2011年浙江省高考数学试卷及答案(文科)
2011年浙江高考理数试题答案
2011年浙江高考理科和文科数学试卷及答案几msja.Eii 芍绘為WL 曲村快豐畫］fi 即■畫师尿.间时尊if ■析几啊帕■* 里总为楚和杠住nietitin «#迪廿=（I 〕解血觥直可輛曲鮭的HM 方管力叮■一以料心矶。
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数学_2011年浙江省高考数学模拟试卷(文科)(含答案)
2011年浙江省高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 设f(x)={2x+1(x ≥0)f(x +1)(x <0)，则f(−1)=( )A 1B 2C 4D 122. 设复数z ＝1+i （i 是虚数单位），则2z +z 2＝（ ）A −1−iB −1+iC 1−iD 1+i3. 在等差数列{a n }中，首项a 1=0，公差d ≠0，若a m =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5，则m =( )A 11B 12C 10D 134. 设m ，n 是不同的直线，a ，β是不同的平面，则下列四个命题： ①若α // β，m ⊂α，则m // β， ②若m // α，n ⊂α，则m // n ， ③若α⊥β，m // α，则m ⊥β， ④若m ⊥α，m // β，则α⊥β 其中正确的是（ ）A ①③B ②③C ①④D ②④5. 计算机执行程序框图如图设计的程序语言后，输出的数据是55，则判断框内应填（ ）A n <7B n ≤7C n ≤8D n ≤96. 若变量x ，y 满足约束条件{x +y −3≤0x −y +1≥0y ≥1 ，则z =2x +y 的最小值为（ ）A +1B 5C 3D 47. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的离心率为( ) A 2 B 2√2 C√5+12D √6 8. 在△ABC 中，设命题p:asinB =bsinC =csinA ，命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ）A 充要条件B 必要不充分条件C 充分不必要条件D 即不充分也不必要条件 9. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c 满足2a +c2>b 且c <0，则含有f(x)零点的一个区间是（ ）A (−2, 0)B (−1, 0)C (0, 1)D (0, 2)10. 设f(x)和g(x)是定义在同一区间[a, b]上的两个函数，若对任意的x ∈[a, b]，都有|f(x)−g(x)|≤1，则称f(x)和g(x)在[a, b]上是“密切函数”，[a, b]称为“密切区间”，设f(x)=x 2−3x +4与g(x)=2x −3在[a, b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）A [1, 4]B [2, 3]C [3, 4]D [2, 4]二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11. 某高中共有2100名学生，采用分层抽样的方法，分别在三个年级的学生中抽取容量为100的一个样本，其中在高一、高二年级中分别抽取30，35名学生，则该校高三年级的学生数是________．12. 经过点M(1, 2)的直线l 与圆(x −2)2+(y +3)2=3相交于A 、B 两点，当|AB|最大值等于________．13. 已知四棱锥P −ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P −ABCD 的体积为________，其外接球的表面积为________．14. 甲、乙、丙、三个人按任意次序站成一排，则甲站乙前面，丙不站在甲前面的概率为________．15. 平面向量a →、b →满足(a →+b →)⋅(2a →−b →)=−4，且|a →|＝2，|b →|＝4，则a →与b →的夹角等于________．16. 若实数x ，y 满足不等式组{3x −y ≤3x −y ≥−1x ≥0y ≥0，且目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大值为5，则2a +3b 的最小值为________．17. 定义在R 上的偶函数y =f(x)满足：①对任意x ∈R 都有f(x +2)=f(x)+f(1)成立；②f(0)=−1；③当x ∈(−1, 0)时，都有f ′(x)<0．若方程f(x)=0在区间[a, 3]上恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（共5小题，满分72分）18. 已知向量a →=(2cosx, sinx)，b →=(cosx, 2√3cosx)，函f(x)=a →⋅b →+1．（1）求函数f(x)的单调递增区间．（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =1且f(A)=3，求△ABC 面积S 的最大值．19. 已知等差数列{a n }满足a 2+a 3=10，前6项的和为42． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列{b n }的前n 项和S n ，且1b n=a 1+a 2+⋯+a n ，若S n <m 恒成立，求m 的最小值．20. 如图，在矩形ABC 中，AB =4，AD =2，E 为AB的中点，现将△ADE 沿直线DE 翻折成△A′DE ，使A′在平面BCDE 的射影在DE 上，F 为线段A′D 的中点．（1）求证：EF // 平面A′BC ；（2）求直线A ′C 与平面A′DE 所成角的正切值．21. 设函数f(x)=13x 3−ax 2−ax ，g(x)＝2x 2+4x +c ．（1）试问函数f(x)能否在x ＝−1时取得极值？说明理由；（2）若a ＝−1，当x ∈[−3, 4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c 的取值范围． 22. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，F 为抛物线C 的焦点，A 为抛物线C 上的动点，过A 作抛物线准线l 的垂线，垂足为Q ．（1）若点P(0, 4)与点F 的连线恰好过点A ，且∠PQF =90∘，求抛物线方程； （2）设点M(m, 0)在x 轴上，若要使∠MAF 总为锐角，求m 的取值范围．