121排列二
排列2
排列数的定义： 排列数的定义： 从个n不同元素中，任取m 从个n不同元素中，任取m（ m ≤ n）个元素 的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m 的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个 m 元素的排列数 排列数， 元素的排列数，用符号 An 表示
注意区别排列和排列数的不同： 注意区别排列和排列数的不同： 一个排列”是指： 个不同元素中，任取m “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个 元素按照一定的顺序排成一列，不是数； 元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取mm ≤ n ） 排列数”是指从n个不同元素中，任取m（ 个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号 个元素的所有排列的个数，是一个数. m 只表示排列数，而不表示具体的排列. A 只表示排列数，而不表示具体的排列.
例2．（1）有5本不同的书，从中选3本送 ．（1 本不同的书，从中选3 名同学，每人各1 给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的 送法？ 送法？ 种不同的书，每种多于3 （2）有5种不同的书，每种多于3本，要 本送给3名同学，每人各1 买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少 种不同的送法？ 种不同的送法？
练习1 练习1．计算 6 8!+ A6 (1) 2 4 (2) A8 − A10 练习2.求证：（1） 练习2 求证：（1 ：（ （2）
n n
( m − 1)! n Am−1 (m − n)! −1
A = A ⋅A
m n−m n ． n−m
；
(2n)! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1) n 2 ⋅ n!
例3．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下 某信号兵用红、 挂在竖直的旗杆上表示信号， 挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意 面或3 挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不 同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分3类：第一类用1面旗表示的信号； 第一类用1面旗表示的信号； 第二类用2面旗表示的信号； 第二类用2面旗表示的信号； 第三类用3面旗表示的信号， 第三类用3面旗表示的信号， 由分类计数原理，所求的信号种数是： 由分类计数原理，所求的信号种数是：
高中数学第一章计数原理12排列与组合121排列第1课时教案新人教A版选修23
1．2.1 排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A23＝3×2＝6，A34＝4×3×2＝24，你能否得出A2n的意义和A2n的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)(m ，n∈N ，m≤n)．说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A nn A n －m n －m . 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x－1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A mn 中，m ，n∈N 且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29.2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n！＝1·3·5…(2n－1)． 解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！， 也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0， 解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x∈N ，所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．2．证明：(1)A m n ·A n －m n －m ＝n ！(n －m)！(n －m)！＝n ！＝A n n ，∴原式成立． (2)！2n ·n！＝2n·(2n －1)·(2n －2)…4·3·2·12n ·n！ ＝2n n·(n －1)…2·1·(2n －1)(2n －3)…3·12n ·n！＝n ！·1·3…(2n －3)(2n －1)n ！＝1·3·5…(2n－1)＝右边， ∴原式成立．点评：公式A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式A m n ＝n ！(n －m)！常用来证明或化简． 【变练演编】化简：(1)12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！. (1)解：原式＝1！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1－！－1n ！＝1－1n ！. (2)提示：由(n ＋1)！＝(n ＋1)n ！＝n×n！＋n ！，得n×n！＝(n ＋1)！－n ！， 原式＝(n ＋1)！－1.【达标检测】1．计算：(1)A 310；(2)A 812A 712. 2．若A mn ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝______，m ＝______.3．若n∈N *，且55＜n ＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．答案：1.(1)720 (2)5 2.17 14 3.A 1569－n课堂小结1．知识收获：排列概念、排列数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．若x ＝n ！3！，则x ＝( )A ．A 3nB ．A n －3nC ．A n 3D ．A 3n －32．与A 310·A 77不等的是( )A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 10103．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．74．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________；(m －1)！A n －1m －1·(m －n)！＝________. 【拓展练习】5．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 6．(1)已知A m 10＝10×9×…×5，那么m ＝__________；(2)已知9！＝362 880，那么A 79＝__________；(3)已知A 2n ＝56，那么n ＝____________；(4)已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝____________.答案：1.B 2.B 3.A 4.1 1 5.{2,3,4,5,6}6．(1)6 (2)181 440 (3)8 (4)7设计说明本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．备课资料可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数．。
最新-2021版高中数学人教A版浙江选修23课件：121 第2课时排列的综合应用 精品
解 (1)分三步： ①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法； ②十位数字有5种选法； ③个位数字有4种选法. 由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个). (2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个 位数字有6种选法. 故所求三位数共有5×6×6＝180(个).
(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共 A44种排法，男生在 4 个女 生隔成的 5 个空中安排有 A35种排法， 故 N＝A44·A35＝1 440(种). (8)对比(7)让女生插空：N＝A33·A44＝144(种). (9)(捆绑法)任取 2 人与甲、乙组成一个整体，与余下 3 个元素全 排，故 N＝(A25·A22)·A44＝960(种).
(2)间接法 符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差.故求符合条件 的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即 “间接法”.
2.用1，2，3，4，5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中 奇数共有( )
A.30个 B.36个 C.40个
D.60个
解析 分2步完成：个位必为奇数，有 A13种选法；从余下的4个数
(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)； ②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝ 48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时， 共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个.故所求四位数 共120＋48＋6＋1＝175(个).
