∀，0422>+-x x ，则命题p 的否定形式为（ ）A . R x ∈∀，0422≤+-x xB . R x ∈∀，0422<+-x xC . R x ∈∃，0422≤+-x xD . R x ∈∃，0422<+-x x5. 已知命题p ：012=-x ，命题q ：a x <||，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1≤aB. 1<aC. 1≥aD. 1>a6. 已知函数1||4)(2--=x x x f ，则其定义域为（ ）A.[2-，2]B.[2-，11() ，2]C.]2,1()1,1()1,2[ ---D. )2,1()1,1()1,2( ---7. 已知函数⎩⎨⎧<+≥=)0)(2()0()(2x x f x x x f ，则=-)7(f （ ）A. 1B. 4C. 16D. 498. 若函数)(x f 对任意的R x ∈满足)()(x f x f -=-，当0≥x 时，x x x f 2)(2-= 则不等式0)(>x xf 的解集是（ ）A. ),2(+∞B. )0,2(-),2(+∞C. )2,(--∞),2(+∞D. )2,0()0,2( - 9. 在复平面内，复数i z -=1对应于点P ，则该点在以原点为极点，实轴的正半轴为极轴的极坐标系中所对应的极坐标是（ ） A. )47,2(π B. )45,2(π C. )43,2(πD. )43,2(π10. 已知圆的极坐标方程为θρcos 2=，则它所对应的参数方程为（ ）A ．)(sin 1cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+==y x B. )(sin -1cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C. )(sin cos 1为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x D. )(sin cos 1-为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x11.已知圆C ：θρsin 4=与直线)(423为参数t t y t x ⎩⎨⎧-==交于B A ,两点，则=||AB （ ）A. 2B. 4C. 6D. 812.已知函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足0)()(=+-x f x f ,)()2(x f x f =-,且当]1,0[∈x 时,ax x f =)(,若方程0lg )(=-x x f 恰有五个实根,则实数a 的取值范围是（ ）A. )13lg ,3lg 2()7lg ,11lg ( -- B. )13lg ,11(lg )7lg ,3lg 2( -- C. )3lg 2,7(lg )11lg ,13lg ( -- D. )11lg ,7(lg )3lg 2,13lg ( --第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置. 13.曲线122=+y x 经过⎩⎨⎧='='yy xx 43:ϕ变换后，得到的新曲线的方程为________________.14.定义}|{B x A x x B A ∉∈=*且，若}51|{<<=x x M ，}086|{2≥+-=x x x N ,则N M *=______________________.15.若函数)(x f 对任意的R y x ∈,满足)()()(y f x f y x f +=+且4)2(=f ,则=-)1(f ____.1B甲班乙班2 18 19 9 1 0 17 0 2 6 8 98 8 3 2 16 2 5 88 15 916. 对于函数xx eexf--=)(的叙述正确的是_____________.(填正确序号) （1）)(xf为奇函数（2）)(xf为增函数（3）)(xf在0=x处取极值（4）)(xf的图象关于点（0,1）对称三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.(12分) 已知数列}{na满足231+=+nnaa，*∈Nn，11=a，1+=nnab(1)证明数列}{nb为等比数列.(2)求数列}{na的通项公式na与前n项和nS.18.（12分）最近我校对高一学生进行了体检，为了了解甲乙两班男生的身高状况，随机从甲乙两班中各抽取10名男生的身高（单位cm）,绘制身高的茎叶图如右图：（1）通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高？（2）计算甲班的样本方差.（3）现从乙班样本身高不低于172cm的同学中随机抽取两名同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.19.（12分）在三棱柱111CBAABC-中，侧棱1AA⊥底面ABC，1==ACAB,∠0120=BAC,异面直线CB1与1AA成060角，ED,分别是BC,1AB的中点.(1)求证：DE∥平面CCAA11.(2)求三棱锥ABCB-1的体积.20.（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+babyaxC，椭圆上一点23,1(--A到其两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆C的标准方程.（2）如果斜率为21的直线与椭圆交于FE,两点，试判断直线AFAE,的斜率之和是否为定值？若是，求出其定值.若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数2ln)(2++=xaxxf.（1）若)(xf在1=x处的切线与直线13-=xy平行，求实数a的值.（2）若)(xf在),2(+∞上单调递增，求实数a的取值范围.22.（10分）已知曲线1C ：)(sin 3cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x ，直线2C )(221为参数t t y tx ⎩⎨⎧=-=（1）将曲线21C C 与的参数方程化为普通方程. （2）若曲线21C C 与交于B A ,两点，求AB 的长长春外国语学校2015届高三年级第一次诊断考试文科数学试卷出题人：王先师 审题人：杨柳13._____________.14.____________.15.____. 16.______. 三、解答题：写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.姓名：____________班级：____________学号：____________考号第一次诊断考试数学答案（文科） 一 选择题1B 2D 3D 4C 5D 6C 7A 8C 9A 10C 11B 12A 二 填空题13116922=+y x 14 }{42<<x x15 -2 16 ①②三 解答题 17（1）31111=++=++n n n n a a b b （2）13--=n S n n 18 （1）170=甲x ，170=乙x（2）57.2 （3）5219（1）略 （2）123 20 （1）13422=+y x （2）是常数021 （1）1=a （2）8-≥a22 （1）134:221=+y x C 01:2=-+y x C （2）724。
吉林省长春外国语学校14至15学年上学期高三期末考试 英语(附答案)
长春外国语学校2015届高三年级期末考试英语学科试卷出题人：孙英杰高雅丽审题人：林胜利考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共6页。
满分 150分，考试用时120 分钟。
考试结束后，请将答题卡交回，试题卷自己保存。
2. 答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3. 作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4. 保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第I卷（选择题，满分100 分）第一部分：听力（共两节，满分 30 分）第一节：（共5小题; 每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What will the woman do this weekend?A. Go to Boston.B. Look after her friend.C. Have dinner with the man.2. How does the woman make her garden look lovely?A. By hiring a gardener.B. By planting more roses.C. By looking after it carefully.3. How much did the man pay for his ticket?A.＄300.B.＄600.C.＄900.4. What's Linda's message mainly about?A. The time change of a meeting.B. The crash of a telephone system.C. Her job at West Coast Office.5. What are the speakers talking about?A. A birthday party.B. A wedding ceremony.C. A meeting.第二节：（共15小题，每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
