高中数学必修二第四章 4.2.2
高中数学第四章数列 等差数列的前n项和公式课后提能训练新人教A版选择性必修第二册
第四章 4.2 4.2.2A 级——基础过关练1．(2022年成都月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3＋a 6＝9,S 6＝21,则数列{a n }的公差是( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2【答案】C 【解析】由已知条件a 3＋a 6＝9,S 6＝21,可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋5d ＝9，6a 1＋6×52d ＝21，解得a 1＝1,d ＝1,∴数列{a n }的公差是1.2．已知一个等差数列的前四项和为21,末四项和为67,前n 项和为286,则项数n 为( )A ．24B ．26C ．27D ．28【答案】B 【解析】由等差数列的定义和性质可得首项与末项之和等于21＋674＝22,再由前n 项和为286＝n (a 1＋a n )2＝11n ,得n ＝26.3．(2022年哈尔滨六中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2＋a 5＝a 6＋a 3,则S 7＝( )A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B 【解析】由2＋a 5＝a 6＋a 3,得(a 6－a 5)＋a 3＝2,即d ＋a 3＝2,a 4＝2,则S 7＝7a 4＝7×2＝14.4．(2022年昆明模拟)已知等差数列{a n }各项均为正数,其前n 项和为S n ,若a 1＝1,S 3＝a 2,则a 8＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得3＋3d ＝1＋d ,解得d ＝2或d ＝－1(舍去),所以a 8＝1＋7×2＝15.5．(2022年武汉模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －45且a 1＝4,设{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 取得最大值的n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．6或7【答案】C 【解析】由a n ＋1＝a n －45,得a n ＋1－a n ＝－45,又∵a 1＝4,∴数列{a n }是首项为4,公差为－45的等差数列,∴S n ＝4n ＋n (n －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－25n 2＋225n ,易知对称轴为n ＝112,又∵n ∈N *,∴使得S n 取得最大值的n 的值为5或6.6．(多选)(2021年苏州期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1>0,公差d ≠0,则下列命题正确的是( )A ．若S 5＝S 9,则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9,则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6>S 7,则必有S 7>S 8D ．若S 6>S 7,则必有S 5>S 6【答案】ABC 【解析】若S 5＝S 9,则5a 1＋10d ＝9a 1＋36d ,得a 1＝－13d 2.∵a 1>0,∴d <0.S 14＝14(a 1＋a 14)2＝7(a 1＋a 14)＝7(a 1＋a 1＋13d )＝7(2a 1＋13d )＝0,故A 对；S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－13nd 2＋n (n －1)d 2＝[](n －7)2－49d 2,由二次函数的性质知S 7是S n 中最大的项,故B 对；若S 6>S 7,则a 7＝a 1＋6d <0,∴a 1<－6d ,∵a 1>0,∴d <0,∴a 6＝a 1＋5d <－6d ＋5d ＝－d >0,a 8＝a 7＋d <a 7<0,∴S 5<S 6＝S 5＋a 6,S 7>S 8＝S 7＋a 8,C 对,D 错．7．(2022年洛阳阶段)已知数列{a n },a n ＝2n ＋1,S n 为其前n 项和,则下列函数图象中,点(n ,S n )在图象上的是( )ABCD【答案】C 【解析】因为a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋1－(2n ＋1)＝2,故数列{a n }为等差数列,则S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n .故选C ．8．已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和．若a 1＋a 9＝18,a 4＝7,则S 10＝________． 【答案】100 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 1＋a 9＝18,a 4＝7,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋8d ＝18，a 1＋3d ＝7，解得d ＝2,a 1＝1,∴S 10＝10＋10×92×2＝100.9．已知等差数列的前三项依次为a ,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k ＝110,则a ＝________,k ＝________．【答案】2 10 【解析】设该等差数列为{a n },则a 1＝a ,a 2＝4,a 3＝3a .