分式化简求值解题技巧
第9章 分式—分式的化简求值 22--23学年沪科版数学七年级下册
=
1
1
(代入 + = 4)
1
15
1
配方常见的式子有 + = ， − = ， 2 +
1
2
1
1
= ( + )2 −2 = ( − )2 +2等，要熟练掌握
并会灵活运用配方法. 次数高的要降幂，构造完
1
所以原分式的值为 15 .
全平方式，代入求值即可.
【例】若 + = 2019, + = 2020, + = 2021,且 =
分式化简的基
本理论知识
分式的基本性质：分子分母同乘除一个
不为0的整式，分式不变.
约分：把分式的分子和分母的公因式约去
通分：把异分母化成同分母
分式的四则运算
化简：用因式分解的方法化简分子分母
分式的化简求值
分式化简的
基本步骤
分式化简求值
的常见方法
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的
分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
− 2
−
1
将 = 4代入得
2(−)
+3 2×1+3
4
−
1
−2
−2
4
=
= −2， 所以原分式的值为−2
方法总结：一般题干给出条件难以得出可以直接代入的简易结论，我们可以将整个条件看成一个整体，
化简分式时向着这个式子的方向去化简，然后整体直接代入即可求值.
配方法
1
【例】已知 + =
将条件等式整
体代入即可求
值
方法总结：当条件式为等式时，
分式化简技巧使用分式化简技巧解决问题
分式化简技巧使用分式化简技巧解决问题在数学中，分式是一种表达形式，由分子和分母组成，中间有一个分割线。
在解决数学问题时，我们经常会遇到需要化简分式的情况。
本文将介绍一些常用的分式化简技巧，以帮助读者更好地解决问题。
一、约分法约分法是最基本的分式化简技巧之一。
当分子和分母有公因子时，可以约去它们的公因子，从而化简分式。
下面以一个例子来说明这个技巧。
例子：将分式$\frac{12}{18}$化简。
解析：12和18都可以被2整除，因此它们的公因子是2。
我们可以将分子和分母都除以2，得到$\frac{6}{9}$。
接着，6和9都可以被3整除，所以它们的公因子是3。
将分子和分母都除以3，最终得到化简后的分式$\frac{2}{3}$。
二、分子因式分解法当分子可以因式分解时，我们可以将分子分解后进行化简。
下面以一个例子来展示这个技巧。
例子：将分式$\frac{x^2-4}{x^2-2x}$化简。
解析：首先，我们可以因式分解分子的二次多项式$x^2-4$，得到$(x-2)(x+2)$。
对于分母$x^2-2x$，我们可以提取公因子$x$，得到$x(x-2)$。
因此，将分子分母带入分式，得到$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}$。
可以看出，分子和分母都含有因式$(x-2)$，我们可以约去这个因式，最终化简得到$\frac{x+2}{x}$。
三、通分法通分法是化简带有分子和分母的分式的常用技巧。
这种情况通常发生在两个或多个分式相加或相减的时候。
下面以一个例子来说明通分法的使用。
例子：将分式$\frac{1}{x}+\frac{x}{1}$化简。
解析：首先，将两个分式通分，得到$\frac{1}{x}+\frac{x}{1}=\frac{1}{x}+\frac{x^2}{x}$。
接下来，我们需要将分子化为相同的形式。
因此，将分子$x^2$化为$\frac{x^2}{x}$。
最后，我们可以将这两个分式合并，并进行化简，得到$\frac{1+x^2}{x}$。
分式的化简求值课件
目录
• 分式化简概述 • 分式的约分 • 分式的通分 • 分式的化简求值
01
分式化简概述
分式化简的定义
总结词
分式化简是指将分式通过约分、通分、分子分母分解因式等方式，将其转化为 最简形式的过程。
详细描述
分式化简是数学中一个重要的概念，它涉及到分数的约分、通分、分子分母分 解因式等操作，目的是将分式简化到最简形式。最简形式是指分子和分母没有 公因式，且分子和分母互质的分式。
02
分式的约分
约分的定义和性质
约分的定义
约分是将一个分式化简为最简形 式的过程，通过约分可以简化分 式的计算和化简过程。
约分的性质
约分后分式的值不变，即约分前 后的分式相等；约分后的分式比 原分式更加简单明了，易于计算 和理解。
约分的步骤和方法
找出分子和分母的最大公约数
01
通过因式分解、质因数分解等方法找出分子和分母的最大公约
分式化简的意义和作用
总结词
分式化简在数学中具有重要的意义和作用，它可以帮助学生更好地理解分数和分式的概念，提高解题速度和准确 度。
详细描述
通过分式化简，学生可以更好地理解分数和分式的本质和特点，掌握其运算规则和技巧。同时，分式化简也可以 帮助学生提高解题速度和准确度，减少计算错误和混淆的可能性。此外，分式化简在数学研究和应用中也具有广 泛的应用价值，如在物理、化学、工程等领域中都有重要的应用。
02
分别对分子、分母进行 因式分解。
03
将每个分式化为最简比 的形式。
04
约分：如果分子、分母 有公因式，则约去公因 式。
