九年级数学上册 专题突破讲练 与圆有关的角试题 (新版)青岛版
2019九年级数学上册 专题突破讲练 圆中辅助线添加技巧试题 (新版)青岛版
圆中辅助线添加技巧1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。
说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。
方法依据：（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2. 辅助线方法：连中点说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。
方法依据：（垂径定理推论）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3. 与切线有关的辅助线作法：（1）点已知，连半径，证垂直说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。
（2）点未知，作垂直，证半径说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径(r)。
（3）见切线，连半径，得垂直说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
例题1 ⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AC=BD。
求证：PO平分∠APD。
解析：由等弦AC=BD可得出弧AC等于弧BD，进一步得出弧AB等于弧CD，从而可证等弦AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE⊥AB，OF⊥CD，易证△OPE≌△OPF，得出PO平分∠APD。
答案：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F∵AC=BD∴AC BD=∴AB CD=∴AB=CD∴OE OFOEP OFP OP OP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∠OPE=∠OPF∴ PO平分∠APD.点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作圆O，与BC交于点E，过点E作ED⊥AB，垂足为点D。
求证：DE为⊙O的切线。
解析：连接OE，根据等边对等角，由AB=AC得到∠B=∠C，再由半径OC与OE相等得到∠C=∠CEO，利用等量代换得到∠B=∠CEO，由同位角相等两直线平行，得到AB与EO平行，再根据两直线平行内错角相等，由角BDE 为直角得到角DEO为直角，又OE为圆O的半径，根据切线的判断方法得到DE为⊙O的切线。
九年级数学上册专题突破讲练认识圆的轴对称性习题新版青岛版
认识圆的轴对称性1. 垂径定理的内容垂径定理：垂直于非直径的弦的直径，平分弦且平分弦所对的两段弧。
符号语言：如图，圆O中，如果直径CD⊥AB于E，那么有结论：AE＝BE， AD＝ BD， CA＝ CB。
说明：（1）垂径定理是由圆是轴对称图形（直径所在的直线是对称轴）得来的。
（2）定理中为什么不能遗忘“不是直径”这个附加条件？因为若是直径，由于两条直径总是互相平分的，因此不会有垂径定理的其他结论。
（3）概括成一句话：直径平分弦（不是直径）（4）一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只需知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外）。
2. 垂径定理的应用垂径定理在中考中经常和勾股定理结合使用：如图，如果直径CD ⊥AB于E，当我们连接圆心O和点A时，利用垂径定理可以得到直角三角形OAE，进而可以利用勾股定理进行相关的计算。
例如：直径CD ⊥AB于E，弦AB＝2a，半径为r，求OE、DE的长。
由AB＝2a，根据垂径定理可以得到AE＝a，进而，DE＝r－OE＝r利用垂径定理和勾股定理解决圆中的相关计算问题例题1 （西青区二模）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，求OP的长。
解析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长。
解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，∵AB＝CD＝8，∴BM＝DN＝4，∴OM＝ON3=∵AB⊥CD，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠O NP＝90°∴四边形MONP是矩形，∵OM＝ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝点拨：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。
九年级数学上册 专题突破讲练 圆的周长和弧长试题 (新版)青岛版
圆的周长和弧长1. 弧长公式：圆周长C=2πR （其中R 为圆的半径），即为圆心角是360°的弧长。
因此圆心角是1°的弧长等于圆周长的1360，即2R 360180R ππ=，所以n °的圆心角所对的弧长为180n Rπ。
即在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为：l =180n Rπ。
说明：（1）在应用公式进行计算时，要注意公式中n 的意义：n 表示1°的圆心角的倍数。
公式中的n 、180都不带单位。
（2）同圆中圆心角n °越大，弧长越长；相等的圆心角半径越大，所对的弧长越大，L 与n 、R 两个因素有关。
2. 易错点：扇形的弧长和扇形的周长不一样，扇形的周长是扇形的弧长与两个半径的和。