由已知有a ＋3a ＝8,得a 1＝a ＝2,公差d ＝4－2＝2,所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110,得k 2＋k －110＝0,解得k ＝10或k ＝－11(舍去),故a ＝2,k ＝10.10．已知等差数列{a n }中,a 3＝2,3a 2＋2a 7＝0,其前n 项和为S n . (1)求等差数列{a n }的通项公式； (2)求S n ,试问n 为何值时S n 最大？ 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d , 依题意,a 1＋2d ＝2,5a 1＋15d ＝0, 解得a 1＝6,d ＝－2,∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋8.(2)S n ＝6n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋7n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋494,∴当n ＝3或4时,S n 最大．B 级——能力提升练11．(2022年石家庄模拟)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称,且f (x )在(－1,＋∞)上单调,若数列{a n }是公差不为0的等差数列,且f (a 50)＝f (a 51),则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．－50D ．0【答案】B 【解析】因为f (x )的图象关于直线x ＝－1对称,又f (x )在(－1,＋∞)上单调,所以f (x )在(－∞,－1)上也单调．又因为f (a 50)＝f (a 51),所以a 50＋a 51＝－2,所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100.12．(多选)(2021年南通期末)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3＝12,S 12>0,a 7<0,则( )A ．a 6>0B ．－247<d <－3C ．S n <0时,n 的最小值为13D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中最小项为第7项【答案】ABCD 【解析】依题意得a 3＝a 1＋2d ＝12,a 1＝12－2d ,S 12＝a 1＋a 122×12＝6(a 6＋a 7)>0,而a 7<0,所以a 6>0,a 1>0,d <0,A 选项正确；由⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋6d ＝12＋4d <0，a 6＝a 1＋5d ＝12＋3d >0，a 6＋a 7＝2a 1＋11d ＝24＋7d >0，得－247<d <－3,B 选项正确；由于S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7<0,而S 12>0,所以S n <0时,n 的最小值为13,C 选项正确；由上述分析可知,n ∈[]1，6时,a n >0,n ≥7时,a n <0,当n ∈[]1，12时,S n >0,当n ≥13时,S n <0,所以当n ∈[]7，12时,a n <0,S n >0,S na n<0,且当n ∈[]7，12时,||a n 为递增数列,S n 为正数且为递减数列,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中最小项为第7项．13．有两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项和为________．【答案】1472 【解析】等差数列2,6,10,…,190中,公差d 1＝4.等差数列2,8,14,…,200中,公差d 2＝6.∵4,6的最小公倍数是12,∴由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差d ＝12.∵新数列最大项n ≤190,∴2＋(n －1)×12≤190,解得n ≤503,∴n ＝16.∵新数列中第16项a 16＝2＋(16－1)×12＝182,∴由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列为2,14,26,…,182,各项之和为S 16＝162×(2＋182)＝1472.14．(2022年青岛开学)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n ＝n (n －29),则数列{a n }的通项公式为________；若|a k |＋|a k ＋1|＋|a k ＋2|＋…＋|a k ＋20|＝110,则k 的值是________．【答案】a n ＝n －15 5 【解析】n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n (n －29)2－(n －1)(n －30)2＝n－15；当n ＝1时,a 1＝S 1＝－14,适合a n ＝n －15.综上,数列{a n }的通项公式为a n ＝n －15；当k ≥15时,|a k |＋|a k ＋1|＋|a k ＋2|＋…＋|a k ＋20|≥|a 15|＋|a 16|＋|a 17|＋…＋|a 35|＝0＋1＋2＋…＋20＝20(1＋20)2＝210>110,不适合题意；当k <15时,|a k |＋|a k ＋1|＋|a k ＋2|＋…＋|a k ＋20|＝(15－k )＋(14－k )＋(13－k )＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋3＋…＋(k ＋5)＝(15－k )(16－k )2＋(k ＋5)(k ＋6)2＝k 2－10k ＋135,于是k 2－10k ＋135＝110,整理得k 2－10k ＋25＝0,解得k ＝5.15．