通分的注意事项
注意最简公分母的选择
注意化简求值时的符号
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式化简解题技巧(一)
分式化简解题技巧(一)分式化简解题技巧1. 查找最大公因数在进行分式化简解题时，首先需要查找分子和分母的最大公因数。
最大公因数是指能够同时整除分子和分母的最大的正整数。
通过将分子和分母都除以最大公因数，可以将分式化简为最简形式。
2. 分子分母因式分解当分式的分子和（或）分母都是多项式时，我们可以采用因式分解的方法。
通过将分子分母进行因式分解，可以找到它们的公因式，然后将其约去，从而达到化简的目的。
3. 相同底数的分式合并如果分式的分子和分母都具有相同的底数，但指数不同，我们可以采用合并的方式进行化简。
通过将具有相同底数的分式合并，使得化简后的分式中只保留一个相同的底数，指数为合并前的指数之差。
4. 分式的乘法和除法在某些情况下，可以通过将分式进行乘法或除法运算，从而实现化简的目的。
例如，可以通过将两个分式相乘，或将一个分式除以另一个分式，将分式化简为最简形式。
5. 特殊的分式化简公式在分式化简解题中，还存在一些特殊的分式化简公式。
例如，我们可以利用平方差公式、完全平方公式、差平方公式等进行化简。
熟练掌握这些公式，可以更快地解决分式化简问题。
6. 注意符号的运用在分式化简解题中，需要注意符号的运用。
对于负号，要注意它的位置和运算规则。
在书写过程中，要谨慎地进行运算，防止出现符号错误。
7. 变量的化简当分式中含有变量时，化简的过程会稍微复杂一些。
这时可以通过合并同类项、因式分解等方法，将分式化简为最简形式。
此时，需要注意变量的运算规则，避免出现错误的化简结果。
以上是分式化简解题的一些常用技巧和注意事项。
掌握这些技巧并不断进行练习，相信你能够在分式化简解题中取得更好的成绩！8. 有理化分母在分式化简解题中，我们常常会遇到分母中含有根号的情况。
为了方便计算，我们需要将分母有理化，即将分母中的根号化为整数或有理数。
有理化分母的方法有两种：乘以相应的有理化因子或利用共轭式。
9. 平方根的化简当分式中含有平方根时，我们可以利用平方根的性质进行化简。
2022中考数学技巧《分式化简求值的方法与技巧》专题讲解附练习及答案
解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧 ◆类型一 着眼全局，整体代入1．1a －1b ＝13，那么ab 6a －6b的值为( ) A .12 B ．－12C ．2D ．－2 2．假设a 2＋b 2＝3ab ，求分式⎝⎛⎭⎫1＋2b 2a 2－b 2⎝⎛⎭⎫1＋2b a －b 的值．◆类型二 巧妙变形，构造代入3．x 2－3x ＋1＝0，那么x x 2－x ＋1的值是( ) A .12 B ．2 C .13D ．3 4．★假设x －1x ＝4，那么x 4＋x 2＋1x 2＝________． 5．★★a ，b ，c 不等于0，且a ＋b ＋c ＝0，求a(1b ＋1c )＋b(1a ＋1c )＋c(1a ＋1b)的值．◆类型三 参数辅助，多元归一6．x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．7．a ＋b a －b ＝32，求分式a 2－b 2ab 的值．◆类型四 打破常规，倒数代入8．★x x 2＋x ＋1＝13，求x 22x 4－3x 2＋2的值．9．★★ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，求abc ab ＋ac ＋bc的值．参考答案与解析1．B 解析：因为1a －1b ＝13，所以ab ＝－3(a －b )，所以原式＝ab 6〔a －b 〕＝－3〔a －b 〕6〔a －b 〕＝－12. 2．解：⎝⎛⎭⎫1＋2b 2a 2－b 2⎝⎛⎭⎫1＋2b a －b ＝a 2－b 2＋2b 2a 2－b 2·a －b ＋2b a －b ＝a 2＋b 2a 2－b 2·a ＋b a －b ＝a 2＋b 2〔a －b 〕2＝a 2＋b 2a 2＋b 2－2ab .因为a 2＋b 2＝3ab ，所以原式＝3ab 3ab －2ab＝3. 3．A 解析：因为x 2－3x ＋1＝0，所以x 2＝3x －1，所以原式＝x 3x －1－x ＋1＝12. 4．19 解析：等式两边同时平方得⎝⎛⎭⎫x －1x 2＝x 2－2＋1x 2＝16，即x 2＋1x 2＝18，那么x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1＋1x 2＝18＋1＝19. 5．解：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋b ⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋1a －1＋b (1a ＋1c＋1b )－1＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c －1＝(1a ＋1c ＋1b)(a ＋b ＋c )－3＝－3. 