直接利用公式求弧长例题1 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠ABC=120°，OC=3，则⋂BC 的长为（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 5π解析：连接OB ，由于AB 是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC ，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC 的度数，在利用弧长公式即可求出⋂BC 的长。
解：连接OB 。
∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO=90°。
∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°。
∵OB=OC，∴∠OCB=30°。
∴∠BOC=120°。
∴⋂BC 的长为12032180180n r πππ⨯⨯==，故选B 。
答案：B点拨：利用弧长公式计算弧长时，关键是根据题意得出圆心角、半径，而本题解题的关键是连接OB ，构造直角三角形。
例题2 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为（ ）A. 10π D. π解析：由题意得点A 所经过的路径是以C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为60°的弧，而要求的顶点A 所经过的路径长就是求以C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为60°的弧长，利用弧长公式180rn l π=计算可得。
青岛版初中数学九年级上册《圆周角》同步测试练习题卷练习题2
A．AC=BC
B． AN BN
C． AM BM
D．OC=CN
M
O
A
CB
N
A
B
O
A
O
C
ED
B
（4）
（5）
（6）
TB:小初高题库
青岛版初中数学
8．在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点 O 到弦 AB 的距离为 4，则⊙O 的直 径的长为（ ）
A．4 2
B．8 2
C．24 D．16
9．如图 5，在半径为 2cm 的圆 O 内有长为 2 3 cm 的弦 AB，则此弦所对
5．如图 3，AB、CD 是⊙O 的两条弦，M、N 分别为 AB、CD 的中点，且 ∠AMN=∠CNM，AB=6，则 CD=_______．
6．如果两条弦相等，那么（ ） A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对 7．如图 4，在圆 O 中，直径 MN⊥AB，垂足为 C，则下列结论中错误的 是（ ）
些条件你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过
程，写出六条以上结论）
_A
_O
_B
_E _C
_D
二、拓广探索:
12．如图 7 所示，已知 C 为 AB 的中点，OA⊥CD 于 M，CN⊥OB 于 N，
若 OA=r，ON=a，则 CD=_______．
C
A B
D MO N
A
_D
_C
_O_1
_P
_O_2
_B
_A
17．如图所示，点 O 是∠EPF 平分线上的一点，以点 O 为圆心的圆与角的 两边分别交于点 A、B 和 C、D．
九年级数学上册专题突破讲练与圆有关的动态问题试题新版青岛版
与圆有关的动态问题与圆有关的动态问题是一类综合性的问题。
解题时，既要熟悉圆的有关性质定理，还要注意动静结合，特殊和一般结合，结合图形全面考虑，细心分析，灵活运用有关的性质定理，必要时还需添加恰当的辅助线，加强图形间的内在联系，以便转化，使问题顺利解决。
在与圆有关的动态问题中，最常用到的定理有：1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
说明：在遇到切线时，连接圆心与切点是常见的辅助线，可以构造直角三角形，为解题架设了桥梁。
3. 弧、弦、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。
4. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
5. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
例题1如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°解析：本题考查了直线与圆的位置关系；掌握切线的性质与判定是解题的关键。
根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值。
所以在Rt△AOP中，利用直角三角形可以求得此时∠OAP的值。
解：根据题意知，当∠OAP的取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP＝OB，OB＝AB，∴OA ＝2OP，∴∠OA P＝30°。
故选A。
答案：A点拨：在点P的运动过程中，∠OAP取最大值时，AP正好是⊙O的切线。
例题2 （北京中考）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB＝2，设弦AP 的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）解析：考虑用特殊值验证的方法。
九年级数学上册 专题突破讲练 剖析与圆有关的计算试题 (新版)青岛版
剖析与圆有关的计算圆中有关的计算问题主要涉及以下三个知识点：1. 利用勾股定理：要想利用勾股定理解题，必须确定出直角三角形，根据两直角边的平方和等于斜边的平方求出未知线段；或者用同一字母表示出三条边长，并根据勾股定理列出方程求解；2. 利用三角函数：利用三角函数求线段长也必须在直角三角形中才能实施，在直角三角形中知道一角一边即可解此直角三角形得出未知的角和边，因此熟记特殊角的三角函数值是解决问题的基础；注意：在圆中，往往利用垂径定理和直径所对的圆周角以及切线的性质构造直角三角形。