数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2. (1)求证：{a n }是等差数列； (2)求当S n 最大时n 的值；(3)设b n ＝|a n |,求数列{b n }的前n 项和S ′n . (1)证明：当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝34－2n ,又因为当n ＝1时,a 1＝S 1＝32＝34－2×1满足a n ＝34－2n , 故{a n }的通项为a n ＝34－2n ,所以a n ＋1－a n ＝34－2(n ＋1)－(34－2n )＝－2. 故数列{a n }是以32为首项,－2为公差的等差数列．(2)解：令a n ≥0,得34－2n ≥0,所以n ≤17,故数列{a n }的前17项大于或等于零． 又因为a 17＝0,故数列{a n }的前16项或前17项的和最大． (3)解：由(2)知,当n ≤17时,a n ≥0；当n ≥18时,a n ＜0,所以当n ≤17时,S ′n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2.当n ≥18时,S ′n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n ) ＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n ＝n 2－33n ＋544.故S ′n ＝⎩⎪⎨⎪⎧33n －n 2，n ≤17，n 2－33n ＋544，n ≥18.。
最新人教B版高中数学必修第二册第四章4.2.2 对数运算法则
4.2.2 对数运算法则必备知识基础练1.已知a>0,a ≠1,x>y>0,n ∈N +,下列各式: ①(log a x )n =n log a x ;②log a x=-log a 1x;③log a x log a y =log a xy;④√log a x n =1n log a x ;⑤1nlog a x=log a √x n;⑥log a x=lo g a n x n ;⑦log a x -yx+y =-log a x+yx -y . 其中成立的有( )A.3个B.4个C.5个D.6个②⑤⑥⑦正确.①式中n log a x=log a x n ;③式中log a x y =log a x-log a y ;④式中1n log a x=log a √x n. 2.1log 1419+1log 1513等于()A.lg 3B.-lg 3C.1lg3 D.-1lg3=lo g 1914+lo g 1315=log 94+log 35=log 32+log 35=log 310=1lg3. 3.(多选题)(2020山东临沂高三期末)若10a =4,10b =25,则下列结论正确的是( ) A.a+b=2 B .b-a=1 C .ab>8 lg 22 D .b-a>lg 610a =4,10b =25,得a=lg 4,b=lg 25,∴a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2, ∴b-a=lg 25-lg 4=lg 254. ∵lg 254>lg 6,∴b-a>lg 6. ∴ab=4lg 2lg 5>4lg 2lg 4=8lg 22. 4.计算:2713+lg 4+2lg 5-e ln 3= .=(33)13+(lg 4+lg 25)-e ln 3=3+2-3=2.5.若a=log 43,则2a +2-a = ,1a+1= .log 312a=log 43=log 2√3,∴2a +2-a =2log 2√3+2-log 2√3=√3√3=4√33. ∵1a =log 34,1=log 33, ∴1a +1=log 34+log 33=log 312. 6.计算: (1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40;(2)log 28+lg 11 000+ln √e 23+21-12log 23+(lg 5)2+lg 2lg 50.原式=lg 2×58lg 5040=lg 54lg 54=1.(2)原式=3-3+23+2÷212log 23+(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)=23+2√33+lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=53+2√33.关键能力提升练7.若2log a (P-2Q )=log a P+log a Q (a>0且a ≠1),则PQ 的值为( ) A.14B.4C.1D.4或12log a (P-2Q )=log a P+log a Q ,得log a (P-2Q )2=log a (PQ ).由对数运算法则得(P-2Q )2=PQ ,即P 2-5PQ+4Q 2=0,所以P=Q (舍去)或P=4Q ,解得PQ =4. 8.(2021河南高二期末)已知log 47=a ,4b =6,则log 4228= ( )A.1+a2a+b B.1-aa+bC.1+aa+2bD.1+aa+b4b =6,得log 46=b ,因为log 47=a ,所以log 4228=log 428log 442=log 44+log 47log 46+log 47=1+aa+b. 故选D .9.