2019学年年高考数学一轮复习课时分层训练53古典概型文北师大版3

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[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：-第3章-三角函数、解三角形

[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：-第3章-三角函数、解三角形第五节两角和与差及二倍角的三角函数[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．(对应学生用书第48页)[基础知识填充]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(3)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cosB 大小不确定．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( )[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A．－32B．32C．－12D．12D[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D．]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C ．29D ．79A [∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.故选A ．]4．(2017·云南二次统一检测)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________.【导学号：00090103】－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.π3[由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.](对应学生用书第49页)三角函数式的化简(1)化简：sin 2－2cossin⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x.(1)22cos α[原式＝2sin αcos α－2cos2α2 2sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin2x cos2x＋122sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－xcos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin22x2sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－x cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－x＝12cos22xsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x＝12cos 2x.[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1] 化简sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.【导学号：00090104】12[法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角函数式的求值角度1 给角求值(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°＝( )A．12B．32C． 3 D． 2(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.(1)C(2)1[(1)原式＝2cos30°－20°－sin 20°sin 70°＝错误!＝3cos 20°cos 20°＝ 3.(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]角度2 给值求值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A ．725 B ．15C ．－15D ．－725(2)(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A ．1＋358B ．1＋538C ．1－358D ．1－538(1)D (2)A [(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.(2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A ．] 角度3 给值求角(2018·长春模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )【导学号：00090105】A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6C [∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝310 10.又sin α＝55，∴cos α＝255，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎪⎫－1010＝22.∴β＝π4.][规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．三角变换的简单应用(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65B ．1C ．35D ．15(2)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x∈R.①求f (x )的最小正周期；②求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．(1)A [法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值65. 故选A ．法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A ．](2)①由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.②因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数化为y＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练2] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.[解] (1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin2x＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x＋π3≤5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.。

2019学年年高考数学一轮复习课时分层训练33数列求和理北师大版3180

项和为 (
)
A． 100
B． 110
C． 120
D． 130
C [{ an＋ an＋1} 的前 10 项和为 a1＋ a2＋ a2＋ a3＋…＋ a10＋ a11＝ 2( a1＋ a2＋…＋ a10) ＋ a11－ a1
＝ 2S10＋10×2＝ 120. 故选 C.]
3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为
所以 S＝ 3＋ 2＋ 22＋…＋ 2n－ 1 － 2n
n－1
1
1
2 1－ 2
n＋ 2
＝ 3＋
1
－ 2n
1－ 2
第 2页共 5页
会当凌绝顶，一览众山小
n＋ 4 ＝ 4－ 2n .]
n1 8．(2017 ·全国卷Ⅱ ) 等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn， a3＝ 3， S4＝ 10，则∑k＝1Sk＝ ________.
会当凌绝顶，一览众山小
课时分层训练 ( 三十三 ) 数列求和
A 组基础达标
一、选择题
111 1
1
1．数列
12， 34， 58， 716，…，
(2
n－
1)
＋
n
2
，…的前
n 项和 Sn 的值等于 (
)
A．
n2＋
1
－
1 2n
B．
2n2－
n＋
1
－
1 2n
C．
n2＋
1
－
2
1
n－
1
D．
n2 － n＋
1－
1
n
2
难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思

