自动机正则文法正则表达式相互转化共62页文档
第二章 正则表达式 (2)
另外一种定义 式的集合：
设∑为有限字母表， R表示∑上的所有正则表达
✓是正则表达式，即 R，则有： L( )={ };
✓是正则表达式，即
R ，则有：
L(
)={};
✓a 是正则表达式，即a R，则有： L(a )={a};
（一）正则表达式和正则集的定义
定义1：设∑为有限字母表，∑上的正则表达式和 正则集可递归定义如下：
(1) 和是∑上的正则表达式，它们表示的正 则集分别为{ε}和；
(2) 对任何a∈∑,a 是∑上的正则表达式，它所 表示的正则集为{a};
(3) 若r,s都是正则表达式，它们表示的正则集 分别为R和S, 则(r)、r|s、r•s、(r)*也是正 则表达式，它们分别表示的正则集是：R， R∪S , RS和R*.
Sε
a
ab|ba
12
a
5 b 6ε Z
Sε
a 1
2
(ab|ba )a*b
6ε Z
a(ab|ba )a*b
S
Z
单元总结
两个工具：
有限自动机、正则表达式
四个算法：
NFA到DFA的转换 DFA的化简 正则表达式与FA的相互转换
一个实现：
DFA的实现
练习题：将下述自动机最小化.
a
1
a
0
ba
3
a,b
| 的可结合性
A•B•C =A•(B•C)=(A•B)•C
合性
连接的可结
A•(B|C) =A•B|A•C
连接的可分配性
(A|B)•C =A•C|B•C
(12)第二章 第五讲 正则表达式与有限自动机
a q4 R3=a q5
b q6 R5=b
ε
q7
ε
q5
b
q6
ε
Hale Waihona Puke q8ε 对于R6=ab* ，有：
a q3 q4
R4=R5 *, 即R4=b*
ε
q7
ε
ε
q5
b
q6
ε
q8
最后对于R6+R2=ab*+b，有：
ε
b q1 R2=b q2 q3
a q4 R3=a q5
b q6 R5=b
ε
b q6
q7
ε
q5
ε
q8
RETURN
第二章有限自动机和右线性文法第五讲正则表达式与有限自动机一正则式正则语言有限自动机的关系1正则语言与有限自动机之间的关系所谓正则语言就是由正则式或者由右线性文法所能够描述的语言或者是由有限自动机所能够识别的语言
第二章 有限自动机和右线性文法
第五讲
正则表达式与有限自动机
一、正则式、正则语言、有限自动机的关系 1、正则语言与有限自动机之间的关系
设 M1=（Q1,T1,δ1,q1,{qf1}) , M2=（Q2,T2,δ2,q2,{qf2},) 且 Q1∩Q2=Ø 则构造M=(Q1∪Q2∪{q0,qf},T1∪T2,δ,q0,{qf}),其中δ定义如下： ① δ(q0,ε)={q1,q2}
正则表达式转换成nfa
正则表达式（Regular Expression）是一种用于匹配字符串的强大工具，而NFA（Non-deterministic Finite Automaton，非确定性有限自动机）是一种可以用于匹配正则表达式的模型。
下面是将正则表达式转换为NFA的一般步骤：1. 将正则表达式转换为Brzozowski标准形式。
Brzozowski标准形式是一种将正则表达式转换为后缀形式的方法。
在Brzozowski标准形式中，每个操作符都被放在括号中，例如(ab)*c表示匹配零个或多个ab，后面跟着一个c。
2. 将Brzozowski标准形式转换为Thompson构造法。
Thompson构造法是一种通过构建一组字符串来模拟正则表达式的匹配过程的方法。
在Thompson构造法中，每个操作符都被表示为一个特定的字符串，例如星号(*)表示重复零个或多个次数的字符串，括号()表示匹配括号内字符串的重复次数。
3. 将Thompson构造法转换为NFA。
在Thompson构造法中，每个字符串都表示一个状态转换。
因此，可以将每个字符串转换为一个状态，并根据字符串之间的顺序将这些状态连接起来。
在NFA中，每个状态都表示一个可能的输入序列，而状态之间的转换则表示输入序列的下一个可能的输入。
4. 确定NFA的起始状态和终止状态。
在NFA中，起始状态是开始匹配正则表达式的状态，而终止状态是匹配结束的状态。
可以根据Thompson构造法中每个字符串的顺序来确定起始状态和终止状态。
例如，如果最后一个字符串是正则表达式的结尾，那么它对应的状态就是终止状态。
5. 确定NFA的转换函数和接受集。
转换函数是将一个状态和一个输入字符映射到下一个状态的函数。
接受集是一个状态集合，当自动机达到这个状态集合时，它就匹配成功。