吉林省长春外国语学校2015届高三数学上学期第一次段考试卷 文(含解析)
吉林省长春外国语学校2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确. 1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，若A∩B={a，b}，则a+b=（）A．6 B．7 C．8 D．92．（5分）已知集合A={x|x2﹣6x﹣7＜0}，B={x|x2+2x﹣8≥0}，则A∪∁R B=（）A．{x|﹣1＜x＜7} B．{x|x＞2或x＜﹣4 C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣4＜x＜7}3．（5分）若命题p：x2﹣2x+1＞0，命题q：x2﹣4x+3≤0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∀x∈R，x2﹣2x+4≤4C．∀x∈R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∈R，x2﹣2x+4＞05．（5分）已知命题p：x2﹣1=0，命题q：|x|＜a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1 C．a≥1D．a＞16．（5分）已知函数f（x）=，则其定义域为（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，1）∪（1，2]C．[﹣2，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，2）7．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣7）=（）A．1 B．4 C．16 D．498．（5分）若函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=﹣f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣2x 则不等式xf（x）＞0的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）9．（5分）在复平面内，复数z=1﹣i对应于点P，则该点在以原点为极点，实轴的正半轴为极轴的极坐标系中所对应的极坐标是（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则它所对应的参数方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知圆C：ρ=4sinθ与直线（t为参数）交于A，B两点，则|AB|=（）A．2 B．4 C．6 D．812．（5分）已知函数f（x），对任意的x∈R，满足f（﹣x）+f（x）=0，f（2﹣x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=ax，若方程f（x）﹣lgx=0恰有五个实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣lg11，﹣lg7）∪（2lg3，lg13）B．（﹣2lg3，﹣lg7）∪（lg11，lg13）C．（﹣lg13，﹣lg11）∪（lg7，2lg3）D．（﹣lg13，﹣2lg3）∪（lg7，lg11）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置. 13．（5分）曲线x2+y2=1经过φ：变换后，得到的新曲线的方程为．14．（5分）定义A*B={x|x∈A且x∉B}，若M={x|1＜x＜5}，N={x|x2﹣6x+8≥0}，则M*N=．15．（5分）设函数f（x）对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（﹣1）的值为．16．（5分）对于函数f（x）=e x﹣e﹣x的叙述正确的是．（填正确序号）（1）f（x）为奇函数（2）f（x）为增函数（3）f（x）在x=0处取极值（4）f（x）的图象关于点（0，1）对称．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a n+1=3a n+2，n∈N*，a1=1，b n=a n+1（1）证明数列{b n}为等比数列．（2）求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n．18．（12分）最近我校对2014-2015学年高一学生进行了体检，为了了解甲乙两班男生的身高状况，随机从甲乙两班中各抽取10名男生的身高（单位cm），绘制身高的茎叶图如图：（1）通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高？（2）计算甲班的样本方差．（3）现从乙班样本身高不低于172cm的同学中随机抽取两名同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=1，∠BAC=120°，异面直线B1C与AA1成60°角，D，E分别是BC，AB1的中点．（1）求证：DE∥平面AA1C1C．（2）求三棱锥B1﹣ABC的体积．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），椭圆上一点到其两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的标准方程．（2）如果斜率为的直线与椭圆交于E，F两点，试判断直线AE，AF的斜率之和是否为定值？若是，求出其定值．若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx+2．（1）若f（x）在x=1处的切线与直线y=3x﹣1平行，求实数a的值．（2）若f（x）在（2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．22．（10分）已知曲线C1：（θ为参数），直线C2（t为参数）（1）将曲线C1与C2的参数方程化为普通方程．（2）若曲线C1与C2交于A，B两点，求AB的长．吉林省长春外国语学校2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确. 1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，若A∩B={a，b}，则a+b=（）A．6 B．7 C．8 D．9考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的性质求解．解答：解：∵集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴A∩B={a，b}={3，4}，∴a+b=3+4=7．故选：B．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣6x﹣7＜0}，B={x|x2+2x﹣8≥0}，则A∪∁R B=（）A．{x|﹣1＜x＜7} B．{x|x＞2或x＜﹣4 C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣4＜x＜7}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合A与集合B，进而结合集合交集，并集，补集的定义，可得答案．解答：解：∵集合A={x|x2﹣6x﹣7＜0}={x|﹣1＜x＜7}，集合B={x|x2+2x﹣8≥0}={x|x≥2或x≤﹣4}，∴∁R B={x|﹣4＜x＜2}，∴A∪∁R B={x|﹣4＜x＜7}，故选：D点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．