[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：第10章概率第2节古

第二节古典概型[考纲传真] 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．(对应学生用书第151页)[基础知识填充]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n. [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为( )①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD 内，任意抛掷一点P ，点P 恰与点C 重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．A ．0B ．1C ．2D ．3B [由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )【导学号：00090351】A ．815B ．18C ．115D ．130C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.] 4．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A ．310B ．15C ．110D ．120C [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C ．] 5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．13[甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．所以所求概率P ＝39＝13.](对应学生用书第151页)1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A ．110B ．15C ．310D ．25(2)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．56(1)D (2)C [(1)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25. 故选D ．(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C ．] [规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数n ；(2)计算事件A 所包含的基本事件的个数m ；(3)代入公式求出概率P .2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．[变式训练1] (1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．45(2)(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．(1)C (2)56[(1)设正方形的四个顶点分别是A ，B ，C ，D ，中心为O ，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．所以所求事件的概率P＝1－410＝35.(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(A)＝636＝16，所以P(A)＝1－16＝56.]儿童需转动如图1021所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【导学号：00090352】图1021[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16. 3分(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516. 5分(2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C ．则事件B 包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P (B )＝616＝38. 8分事件C 包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).10分所以P (C )＝516. 因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 12分 [规律方法] 1.本题易错点有两个：(1)题意理解不清，不能把基本事件列举出来；(2)不能恰当分类，列举基本事件有遗漏．2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．[变式训练2] (2017·潍坊质检)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率. 【导学号：00090353】[解] (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，2分故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13. 5分(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有 {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个.8分根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个.因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝215. 12分查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图图1022①B地区用户满意度评分的频数分布表地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．B地区用户满意度评分的频率分布直方图图1022②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：[解](1)如图所示．4分通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散. 6分(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 8分记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25. 11分所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 12分[规律方法] 1.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数学应用意识．2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．[变式训练3] (2018·湘潭模拟)长沙某购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布情况，在当月的电脑消费小票中随机抽取n张进行统计，将结果分成6组，分别是[0,100)，[100,200)，[200,300)，[300,400)，[400,500)，[500,600]，制成如图1023所示的频率分布直方图(假设消费金额均在[0,600]元的区间内)．(1)若按分层抽样的方法在消费金额为[400,600]元区间内抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自[400,500)元区间的概率；(2)为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案．方案一：全场商品打八折．方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由(直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值)图1023[解] (1)由题意知，在[400,500)元区间内抽4张，分别记为a ，b ，c ，d ，在[500,600]元区间内抽2张，分别记为E ，F ， 2分设“2张小票均来自[400,500)元区间”为事件A ，从中任选2张，有以下选法：ab 、ac 、ad 、aE 、aF 、bc 、bd 、bE 、bF 、cd 、cE 、cF 、dE 、dF 、EF ，共15种. 4分其中，2张小票均来自[400,500)元区间的有ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd ，共6种，∴P (A )＝25. 6分(2)法一：由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05.方案一：购物的平均费用为0.8×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.8×275＝220(元). 8分方案二：购物的平均费用为50×0.1＋130×0.2＋230×0.25＋270×0.3＋370×0.1＋430×0.05＝228(元). 10分 ∵220＜228，∴方案一的优惠力度更大. 12分法二：由频率分布直方图可知，各组频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05，方案一：平均优惠金额为0.2×(50×0.1＋150×0.2＋250×0.25＋350×0.3＋450×0.1＋550×0.05)＝0.2×275＝55(元). 8分方案二：平均优惠金额为20×(0.2＋0.25)＋80×(0.3＋0.1)＋120×0.05＝47(元).10分 ∵55＞47.∴方案一的优惠力度更大. 12分。

2019年高考数学一轮复习(北师大版文科)：课时分层训练1 集合文北师大版

课时分层训练(一) 集合A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝( ) A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}B[∵A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．故选B.]2．(2017·山东高考)设集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N＝( ) A．(－1,1) B．(－1,2)C．(0,2) D．(1,2)C[∵M＝{x|0<x<2}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|0<x<2}∩{x|x<2}＝{x|0<x<2}．故选C.]3．(2017·潍坊模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4D[由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．]4．(2016·山东高考)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( ) A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}．] 5．(2017·衡水模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝( ) 【导学号：00090002】A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}A[由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]6．(2018·西安模拟)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M 与集合N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅B [由题意知N ＝{－1,0}，则M ∩N ＝N ，故选B.]7．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.] 二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016＜0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[2 016，＋∞) [由x 2－2 017x ＋2 016＜0，解得1＜x ＜2 016，故A ＝{x |1＜x ＜2 016}，又B ＝{x |x ＜a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016.]9．(2016·天津高考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________. {1,4} [因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．]10．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.[－1,0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1,0)．]B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·石家庄模拟)已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为( ) A．2 B．3C．4 D．5C[∵32－x∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.]2．(2017·郑州调研)设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图112中阴影部分表示的区间是( )图112A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D[A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]3．(2018·信阳模拟)已知集合A＝{(x，y)|y－x＝0}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，C＝A∩B，则C的子集的个数是________. 【导学号：00090003】2[曲线y＝x与圆x2＋y2＝1只有一个交点，从而集合C中只有一个元素，则C的子集的个数有2个．]4．设集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|x－a≥0}．若存在实数a，使得A∩B＝{x|0≤x＜3}，则A∪B＝________.{x|x＞－2} [A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x≥a}．如图，由A∩B＝{x|0≤x＜3}，得a＝0，A∪B＝{x|x＞－2}．]。