6．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，那么x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝2k ·3k ＋3k ·4k ＋2k ·4k 〔2k 〕2＋〔3k 〕2＋〔4k 〕2＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2＝2629. 7．解：设a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，解得⎩⎨⎧a ＝52k ，b ＝12k ，所以a 2－b 2ab ＝245. 8．解：因为x x 2＋x ＋1＝13，所以x 2＋x ＋1x ＝3，x ＋1＋1x ＝3，x ＋1x x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 22x 4－3x 2＋2x 2＝2x 2－3＋2x 2＝2⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－3＝2×2－3＝1，所以x 22x 4－3x 2＋2＝1. 9．解：因为ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，所以a ＋b ab ＝3，b ＋c bc ＝4，a ＋c ac ＝5，所以1b ＋1a ＝3，1b ＋1c ＝4，1a ＋1c ＝5，所以2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋4＋5，所以1a ＋1b ＋1c ＝6，abc ab ＋ac ＋bc ＝11a ＋1b ＋1c＝16.。
化简求值的口诀
化简求值的⼝诀
先分解、再约分。
分式的乘除法运算或化简应该先将能分解因式的分⼦、分母进⾏因式分解，然后再进⾏约分，达到计算或化简的⽬的。
通过变形，将已知式⼦转化为所要求值的式⼦⽽⾃然地得到所求分式的值是分式求值题⼀个重要的解题⽅法。
化简求值
化简求值在数学上是⼀个⾮常重要的概念。
复杂的式⼦，必须通过化简才能简便地求出它的值。
化简是指把复杂式⼦化为简单式⼦的过程。
在分式的化简求值过程中，特别应该讲究的是化简求值过程中的⽅式⽅法、技能技巧，当然，⽆论是“⽅式⽅法”也好，“技能技巧”也罢，其关键还在于“基础知识”的掌握。
如果“基础知识”的掌握是⾮常过硬的，那么在分式的化简求值过程中就能够将相关的“⽅式⽅法”、“技能技巧”运⽤⾃如，⾃然，在“基础知识”、“⽅式⽅法”、“技能技巧”的运⽤⽅⾯有了⼀定程度的能⼒的时候，如果能够再通过⼀定题量来进⾏训练的话，那么分式化简求值中的“⽅式⽅法”、“技能技巧”的运⽤就“如虎添翼”、“熟能⽣巧”，反之，⼀切皆为空谈。
分式的化简求值主要分为三⼤类
1、所给已知值是⾮常简单的数值，⽆须化简或变形，但所给的分式却是⼀个较复杂的式⼦。
2、所给已知值是⼀些⽐较复杂甚⾄是⾮常复杂的数值，但所给的分式却是⼀个⾮常简单的式⼦。
3、所给已知值是⼀些⽐较复杂甚⾄是⾮常复杂的数值，化简或变形后更有利于准确地求出所给分式的值，不仅如此，⽽且所给的分式也是⼀个较复杂的式⼦。
分式化简求值题型：定值在前,求值在后
分式花间求值的题型：定值在前，求值在后先定值，后求值成为中考分式化简求值的典型，面对问题，你会从容定出合理的值，并正确求解吗？来，试一试．一．定值不设定范围例１ 先化简：（１－11+x ）÷12-x x ，再请你选择一个合适的数作为x 的值代入求值． 分析：此题是属于结论开放型问题，化简不是问题，问题在于如何选择合适的数，也就是说怎样的数才算是合适的数，标准是什么，这才是解题的关键．为此，我们找出哪些数是不合适的，问题就顺利获解．不合适的数，就是那些让任何一个已知分式无意义的数和过程中生成分式无意义的数．解：（１－11+x ）÷12-x x =1+x x ÷)1)(1(-+x x x ＝1+x x ×x x x )1)(1(-+＝ｘ－１； 因为有三个分母：ｘ+１，（ｘ+１）（ｘ－１），ｘ，所以ｘ+１≠０，（ｘ+１）（ｘ－１）≠０，ｘ≠０，所以x≠0，且x≠±1，所以当x=2时，原式=2﹣1=1．点评：顺利找到不合适的数，是解题的关键．二．定值源自特定的不等式范围例２ 先化简（11-x －11+x ）÷222-x x ，然后从－２≤ｘ≤２的范围内选择一个合适的整数作为x 的值代入求值．分析： 要选择的数，一定是保证分式有意义的数，所以确定不能选择的数就成了解题的关键．因为（11-x －11+x ）÷222-x x ，有三个显性分母：ｘ－１，ｘ＋１，２2x －２，还有一个隐性分母：ｘ，所以ｘ+１≠０，（ｘ－１）≠０，２2x －２≠０，ｘ≠０，所以x≠0，且x≠±1，在－２≤ｘ≤２的整数有－２，－１，０,１,２，所以ｘ只能取２或－２.解：请同学们自己给出解答．点评： 注意分式中的分母，特别是隐性分母是确保正确选择数的关键．三．定值源自特定的数组例３ 先化简代数式（１－23+a ）÷41222-+-a a a ，再从－２，２，０三个数中选一个恰当的数作为a 的值代入求值．