3．（5分）若命题p：x2﹣2x+1＞0，命题q：x2﹣4x+3≤0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：命题p：x2﹣2x+1＞0，命题q：x2﹣4x+3≤0，解出两个不等式的解集，再根据充分必要条件的定义可判断出答案．解答：解：∵命题p：x2﹣2x+1＞0，命题q：x2﹣4x+3≤0，∴命题p：x＞1或x＜1，命题q：1≤x≤3，根据充分必要条件的定义可判断：p是q的既不充分也不必要条件，故选：D点评：本题考察了不等式的解法，充分必要条件的定义，属于容易题．4．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∀x∈R，x2﹣2x+4≤4C．∀x∈R，x2﹣2x+4≤0D．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0考点：特称命题；命题的否定．专题：计算题．分析：特称命题“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定是：把∃改为∀，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．解答：解：特称命题“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定是全称命题：∀x∈R，x2﹣2x+4≤0．故选C．点评：写含量词的命题的否定时，只要将“任意”与“存在”互换，同时将结论否定即可．5．（5分）已知命题p：x2﹣1=0，命题q：|x|＜a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1 C．a≥1D．a＞1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，得出若p是q的充分不必要条件，则p⊊q，从而得出答案．解答：解：∵p：x2﹣1=0，∴p={﹣1，1}，若p是q的充分不必要条件，则p⊊q，∴a＞1，故选：D．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式问题，是一道基础题．6．（5分）已知函数f（x）=，则其定义域为（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，1）∪（1，2]C．[﹣2，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，2）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的解析式，列出不等式组，求出解集即可．解答：解：∵函数f（x）=，∴；解得﹣2≤x≤2，且x≠±1；∴f（x）定义域为[﹣2，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，2]．故选：C．点评：本题考查了利用函数的解析式，求函数定义域的问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题．7．（5分）已知函数f（x）=，则f（﹣7）=（）A．1 B．4 C．16 D．49考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的周期性将﹣7变到大于等于0的范围里，利用大于等于0时已知的解析式求解．解答：解：∵f（x）=∴f（﹣7）=f（﹣7+2）=f（﹣5）=f（﹣5+2）=f（﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=1．故选：A．点评：本题是分段函数求值问题，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，属于基础题．8．（5分）若函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=﹣f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣2x 则不等式xf（x）＞0的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0， 2）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：分情况讨论：x≥0，xf（x）＞0的解先解出来，再根据奇函数的性质求x＜0时的解．解答：解：当x≥0时，xf（x）＞0可化为：f（x）＞0，即x2﹣2x＞0，解得：x＞2由函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=﹣f（x）知，f（x）是奇函数，∴xf（x）也是奇函数，又x≥0，xf（x）＞0的解：x＞2，∴x＜0，xf（x）＞0的解是：x＜﹣2，故选C．点评：本题主要考查函数的奇偶性和不等式的解法．9．（5分）在复平面内，复数z=1﹣i对应于点P，则该点在以原点为极点，实轴的正半轴为极轴的极坐标系中所对应的极坐标是（）A．B．C．D．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：求出复数z=1﹣i对应于点P的直角坐标，然后求出极径和极角得答案．解答：解：∵复数z=1﹣i对应于点P的坐标为（1，﹣1），则改点在以原点为极点，实轴的正半轴为极轴的极坐标系中的极径为．且极角为．∴改点的极坐标为．故选：A．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了直角坐标与极坐标的互化，是基础题．10．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则它所对应的参数方程为（）A．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：将极坐标方程为ρ=2cosθ，化为直角坐标方程，再求出对应的参数方程．解答：解：∵圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴消去ρ和θ得，（x﹣1）2+y2=1，∴对应的参数方程为，故选：C．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年2015届高考必考的热点问题．11．（5分）已知圆C：ρ=4sinθ与直线（t为参数）交于A，B两点，则|AB|=（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：圆C：ρ=4sinθ化为直角坐标方程为x2+y2=4y，直线（t为参数）化为普通方程为4x+3y﹣6=0，圆心（0，2）适合直线4x+3y﹣6=0的方程，则此直线经过圆心．即可得到AB的长．解答：解：圆C：ρ=4sinθ化为直角坐标方程为x2+y2=4y，即有x2+（y﹣2）2=4，圆心为（0，2），半径为2，直线（t为参数）化为普通方程为4x+3y﹣6=0，∵圆心（0，2）适合直线4x+3y﹣6=0的方程，∴此直线经过圆心．故弦长|AB|=2r=4．故选B．点评：本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及参数方程与普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x），对任意的x∈R，满足f（﹣x）+f（x）=0，f（2﹣x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=ax，若方程f（x）﹣lgx=0恰有五个实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣lg11，﹣lg7）∪（2lg3，lg13）B．（﹣2lg3，﹣lg7）∪（lg11，lg13）C．（﹣lg13，﹣lg11）∪（lg7，2lg3）D．（﹣lg13，﹣2lg3）∪（lg7，lg11）考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件得到函数f（x）的奇偶数，对称性和周期性，作出函数f（x）和y=lgx的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由f（﹣x）+f（x）=0得f（﹣x）=﹣f（x）则函数f（x）是奇函数，由f（2﹣x）=f（x），则函数关于x=1对称，且f（2﹣x）=f（x）=﹣f（x﹣2），则f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），则函数f（x）的周期是4．