(多选题)设a ,b ,c 都是正数,且4a =6b =9c ,则下列结论正确的是( ) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.2c =2a +1b D .1c =2b −1a,设4a =6b =9c =k (k>0),则a=log 4k ,b=log 6k ,c=log 9k ,对于选项A,由ab+bc=2ac ,可得bc+b a=2,因为b c+b a=log 6k log 9k +log 6klog 4k=log k 9log k 6+log k 4log k 6=log 69+log 64=log 636=2,故A 正确,B 错误; 对于选项C,2a +1b =2log 4k +1log 6k =2log k 4+log k 6=log k 96,2c =2log 9k =2log k 9=log k 81,故2c ≠2a +1b ,即C错误;对于选项D,2b−1a=2log 6k −1log 4k =2log k 6-log k 4=log k 9,1c =1log 9k =log k 9,故1c=2b −1a,即D 正确.10.2x =5y =m (m>0),且1x +1y =2,则m 的值为 . √102x =5y =m (m>0),得x=log 2m ,y=log 5m ,由1x +1y =2,得1log 2m +1log 5m =2,即log m 2+log m 5=2,log m (2×5)=2.故有m=√10.11.方程log 2(9x-1-5)=log 2(3x-1-2)+2的解为 .2log 2(9x-1-5)=log 2(3x-1-2)+2,∴log 2(9x-1-5)=log 2[4×(3x-1-2)],∴9x-1-5=4(3x-1-2),化为(3x )2-12·3x +27=0,因式分解为(3x -3)(3x -9)=0, ∴3x =3或3x =9,解得x=1或x=2. 经过验证x=1不满足条件,舍去.∴x=2.12.甲、乙两人解关于x 的方程log 2x+b+c log x 2=0,甲写错了常数b ,得到两个根14,18;乙写错了常数c 得到两个根12,64.求这个方程真正的根.log 2x+b+c ·1log 2x=0, 即(log 2x )2+b log 2x+c=0.因为甲写错了常数b 得到两个根14,18, 所以c=log 214×log 218=6.因为乙写错了常数c 得到两个根12,64, 所以b=-(log 212+log 264)=-5. 故原方程为(log 2x )2-5log 2x+6=0. 解得log 2x=2或log 2x=3.所以x=4或x=8,即方程真正的根为4,8.学科素养创新练13.已知2y ·log y 4-2y-1=0,√log x √5x ·log 5x=-1,是否存在一个正整数P ,使P=√1x-y ?.理由如下,∵2y ·log y 4-2y-1=0,∴2y (log y 4-12)=0.又2y >0,∴log y 4=12.∴y=16.由√log x √5x ·log 5x=-1得√log x √5x =-log x 5>0,∴log x √5x =(log x 5)2.∴12log x 5x=(log x 5)2.∴2(log x 5)2-log x 5-1=0,即(2log x 5+1)(log x 5-1)=0,∴log x 5=-12或log x 5=1. ∵-log x 5>0,∴log x 5<0.∴log x 5=1(舍去).∴log x 5=-12,即x -12=5.∴x=125.∴1x =25.∴P=√1x -y =√25-16=√9=3. 即存在正整数P=3,使P=√1x -y .。
03-4.2 对数与对数函数-4.2.1 对数运算 4.2.2 对数运算法则高中必修第二册人教B版
（2）［多选题］(2024·山东省淄博市期末)若,,都是正数，且 ,则( )
BCD
A. B. C. D.
【解析】设,则，， ，，，，所以 ,A错误，B正确.,因为，所以 ，则等号不成立，所以，则 ，C正确.因为，所以 ,D正确.
（3）已知,,,则 的值为___.
（2）(全国Ⅰ卷)设,则 ( )
B
A. B. C. D.
【解析】 因为，所以 ，
则有，所以 .
因为，所以，所以 ，所以 .
因为，所以，所以 ，两边同时平方得，所以 .
（1） ；
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-3 将下列对数式改写成指数式：
（1） ;
【解析】 .
（2） ;
【解析】 .
（3） .
【解析】 .
例1-4 ［多选题］(2024·辽宁省大连八中期中)下列式子中正确的是( )
AB
A. B. C.若,则 D.若,则
知识点3 换底公式
例3-6 ［教材改编P24 T1］ 的值为__.
【解析】 .（【巧解】利用推论三求解： ）
例3-7 (2024·河北省唐山市期中)计算： ( )
B
A. B. C.1 D.2
【解析】原式 .
方法帮丨关键能力构建
题型1 对数的简单运算
例8 化简下列各式：
（1） ;
【解析】原式 .
B
A. B. C. D.
【解析】由对数运算法则可得 .
3.(2024·浙江省杭州市期中)若,则 ( )
C
A. B. C.1 D.
【解析】因为,所以,,所以, ,则 .
高中教育数学必修第二册《4.2.4 积化和差与和差化积公式》教学课件
α＋β ∴③÷④得 tanα＋2 β＝32，∴sin(α＋β)＝1＋2tatann2α2＋2 β＝1123.
方法归纳 在解决有关三角函数求值问题时，不同的思路与方法求出的值可 能不同，但最终结果应该是相同的，因此选择合适的公式是解决此类 题目的关键，应尽量避开函数值正负不能确定的情况．
跟踪训练 1 已知 sinθ＋π6sinθ－π6＝2110，求 tan θ.
2.4 积化和差与和差化积公式
[教材要点]
要点一 积化和差公式 cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos (α－β)]； sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
解析：原式＝21sin α(cos 2α－cos 120°) ＝21sin αcos 2α＋14sin α ＝41(sin 3α－sin α)＋41sin α ＝41sin 3α.