3. 利用相似三角形：利用相似三角形求线段长是圆中最重要的一种解题方法和思路。
因此要善于发现和构造相似三角形。
常见的相似三角形模型有：例题（南充）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP 于点G，E在CD的延长线上，EP＝EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF•BO。
试证明BG＝PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝33。
求弦CD的长。
解析：（1）连结OP，先由EP＝EG，证出∠EPG＝∠BGF，再由∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，推出∠EPG＋∠OPB＝90°来求证。
（2）连结OG，由BG2＝BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO＝∠BFG＝90°，根据垂线定理可得出结论。
（3）连结AC、BC、OG，由sinB＝33，求出OG，由（2）得出∠B＝∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度。
解答：（1）证明：连结OP，∵EP＝EG，∴∠EPG＝∠EGP，又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG＝∠BGF，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，∴∠EPG＋∠OPB＝90°，∴直线EP为⊙O的切线；（2）证明：如图，连结OG，OP，∵BG2＝BF•BO，∴BG BF BO BG，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO＝∠BFG＝90°，由垂线定理知：BG ＝PG ；（3）解：如图，连结AC 、BC 、OG 、OP ，∵sinB∴OG OB = ∵OB ＝r ＝3，∴OG由（2）得∠EPG ＋∠OPB ＝90°， ∠B ＋∠BGF ＝∠OGF ＋∠BGF ＝90°， ∴∠B ＝∠OGF ，∴sin ∠OGF ＝OFOG∴OF ＝1，∴BF ＝BO －OF ＝3－1＝2，FA ＝OF ＋OA ＝1＋3＝4， 在Rt △BCA 中，CF 2＝BF •FA ，∴CF ==∴CD ＝2CF ＝点拨：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值。
九年级数学上册专题突破讲练认识圆的轴对称性试题青岛版(2021年整理)
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认识圆的轴对称性1。
垂径定理的内容垂径定理:垂直于非直径的弦的直径，平分弦且平分弦所对的两段弧。
符号语言：如图，圆O中，如果直径CD⊥AB于E，那么有结论:AE＝BE，AD＝BD，CA＝CB。
说明：（1）垂径定理是由圆是轴对称图形（直径所在的直线是对称轴）得来的.(2)定理中为什么不能遗忘“不是直径"这个附加条件？因为若是直径，由于两条直径总是互相平分的,因此不会有垂径定理的其他结论。
（3)概括成一句话:直径平分弦（不是直径）(4)一条直线①过圆心；②垂直于一条弦;③平分这条弦;④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只需知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外）。
2. 垂径定理的应用垂径定理在中考中经常和勾股定理结合使用：如图，如果直径CD ⊥AB 于E，当我们连接圆心O和点A时,利用垂径定理可以得到直角三角形OAE，进而可以利用勾股定理进行相关的计算。
例如：直径CD ⊥AB于E,弦AB＝2a,半径为r,求OE、DE的长。
由AB＝2a,根据垂径定理可以得到AE＝a，进而，DE＝r－OE＝r－22r a利用垂径定理和勾股定理解决圆中的相关计算问题例题1 （西青区二模）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8,求OP的长。
九年级数学上册 专题突破讲练 四点共圆问题大盘点试题 (新版)青岛版
四点共圆问题大盘点1. 四点共圆的性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
2. 四点共圆常用的判定方法：判定1：到定点的距离等于定长的点在同一圆上。
如果：OA=OB=O C=OD，则A、B、C、D四点共圆。
判定2：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。
如果：△ABD和△BCD是直角三角形，则A、B、C、D四点共圆。
判定3：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。
如果：A、D在公共边BC同侧，且∠A=∠D，则A、B、C、D四点共圆。
判定4：对于凸四边形ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、B、C、D四点共圆。
如果：∠1+∠2=180°或∠1=∠3，则A 、B 、C 、D 四点共圆。
判定5：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于点P ，若PA ·PC =PB ·PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆。
（相交弦定理的逆定理）例题 （郑州模拟）如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD=31AC ，AE=32AB ，BD ，CE 相交于点F 。