(北师大)2019届高考数学文科一轮复习重点强化训练附答案(5份)

重点强化训练(一) 函数的图像与性质A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) 【导学号：00090050】A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增，又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0， f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C [∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上是减少的，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·陕西质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.] 二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图像如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________.图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为______________.【导学号：00090051】[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·银川质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ [解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，原方程有两个解． 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：00090052】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，3分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .5分(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).7分∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4.9分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则 f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围. 【导学号：00090053】 [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0. 3分 (2)f (x )为偶函数.4分证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.7分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16). 9分又f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1，11分∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}. 12分重点强化训练(二) 平面向量A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是 ( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λbD [因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.则a 与b 共线同向，故D 正确．]2．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A ．2－1 B ．1 C ． 2D ．2B [因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝0，所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2，故|a ＋b |＝ 2. 展开(a －c )·(b －c )≤0，得a·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0，即0－(a ＋b )·c ＋1≤0，整理，得(a ＋b )·c ≥1.而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ，所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1. 所以|a ＋b －c |2≤1，即|a ＋b －c |≤1.]3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．23π D ．56π A [由题意，得OA →＋OC →＝(3＋cos α，sin α)，所以|OA →＋OC →|＝＋cos α2＋sin 2α＝10＋6cos α＝13，即cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3233×1＝32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.]5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( ) A ．－12B ．12C ．－34D ．0A [取AB的中点C ，连接OC ，AB ＝3，则AC ＝32，又因为OA ＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠AOB ＝sin ∠AOC ＝AC OA ＝32，所以∠AOB ＝120°，则OA →·OB →＝1×1×cos 120°＝－12.]二、填空题6．设O 是坐标原点，已知OA →＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________．11或－2 [由题意得CA →＝OA →－OC →＝(k －4,7)，CB →＝OB →－OC →＝(6，k －5)，所以(k －4)(k －5)＝6×7，k －4＝7或k －4＝－6，即k ＝11或k ＝－2.]7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝21，且a 与b 的夹角为120°，则|b |＝________. 【导学号：00090150】 2 [由|a －2b |＝21得a 2－4a·b ＋4b 2＝21.即1＋2|b |＋4|b |2＝21，解得|b |＝2或|b |＝－52(舍)．]8．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________. －25 [由|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2得∠B ＝90°，cos C ＝45，cos A ＝35，AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.]三、解答题9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． [解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，3分 ∴|OP →|＝22＋22＝2 2.5分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 8分两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【导学号：00090151】[解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.3分又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.5分(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，8分当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·兰州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )【导学号：00090152】A ．－4B ．3C ．－11D ．10C [a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA ＝(m －1)a －2B ．∵AB ⊥AC ，∴AB →·AC →＝0，即(b －a )·[(m －1)a －2b ]＝0，∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0，即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0，解得m ＝－11.故选C ．]2．如图2，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为________．图29 [由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD →＝9.]3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).5分(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.7分又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. 9分 ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.12分重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，排除D ．]2．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( ) 【导学号：00090208】 A ．－4 B ．6 C ．10D ．17B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B ．]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C ．] 4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．(2015·山东高考)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C ．] 二、填空题6．(2016·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．(2016·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为________. 【导学号：00090209】22 [由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．] 8．(2018·苏州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1＜0，f m ＋＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.] 三、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． [解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. 1分①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；②当a >0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.解得x <－1或x >1a；3分③当a <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集；若1a>－1，即a <－1，则－1<x <1a.5分综上所述，当a <－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <1a ；当a ＝－1时，原不等式无解；当－1<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <－1；当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；当a >0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a . 6分(2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0， 10分∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞).12分10．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？ [解] 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m的取值范围是( ) A ．[4，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]2．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是__________．－52[法一：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1. ②若－a 2<0，即a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0.③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－52.]3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，f m ＋f nm ＋n>0.(1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围. [解] (1)证明：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1－x 2·(x 1－x 2).2分∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0. 又已知f x 1＋f －x 2x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上为增函数，4分(2)∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －32≤x <－1.8分(3)由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1,1]，恒有f (x )≤1， ∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2.10分对a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1,1]上的最小值大于等于0， ∴g (－1)≥0，g (1)≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. ∴t 的取值范围是{t |t ≤－2或t ＝0或t ≥2}.12分重点强化训练(四) 直线与圆A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·西安五校联考)命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件A [两直线垂直的充要条件是6a ＋3×4＝0，解得a ＝－2，命题p 是命题q 成立的充要条件．] 