若方程f（x）﹣lgx=0恰有五个实根，则等价为若方程f（x）=lgx恰有五个实根，即函数f（x）和y=lgx有5个交点，∵当x∈[0，1]时，f（x）=ax∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣f（﹣x）=ax，即当x∈[﹣1，1]时，f（x）=ax，作出函数f（x）和y=g（x）=lgx的图象如图：若函数f（x）和y=lgx有5个交点，则当a＞0时，则满足，即，解得lg9＜a＜lg13，即2lg3＜a＜lg13，若a＜0，则满足，即，解得，即﹣lg11＜a＜﹣lg7，综上实数a的取值范围是（﹣lg11，﹣lg7）∪（2lg3，lg13），故选：A点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用函数奇偶性和对称性以及周期性的性质，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置.13．（5分）曲线x2+y2=1经过φ：变换后，得到的新曲线的方程为．考点：平面直角坐标轴中的伸缩变换．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用变换的法则，求出新曲线的方程即可．解答：解：曲线x2+y2=1经过φ：变换后，即，代入圆的方程．可得，即所求新曲线方程为：．故答案为：点评：本题考查曲线分的求法，变换的应用，考查计算能力．14．（5分）定义A*B={x|x∈A且x∉B}，若M={x|1＜x＜5}，N={x|x2﹣6x+8≥0}，则M*N={x|2＜x＜4}．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题；集合．分析：先化简N={x|x2﹣6x+8≥0}={x|x≥4或x≤2}，由题意求知M*N={x|2＜x＜4}．解答：解：N={x|x2﹣6x+8≥0}={x|x≥4或x≤2}，又∵A*B={x|x∈A且x∉B}，若M={x|1＜x＜5}，∴M*N={x|2＜x＜4}．故答案为：{x|2＜x＜4}．点评：本题考查了集合的化简与集合的运算的变形应用，属于基础题．15．（5分）设函数f（x）对任意x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（﹣1）的值为﹣2．考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过赋值法求得f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），说明f（x）为奇函数，通过f（1+1）=f（1）+f（1）=4，即可求得f（1），从而可求得f（﹣1）．解答：解：∵f（x）对任意x、y满足f（x+y）=f（x）+f（y），∴令x=y=0得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0；再令y=﹣x代入得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．∵f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=4，∴f（1）=2，又f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查抽象函数及其应用，奇函数的性质，赋值法的应用，属于中档题．16．（5分）对于函数f（x）=e x﹣e﹣x的叙述正确的是（1）（2）．（填正确序号）（1）f（x）为奇函数（2）f（x）为增函数（3）f（x）在x=0处取极值（4）f（x）的图象关于点（0，1）对称．考点：利用导数研究函数的极值；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意，f（x）的定义域为R，可求得f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，故（1）正确，（4）不正确；由e x是增函数，e﹣x是减函数，借助函数的四则运算知函数f（x）=e x﹣e﹣x是增函数，故（2）正确，（3）不正确．解答：解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，从而（1）正确；∵e x是增函数，e﹣x是减函数，∴函数f（x）=e x﹣e﹣x是增函数，故（2）正确；∵函数f（x）=e x﹣e﹣x是增函数，故f（x）在x=0处无极值；故（3）不正确；由（1）知，f（x）的图象不可能关于点（0，1）对称，故（4）不正确；故答案为：（1）（2）．点评：本题考查了函数的奇偶性的判断，及通过函数的导数求函数的单调性及极值的步骤，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a n+1=3a n+2，n∈N*，a1=1，b n=a n+1（1）证明数列{b n}为等比数列．（2）求数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a n+1+1=3（a n+1），又a1=1，b n=a n+1，由此能证明数列{b n}为首项为2，公比为3的等比数列．（2）由（1）知a n+1=2×3n﹣1，由此能求出数列{a n}的通项公式a n与前n项和S n．解答：（1）证明：∵a n+1=3a n+2，n∈N*，a1=1，∴a n+1+1=3（a n+1），又a1=1，b n=a n+1∴，∴数列{b n}为首项为2，公比为3的等比数列．（2）解：由（1）知a n+1=2×3n﹣1，∴a n=2×3n﹣1﹣1．∴S n=2×（1+3+32+…+3n﹣1）﹣n=﹣n=3n﹣n﹣1．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．18．（12分）最近我校对2014-2015学年高一学生进行了体检，为了了解甲乙两班男生的身高状况，随机从甲乙两班中各抽取10名男生的身高（单位cm），绘制身高的茎叶图如图：（1）通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高？（2）计算甲班的样本方差．（3）现从乙班样本身高不低于172cm的同学中随机抽取两名同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．考点：极差、方差与标准差；茎叶图；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）根据茎叶图将甲、乙两组同学的身高的数据还原，求出平均数即得甲班男生的平均身高较高；（2）根据甲班10位同学身高的数据，结合方差计算公式算出10位同学身高的方差，即得甲班的样本方差；（3）根据乙班样本身高不低于172cm的同学共有5人，可求随机抽取两名同学，身高为176cm 的同学被抽中的概率．解答：解：（1）由茎叶图，得甲班的10名同学的身高分别为182 179 179 171 170 168 168 163 162 158，乙班的10名同学的身高分别为181 170 173 176 178 178 162 165 168 159，∴，=171，∴乙班男生的平均身高较高；（2）样本方差为[（182﹣170）2+（179﹣170）2+…+（158﹣170）2]=57.2（3）乙班样本身高不低于172cm的同学共有5人，随机抽取两名同学，身高为176cm的同学被抽中的概率为=．点评：本题给出茎叶图，要我们求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识、样本特征数的计算和随机事件的概率公式等知识，属于基础题．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=1，∠BAC=120°，异面直线B1C与AA1成60°角，D，E分别是BC， AB1的中点．（1）求证：DE∥平面AA1C1C．（2）求三棱锥B1﹣ABC的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）首先连结 A1B，A1C在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面是平行四边形，D，E分别是BC，AB1的中点，所以DE∥A1C，DE⊄平面AA1C1C，A1C⊂平面AA1C1C，DE∥平面AA1C1C（2）异面直线B1C与AA1成60°角，所以∠CB1B=60°，侧棱AA1⊥底面ABC，侧棱BB1⊥底面ABC利用三角函数求得：BB1=1，AB=AC=1，∠BAC=120°，进一步求出底面的面积，和锥体的体积．