2011学年浙江省第二次五校联考数学(理科)试题卷2012.4

2011学年浙江省第二次五校联考
数学（理科）试题卷
本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
选择题部分（共50分）
参考公式：
如果事件A, B互斥, 那么棱柱的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh
如果事件A, B相互独立, 那么其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高
P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高
P n(k)=C p k (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式
棱台的体积公式S = 4πR2
球的体积公式
其中S1, S2分别表示棱台的上．下底面积, h表示棱台V=πR3
的高其中R表示球的半径
第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集,集合,,则等于
（A）（B）（C）（D）
2．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为
3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）
4．已知直线l，m与平面满足，，则有
　（A）且 （B）且
　（C）且 （D）且
5．设实数满足,则的最大值和最小值之和等于
（A）12 （B）16 （C）8 （D）14
6．若，且，则的值为
（A）（B）（C）（D）
7．过双曲线的右焦点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的渐近线方程为
（A）（B）（C）（D）
8．设,若,则的最大值为
（A）（B）2 （C）（D） 3
9．数列共有12项，其中，，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（A）84 （B）168 （C）76 （D）152
10．将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则满足条件的角的范围是
（A）（B）
（C）（D）
第II卷（共100分）
（第12题）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．复数（为虚数单位）为纯虚数,则复数的模为．
12．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的值为．
13．在的展开式中,含的项的系数是 .
14．平面内与直线平行的非零向量称为直线的方向向量，与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点且法向量为的直线（点法式）方程为，化简后得．则在空间直角坐标系中，平面经过点，且法向量为的平面（点法式）方程化简后的结果为．
15．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，，且AB中点的纵坐标为，则的值为．
16．甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用5局3胜制（即先胜3局者获胜）．若甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为和，记需要比赛的场次为，则＝．
17．三棱锥中，两两垂直且相等，点，分别是和上的动点，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤．
18．（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，已知成等比数列，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求函数的值域．
19．（本题满分14分）设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）是否存在，使得是数列中的项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．（本题满分14分）如图，垂直平面，，，点在上，且．
（第20题）
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若二面角的大小为，求的值．
21．（本题满分15分）设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．动点满足（其中，不重合）．
（第21题）
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为．若直线与（Ⅰ）中的曲线交于两点，求的取值范围．
22．（本题满分15分）设函数，若在点处的切线斜率为．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）对任意的，证明：．
2011学年浙江省第二次五校联考
数学（理科）答案
一、选择题：
题
12345678910号
答
D D C B A D A B A C
案
二、填空题：
11．； 12．10； 13．－5； 14．；
15．； 16．； 17．
17．方法一：考虑几种极端情况；
方法二：过点O作PQ的平行线，则点P，Q的运动相当于点在如图所示的四边形MNGH上运动.显然，最大，最小.以OB，OA和OC为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，O（0,0,0），设点B（3,0,0）则点H为（1，－2，2），点N（2，－1，1），可得.
三、解答题：
18．解:（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则.由正弦定理得.
又，所以.因为sinB＞0，则. ……………………4′
因为B∈(0，π)，所以B＝或.
又，则或，即b不是△ABC的最大边，故. …………………3′
（Ⅱ）因为，则
. ……………………4′
，则，所以.
故函数的值域是. ……………………3′
19．解：（Ⅰ）设的公比为，则有或（舍）.
则，，
.
即数列和的通项公式为，. …………………6′
（Ⅱ），令,所以
,
如果是数列中的项,设为第项，则有，那么为小于等于5的整数，所以.……………………4′
当或时,,不合题意;
当或时,,符合题意.
所以,当或时,即或时,是数列中的项. …………………8′
20．解：（Ⅰ）过E点作与点F，连AF，于是
所以，又，所以；
又，，所以，所以，
，，所以
，所以与相似，所以，即；又，于是，又，
所以. …………………6′
（2）解法一（空间向量法）
如右图，以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，于是，，
，设平面ABE的法向量为，，于是，令，得，得.
设平面ACE的法向量为,
，于是，令，得，得.
,解得：. ……………………8′
解法二：（综合几何法）
过F作于G点，连GC,GB，由，可得，所以，所以为B-AE-C的平面角，设AC=1,则,所以，于是
,，
于是由，得到.…………………8′
21．解：（Ⅰ）设点,由，得，由于点P在上，则，
即M的轨迹方程为. …………………4′
（Ⅱ）设点，，则AT，BT的方程为：，，
又点在AT、BT上，则有：
①，②，由①、②知AB的方程为：. …………3′
设点，则圆心O到AB的距离，
；又由，得，于是
，，于是
于是， …………………3′
设，则，于是，设，于是，设，，令，得.
得在上单调递增，故.
即的范围为 …………………5′
22．解：（Ⅰ），依题意有：； …………2′
（Ⅱ）恒成立.
（ⅰ）恒成立即.
方法一：恒成立，则.
当时，
，则，，单调递增，当，， 单调递减，则，符合题意；
即恒成立，实数的取值范围为
； ……………6′
方法二：，
①当时，，，，单调递减，当，， 单调递增，则，不符题意；
②当时，，
（1）若，，，，单调递减；当，， 单调递增，则，矛盾，不符题意；
（2）若，
若，，，，单调递减，不符题意；
若，，，，单调递减，不符题意；（矛盾；）
若，，，，单调递增；当，， 单调递减，则，符合题意；
综上，得恒成立，实数的取值范围为； ……………6′
（ⅱ）由（ⅰ）知，恒成立，实数的取值范围为.
方法一：令，考虑函数
，
下证明，即证：，即证明
，由，即证，
又，只需证，即证，显然成立.
即在单调递增，，则，得成立，
则对任意的，成立． ……………7′方法二：考虑函数。