2．(2018·深圳模拟)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( ) 【导学号：00090287】 A ．2B ．－2C ．1D ．－1D [因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.]3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．]4．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 D [因为l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则l 的斜率存在，设斜率为k ，所以直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0，则圆心到l 的距离d ＝|3k －1|1＋k2. 依题意，得|3k －1|1＋k2≤1，解得0≤k ≤ 3. 故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.]5．(2017·重庆一中模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝( ) A ．－ 6 B ．± 6 C ．－ 5D ．± 5D [在(x －1)2＋(y －2)2＝2中，令x ＝0，得(y －2)2＝1，解得y 1＝3，y 2＝1，则y 轴被圆C 截得的弦长为2，所以直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长为2，所以圆心C (1,2)到直线y ＝2x ＋b 的距离为1，即|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.] 二、填空题6．经过两条直线3x ＋4y －5＝0和3x －4y －13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________．2x －y －7＝0 [由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x －4y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k ＝2.则所求直线的方程为y ＋1＝2(x －3)，即2x －y －7＝0.]7．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝__________. 2 [因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.]8．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为__________．0或6 [由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC 可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322.由点到直线的距离得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6.] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.【导学号：00090289】[解] 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分 (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.5分(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，8分解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12分10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程． [解] 曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3，－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.6分所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 10分所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆(因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285. 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．]2．过点P (1,1)的直线将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________．x ＋y －2＝0 [设过P 点的直线为l ，当OP ⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分的面积之差最大．由点P (1,1)知k OP ＝1，所以所求直线的斜率k ＝－1.由点斜式得，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.]3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0，直线l 1被圆所截得的弦的中点为P (5,3)． (1)求直线l 1的方程；(2)若直线l 2：x ＋y ＋b ＝0与圆C 相交，求b 的取值范围；(3)是否存在常数b ，使得直线l 2被圆C 所截得的弦的中点落在直线l 1上？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝9，于是圆心C (3,2)，半径r ＝3. 若设直线l 1的斜率为k ，则k ＝－1k PC ＝－112＝－2. 所以直线l 1的方程为y －3＝－2(x －5)，即2x ＋y －13＝0.3分(2)因为圆的半径r ＝3，所以要使直线l 2与圆C 相交，则有|3＋2＋b |2<3，5分所以|b ＋5|<32，于是b 的取值范围是－32－5<b <32－5. 8分(3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)，则直线l 2与CM 垂直，于是有y 0－2x 0－3＝1，整理可得x 0－y 0－1＝0.又因为点M (x 0，y 0)在直线l 2上，所以x 0＋y 0＋b ＝0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0－1＝0，x 0＋y 0＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1－b 2，y 0＝－1＋b2. 10分代入直线l 1的方程得1－b －1＋b2－13＝0，于是b ＝－253∈(－32－5,32－5)，故存在满足条件的常数B ． 12分重点强化训练(五) 统计与统计案例A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( ) 【导学号：00090343】A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012B [由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N ，解得N ＝808.]2．设某大学的女生体重y (单位：kg)写身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg D [∵0.85>0，∴y 与x 正相关，∴A 正确； ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，∴B 正确； ∵Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85， ∴C 正确．]3．亚冠联赛前某参赛队准备在甲、乙两名球员中选一人参加比赛．如图9所示的茎叶图记录了一段时间内甲、乙两人训练过程中的成绩，若甲、乙两名球员的平均成绩分别是x 1，x 2，则下列结论正确的是( )图9A．x1>x2，选甲参加更合适B．x1>x2，选乙参加更合适C．x1＝x2，选甲参加更合适D．x1＝x2，选乙参加更合适A[根据茎叶图可得甲、乙两人的平均成绩分别为x1≈31.67，x2≈24.17，从茎叶图来看，甲的成绩比较集中，而乙的成绩比较分散，因此甲发挥得更稳定，选甲参加比赛更合适．]4．(2018·黄山模拟)某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x，y( )【导学号：00090344】A．8.1万盒B．8.2万盒C．8.9万盒D．8.6万盒A[由题意知x＝3，y＝6，则a＝y－0.7x＝3.9，∴x＝6时，y＝8.1.]5．(2018·郑州模拟)利用如图10所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2＋y2＝10内的个数为( )图10A．2 B．3C．4 D．5B[执行题中的程序框图，打印的点的坐标依次为(－3,6)，(－2,5)，(－1,4)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，其中点(0,3)，(1,2)，(2,1)位于圆x2＋y2＝10内，因此打印的点位于圆x2＋y2＝10内的共有3个．] 二、填空题6．在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图11)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数为________．图11160 [设年龄在[25,30)内的志愿者的频率是P，则有5×0.01＋P＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02＝1，解得P＝0.2.故估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数是800×0.2＝160.]7．某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：参考附表：99% [假设喜爱该节目和性别无关，分析列联表中数据，可得χ2＝－2 60×50×60×50≈7.822>6.635，所以有99%的把握认为“喜爱《开门大吉》节目与否和性别有关”．]8．(2017·太原模拟)数列{a n}满足a n＝n，阅读如图12所示的算法框图，运行相应的程序，若输入n＝5，a n ＝n ，x ＝2的值，则输出的结果v ＝________.图12129 [该算法框图循环4次，各次v 的值分别是14,31,64,129，故输出结果v ＝129.] 三、解答题9．(2018·合肥模拟)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：(1)图13(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率． [解] (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100，∴m ＝25.40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.2分由此完成频率分布直方图，如图：4分(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95， 6分∵[0,50)的频率为0.004×50＝0.2，[50,100)的频率为0.008×50＝0.4， ∴中位数为50＋0.5－0.20.4×50＝87.5.8分(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为(150,200]的1天记为e ，从中任取2天的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个，10分其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为 (a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6个. 11分所以P (A )＝610＝35.12分10．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t (2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t 2，a ＝y －b t .[解] (1)列表计算如下：这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.2分又l tt ＝∑i ＝1nt 2i －n t 2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑i ＝1nt i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝l ty l tt ＝1210＝1.2， a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.7分(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．如图14所示的算法框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( ) 【导学号：00090345】图14A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45C [第一次执行循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件；第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次执行循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，不再满足条件，结束循环．因此判断框中的条件为s >710.]2．(2017·西安调研)已知某产品连续4个月的广告费用x 1(千元)与销售额y 1(万元)，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8(用最小二乘法求得)．那么，广告费用为6千元时，可预测销售额约为________万元．4．7 [因为∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14，所以x ＝4.5，y ＝3.5，因为回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8，所以3.5＝0.8×4.5＋a ，所以a ＝－0.1，所以y ＝0.8x －0.1.x ＝6时，可预测销售额约为4.7万元．]3．某工厂36名工人的年龄数据如下表．(1)44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)? [解] (1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)，其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. 5分(2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.8分 (3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数，即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练函数模型及其应用理北师大版