2011年浙江省高考数学模拟试卷（文科）答案1. B2. D3. A4. C5. C6. A7. A8. A 9. A 10. B 11. 735 12. 2√3 13. 23,6π14. 13 15. π316. 517. (−3, −1]18. （本题满分14分）解：（1）因为 f(x)=a →⋅b →=2cosx 2+2√3sinx ．cosx +1 =cos2x +√3sin2x +2−−−−−−=2sin(2x +π6)+2−−−−−−−−∴ 2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，(k ∈Z)−−−−−−−−解得：kπ−π3≤x ≤kπ+π6所以f(x)的单调增区间为[kπ−π3，kπ+π6](k ∈Z)−−−−−−− （2）f(A)=3，∴ sin(2A +π6)=10<A <π，∴ 2A +π6=5π6，∴ A =π6−−−−−−−−−−− a 2=b 2+c 2−2bccosA ，b 2+c 2≥2bc∴ bc ≤1−−−−−−−−−−−−− ∴ S =12bcsinA ≤√34∴ S 的最大值为√34−−−−−−−−−19. 解：（1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则2a 1+3d =10， 6a 1+6×5d =42 解得{a 1=2d =2∴ a n =a 1+(n −1)d =2n （2）因为1b n=a 1+a 2++a n =∴ b n =1n(n+1)=1n −1n+1∴ S n =(1−12)+(12−13)++(1n −1n+1)=1−1n+1因为S n<m恒成立，∴ m>(S n)max∴ m≥1所以m的最小值为120. 解：（1）证明：取A′C的中点M，连接MF，MB，则MF // DC，且FM=12DC，又EB // DC，且EB=12DC，从而有FM // EB，FM=EB所以四边形EBMF为平行四边形，故有EF // MB，又EF⊈平面A′BC，MB⊂平面A′BC，所以EF // 平面A′BC，．（2）过C作CO⊥DE，O为垂足，连接A′O，因为A′在平面BCDE的射影在DE上，所以平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE=DE，所以CO⊥平面A′DE所以∠CA′O就是直线A′B与平面A′DE所成的角．因为E为AB中点，∴ CE⊥DE因为平面A′DE⊥平面BCDE，且面A′DE∩平面BCDE=DE，所以O与E重合因为A′E=2,CE=2√2所以tan∠EA′C=CEA′E=√2，故直线A′C与平面A′DE所成角的正切值√2．21. 由题意f′(x)＝x2−2ax−a，假设在x＝−1时f(x)取得极值，则有f′(−1)＝1+2a−a＝0，∴ a＝−1，而此时，f′(x)＝x2+2x+1＝(x+1)2≥0，函数f(x)在R上为增函数，无极值．这与f(x)在x＝−1有极值矛盾，所以f(x)在x＝−1处无极值；令f(x)＝g(x)，则有13x3−x2−3x−c＝0，∴ c=13x3−x2−3x，设F(x)=13x3−x2−3x，G(x)＝c，令F′(x)＝x2−2x−3＝0，解得x1＝−1或x＝3．列表如下：由此可知：F(x)在(−3, −1)、(3, 4)上是增函数，在(−1, 3)上是减函数．当x＝−1时，F(x)取得极大值F(−1)=53；当x＝3时，F(x)取得极小值F(−3)＝F(3)＝−9，而F(4)=−203．如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数F(x)与G(x)有两个公共点，所以−203<c<53或c＝−9．22. 解：（1）由题意知：|AQ|=|AF|，∵ ∠PQF=90∘，∴ A 为PF 的中点，∵ F(p 2，0)，∴ A(p4,2)，且点A 在抛物线上，代入得2=2p ⋅p4⇒p =2√2 所以抛物线方程为y 2=4√2x ． （2）设A(x, y)，y 2=2px ，根据题意：∠MAF 为锐角⇒AM →⋅AF →>0且m ≠p 2AM →=(m −x,−y)，AF →=(p2−x,−y)，AM →⋅AF →>0⇒(x −m)(x −p2)+y 2>0⇒x 2−(p2+m)x +pm 2+y 2>0∵ y 2=2px ，所以得x 2+(3p 2−m)x +pm 2>0对x ≥0都成立令f(x)=x 2+(3p2−m)x +pm 2=(x +3p 4−m2)2+mp 2−(3p 4−m2)2>0对x ≥0都成立 (I)若m2−3p 4≥0，即m ≥3p 2时，只要使mp 2−(3p 4−m2)2>0成立，整理得：4m 2−20mp +9p 2<0⇒p2<m <9p2，且m ≥3p 2，所以3p 2≤m <9p 2．(II)若m2−3p 4<0，即m <3p 2，只要使mp 2>0成立，得m >0所以0<m <3p 2由(I)(II)得m 的取值范围是0<m <9p2且m ≠p2．。
2011年全国统一高考真题数学试卷(文科)(大纲版)(含答案解析版)
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．35．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b36．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．57．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．98．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．19．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）．【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由|+2|==，代入已知可求【解答】解：∵||=||=1，•=﹣，|+2|===故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积性质的基本应用，属于基础试题4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5故选：C．【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k 【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k﹣S k=24转化为：+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题．