解答：（1）证明：连结 A1B，A1C在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面是平行四边形D，E分别是BC，AB1的中点所以DE∥A1CDE⊄平面AA1C1C，A1C⊂平面AA1C1CDE∥平面AA1C1C（2）异面直线B1C与AA1成60°角所以∠CB1B=60°侧棱AA1⊥底面ABC侧棱BB1⊥底面ABC利用三角函数求得：BB1=1AB=AC=1，∠BAC=120°点评：本题考查的知识要点：三角形中位线定理，线面平行的判定定理，三角形的面积公式，锥体的体积公式，异面直线的夹角．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），椭圆上一点到其两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的标准方程．（2）如果斜率为的直线与椭圆交于E，F两点，试判断直线AE，AF的斜率之和是否为定值？若是，求出其定值．若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆上一点到其两焦点的距离之和为4，建立方程，求出a，b，即可椭圆C的标准方程；（2）设直线EF的方程为：y=x+m，代入，求出直线AE、AF的斜率之和，即可得出结论．解答：解：（1）∵椭圆上一点到其两焦点的距离之和为4，∴2a=4，，∴a=2，b=，∴椭圆C的标准方程为；（2）设直线EF的方程为：y=x+m，代入得：x2+mx+m2﹣3=0．△=m2﹣4（m2﹣3）＞0且x1+x2=﹣m，x1x2=m2﹣3设A（x0，y0），由题意，k AE=，k AF=∴k AE+k AF=+，化简得分子为：t=y1x2+y2x1﹣x0（y1+y2）﹣y0（x1+x2）+2x0y0，又y1=x1+m，y2=x2+m，∴t=（x1+x2）（y1+y2）﹣x1y1﹣x2y2﹣x0（y1+y2）﹣y0（x1+x2）+2x0y0=（m+2）（x1+x2）+x1x2+2m+3=（m+2）（﹣m）+m2﹣3+2m+3=0，∴k AE+k AF=0．即直线AE、AF的斜率之和是为定值0．点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x2+alnx+2．（1）若f（x）在x=1处的切线与直线y=3x﹣1平行，求实数a的值．（2）若f（x）在（2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，由直线平行的条件，得到a的方程，解出即可；（2）求出导数，f（x）在（2，+∞）上单调递增，即为f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，即有﹣a≤2x2在（2，+∞）上恒成立．求出2x2在（2，+∞）上值域即可得到．解答：解：（1）函数f（x）=x2+alnx+2的导数为f′（x）=2x+，则f（x）在x=1处的切线斜率为2+a，由于在x=1处的切线与直线y=3x﹣1平行，则2+a=3，则a=1；（2）由于f′（x）=2x+，f（x）在（2，+∞）上单调递增，即为f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，即有﹣a≤2x2在（2，+∞）上恒成立．由于2x2在（2，+∞）上值域为（8，+∞），则有﹣a≤8，即a≥﹣8．故实数a的取值范围是[﹣8，+∞）．点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，考查导数的运用：判断单调性，属于中档题．22．（10分）已知曲线C1：（θ为参数），直线C2（t为参数）（1）将曲线C1与C2的参数方程化为普通方程．（2）若曲线C1与C2交于A，B两点，求AB的长．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．分析：（1）可由sin2θ+cos2θ=1，消去θ，得到C1的方程；通过代入法，可得C2的方程；（2）联立椭圆方程和直线方程，消去y，得到二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到．解答：解：（1）曲线C1：（θ为参数），可由sin2θ+cos2θ=1，消去θ，得到普通方程为：，直线C2（t为参数），化为普通方程得，C2：x+y﹣1=0；（2）由消去y，得7x2﹣8x﹣8=0，设A，B两点（x1，y1），（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=﹣，则|AB|===．点评：本题考查参数方程和普通方程的互化，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长公式的运用，属于中档题．。
吉林省长春外国语学校高三数学上学期期末考试试题理
长春外国语学校2016-2017学年第一学期期末考试高三年级数学试卷（理科）第I 卷已知集合A {x| 1 x 2}, B {x|x 2 2x 0}，则 A B ()A. {x| 0 x 2}B . {x| 0 : x 2}C. {x| 1 x 0}D. {x| 1 x 0}2 -设z 1i （i 是虚数单，则z ()zA. 2 2iB .2 2iC. 3 iD . 3 i■ -已知a ）(1, 2) , b (1,0),向量 a b 与a 4b 垂直，则实数的值为A. 1B .1C. 3D. 312小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中, 、选择题：本题共 只有一项是符合题目要求1. 2. 3. (3322，则a 的值为（）点M （2, 1）到抛物线y ax 2准线的距离为的。
4.5. B.—12已知三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥 的体积是 （A. B . 4C. 4.3D. 6A. k 61 1C.丄或丄4 12k 的条件是（B . k 6C. k 6 D . 6.若如下框图所给的程序运行结果为 S 35，那么判断框中应填入的关于 D.7.设f(x)是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示 该函数在区间(2,1］上的图像，则f(2011)f(2013)()A. 3B . 2 C. 1D.2 28.已知直线x y a 与圆x y 1交于A, B 两点，O 是坐标原点，向量|OA OB| |OA OB|，则实数a 的值为() A .1B . 2C .1D. 29.椭圆2x 22y1两个焦点分别是£,F 2 , 点P 是椭圆上任意一点， 则PF 1PF 2的取值范围是( )A . [ 1,1]B . [ 1, 0]C . [0, 1] D.[ 1, 2]10.若函数f(x) 322x 3mx 6x 在区间(1,)上为增函数，则实数m 的取值范围是( )A.( ,1]B . ( , 1)C . (,2]D .(,2)— A11.二项式(JX —)n 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是3x题为选考题，考生根据要求作答。
2014--2015学年高三数学上学期期末统考试题(理)
2014--2015学年高三数学第一学期统一检测试题(理)姓名： 分数：注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液；不按以上要求作答的答案无效. 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合2{|30}M x x x =-=，集合{|21,}N x x n n Z ==-∈，则MN =（ ）A 、{3}B 、{0}C 、{0，3}D 、{-3}2、设复数31iz i-=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A 、12i - B 、i 21+ C 、2i - D 、2i +3、下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）A 、()ln f x x =B 、()2sin f x x x =+C 、1()f x x x=+D 、()x x e f e x -=+ 4、已知实数x y ，满足2201x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，， 则23z x y =-的最大值是（ ）A 、-6B 、-1C 、4D 、6 5、执行如图1所示的程序框图，输出的z 值为（ ）A 、3B 、4C 、5D 、66、某几何体的三视图如图2所示（单位：cm ），则其体积和表面积分别是（ ）A 、6π3cm 和12(1)π+2cm B 、6π3cm 和12π2cm C 、12π3cm 和12(1)π+2cm D 、12π3cm 和12π2cm7、平面内有4个红点，6个蓝点，其中只有一个红点和两个蓝点共线，其余任三点不共线,过这十个点中的任两点所确定的直线中，至少过一红点的直线的条数是（ ）A 、30B 、29C 、28D 、278、已知集合{1,3,7,,(21)}()n n A n N *=-∈，若从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记123n n S T T T T =++++．