课时分层训练(十二) 函数模型及其应用A 组基础达标一、选择题1．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A ．118元 B ．105元 C ．106元D ．108元D [设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%a ，解得a ＝108，故选D.] 2．在某个物理试验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：【导学号：79140068】则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2xD [根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图294甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．图294给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3A [设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx (0＜x ≤10)，10m ＋(x －10)·2m (x ＞10)，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.]5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A ．15 B ．16 C ．17D ．18B [由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t (万元)，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0＜x ≤503.因为x ∈N ＋，所以x 的最大值为16.] 二、填空题6．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与年广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．4 [L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ＝432－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x 2(x ＞0)．当x －4x ＝0，即x ＝4时，L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【导学号：79140069】8 [设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 24 [由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln 192.又∵48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.]三、解答题9．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图295(1)；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图295(2)．(注：利润和投资单位：万元)(1) (2)图295(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解] (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)． (2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元．②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N ＋)，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000元，又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x ＝60时，取得最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．B 组能力提升11．将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10 A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.]12．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司共100元的日常维修等费用(租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( ) A ．3 000元 B ．3 300 C ．3 500元D ．4 000元B [设利润为y 元，租金定为(3 000＋50x )元(0≤x ≤70，x ∈N ＋)，则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每套房月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润，故选B.]13．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图296)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．图296180 [依题意知：20－x 20＝y －824－8(0＜x ≤20,8≤y ＜24)，即x ＝54(24－y )，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180(8≤y ＜24)．∴当y ＝12时，S 取最大值180.]14．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间物体的温度为5 ℃； (2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围.【导学号：79140070】[解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令x＝2t ，x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，当x ＝2时，t ＝1.故经过1 min ，物体的温度为5 ℃.(2)物体的温度总不低于2 ℃等价于对于任意的t ∈[0，＋∞)，θ≥2恒成立，即m ·2t＋22t ≥2(t ≥0)恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t (t ≥0)恒成立．令y ＝12t ，则0＜y ≤1，故对于任意的y ∈(0,1]，m ≥2(y －y 2)恒成立，因为y －y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＋14≤14，所以m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。