【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在Rt△BCD中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选：C．【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，∵恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，根据分步计数原理知共有6×4=24种结果故选：B．【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a 和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=•的值．【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），则有=|a|，|=|b|，故a和b分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2的两个实数根，即a和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C1C2|=•=8，故选：C．【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：0．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取1；9求出展开式的x的系数与x9的系数；求出两个系数的差．=（﹣1）r C10r x r【解答】解：展开式的通项为T r+1所以展开式的x的系数﹣10x9的系数﹣10x的系数与x9的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα的值．【解答】解：∵a∈（π，），∴cosα＜0∴cosα=﹣=﹣故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．【解答】解：设{a n}的公比为q，由题意得：，解得：或，当a1=3，q=2时：a n=3×2n﹣1，S n=3×（2n﹣1）；当a1=2，q=3时：a n=2×3n﹣1，S n=3n﹣1．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ac=b2，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，故cosB=，B=45°（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=故a=b×==1+∴c=b×=2×=【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（Ⅱ）f（x）在x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3﹣6a由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1﹣2a=0 (1)方程（1）的根的判别式①当时，函数f（x）没有极小值②当或时，由f′（x）=0得故x0=x2，由题设可知（i）当时，不等式没有实数解；（ii）当时，不等式化为a+1＜＜a+3，解得综合①②，得a的取值范围是【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．。
2011年高考数学文科试卷(全国1卷)(内含答案)(新课标卷卷)
2011年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）I ð （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-r r ,则2a b += （A（B（C（D【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年高考全国数学试卷(新课标)-文科(含详解答案)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A （B （C （D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴AC ⊥平面β,A C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N 的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年浙江省高考数学文科卷解析版
2011年浙江省高考数学文科卷解析版一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. （1）若{1},{1}P x x Q x x =<>，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．R Q C P ⊆（2）若复数1z i =+，为虚数单位，则(1)i z +⋅=A ．13i +B ．33i +C ．3i -D ．3【答案】 A【解析】：22(1)1(1)z z z z i i +⋅=+=+++2112i i i =++++112113i i i =+++-=+ （3）若实数x ，y 满足不等式组250,270,0,0,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩则3x +4y 的最小值是A ．13B ．15C ．20D ．28【答案】 A【解析】：作出可行域，25032701x y x x y y +-==⎧⎧⎨⎨+-==⎩⎩由得， m i n334113z A =⨯+⨯=故选 （4）若直线不平行于平面a ，且l a ∉，则A ．a 内的所有直线与异面B ．a 内不存在与平行的直线C ．a 内存在唯一的直线与平行D ．a 内的直线与都相交 【答案】 B 【解析】：直线不平行于平面a ，l a ⊄所以与a 相交（5）在A B C ∆中，角,,A B C 所对的边分．若c o s s i n aA b B =，则2s i n c o s c o s AA B +=A ．－12B ．12C ． －1D ．1（6）若,a b 为实数，则 “0<ab <1”是“b <a1”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 （7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】 B 【解析】：A ，C 与正视图不符，D 与俯视图不符（8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是A ．