分析：在解答时，同学们要将自己的解题思路清晰化：（１）括号里用通分方式，完成分式的减法计算；（２）借助因式分解的方式，完成对除式分子，分母的变形；（３）借助除法的法则，将除法运算转化为乘法运算；（４）借助约分的方式，完成式子的化简；（５）根据分式有意义的条件，筛选自选数；（６）将选定的数代入最简分式，求得结果．解：（１－23+a ）÷41222-+-a a a =232+-+a a ÷)2)(2()1(2-+-a a a ＝21+-a a ×2)1()2)(2(--+a a a ＝12--a a ； 当ａ＝－２时，分式23+a 无意义，所以不能选－２； 当ａ＝２时，分式41222-+-a a a 无意义，所以不能选２； 当ａ＝０时，分式23+a ，41222-+-a a a ，2)1()2)(2(--+a a a ，12--a a 都有意义，所以可以求值． 所以当ａ＝０时，原式＝1020--＝２． 点评：通分，因式分解，约分是解题的三大工具，保证题目中每一个分式都有意义，是选择自由数的标准．特别是中间运算过程中生成的新分式有意义，是同学们容易忽视的隐含因素，解答时，一定要注意挖掘．四．定值源自特定的不等式组的解集例４ 先化简，再求代数式（１－2x 3+）÷212+-x x 的值，其中x 是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-81202＜＞x x 的整数解．分析： 先将括号内通分，再根据分式的除法进行化简，然后求出不等式组的整数解代入求值．原式=2)1(1x 2x 3-2x +-+÷++x x ）（=)1(1x 22x 1x -++⨯+-x x ）（=1x 1+,解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-81202＜＞x x 得 2＜x ＜27，因为x 是整数，所以x=3．所以当x=3时，原式=41． 点评： 正确确定不等式组的解集成了确定ｘ的值的关键．。
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20XX年春期初二数学尖子班辅导资料（2）
专题：分式化简求值解题技巧
例1、已知22006ab，求bababa421212322的值.
例2、已知311yx，求yxyxyxyx2232的值.
【巩固练习】
1.已知115xy,求2322xxyyxxyy的值.
2.已知211yx,求分式yxxyyyxx33233的值
3. 若abba322,求分式)21)(21(222babbab的值
4．已a，b为实数，ab=1，M=，N=，则M，N的大小关系是（ ）
A． M＞N B． M=N C． M＜N D． 无法确定
5．已知，其中A，B为常数，则4A﹣B的值为（ ）
A． 7 B． 9 C． 13 D． 5
6．若果2ab＝a－b，则分式11ab的值是 .
若3,111baabbaba则的值是 .
7. 如果记221xfxx，并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）==；那么
f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）= _________ ．（结果用含n的
代数式表示，n为正整数）．
例3．已知2520010xx，求21)1()2(23xxx的值.
.
例4.已知abc，，不等于0，且0abc，求)11()11()11(baccabcba的值.
【巩固练习】
7. 若1ab,求221111ba的值
8.已知xx12,试求代数式34121311222•xxxxxxx的值
例5 、已知432zyx，求222zyxzxyzxy的值。
【巩固练习】6.已知23baba,求分式abba22的值
例6、（1）已知41xx，求1242xxx的值.
（2）已知2310xx，求221xx、441xx的值。
【巩固练习】
9. 若2132xxx,求分式1242xxx的值.
8. 已知51,41,31caaccbbcbaab,求bcacababc的值.
20XX年春期初二数学尖子班作业（2）
姓名
一．选择题
1．计算的结果为（ ）
A． 1 B． 2 C． ﹣1 D． ﹣2
2．化简，其结果是（ ）
A． B． C． D．
3．学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”．
小明的做法是：原式=；
小亮的做法是：原式=（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）=x2+x﹣6+2﹣x=x2﹣4；
小芳的做法是：原式=．
其中正确的是（ ）
A． 小明 B． 小亮 C． 小芳 D． 没有正确的
4．化简的结果是（ ）
A． ﹣4 B． 4 C． 2a D． ﹣2a
二．填空题
5．计算：= _________ ，化简÷的结果为 _________ ．
6．计算：的结果是 ________，已知，则= ____ ．
三．解答题
7．先将代数式化简，再从﹣3＜x＜3的范围内选取一个合
适的整数x代入求值．