2019年高考数学一轮复习课时分层训练34 归纳与类比文北师大版

2019年高考数学一轮复习课时分层训练34 归纳与类比文北师大版一、选择题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确C[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]2．如图643，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是( )图643A．12 B．48C．60 D．144D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a ＝12×12＝144.]3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )【导学号：00090214】A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数B[A中小前提不正确，C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D 都不正确，只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．] 4．(2018·渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：图644他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n }，那么a 10的值为( ) A ．45 B ．55 C ．65D ．66B [第1个图中，小石子有1个，第2个图中，小石子有3＝1＋2个，第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个， ……故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55个，即a 10＝55，故选B ．]5．如图645所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( ) 【导学号：00090215】图645A ．5＋12B ．5－12C ．5－1D ．5＋1A [设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中，因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝0. 又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．所以b 2＝aC ．而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝aC ．在等号两边同除以a 2，得e ＝5＋12.] 二、填空题6．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论x 21＋x 222＞⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点，则类似地有结论________成立．sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22[函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图像上任意不同的两点A ，B ，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的下方，类比可知应有sin x 1＋sin x 22＜sinx 1＋x 22.]7．观察下列不等式：1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为__________．1＋122＋132＋142＋152＋162<116 [左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1n ＋2，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.]8．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．丙 [如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．] 三、解答题9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.【导学号：00090216】[解] 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.10．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明． [解] f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，2分同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33.6分证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝x 1＋3＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋23＝33. 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形对角线的条数为( ) A ．42B ．65C ．143D ．169B [可以通过列表归纳分析得到．∴凸13边形有2＋3＋4＋…＋11＝2＝65条对角线．故选B ．]2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.] 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【导学号：00090217】[解] (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.5分(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.7分证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 12分法二：三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.7分证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋－2α2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.12分。