（1）求证：A 、E 、F 、D 四点共圆；（2）若正△ABC 的边长为2，求A 、E 、F 、D 所在圆的半径。
解析：（1）依题意，可证得△BAD ≌△CBE ，从而得到∠ADB =∠BEC ⇒∠ADF +∠AEF =180°，即可证得A ，E ，F ，D 四点共圆；（2）取AE 的中点G ，连接GD ，可证得△AGD 为正三角形，GA =GE =GD =32，即点G 是△AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为32。
答案：（1）证明：∵AE =32AB ， ∴BE =31AB ， ∵在正△ABC 中，AD =31AC ， ∴AD =BE ，又∵AB =BC ，∠BAD =∠CBE ， ∴△BAD ≌△CBE ， ∴∠ADB =∠BEC ，即∠ADF +∠AEF =180°，所以A ，E ，F ，D 四点共圆。
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与圆有关的角角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。
圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。
1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
D说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索。
2. 圆周角定理推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。
推论2：圆内接四边形的对角互补。
说明：根据圆周角定理推论，可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。
3. 弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
说明：根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。
4. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决。
示例：如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ，若∠BAO=40°，则∠OCB 的度数为（ ）A. 40°B. 50°C. 65°D. 75°解析：本题出现了切线，利用切线的性质，可把问题转化为直角三角形的问题解决；同时根据同圆的半径相等，可以建立等腰三角形解答问题。
解：∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA=90°，∴∠O=90°－∠BAO=90°－40°=50°，又∵OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC=21（180°－50°）=65°，故选C 。
例题 已知直线l 与⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥l 于点D 。
（1）如图①，当直线l 与⊙O 相切于点C 时，若∠DAC=30°，求∠BAC 的大小；（2）如图②，当直线l 与⊙O 相交于点E 、F 时，若∠DAE=18°，求∠BAF 的大小。
解析：（1）连接OC ，由已知及切线的性质推AD ∥OC ，进而根据OA=OC ，推∠DAC 、∠ACO 、∠CAO 的关系；（2）连接BF ，根据已知条件利用直角三角形两直角互余求建立等量关系，再根据圆内接四边形对角互补转化关系，最后求∠BAF 。
答案：解：（Ⅰ）如图，连接OC 。
∵直线l与⊙O相切于点C时，∴OC⊥l，得∠OCD=90°。
由AD⊥l，得∠ADC=90°。
∴AD∥OC，∴∠ACO=∠DAC，在⊙O中，由OA=OC，得∠BAC=∠ACO，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图，连接BF。
∵AB为⊙O直径，，∴∠FAB+∠B=90°。
∵AD⊥l，∴∠DAE+∠AED=90°。
∵∠AED+∠AEF=180°，又∵在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形，有∠AEF+∠B=180°，∴∠AED =∠B，∴∠FAB=∠DAE。
∵∠DAE=18°，∴∠BAF=18°。
点拨：1. 有切线和切点，常做切半径作为辅助线，转移相关的角；2. 直径对的圆周角是直角、圆内接四边形的对角互补等性质是在圆中推导角的关系时常用的性质。
圆中的角在开放性问题中的应用满分训练如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径。
∠ACB的平分线CD交⊙O 于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F。
（1）求证：DP∥AB；（2）试猜想线段AE、EF、BF之间有何数量关系，并加以证明；解析：（1）题须作“经过切点的半径”，是圆中解决和切线有关的问题时常用的辅助线；理顺各角间的关系是解答本题的关键。
（2）题须证明△ADE ≌△DBF ，利用圆周角定理找出AD ＝BD 是解答本题的关键；答案：（1）证明：连接OD 。
∵PD 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥PD ，∴∠ODP ＝90°∵∠ACD ＝∠BCD ，∠AOD ＝2∠ACD ，∠BOD ＝2∠BCD ，∴∠AOD ＝∠BOD ＝21∠AOB ＝21×180°＝90°，∴∠ODP ＝∠BOD ，∴PD ∥AB 。
（2）答：BF －AE ＝EF 。