110B ．310C ．D ．910【答案】 D【解析】：无白球的概率是3335110c c =，∴至少有1个白球的概率为19111010p -=-=（9）已知椭圆22122:1x y C a b +=（a >b >0）与双曲线 222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于两点，若1C恰好将线段A B 三等分，则（A ）2132a=（B ）2a 13 （C ）212b=（D ）2b =2（10）设函数()()2,,f x a x b x c a b c R =++∈，若1x =-为函数()2f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是【答案】 D 【解析】：()2f x a x b '=+，令()()xg x f x e=则()()()x x g x fx e f x e ''=+()(())xf x fx e '=+ 22(2)[(2)()]x xa xb a x b xc e a x a b x b c e =++++=++++，因为1x =-为函数()g x 的一个极值点，所以1x =-是2(2)()0a x ab x bc ++++=的一个根，即2(2)(1)()0(2)4()0a a b b c a b a b c ++-++=⎧⎨=+-+>⎩于是0a cb =⎧⎨≠⎩，()12f a b ca b -=-+=-，22244(2)(2)b a c b a b a b a =-=-=-+ ()120f a b -=-=则0= 故A 、B 可能；对于D ，()120f a b -=->，，则0b >于是0< 出现矛盾，不可能，故选D 0< 出现矛盾，不可能，故选D二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.（11）设函数k4()1f x x =+ ,若()2f a =,则实数a =____________ 【答案】1- 【解析】：421211a a a=⇒-=⇒=-- （12）若直线250x y -+=与直线260xm y +-=互相垂直，则实数m =___________ 【答案】 【解析】：121212,,12k k k k m==-∴⋅=- 直线互相垂直,，即12()1,12m m⋅-=-∴=（13）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）.根据频率分布直方图推测3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是___600__________（14）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是___________.（15）若平面向量α、β 满足11αβ=≤，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角 θ的取值范围是_________________.（16）若实数,x y 满足221x y x y ++=，则的最大值是___________.【答案】233【解析】：：222221()1()()12x y xy x y x y x y x y +++=⇒+-=⇒+-≤233x y ⇒+≤ （17）若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =___________.【答案】4【解析】：2(4)()3n na n n =+则112(1)(5)()2(1)(5)323(4)(4)()3n n n n n n a n n a nn nn ++++++==++ 于是22(1)(5)3(4)10n n n n n ++-+=-+令2100n -+>得1010n -<<，则11n na a +>， 时递增，令2n -三、解答题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（18）（本题满分14分）已知函数()s i n()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02πϕ<<．()y f x =的部分图像，如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，23PRQ π∠=，求A 的值．【命题意图】本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识. 【解析】（Ⅰ）解：由题意得，2 6.3T ππ== 因为(,)s i n ()3PA y A x πϕ=+在的图象上， 所以sin (,)1.3πϕ+=又因为02πϕ<<，所以6πϕ= （Ⅱ）解：设点Q 的坐标为0(,)x A - 由题意可知03362x πππ+=，得04,(4,)x QA =-所以连接PQ ，在2,3P R Q P R Q π∆∠=中，由余弦定理得22222229(94)1c o s .2229R P R Q P Q A A A P R Q R P R Q A A+-++-+∠===-⋅⋅+解得又0,3.A A >=所以（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈，且11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）对*N n ∈，试比较n a a a a 2322221...111++++与11a 的大小．【命题意图】本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力. 【解析】（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知2214111()a a a =⋅ 即2111()(3)ad a a d +=+，从而21ad d = 因为10,.d d aa ≠==所以故通项公式.n a na =（Ⅱ）解：记22222111,2n n nn T a a a a a =+++= 因为所以211(1())111111122()[1()]1222212nn n nT a aa -=+++=⋅=--从而，当0a >时，11n T a <；当110,.n a T a <>时（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥PA B C -中，A BA C=，D 为B C 的中点，P O ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段A D 上． （Ⅰ）证明：A P ⊥B C ； （Ⅱ）已知8B C =,4P O =,3A O =,2O D =，求二面角B A P C --的大小． 