2019大一轮高考总复习文数(北师大版)课时作业提升：56 古典概型

课时作业提升(五十六)　古典概型A 组　夯实基础1．4张卡上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A ． B ． 1213C ． D ．2334解析：选B 因为从四张卡片中任取两张的情况为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)、(2,4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为．132．(2018·合肥模拟)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A ．B ．13512C ．D ．12712解析：选A 设2名男生记为A 1、A 2,2名女生记为B 1、B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 112种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2　4种情况，则发生的概率为P ＝＝，故选A ．412133．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A ．B ．1613C ．D ．1412解析：选A 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ，满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个，故所求的概率为．164．(2018·亳州质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A ．B ．1213C ．D ．1418解析：选C 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由所求的概率为＝．416145．(2018·浙江模拟)从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________．解析：设2名男生为A 、B,3名女生为a 、b 、c ，则从5名同学中任取2名的方法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )共6种，故所求的概率P ＝1－＝．61025答案：256．(2018·宣武模拟)曲线C 的方程为＋＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两x 2m 2y 2n 2次所得点数，事件A ＝“方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )x 2m 2y 2n 2＝________．解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则m >n ，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15种情况，因此P (A )＝＝．1536512答案：5127．(2018·洛阳统考)从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在50至350个之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组[50,100)，第二组[100,150)，第三组[150,200)，第四组[200,250)，第五组[250,300)，第六组[300,350]，相应的样本频率分布直方图如图所示：(1)求频率分布直方图中的x 的值；(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的办法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意取2个，求至少有一个拔尖工的概率．解：(1)根据题意，(0.002 4＋0.003 6＋x ＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x ＝0.006 0．(2)由题知拔尖工共有3人，熟练工共有6人．抽取容量为6的样本，则其中拔尖工有2人，熟练工为4人．可设拔尖工为A 1、A 2，熟练工为B 1、B 2、B 3、B 4．则从样本中任抽2个的可能有：A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，A 1A 2，B 1B 2，B 1B 3，B 1B 4，B 2B 3，B 2B 4，B 3B 4，共15种，至少有一个是拔尖工的可能有A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，A 1A 2，共9种．故至少有一个拔尖工的概率为＝．91535B 组　能力提升1．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组Error!表示的平面区域为W ，从W 中随机取点M (x ，y )．若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 位于第二象限的概率为( )A ．B ．1613C ．1－D ．1－π12π6解析：选A 画出平面区域，列出平面区域内的整数点有：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P ＝．162．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A ．B ．1314C ．D ．16112解析：选C 复数(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为＝．66×6163．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：选B 记3件合格品为a 1，a 2，a 3,2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．故其概率为P (A )＝＝0.6．6104．(2018·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为＝．43619答案：195．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，则点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________．解析：以(x ，y )为基本事件，可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个．若点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，则x ，y ∈{－1,1,0}，用列表法或坐标法可知满足x ∈{－1,1,0}且y ∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为．925答案：9256．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c ．(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解：(1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P (A )＝＝．32719因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为．19(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．B－所以P (B )＝1－P ()＝1－＝．B－ 32789因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为．897．(2017·山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率．解：(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，A 2},{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，则所求事件的概率为P ＝＝．31515(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个．包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3} ，共2个，则所求事件的概率为P ＝．29。