题型三 利用积化和差与和差化积公式证明——师生共研 例 3 求证：cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
＝2cos α2cos β2.
答案：(1)21sin198°－41
αβ (2)2cos 2cos 2
题型一 利用积化和差与和差化积公式求值——师生共研 例 1 若 cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝13，求 sin(α＋β)的值．
解析：已知 cos α－cos β＝12，①
sin α－sin β＝－13，② 将①②两式左边和差化积，得－2sinα＋2 βsinα－2 β＝12，③ 2cosα＋2 βsinα－2 β＝－31，④ 由④得 cosα＋2 β≠0，sinα－2 β≠0，
人教A版 必修二 第4章 2 42 圆与圆的位置关系 公开课一等奖课件
① ， ② ③，
3 ①－②并整理得，y＝2x
将③代入①式整理得 13x2－24x－24＝0.
高中数学人教版必修2课件
∵Δ＝(－24)2－4×13×(－24)>0，故此方程有两个不等实 根， ∴圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点，
思维突破：可用方程思想和几何法两种方法，几何法更为
简便：先求出公共弦所在直线方程，再通过直角三角形求解． 解法一：由题意，列出方程组
2 2 x ＋y －4＝0 2 2 x ＋y －4x＋4y－12＝0
，消去二次项，得 y＝x＋2.
把 y＝x＋2 代入 x2＋y2－4＝0， 得 x2＋2x＝0，重点
圆与圆的位置关系及判定方法
圆 C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝R2， 圆 C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(R>r)． 两圆的位置关系如下表：
两圆的位 图示 置关系 几何法 代数法
相离
|C1C2|>R＋r
Δ<0
高中数学人教版必修2课件
续表
两圆的位
置关系
图示
几何法
代数法
外切
|C1C2|＝R＋r
Δ＝0
内切
|C1C2|＝R－r
Δ＝0
相交
R－r<|C1C2|<R＋r
Δ>0
内含
|C1C2|<R－r
Δ<0
高中数学人教版必修2课件
难点
两圆的公切线
和两个圆都相切的直线称为两圆的公切线，公切线条数如 下表：
两圆位 相离 置关系 公切线 外切 内切 相交 内含
4条
∴圆 C1 与圆 C2 相交．
人教A高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 42 422 423 含解析
第四章4．2直线、圆的位置关系4．2．2圆与圆的位置关系4．2．3直线与圆的方程的应用课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．已知0＜r＜2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内含解析：选B设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，圆心距|OO′|＝12＋(－1)2＝2.显然有|r－2|＜2＜2＋r.所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2条．3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m等于()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.0米C ．3.6米D ．4.5米解析：选C 可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD ＝OC 2－CD 2＝3.6(米)，故选C.5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：选B 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x＋3y －1＝0，故选B.6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则实数a ＝ .解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a ，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－(3)2＝1，解得a ＝1.答案：17．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 ．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．点P 在圆O ：x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则|PQ |的最小值为 ．解析：如图所示．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，圆O 的半径为r 1，圆C 的半径为r 2，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时|PQ |最小，最小值为|P ′Q ′|＝|OC |－r 1－r 2＝1.答案：19．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，求以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程．解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)， ∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.10．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．此时DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆相交的公共弦所在直线的方程．设点P (3,1)，圆心C (1,0)，又切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52，∴此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54 ①.又圆C ：(x －1)2＋y 2＝1 ②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．2．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( )A ．r ＜5＋1B ．r ＞5＋1C ．|r －5|＜1D ．|r －5|≤1解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，圆心距(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r －5≤1，∴|r －5|≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1，x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)，半径长r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，半径长r 2＝2，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.5．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为 ．解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5， ∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4. 答案：46．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是 ．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝07．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为 ．解析：如图所示，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0)．台风中心在直线y ＝x 上移动．则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离．则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，直线y ＝x 被圆B 截得弦长为CD ＝2·302－⎝ ⎛⎭⎪⎫4022＝20(km)．故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h)． 答案：1 h8．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝(0－2)2＋(－1－1)2－2 ＝2(2－1)，∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