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力..【解析】（Ⅰ）证明：由AB=AC ，D 是BC 中点，得A DB C ⊥，又P O ⊥平面ABC ，得P OB C ⊥ 因为P O A D O ⋂=，所以B C ⊥平面PAD ，故.B C P A ⊥（Ⅱ）解：如图，在平面P AB 内作B M P A ⊥于M ，连CM . 因为,B C P AP A ⊥⊥得平面BMC ，所以AP ⊥CM .故B M C ∠为二面角B —AP —C 的平面角.在222,41,41R t A D B A B A D B D A B ∆=+==中得在222R t P O D P O O D ∆=+中,P D ，在R t P D B ∆中，222P B P D B D=+， 所以222236,6.P B P O O D B D P B =++==得在222,25,5.R t P O A P A A O O P P A ∆=+==中得又222122c o s ,s i n 233P A P B A B B P A B P A P A P B +-∠==∠=⋅从而故s i n 42B M P B B P A =∠=，同理42.G M =因为222B M MC B C +=所以90B M C ∠=︒即二面角B —AP —C 的大小为90.︒（21）（本小题满分15分）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数．【命题意图】本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力. 【解析】（Ⅰ）解：因为22()l n .0f x a x x a x x =-+>其中 所以2()(2)()2a xa xa f x xa x x-+'=-+=-由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（Ⅱ）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即 由（Ⅰ）知()[1,]f x e 在内单调递增，要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，只要222(1)11,()f a e f e a e a e e =-≥-⎧⎨=-+≤⎩，解得.a e = （22）（本小题满分15分）如图，设P 是抛物线1C ：2x y =上的动点.过点P 做圆2C1)3(:22=++y x 的两条切线，交直线：3y =-于两点.（Ⅰ）求2C的圆心到抛物线 1C准线的距离.（Ⅱ）是否存在点P ，使线段A B 被抛物线1C 在点P 处得切线平分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【命题意图】本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分. 【解析】（Ⅰ）解：因为抛物线C 1的准线方程为：14y =-所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为：111|(3)|.44---=（Ⅱ）解：设点P 的坐标为200(,)x x ，抛物线C 1在点P 处的切线交直线于点D . 再设A ，B ，D 的横坐标分别为,,A B C x x x 过点200(,)P x x 的抛物线C 1的切线方程为：20002()y x xxx -=- （1）当01x =时，过点P （1,1）与圆C 2的切线P A 为：151(1)8y x -=- 可得17,1,1,215A B D A B Dx x x x x x =-==-+≠ 当10-=x 时，过点P （—1,1）与圆C 2的切线P A 为：151(1)8y x -=- 可得DB A D B A x x x x x x 2,1,1517,1≠+==-= 17,1,1,215A B D A B Dx x x x x x =-==-+≠ 所以2010x -≠设切线P A ，PB 的斜率为12,k k ，则2010:()P A y x k x x -=- （2） 2020:()P B y x k x x -=- （3）将3y =-分别代入（1），（2），（3）得22200000012011333(0);;(,0)2D A B x x x x x x x x x k k x k k -++=≠=-=--≠从而20012112(3)().A B x x x x k k +=-++ 又201021|3|11x k x k -++=+，即22222010010(1)2(3)(3)10x kxx k x --+++-= 同理，22222020020(1)2(3)(3)10x kxx k x --+++-=所以12,k k 是方程222220000(1)2(3)(3)10x k xx k x --+++-=的两个不相等的根， 从而 222000121222002(3)(3)1,.11xx x k k kk x x ++-+=⋅=--因为02x x x B A =+所以2201201203111112(3)(),.x x x k k x k k x --++=+=即从而2002202(3)1(3)1x x x x +=+-，进而得44008,8x x ==± 综上所述，存在点P 满足题意，点P 的坐标为4(8,22).±。
2011年浙江高考数学试题(文科)
学语文五年级下册句式练习题一、反问句与陈述句有时为了表达的需要，可以把陈述句变为反问句，也可以把反问句变为陈述句，它们的意思相同，语气有所不同。
（一）反问句变陈述句1、先删去反问词（怎能、怎么、难道、哪里等等），有的句子可适当再加上“很”“都”等，使句子表达的意思更准确。
2、看句子里的有没有否定词“不”，有的给删去，没有的给加上。
3、反问语气词删去“？”变“。
”。
练习：1、我们怎能忘记老师的淳淳教导？2、那浪花所奏的不正是一首欢乐的歌吗？__________________________________________________________________3、这里的景色这么美，怎能不使我们流连往返呢？_____________________________________________________________________4、这点小事，难道还要妈妈担心吗？5、大千世界，哪里没有野花的倩影呢？___________________________________________________________________ （二）陈述句变反问句第一步与第三步正好相反，第二步一样。