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10．(2017 ·山东高考 ) 某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3 和 3 个欧洲国家 B1，B2， B3 中选择 2 个国家去旅游． (1) 若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；
(2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率．
目 ) ，共有 8 种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为
ABA，ABB， BAA， BAB，
1 共 4 种．故所求事件的概率为 2. 故选 C． ]
二、填空题
6．在集合
x
x＝
nπ 3
，
n＝
1，
2，3，…，
10
中任取一个元素，所取元素恰好满足方程 cos
1 x＝ 2的概率是 ________．
会当凌绝顶，一览众山小
课时分层训练 ( 五十三 ) 古典概型
A 组基础达标
( 建议用时： 30 分钟 )
一、选择题
1．(2018 ·太原模拟 ) 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则
学书相邻的概率为 (
)
2 本数
1 A． 2
1 B． 3
2 C． 3
5 D． 6
C [ 设两本不同的数学书为 a1，a2, 1 本语文书为 B．则在书架上的摆放方法有
，共 12 个，
31 故所求概率 P＝12＝ 4. 故选 D． ] 4．(2017 ·威海模拟 ) 从集合 {2,3,4,5} 中随机抽取一个数 a，从集合 {1,3,5} 中随机抽取一个数 b，则向量 m＝ ( a， b) 与向量 n＝ (1 ，－ 1) 垂直的概率为 ( )
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1 3 [ 记“两人都中奖”为事件 A，
设中一、二等奖及不中奖分别记为 1,2,0 ，那么甲、乙抽奖结果有 (1,2) ，(1,0) ，(2,1) ，
(2,0) ，(0,1) ，(0,2) ，共 6 种．其中甲、乙都中奖有 (1,2) ，(2,1) ，共 2 种，所以 P( A)
)
【导学号： 00090354】
1 A． 2
1 B． 3
3 C． 4
2 D． 5
B [ 点 P( m，n) 共有 (2,1) ，(2,2) ，(2,3) ，(3,1) ，(3,2) ，(3,3) ，6 种情况，只有 (2,1) ，
(2,2) 这 2 个点在圆 x2＋ y2＝ 9 的内部，所求概率为
[ 解 ] (1) 由题意知，从 6 个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有： { A1， A2} ，{ A1， A3} ， { A1，B1} ， { A1， B2} ， { A1， B3} ，{ A2， A3} ， { A2， B1} ， { A2， B2} ，{ A2， B3} ， { A3，B1} ， { A3， B2} ，{ A3， B3} ， { B1， B2} ， { B1，B3} ， { B2， B3} ，共 15 个 . 3 分
21 ＝ 6＝3.]三Fra bibliotek解答题9．(2015 ·湖南高考 ) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有 2 个红球 A1，A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1， a2 和 2 个白球 b1，b2 的乙箱中，各随机摸出 1 个球．若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖．
共 9 个.
9分
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21 6＝ 3.]
3．(2018 ·茂名模拟 ) 在{1,3,5} 和 {2,4} 两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数
能被 4 整除的概率是 ( )
1 A． 3
1 B． 2
1 C．
6
1 D．
4
D [ 所有的两位数为 12,14,21,41,32,34,23,43,52,54,25,45 能被 4 整除的数为 12,32,52 ，共 3 个．
(1) 用球的标号列出所有可能的摸出结果； (2) 有人认为：两个箱子中的红球比白球多，
所以中奖的概率大于不中奖的概率．
你认为
正确吗？请说明理由．
[ 解 ] (1) 所有可能的摸出结果是 { A1， a1} ，{ A1， a2} ， { A1，b1} ， { A1， b2} ， { A2， a1} ，{ A2， a2} ， { A2， b1} ， { A2， b2} ，{ B， a1} ， { B， a2} ， { B，b1} ， { B， b2 } ．
(2) 不正确．理由如下：由 (1) 知，所有可能的摸出结果共
12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为 { A1， a1} ，
41
1
{ A1， a2} ，{ A2， a1} ， { A2，a2} ，共 4 种，所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为 1－
12 3
3
21 ＝ 3>3，故这种说法不正确．
1
1
21
5
[ 基本事件总数为
10，满足方程
cos
x＝
的基本事件数为 2
2，故所求概率为
P＝
＝ .] 10 5
7．(2016 ·四川高考 ) 从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字，分别记为 a， b，则 log ab 为整数
的概率是 ________．
1 6 [ 从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字，分别记为 a，b，则有 2,3 ；2,8 ；2,9 ；3,8 ；3,9 ；
每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概
率为 ( )
1 A． 3
2 B． 3
1 C． 2
3 D． 4
C [ 记两道题分别为 A， B，所有抽取的情况为 AAA， AAB， ABA， ABB， BAA，BAB， BBA，
BBB( 其中第 1 个，第 2 个分别表示两个女教师抽取的题目，第 3 个表示男教师抽取的题
1 A． 6
1 B． 3
1 C． 4
1 D． 2
A [ 由题意知，向量 m共有 4×3＝ 12 个，
由 m⊥n，得 m· n＝ 0，即 a＝ b，则满足 m⊥n 的 m有 (3,3) ，(5,5) 共 2 个，故所求概率 P
21
＝
12＝
.] 6
5．(2018 ·大同模拟 ) 现有 2 名女教师和 1 名男教师参加说题比赛，共有 2 道备选题目，若
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：
{ A1， A2} ， { A1， A3} ， { A2， A3} ，
31 共 3 个，则所求事件的概率为 P＝15＝ 5. 6 分
(2) 从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{ A1，
B1} ， { A1，B2} ， { A1， B3} ，{ A2， B1} ， { A2， B2} ， { A2，B3} ， { A3， B1} ， { A3， B2} ， { A3，B3} ，
8,9 ；3,2 ；8,2 ；9,2 ；8,3 ；9,3 ；9,8 ，共 12 种取法，其中 log ab 为整数的有 (2,8) ，(3,9)
21 两种，故 P＝ 12＝ 6.]
8．在 3 张奖券中有一、二等奖各的概率是 ________．
1 张，另 1 张无奖．甲、乙两人各抽取 1 张，两人都中奖【导学号： 00090355】
a2a1b， a2ba1， ba1a2， ba2a1，共 6 种，其中数学书相邻的有 4 种．
42 因此 2 本数学书相邻的概率 P＝ 6＝3.]
a1a2b，a1ba2，
2．在集合 A＝{2,3} 中随机取一个元素 m，在集合 B＝ {1,2,3} 中随机取一个元素 n，得到点
P( m， n) ，则点 P 在圆 x2＋y2＝ 9 内部的概率为 (