可以根据NFA中的状态转换来确定转换函数和接受集。
通过以上步骤，可以将正则表达式转换为NFA，以便进行字符串匹配。
第五讲正则表达式与有限自动机
例 3.1 (P47) 设 ∑={a, b}, 则 正规式 正规集 ba* b为首后跟任意多 a 的字 a(a|b)* ∑ 上以 a 为首的字 注: 正规式与正规集不是一一对应的. 如 (a | b)*, (a*|b*)*指同 一个正规集. 问: UØ = ØU = Ø ? 说明之
4 5
若两个正规式表示的正规集同,则认为二者等价 (P47) 确定有限自动机 (DFA M) (P47) 一个确定有限自动机 DFA M是一五元式 M=(S, ∑, f, S0, Z). 其中: a. S为有限状态集 b. ∑为字母表 c. f: S * ∑ -> S 的单射. f(s, a)= s’ 意味: 当现行状态为s,输入字 符为 a 时,将转换到下一状态 s’. 此时 s’ 称为 s 的后继状态. d. S0 属于 S, 是唯一初态 e. Z 为S的子集, 叫终态集(可以空)
2 基本运算
*的子集U、V的连接或积 UV={| U且V} 一般而言 UV VU 但(UV)W=U(VW) b. Vn=VV…V V0={} c. V的闭包 V*= V0V1 … Vn … V的正则闭包 V+ =V V* V*中每个字都是由V中字经有限次连接而成 a.
正则表达式转DFA
正则表达式转DFA一、设计原理1.正则表达式转换为带ε的NFA（Thompson构造法）2.ε-NFA转为DFA3.最小化DFA4.DFA状态转换表判断是否接受输入字符串二、算法描述1.正则表达式转换为NFA（1）建立字母表。
输入的正则表达式由于一般不输入“与”操作符，因此首先给表达式加入 .作为与操作。
再利用逆波兰式的堆栈操作，把操作符与字母分开，便得到了字母表。
（2） Thompson构造法。
首先将构成正则表达式的各个元素分解，对于每一个元素，按照下述规则1和规则2生成NFA。
注意：如果r中记号a出现了多次，那么对于a的每次出现都需要生成一个单独的NFA。
规则1 对于空记号ε，生成下面的NFA。
规则2 对于Σ的字母表中的元素a，生成下面的NFA。
所有字符生成完之后，便根据规则3，把生成的NFA组合在一起。
规则3 令正则表达式s和t的NFA分别为N(s)和N(t)。
a) 对于s|t，按照以下的方式生成NFA N(s|t)。
b) 对于st，按照以下的方式生成NFA N(st)。
c) 对于s*，按照以下的方式生成NFA N(s*)。
d) 对于(s)，使用s本身的NFA N(s)。
（3）记录含Epsilon的NFA状态之间转换及输入字母。
由于Epsilon符号不能输出，因此在程序中了利用$代替。
2. ε-NFA转为DFA利用ε-closure规则即闭包规则，把NFA状态划分成集合，而后把每个集合作为DFA的状态。
详细描述：从NFA的状态S开始经过ε到达的状态存储下，然后再把存储结果中的状态有经过ε到达的新状态也存储在一起，这样通过闭包规则就可以这些集合，再把集合作为DFA的状态。
3. 最小化DFA取出DFA状态中的不可达的状态。
4. DFA状态转换表判断是否接受输入字符串利用上次编写的DFA程序中的方法，把状态转换表放入二维数组，再通过读入输入字符串的一个字符状态跳转，假如读完输入串后的结果是到达终态，那么表明该字符串被自动机接受，否则不接受。
有限自动机理论-4章正则语言
可以简化为无ε的NFA
定理4-2
如果语言L被一个DFA所接收，则语言L可以用一个正则表达式来表示。
证明：
设语言L被DFA=(Q，∑，δ，q1，F)所接收；
状态集合Q中有n个状态，按任意顺序进行编号；即Q={q1，q2，q3，…，qn}。
使用记号Rijk代表字符串的集合，具体定义为：
Rijk={w|δ* (qi，w)= qj，且对于w的任何前缀x(x≠w，x≠ε)，如果δ* (qi，x)= ql}，则l≤k}
其中某些正则表达式已经被化简；
例如
r221= r210(r110)*r120+r220=0(ε)*0+ε,可以化简为00+ε；
01
03
02
又例如
r132=0(00)*(ε+0)1+1
r132= r121(r221)*r231+r131=0(ε+00)*(1+01)+1,由于(ε+00)*可以化简为(00)*，(1+01)可以化简为(ε+0)1，则
Rijk是所有那些将DFA从给定状态qi引导到状态qj，并且中间不经过（进入并离开）编号大于k的任何状态的所有字符串的集合，