1、先删去反问词（怎能、怎么、难道、哪里等等），有的句子可适当再加上“很”“都”等，使句子表达的意思更准确。
2、看句子里的有没有否定词“不”，有的给删去，没有的给加上。
3、反问语气词删去“。
”变“？”。
练习：1、我们不能因为学习任务重而不参加体育活动。
2、这幅画是我们班彩颖画的。
__________________________________________ _________________3、父母含辛茹苦地把我们养大，我们不应该伤他们的心。
_____________________________________________________________4、对少数同学不守纪律的现象，我们不能不闻不问。
2011年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学试题(文科)
2011年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学试题(文科)1 / 11 / 12011 年一般高等学校招生全国一致考试（浙江卷）数学试题（文科）选择题部分 （共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分。
在每题给也的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
（1）若 P { x x 1}, Q{ x x 1} ，则A ．P QB ．Q PC ． C R P QD ．Q C R P（2）若复数 z 1i ， i 为虚数单位，则 (1 i ) zA ． 1 3iB ． 3 3iC ． 3 iD ．3x 2 y 5 0,（3）若实数 x ， y 知足不等式组2x y 7 0, 则 3x+4 y 的最小值是x 0, y0,A ．13B ．15C ． 20D ．28（4）若直线 l 不平行于平面 a ，且 la ，则B aA． a内的全部直线与异面内不存在与 l 平行的直线． C ． a 内存在独一的直线与 l 平行D ． a 内的直线与 l 都订交（5）在ABC 中，角 A,B,C所 对 的 边 分 a,b, c ． 若 a cos A b sin B ， 则s i nA c oAs2c Bo sA ． - 1B ．1C ． -1D ．122（6）若 a, b 为实数，则 “0<ab<1”是 “b<1”的aA ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件（7）几何体的三视图如下图，则这个几何体的直观图能够是。
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绝密★考试结束前2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+一．选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１．若{1},{1}P x x Q x x =<>，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．R Q C P ⊆ 2．若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)z z +⋅=A ．13i +B ．33i +C ．3i -D ．3 X +2y -5≥03．若实数x ，y 满足不等式组 2x +y -7≥0，则3x +4y 的最小值是 x ≥0,y ≥0A ．13B ．15C ．20D ．28 4．若直线l 不平行于平面a ，且l a ∉，则A ．a 内存在直线与异面B ．a 内不存在与l 平行的直线C ．a 内存在唯一的直线与l 平行D ．a 内的直线与l 都相交5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=A ．-12B ．12C ．-1D ．1 6．若,a b 为实数，则“01ab ∠∠”是“1b a∠”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是A ．B ．C ．D ．8．从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 A ．110 B ．310 C ．35 D ．9109．已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与C 1C 2的长度为直径的圆相交于,A B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分，则 A ．a 2 =132 B ．a 2=13 C ．b 2=12D ．b 2=2 10．设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是A ．B ．C ．D ．非选择题部分（共100分）注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。
二．填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．设函数k 4()1f x x=+ ,若()2f a =,则实数a =__________________。
12．若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_________________。
13．某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某此数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。
根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____________________。
14．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。
15．若平面向量α、β 满足11αβ=≤，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角 θ的取值范围是____________。
16．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是_________。
17．若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =__________。