例如当n =1时，1{1}A =，11=T ，11=S ；当2n =时，}3,1{2=A ，311+=T ，312⨯=T ，213137S =++⨯=. 则n S =（ ）A 、21n- B 、2121n -- C 、(1)121n n -+- D 、(1)221n n +-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9、函数()f x = 的定义域为 .10、若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则3a = .11、在104)1(xx +的展开式中，常数项是 .（用数字作答）12、曲线32361y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程为 .13、在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆2240x y x +-=(24)x ≤≤ 上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ∙=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 .14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线(0)4πθρ=≥与4cos ρθ=的交点的极坐标为 .15、（几何证明选讲选做题）如图3，在ABC ∆中，∠ACB =90°，CE ⊥AB 于点E ，以AE 为直径的圆与 AC 交于点D ，若BE =2AE =4，CD =3，则AC = ；三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、（本小题满分12分）已知函数)6sin()(π+=x A x f ，（A >0，x ∈R ）的最大值为2.（1）求f （π）的值；（2）若3sin 5θ=-，)0,2(πθ-∈，求)62(πθ+f ．17、（本小题满分12分）一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：（1）根据表中数据，求英语分y 对语文分x 的线性回归方程；（2）要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以ξ表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.E ξ（线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中，∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ，x b y aˆˆ-=，其中,x y 为样本平均值，b ˆ，a ˆ的值的结果保留二位小数.）18、（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，12PA AB BC AD ===，四边形ABCD 是直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒．（1）求证: CD ⊥平面P AC ；（2）求二面角A —PD —C 的余弦值．19、（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足11=a ，n a a na n n n =-++11，*N n ∈；（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ；（3）证明：22221232n a a a a ++++<.20、（本小题满分14分）已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为12,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三C 的右焦点的动直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程； （2）若线段AB 中点的横坐标为12,求直线l 的方程； （3）若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D . 设弦AB 的中点为P ,||AB 的取值范围.21、（本小题满分14分）已知函数x a ax x x f )12(ln )(2+-+=，其中a 为常数，且0≠a . （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在1x =处取得极值，且在(]e ,0上的最大值为1，求a 的值.2014--2015学年高三数学第一学期统一检测试题(理)参考答案一、选择题：8【解析】当3n =时，3{1,3,7}A =，1213711,13173731T T =++==⨯+⨯+⨯=，313721T =⨯⨯=，所以311312163S =++=.由于131221,21S S =-=-，636421S ==- ，所以猜想(1)12322121n n nn S +++++=-=-.二、填空题：9、(,3][1,)-∞-+∞ 10、8 11、45 12、320x y --= 13、[5,5]- 14、（0，0）（2分），)4,22(π（3分） 15、83三、解答题:16、（本小题满分12分） 解：因为函数()sin 6f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最大值为2，所以2A =， （2分） 即()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）1()2sin 2sin 21662f ππππ⎛⎫=+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭ （5分）（2）因为3sin 5θ=-,,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4cos 5θ=== （7分）3424sin 22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭ （8分）2247cos 22cos 121525θθ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭（9分）所以26f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭2sin 22sin 2cos 2cos 2sin 333πππθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ （11分）24172225225⎛⎫=⨯-⨯+⨯= ⎪⎝⎭ （12分） 17、（本小题满分12分）解：（1） 879091929591,5x ++++== （1分）868989929490,5y ++++== （2分） 2522221()(4)(1)01434,i i x x =-=-+-+++=∑ 51()()(4)(4)(1)(1)0(1)124435,iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑351.03,34b =≈ （4分） 73.39103.190ˆˆ-=⨯-≈-=x b y a， （5分） 故回归直线方程为 1.03 3.73y x =-. （6分） （2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2. （7分）22241(0);6C P C ξ=== 1122242(1);3C C P C ξ=== 22241(2).6C P C ξ===故ξ的分布列为（10分）所以1612321610=⨯+⨯+⨯=ξE . （12分） 18、（本小题满分14分）（1）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，且CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥P A ． （1分） 又∵AB =BC ，∠ABC =90°， ∴∠BAC =45°，又∠BAD =90°，故∠CAD =45° （2分）过C 作CE //AB ，交AD 于E ，则CE =AB =DE ，∠CED =∠BAD =90°， ∴∠CDA =45° （3分）又∠CAD =45°， ∴∠ACD =90°，即CD ⊥AC ． （4分）∵P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，且P A ∩AC=A ， ∴CD ⊥平面P AC . （6分）（2）方法一：∵P A ⊥平面ABCD ，且CE ⊂平面ABCD ， ∴CE ⊥P A ．