4.2.2 等差数列的前n项和(1)(人教A版高中数学选择性必修第二册)(解析版)
课时同步练4.2.2 等差数列的前n 项和 （1）一、单选题1．记等差数列的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d = （ ）A ．2B ．3C ．6D ．7【答案】B【详细解析】()()()42234124123S S S a a a a d d --=+-+==⇒=, 故选B2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1,则a 4等于 （ ）A ．7B ．8C ．9D ．17【答案】A【详细解析】4431587a S S =-=-=, 故选A.3．在等差数列{}n a 中,若d=2,5S =55,则1a 为 （ ）A ．5或7B ．3或5-1C ．7D ．5【答案】C【详细解析】515452552S a ⨯=+⨯=,,解得17a =, 故选C .4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1090S =,58a =,则4a = （ ）A ．16B ．12C ．8D ．6【答案】D【详细解析】∵S 10=90= （a 1+a 10）×102= （a 5+a 6）×102,a 5=8, ∴a 6=10 ∴a 4=2a 5﹣a 6=6 故选D ．5．“嫦娥”奔月,举国欢庆．据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭,点火1 min 内通过的路程为2 km,以后每分钟通过的路程增加2 km,在到达离地面240 km 的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是 （ ）A ．10 minB ．13 minC ．15 minD ．20 min【答案】C【详细解析】根据题意分析可以知道,这是一个首项为2,公差为2的等差数列,即()1222402n n n -⋅+⋅=,解得15n =,故选C.6．一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n 等于 （ ） A ．12B ．16C ．9D ．16或9【答案】C【详细解析】依题意可知,凸多边形的内角成等差数列, 故内角和为()()1120521802n n n n -⋅+⋅=-⋅,解得9n =或16n =.由于内角小于180,所以()12015180,13n n +-⋅<<,所以9n =, 故选C .7．某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m 以外的公路,沿公路一侧每隔50 m 埋一根电线杆,又知每次最多只能运3根,要完成运载20根电线杆的任务,最佳方案是使运输卡车运行 （ ）A ．11 700 mB ．14 600 mC ．14 500 mD ．14 000 m【答案】D【详细解析】由于总的任务量20是固定的,每次最多运3根,所以有2根是单独的,必须第一趟运送.每次来回行走的米数构成一个等差数列,记为n a ,则11100a =,300d =,7n =,所以77671100300140002S ⨯=⨯+⨯=, 故选D.8．一个等差数列共有2n+1项,其奇数项的和为512,偶数项的和为480,则中间项的值为 （ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】C【详细解析】中间项为1n a +.因为()()()1211=115122n n a a S n n a +++⋅+=+=奇,2214802nn a a S n n a ++=⋅=⋅=偶,所以1=51248032n a S S +=--=奇偶. 故选C.9．已知{}n a 是等差数列,公差0d ≠,设12n n S a a a =++⋯+,则在数列{}n S 中 （ ）A ．任一项均不为零B ．必有一项为零C ．至多一项为零D ．没有一项为零或无穷多项为零【答案】C【详细解析】因为已知{}n a 是等差数列,公差0d ≠,设12n n S a a a =++⋯+,所以()2111222n n n d d n d n a n S a -⎛⎫+=+-⎝= ⎪⎭, 因为0d ≠,令0n S =即21022d d n a n ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解得0n =或121an d =-, 当1211a d -≥,即120a d ≤时{}n S 存在一项为零,当120ad>时,{}n S 不存在为零的项, 故选C10．在等差数列{}n a 中,1250200a a a ++⋅⋅⋅+=,51521002700a a a ++⋅⋅⋅+=,则1a 等于 （ ）A ．1221-B ．21.5C ．20.5-D ．20-【答案】C【详细解析】由于数列{}n a 是等差数列,所以由1250200a a a ++⋅⋅⋅+=,51521002700a a a ++⋅⋅⋅+=,得()1150495020025049505027002a d a d d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪++=⎪⎩,解得120.5,1a d =-=. 故选C.11．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>,那么n 等于 （ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】C【详细解析】因为n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,6636,324,144-===n n S S S , 所以()6636324144216-+-=+-=n n S S S ,即1)6(216+=n a a ,所以136+=n a a ,又1()3242+==n n n a S a ,所以18n =. 故选C12．把正整数下列方法分组: （1）, （2,3）, （4,5,6）,…,其中每组都比它的前一组多一个数.设n S 表示第n 组中所有数的和,那么21S 等于 （ ）A ．1113B ．4641C ．5082D ．53 361【答案】B【详细解析】因为第n 组有n 个数,所以前20组一共有12320210+++⋅⋅⋅+= （个）数, 所以第21组的第一个数为211,这一组共有21个数, 所以21212021211146412S ⨯=⨯+⨯=, 故选B.二、填空题13．在数列{}n a 中,若15a =,12n n a a +=-,则它的前n 项和n S =______.【答案】26n n -+,n *∈N 【详细解析】15a =,12n n a a +=-12n n a a +∴-=-所以数列为首项15a =,公差为2d =-的等差数列.(1)5(2)2n n n S n -∴=+⨯- 26n S n n =-故填26n n -+,n *∈N .14．在等差数列{}n a 中,已知5a 7=,5S 15=,则515280...a a a +++=______.