三．解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02πϕ<<.()y f x =的部分图像，如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1,)A .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及ϕ的值； （Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，23PRQ π∠=，求A 的值.19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项11(),a a R ∈且124111,,a a a 成等比数列。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）对n N +∈，试比较2322221111...,n a a a a ++++与11a 的大小。
20．（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上. （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =.求二面角B AP C --的大小.21．（本大题满分15分）设函数22()ln ,0f x a x x ax a =-+> （I ）求()f x 的单调区间（II ）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立。
注：e 为自然对数的底数。
22．（本大题满分15分）如图，设P 为抛物线1C ：2x y =上的动点。
过点P 做圆2C 的两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点。
（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离。
（Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处得切线平分，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
数学（文科）试题参考答案一．选择题：二．填空题．11．1- 12．1 13．600 14．515．]656[ππ， 16．332 17．4三．解答题18．本题主要考查三角函数的图像与性质，三角运算等基础知识。
满分14分。
（Ⅰ）解：由题意得，263T ππ==因为(1,)P A 在sin()3y A x πϕ=+的图像上，所以sin() 1.3πϕ+=又因为02πϕ，所以6πϕ=（Ⅱ）解：设点Q 的坐标为(0,x A ).由题意可知02363x πππ+=，得04x =，所以(4,)Q A -连接PQ,在△PRQ 中，∠PRQ=23π,由余弦定理得2222221cos 2.2RP RQ PQ PRQ RP RP +-∠===，解得A 2=3，又A ＞0，所以19．本题主要考查等差数列等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力。
满分14分。
（Ⅰ）解：设等差数列{a n }的公差为d,由2214111(),a a a =⋅ 得2111()(3)a d a a d +=+。
从而21a d d =因为0d ≠,所以1n d a a == 故通项公式.n a na =， （Ⅱ）解：记2222111...,n n T a a a =++因为22n a a =， 211(1())111111122(...).[1()].1222212nn n n T a a a -=+++==-- 所以，当a ＞0时，1n 1a T <；当a ＜0时，1n 1a T >。
20．本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。
满分14分。
（Ⅰ）证明：由AB=AC,D 是BC 的中点，得AD ⊥BC, 又PO ⊥平面ABC,得PO ⊥BC 。
因为PO∩AD=0，所以BC ⊥平面PAD ，故BC ⊥PA. （Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内作BM ⊥PA 于M,连CM. 因为BC ⊥PA.，得AP ⊥平面BMC ，所以AP ⊥CM.故∠BMC 为二面角B-AP-C 的平面角。
在Rt ⊿ADB 中，AB 2=AD 2+BD 2=41，得41在Rt ⊿POD 中, PD 2=PO 2+OD 2, 在Rt ⊿PDB 中, PB 2=PD 2+BD 2, 所以PB 2=PO 2+OD 2+BD 2=36，得PB=6. 在Rt ⊿POB 中, PA 2=AO 2+OP 2=25,得PA=5又2221cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅ 从而22sin BPA ∠=所以sin 42BM PB BPA =∠=同理CM 42=因为BM 2+MC 2=BC 2，所以BPA ∠=900即二面角B-AP-C 的大小为900。
21．本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理能力。
满分15分。
（Ⅰ）解：因为22()ln f x a x x ax =-+，其中0x，所以2()(2)'()2a x a x a f x x a x x-+=+=-。
由于0a，所以()f x 的增区间为（0，a ）,减区间为（a,+∞）（Ⅱ）证明：由题意得， (1)11f a c =-≥-，即a c ≥由（Ⅰ）知()f x 在[1,e]恒成立，要使21()e f x e -≤≤对[1,]x e ∈恒成立，只要222(1)11()f a e f e a e ae e=-≥-⎧⎨=-+≤⎩，解得a e =。
22．本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。
满分15分。
（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线C 1的准线方程为：1,4y =- 所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为111|(3)|.44---= （Ⅱ）解：设点P 的坐标为(x 0, x 02)，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D 。
再设A,B,D 的横坐标分别为,,A B D x x x 过点P(x 0, x 02)的抛物线C 1的切线方程为：20002().y x x x x -=- （1）当01x =时，过点P （1,1）与圆C 2的切线PA 为：151(1)8y x -=-。