由（1）知CE ⊥AD ，又P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，且P A ∩AD=A ，∴CE ⊥平面P AD . （7分） 过E 作EF ⊥PD 于F ，连结CF . ∵CE ⊥平面P AD ，且PD ⊂平面P AD ， ∴CE ⊥PD ．又EF ⊥PD ，且CE ∩EF=E ， ∴PD ⊥平面CEF .又CF ⊂平面CEF ，∴CF ⊥PD ． （8分） ∴∠CFE 是二面角A —PD —C 的平面角. （10分） 设P A =AB =BC =a ，则AD =2a ，CE =DE =a ，a PD 5=.由∆P AD ∽∆EFD ，得DP DE PA EF =，所以a DP PA DE EF 55=⨯=. （11分） 所以a EF CE CF 53022=+=， （12分）∴cos EF CFE CF ∠==，即二面角A —PD —C（14分） 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 设P A =AB =BC =a ，则AD =2a .所以A （0，0，0），B （a ，0，0），P （0，0，a ） D （0，2a ，0），C （a ，a ，0）. （7分）所以),,(a a a --=，)0,,(a a -=. ……………（8分） 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0n CP n CD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即00x y z x y --+=⎧⎨-+=⎩，得⎩⎨⎧==x z x y 2,，令x =1，得y =1，z =2，所以(1,1,2)=n 是平面PCD 的一个法向量. （10分）又平面P AD 的一个法向量为(1,0,0)=m （11分）设向量n 和m 所成角为θ，则cos θ∙===n m n m （13分） ∴即二面角A —PD —C的余弦值为6． （14分）19、（本小题满分14分） 解：（1）由n a a na n n n =-++11，得1(1)n n n a na ++=，即11+=+n na a n n ， （1分） 当2≥n 时，312412321123212341n n n n a a a a a n n a a a a a n n-----⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯- （2分） 即na n a n 111==； （3分） 因为1111==a 11a =，所以na n 1=（*N n ∈） （4分） （2）由nnn a b 2=与n a n 1=，得n n n b 2⋅= （5分）∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ① （6分） 23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ② （7分） ①－②得23122222n n n T n +-=++++-⋅ （8分）∴1(1)22n n T n +=-⋅+ （9分） （3）证明：当n =1时，2121<=a 显然成立； （10分）当2≥n 时，n n n n na n 111)1(1122--=-<=， （11分） ∴2222123n a a a a ++++=22221111123n ++++111111223(1)n n<++++∙∙-∙. （12分）1111111()()()112231n n =+-+-++--122n=-<； （13分） 综上，得22221232n a a a a ++++<. （14分）20、（本小题满分14分）解：（1）设椭圆C 的焦距长为2c ，依题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==⨯⨯=222322121c b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===132c b a （3分）所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （4分）（2）由（1）知椭圆C 的右焦点（1，0），显然直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为(1)y k x =-. （5分）将(1)y k x =-代入22143x y +=，整理得，2222(34)84120k x k x k +-+-=， 0)1(1442>+=∆k ，设11(,)A x y ，22(,)B x y，则1,2x =， ∴2122834k x x k +=+， 212241234k x x k -⋅=+ （6分） 因为AB 中点的横坐标为12，所以2143422221=+=+kk x x，解得k =. （7分） 所以，直线l的方程1)y x =+. （8分） （3）显然直线l 的斜率存在，由（2）知2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以AB 的中点为22243(,)3434k kP k k-++. （9分）所以(AB x ==2212(1)43k k +=+. (10分) 当0≠k 时，直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++, 由0y =,得2243k x k =+, 则22(,0)43k D k +, 所以3k DP =11分)所以2234312(1)43DP k k ABk +==++= 又因为211k +>,所以21011k <<+. 所以104<； （12分） 当k =0时，显然0||=DP 0||=AB ； （13分）故DP AB的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡41,0. (14分)21、（本小题满分14分）解：显然函数)(x f 的定义域为（0，+∞）.（1）当1a =时，x x x x f 3ln )(2-+=，xx x x f 132)(2+-=' （1分）令0)(='x f ，解得121,12x x ==. 当102x <<时，0)(>'x f ，所以函数()f x 在)21,0(上单调递增； （2分） 当112x <<时，0)(<'x f ，所以函数()f x 在)1,21(上单调递减； （3分） 当1x >时，0)(>'x f ，所以函数()f x 在),1(+∞上单调递增； （4分）所以)(x f 的单调递增区间为)21,0(,1+∞（，）；单调递减区间为)1,21(. （5分）（2）因为xx ax x x a ax x f )1)(12(1)12(2)(2--=++-=' 令0)(='x f ,解得1211,2x x a==因为)(x f 在1x =处取得极值，所以12x x ≠，即21≠a . （6分） ①当0<a ，即0212<=ax 时， 因为当10<<x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在（0，1）上单调递增；当e x ≤<1时，0)(<'x f 所以)(x f 在(1,e]上单调递减；故)(x f 在区间(]e ,0上的最大值为(1)f .由(1)1f =，解得2a =-. （8分）②当21>a ，即12102<=<ax 时， 因为当a x 210<<时，0)(>'x f ，所以)(x f 在)21,0(a上单调递增； 当121<<x a 时，0)(<'x f ，所以)(x f 在)1,21(a上单调递减；当e x ≤<1时，0)(>'x f ，所以)(x f 在(1,e]上单调递增；故)(x f 在区间(]e ,0上的最大值1只可能在ax 21=或x =e 处取得.因为2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--<， 所以由1)12(ln )(2=+-+=e a ae e e f ，解得2121>-=e a . （10分） ③当2121<<a e ，即e ax <=<2112时， 因为当10<<x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在（0，1）上单调递增； 当a x 211<<时，0)(<'x f 所以)(x f 在)21,1(a上单调递减； 当e x a ≤<21，0)(>'xf ，所以)(x f 在⎥⎦⎤⎝⎛e a ,21上单调递增； 故)(x f 在区间(]e ,0上的最大值1只可能在x =1或x =e 处取得. 因为0)1()12(1ln )1(<+-=+-+=a a a f ， 所以由1)12(ln )(2=+-+=e a ae e e f ，解得2121>-=e a （舍去）. （12分） ④当e a 210≤<，即e ax ≥=212时， 因为当10<<x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在（0，1）上单调递增； 当e x <<1时，0)(<'x f 所以)(x f 在（1，e ）上单调递减； 故)(x f 在区间(]e ,0上的最大值1只可能在x =1处取得.因为0)1()12(1ln )1(<+-=+-+=a a a f ，所以此时a 无解. （13分） 综上所述，12a e =-或2a =-. （14分）。