【答案】3840【详细解析】依题意得51514751015a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得11,2a d =-=,故23n a n =-,故5199a =,所以原式5130293023099302938402a ⨯=+⨯=⨯+⨯=. 故填384015．在等差数列{}n a 中,37101148,4a a a a a +-=-=,记12n n S a a a =++⋯+,则13S 等于______.【答案】156 【详细解析】依题意,∵371011484a a a a a +-=⎧⎨-=⎩, 即1874a d d -=⎧⎨=⎩,∴160747a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴13113126013124131********S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯=. 故填156.16．已知数列{}n a 的通项公式112n a n =-,12n n S a a a =++⋅⋅⋅+,则10S =______.【答案】50【详细解析】由1120n a n =-≥,得112n ≤, ∴数列{}n a 的前5项为正数,从第6项起为负数,又由112n a n =-,得19a =,()111211122n n a a n n +-=-+-+=-, ∴数列{}n a 是首项为9,公差为－2的等差数列.则12n n S a a a =++⋅⋅⋅+()()1256710a a a a a a =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()12101252a a a a a a =-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()1051110925422102522S S a a ⨯⨯-⨯⨯-⎛⎫⎛⎫=-+=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()109902592050=-⨯-+⨯-=.故填50.17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若10100100,10S S ==,则110S =__________.【答案】110-【详细解析】由题意,设等差数列的公差为d ,因为10100100,10S S ==,所以1110910100210099100102a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩,解得1109911,10050a d ==-, 所以11011101091099110109111101101102100250S a d ⨯⨯=+=⨯-⨯=-. 故填-11018．等差数列{}n a 中,0n a >,n *∈N ,7976898616a a a a a a a a +++=,则14S =______.【答案】28【详细解析】因为数列{}n a 为等差数列,则797689867698697869()()()()16a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+++=++=,又7869a a a a +=+,所以278()16a a +=又0n a >,所以784a a +=, 所以114781414()14()2822a a a a S ⨯++===,故填28.三、解答题19．已知等差数列{}n a 中,156a =,5n S =-,32n a =-,求n 与d 的值. 【详细解析】由于数列{}n a 是等差数列,故()()11115231256n n n na d a a n d a ⎧-+=-⎪⎪⎪=+-=-⎨⎪⎪=⎪⎩,解得15n =,16d =-. 20． （1）等差数列{}n a 前n 项和为n S ,求证:()2121n n S n a -=-; （2）等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,若231n n S nT n =+,求n na b 的表达式.【详细解析】 （1）等差数列n a 前n 项和为n S ,设首项为1a 公差为d ,1(1)n a a n d =+-;2111(211)2(1)n a a n d a n d -=+--=+-,[][]21111212(1)+(1)(21)(21)2n n n S a a n d a n d n n a --=++-=--=- ()2121n n S n a -∴=-成立.（2）23+1n n S n T n =, 由 （1）得()2121n n S n a -=-,2121(21)4221(21)63131n n n n S n a n n T n b n n -----∴===--+-, 2131n n a n b n -∴=-. 21．设1a ,d 为实数,首项为1a ,公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足56150S S +=。
高中数学必修2第四章知识点总结
高中数学必修２第四章知识点总结4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．4.3.1空间直角坐标系1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
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4.2.2 圆与圆的位置关系 学习目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．
知识点 两圆位置关系的判定 思考1 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？ 答案 圆与圆的位置关系有五种，分别为：相离、外切、相交、内切、内含． 几何方法判断圆与圆的位置关系 设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则 (1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2相离； (2)当d＝r1＋r2 时，圆C1与圆C2外切； (3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2 时，圆C1与圆C2相交； (4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切； (5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含． 思考2 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？ 答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含． 梳理 (1)用几何法判定圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22， 则圆心距d＝|C1C2|＝x1－x22＋y1－y22. 两圆C1，C2有以下位置关系： 位置关系 相离 内含 相交 内切 外切 圆心距与半径的关系 d＞r1＋r2 d＜|r1－r2| |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2
图示 (2)用代数法判定圆与圆的位置关系 已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
将方程联立 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程， 则①判别式Δ＞0时，C1与C2相交； ②判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切； ③判别式Δ＜0时，C1与C2相离或内含．
类型一 两圆的位置关系 命题角度1 两圆位置关系的判断 例1 已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 答案 B