证明如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ADE ＋∠BDF ＝90°。
∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，∴∠AED ＝∠BFD ＝90°，∴∠FBD ＋∠BDF ＝90°，∴∠FBD ＝∠ADE 。
∵∠AOD ＝∠BOD ，∴AD ＝BD ，∴△ADE ≌△DBF 。
∴BF ＝DE ，AE ＝DF ，∴BF －AE ＝DE －DF ＝EF ，即BF －AE ＝EF 。
P O EF BA C点拨：由于圆的切线垂直于过切点的半径，所以如果圆中有切线，一般作经过切点的半径，构造直角三角形，在直角三角形中求角的度数；在同圆或等圆中，常借助圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，来寻求圆周角和圆心角之间的关系。
（答题时间：30分钟）1. （黔西中考）如图1所示，线段AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，20CDB ∠=︒，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠等于（ ）A. 50︒B. 40︒C. 60︒D. 70︒2. 如图所示，直线CD 与以线段AB 为直径的圆相切于点D 并交BA 的延长线于点C ，且AB ＝2，AD ＝1，P 点在切线CD 上移动。
当∠APB 的度数最大时，则∠ABP 的度数为（ ）A. 15°B. 30°C. 60°D. 90°3. （广东中考）如图，□ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接BE，则∠AEB的度数为（）A. 36°B. 46°C. 27°D. 63°4. 如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长（）A. 6B. 5C. 35. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（）A. 40°B. 30°C. 50°D. 60°6. 如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°。
则∠B= 度。
AOBCN7. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为。
8. （济南中考）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD=35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C=__________度。
9. 在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。
求∠D的度数。
10. 如图AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，K为AC上一动点，AK、DC的延长线相交于点F，连接CK、K D。
求证：∠AKD＝∠CKF1. A 解析：连接OC ，∵CE 为切线，∴∠OCE=90º∵20CDB ∠=︒，∴∠COE=40º，∴∠E=50º。
故选A 。
2. B 解析：∵如图所示，连接OD ，BD ，由切线的性质可知，OD ⊥CD ，OA ＝OD ＝AD ＝1。
∴△AOD 为等边三角形，∠DAO ＝∠AOD ＝60°，∠CDA ＝90°－60°＝30°，又∵∠DCA ＝90°－60°＝30°，∴当∠APB 的度数最大时，P 点移动到D 点的位置，即∠CDA ＝∠DCA ＝30°。
∴∠ABD ＝30°。
故答案为B 。
3. A 解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠ADC=54°。
∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BAE=90º，∴∠AEB=90º－∠B=90º－54º=36º。
故选A 。
4. C 解析：连结OC ，∵点A 、B 、M 、O 四点共圆，∴∠BMO +∠BAO=180°，∵∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AC=OC ，∴△OAC 是等边三角形。
∴OC=OA=3。
故本题选C 。
5. C 解析：在⊙O 中，OA ＝OB ，所以∠ABO ＝∠BAO ＝40°，所以∠AOB ＝100°，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝50°。
故选C 。
6. 60 解析：连接OA ，N则OA ⊥MN ，由于∠MAB=30°，所以∠OAB=90°－30°=60°，而OA=OB ，所以∠B=∠OAB=60°。
7. 55°解析：如图，连接OA 、OB ，∵PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∴∠PAO=∠PBO=90°，又∠P=70°，∴∠AOB=360°－90°×2－70°=110°，∴∠C=1552AOB ∠=。
8. 20 解析：连接OD ，则∠ODC=90°，∠DOC=2∠BAD=70°，因此∠C=90°－70°=20°。
9. 解析：连接BD ，∵AB ⊙O 是直径，∴BD ⊥AD 。
又∵CF ⊥AD ，∴BD ∥CF ，∴∠BDC=∠C 。
又∵∠BDC=21∠BOC ，∴∠C=21∠BOC ，∵AB ⊥CD ，∴∠C=30°，∴∠ADC ＝60°。
10. 解析：证明：连接AD ，∵∠CKF 是圆内接四边形ADCK 的外角，∴∠CKF ＝∠ADC ，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴AD＝AC。
∴∠ADC＝∠AKD。
∴∠AKD＝∠CKF。