要注意的是，i，j的大小与k的大小无关；
01
显然，Rijn是所有那些将DFA从给定状态qi引导到状态qj的字符串的集合。
02
01
根据定义，可以得出如下的递推公式：
02
{a|δ(qi，a)= qj} 若i≠j
从ε-NFA的开始状态出发，通过两个ε动作，可以直接进入NFA的惟一接收状态f0(以便能够接收空串ε)；或者到达M1的开始状态q1，然后，从M1的开始状态q1出发，使用M1自己的δ函数，到达M1的惟一接收状态f1，
2.4 正规文法、正规表达式与有限自动机的等价性
δ 定义为：1) 对A ∈ V: δ ([A],ε )={α |A → α 是G的一个产生式}
2) 对a ∈ T 且[aα ] ∈ Q : δ ([aα ], a ) = {[α ]}
对推导的步数用数学归纳法可证明
[α ] ∈ δ ([ S ], w)
*
当且仅当
S ⇒ wα
G
特别地，当α = ε 时，就有：
• 例2.9 对于下列文法，求其等价的正规表达式。
P : S → 1S | 0 A | ε A → 0S |1A
• 解：转化为方程组
S = 1S + 0 A + ε A = 0 S + 1A
• 解此方程组得唯一解
S = (1 + 01*0)* A = 1*0(1 + 01*0)*
• 因此上述文法所生成的语言是 L((1+01*0)*)
那么易知， G ' 是一个右线性文法，而且 L(G' ) = L(G)R 。对于 G ' ，我们在 前面已构造出一个带ε -转换的 NFA：M 接受 L(G ' ) 。注意上面 M 中只有 一个终止状态，我们把 M 的终止状态作为初始状态，把 M 的初始状态作 为终止状态，把 M 的图形表示中的各条有向边的方向逆转（边上旁标的 ' 字 符 不 变 ）， 就 得 到 一 个 新 的 带 ε - 转 换 的 NFA: M ， 显 然
G2 ，使得 L(G2 ) = L( M ) 。
（证明请看教材，这里从略）
NFA→右线性文法
• 给定NFA： M=(Q, Σ, δ, q0, F) • 构造右线性文法：G=(Q, Σ, P, q0) • 产生式的构造规则： • 1) q→ap 如果(q,a)→p • 2) q→a 如果(q,a)→p且p∈F • 3) q0 →ε 如果 q0 是终结状态。
nfa转正则
nfa转正则 NFA转正则表达式
正则表达式是一种用于描述字符串模式的工具，而非确定有限自动机（NFA）是一种用于识别字符串模式的计算机模型。在实际应用中，我们常常需要将一个给定的NFA转换为等价的正则表达式。本文将介绍如何将NFA转换为正则表达式，并通过具体例子进行说明。
一、NFA和正则表达式的基本概念回顾 在开始介绍NFA转正则之前，我们先来回顾一下NFA和正则表达式的定义。
1. NFA（非确定有限自动机） NFA是一种有限状态机，它可以接受一些字符串作为输入，并根据当前状态和输入字符进行状态转移。NFA可以具有多个可能的转移路径，这使得它更灵活地处理输入字符串。NFA由以下几个要素组成： - 状态集合：包含有限个状态的集合。 - 输入字母表：包含有限个输入字符的集合。 - 转移函数：描述了状态之间的转移关系。 - 初始状态：NFA的初始状态。 - 接受状态：NFA的接受状态。
2. 正则表达式 正则表达式是一种用于描述字符串模式的表达式。它由一些基本操作符和字符构成，可以用来匹配、查找和替换字符串。常见的正则表达式操作符包括： - 字符：匹配特定的字符。 - 字符类：匹配字符的集合。 - 量词：指定匹配次数。 - 边界：指定字符串的边界。 - 分组：将表达式中的一部分作为一个整体。
二、NFA转正则的基本思路 NFA转正则的基本思路是通过递归的方式将NFA的状态转换关系表示为正则表达式，最终得到一个等价的正则表达式。具体的转换步骤如下：
1. 移除NFA的初始状态和接受状态，并添加两个新的状态S和E作为新的初始状态和接受状态。 2. 对于NFA中的每个状态q，构造一个正则表达式Rq，表示从初始状态到q的路径的正则表达式。 3. 对于NFA中的每个状态q，将转移函数中的每个转移(q, a, p)转换为正则表达式Rq，其中a是输入字符，p是转移后的状态。 4. 使用循环消除法将正则表达式中的循环去除。 5. 将所有状态的正则表达式合并为一个最终的正则表达式，即为NFA的正则表达式表示。 三、示例：将NFA转换为正则表达式 为了更好地理解NFA转正则的过程，我们以一个具体的例子来进行说明。