解析 由 x2＋y2－2ay＝0，x＋y＝0，得两交点分别为(0,0)，(－a，a)． ∵圆M截直线所得线段的长度为22， ∴a2＋－a2＝22， 又a＞0，∴a＝2. ∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0， 即x2＋(y－2)2＝4，圆心为M(0,2)，半径为r1＝2. 又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为N(1,1)，半径为r2＝1， ∴|MN|＝0－12＋2－12＝2. ∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3， ∴两圆相交． 反思与感悟 判断圆与圆的位置关系的一般步骤 (1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要)． (2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2. (3)求两圆的圆心距d. (4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系． (5)根据大小关系确定位置关系． 跟踪训练1 已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( ) A．1或3 B．4 C．0 D．2 答案 D
解析 由圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝14， 得C1(1，－2)，C2(2，－1)， ∴|C1C2|＝2－12＋－1＋22＝2. 又r1＝1，r2＝12， 则r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2， ∴圆C1与圆C2相交． 故这两个圆的公切线共2条． 命题角度2 已知两圆的位置关系求参数 例2 当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0： (1)外切；(2)相交；(3)相离． 解 将两圆方程写成标准方程，则 C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. ∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2. 设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切， 此时a＝－5或a＝2. (2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2. (3)当d＞5，即2a2＋6a＋5＞25时，两圆相离， 此时a＞2或a＜－5. 反思与感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： ①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径． ②计算两圆圆心的距离d. ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系． 跟踪训练2 若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( ) A．±3 B．±5 C．3或5 D．±3或±5 答案 D
解析 圆C1与圆C2的圆心距为d＝a2＋0－02＝|a|. 当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5； 当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3. 类型二 两圆的公共弦问题 例3 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． 解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则 C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10， ∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝52， 圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝10. 又∵|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10， |r1－r2|＝|52－10|， ∴|r1－r2|<|C1C2|∴两圆相交． (2)将两圆方程相减， 得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)方法一 由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35， ∴公共弦长为l＝2r21－d2＝250－45＝25. 方法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
x－2y＋4＝0，
x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，
解得 x＝－4，y＝0或 x＝0，y＝2， ∴|AB|＝－4－02＋0－22＝25. 即公共弦长为25. 反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 跟踪训练3 (1)两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________． 答案 3 解析 由题意知直线AB与直线x－y＋c＝0垂直， ∴kAB×1＝－1，
即3－－11－m＝－1，得m＝5， ∴AB的中点坐标为(3,1)． 又AB的中点在直线x－y＋c＝0上， ∴3－1＋c＝0，∴c＝－2， ∴m＋c＝5－2＝3. (2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2
＋(y－1)2＝254截得的弦长． 解 由题意将两圆的方程相减， 可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为 x＋y－1＝0. 又圆C3的圆心坐标为(1,1)，
其到直线l的距离为d＝|1＋1－1|12＋12＝22， 由条件知，r2－d2＝254－12＝234， 所以弦长为2×232＝23. 类型三 圆系方程及应用 例4 求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． 解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)， 即x2＋y2－41＋λx－4λ1＋λy－6＝0，
所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)． 又圆心在直线x－y－4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0， 即λ＝－13. 所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
方法二 由 x2＋y2－4x－6＝0，x2＋y2－4y－6＝0， 得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x. 由 y＝x，x2＋y2－4y－6＝0，解得 x1＝－1，y1＝－1， x2＝3，y2＝3. 所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)， 线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)．
由 y－1＝－x－1，x－y－4＝0，得 x＝3，y＝－1， 即所求圆的圆心为(3，－1)， 半径为3－32＋[3－－1]2＝4. 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 反思与感悟 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可． 跟踪训练4 求过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程． 解 设过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点的圆系方程为x2＋y2