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长春外国语学校2014—2015学年第一学期期末考试
高三理科数学试卷
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共4页 满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。
2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。
3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确. 1. 已知集合}11|{≤≤-=x x A ，}065|{2
≥+-=x x x B ，则下列结论中正确的是（ ） A. B B A = B. A B A = C. A B D. B A C R =
2. “||||b a b a =⋅”是“a 与b 共线”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3. 命题p ：|sin |x y =是偶函数，命题q ：||sin x y =是周期为π的周期函数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. q p ∧
B. q p ∨
C. q p ∧⌝)(
D. q p ∨⌝)( 4. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，当n n S n -=2时，=5a （ ） A. 20 B. 12 C. 8 D. 4 5. 下列函数中，图象不关于原点对称的是（ ） A. x
x
e e y --= B. 11
2
-+=x
e y C. )1ln(2++
=x x y D. x y sin ln =
6. 已知向量)2,1(=a ，),(y x b =，若a ∥b 且0)(=+⋅b a a ，则=+y x （ ） A. 5 B. 3 C. 3- D. 5-
7. 若曲线)1ln(2
+-=x a x y 在1x =处取极值，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 定积分dx e x x
⎰
-1
)2(的值为（ ）
A. e -2
B. e -
C. e
D. e +2
9. 已知等比数列}{n a 中，23=a ，1664=a a ，则8
612
10a a a a --的值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16 10. 函数3cos 2cos )(+-=x x x f )2
(π
π-
≤≤-x 有（ ）
A ．最大值3，最小值2 B. 最大值5，最小值3
C. 最大值5，最小值2
D. 最大值3，最小值8
15 11. 将函数)6
2sin()(π
-
=x x f 的图象上所有的点向左平移
3
π
个单位（纵坐标不变），则所得
图象的解析式是（ ）
A. x y 2cos -=
B. x y 2cos =
C. )652sin(π-
=x y D. )6
2sin(π
+=x y 12. 已知函数⎩⎨⎧>≤⋅=)
0(log )
0(2)(2x x x a x f x ，若关于x 的方程0)]([=x f f 有且只有一个实数根，则
实数a 的取值范围是（ ）
A.)0,(-∞
B. )1,0()0,( -∞
C. )1,0(
D. ),1()1,0(+∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置. 13. =-)1110sin(0
________________.
14. 已知△ABC 的三个内角满足C B A cos sin sin =，则△ABC 的形状一定是____________. 15. 在△ABC 中，6=AB ，4=AC ，12=⋅AC AB ，则△ABC 的面积为 _____________. 16. 关于函数2
1
cos sin 3sin )(2-
+=x x x x f 的说法正确的是_____________.（填正确序号）
①最小正周期为π ②图象关于3π
=
x 对称 ③图象关于点)0,12
7(
π
成中心对称 ④在区间]4
,2[π
π-
上单调递增.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤. 17.(12分) 已知△ABC 的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，向量),(c a b a m -+=
)sin sin ,(sin B A C n -=，且m ∥n .
（1）求∠B 的大小. （2）若1=a ，3=
b ，求△ABC 的面积.
18.（12分）已知数列}{n a 满足n n n a a 221+=+，*∈N n ，11=a ，n
n
n a b 2= (1)证明数列}{n b 为等差数列.
(2)求数列}{n a 的通项公式n a 与前n 项和n S .
19.（12分）某射手击中目标的概率为0.8,现给他五发子弹，规定只要击中目标立即停止射击；
没击中目标，继续射击，直到子弹全部打完为止. (1)求射手射击三次的概率.
(2)若用X 表示射手停止射击后剩余子弹的个数，求变量X 的分布列与期望)(X E 的值.
20. （12分）已知椭圆)0(14222>=+b b y x ，双曲线)0,0(122
22>>=-n m n
y m x 的右焦点都与
抛物线x y 42
=的焦点F 重合.
（1）若椭圆、双曲线、抛物线在第一象限交于同一点P ，求椭圆与双曲线的标准方程. （2）若双曲线与抛物线在第一象限交于Q 点，以Q 为圆心且过抛物线的焦点F 的圆被y
轴截得的弦长为32，求双曲线的离心率.
21.（12分） 已知函数b ax x e x f x +--
=2
2
1)(在0=x 处的切线方程为42+-=x y . （1）求函数)(x f 的解析式.
（2）证明：R x x ∈∀21,且21x x ≠，恒有
2)
()(2
121->--x x x f x f 成立.
22.（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系。
已知
曲线
1C ：)0(cos 2sin 2>=a a θθρ与经过点)
4,2(-P 的直线
2C )(224222为参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+-=交于N M ,两点. （1）求曲线21,C C 的普通方程.
（2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列，求实数a 的值.
高三理科期末试题答案 A. 选择题
二、C 2. A 3. B 4.C 5. D 6. C 7. D 8. A 9. B 10. C 11. B 12. B 6.填空题 A.2
1
-
14. 直角三角形 15. 36 16. ①②③ A.解答题
四、(1) 60=B (2)
2
3 五、(1)证明略 (2)12-⋅=n n n a n n n S 2)1(1⋅-+= 六、(1)0.032 (2)3.7504
七、(1)13
42
2=+y x ,
19
89122=-y x (2)12+ 八、(1)332
1)(2
+--
=x x e x f x (2)证明略 九、(1)ax y 22
= 06=+-y x (2)2
185
13+=
a。