中任选2个排在三位数的百位、十位上，有 A24种选法.由分步乘法 计数原理，共有 A13× A24＝36(个)无重复数字的三位奇数.
答案 B
3.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为
排列组合p的公式
排列组合p的公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个宝鸡博瀚教育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个相同元素中，余因子m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个相同元素中抽出m 个元素的一个女团;从n个相同元素中抽出m(m≤n)个元素的所有女团的个数，叫作从n个相同元素中抽出m个元素的女团数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分为k类，每类的个数分别就是n1,n2,...nk这n个元素的全排序数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排序(pnm(n为负号，m为上标))pnm=n×(n-1)....(n-m+1);pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;pn1(n为下标1为上标)=n女团(cnm(n为负号，m为上标))cnm=pnm/pmm ;cnm=n!/m!(n-m)!;cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;cn1(n为下标1为上标)=n;cnm=cnn-m1. 掌控分类计数原理与分步计数原理，并会用它们分析和化解一些直观的应用领域问题。
2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
3. 认知女团的意义，掌控女团数计算公式和女团数的性质，并会用它们化解一些直观的应用领域问题。
12排列与组合121排列第一课时排列的概念及排列数公式
2.从1,2,3,4中任取两个数字组成平面直角坐标系中一个点的 坐标,则组成不同点的个数为( ) 答案:C
A.2
B.4
C.12
D.24
栏目 导引
第一章 计数原理
3.全排列 (1)定义:n 个不同元素全部取出的2)×…×3×2×1＝n！. (3)阶乘:正整数 1 到 n 的连乘积. (4)规定:0！＝1.
是全排列数的一半. 【解】 (1)五名同学站成一排,不同的排列对应不同的站法,
故站法种数为 A55＝5×4×3×2×1＝120. (2)五名同学站好后,甲位于乙右侧或左侧必属其一,故这时的站
法种数为A255＝60.
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第一章 计数原理
【名师点评】 有关基本排列问题的解法:
(1)明确选出的元素有无顺序要求;
第一章 计数原理
解:1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n!
＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
2.证明:Ann＋＋11＝Ann＋1＝(n＋1)Ann.
证明:∵Ann＋＋11＝(n＋1)·n·(n－1)…3·2·1,
Ann＋1＝(n＋1)·n(n－1)…3·2·1,
【名师点评】 判定是不是排列问题,要抓住排列的本质特征,
第一取出的元素无重复性,第二选出的元素必须与顺序有关才
是排列问题.元素相同且排列顺序相同才是相同的排列.元素有
序还是无序是判定是否是排列的关键.
栏目 导引
变式训练 1.判断下列问题是否为排列问题.
第一章 计数原理
(1)从五名同学中选两人分别担任正、副组长;
个排列. (2)两个排列相同,当且仅当两个排列的元素__完__全__相__同__,且元素的 __排__列__顺__序__也相同.
排列组合等计数题型的解题技巧
排列组合等计数题型的解题技巧教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。
5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
知识点拨：一、排列一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法；……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘。
五年级奥数.计数综合.排列组合（ABC级）
五年级奥数.计数综合.排列组合（ABC级）⼀、排列问题在实际⽣活中经常会遇到这样的问题，就是要把⼀些事物排在⼀起，构成⼀列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，⽽且与各事物所在的先后顺序有关．⼀般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照⼀定的顺序排成⼀列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做⼀个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取⼀个元素排在第⼀位，有n 种⽅法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取⼀个元素排在第⼆位，有(1n -)种⽅法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取⼀个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)⽅法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ?-?-??-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这⾥，m n ≤，且等号右边从n 开始，后⾯每个因数⽐前⼀个因数⼩1，共有m 个因数相乘．⼆、排列数⼀般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-（）（）．表⽰从n 个不同元素中取n 个元素排成⼀列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式⼦右边是从n 开始，后⾯每⼀个因数⽐前⼀个因数⼩1，⼀直乘到1的乘积，知识结构排列组合记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-（）（） ．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的⽅法数量，可以将这些物体当作⼀个整体捆绑在⼀起进⾏计算．三、组合问题⽇常⽣活中有很多“分组”问题．如在体育⽐赛中，把参赛队分为⼏个组，从全班同学中选出⼏⼈参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这⾥，我们将着重研究有多少种分组⽅法的问题．⼀般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成⼀组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，⽽组合与顺序⽆关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．⼀般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第⼀步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成⼀组，共有mn C 种⽅法；第⼆步：将每⼀个组合中的m 个元素进⾏全排列，共有mm P 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =?．因此，组合数12)112321mmn nm mP n n n n m C m m m P ?-?-??-+==--（）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质⼀般地，组合数有下⾯的重要性质：m n mn n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表⽰从n 个元素中取出m 个元素组成⼀组的所有分组⽅法．n mn C -表⽰从n 个元素中取出(n m -)个元素组成⼀组的所有分组⽅法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组⽅法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组⽅法．例如，从5⼈中选3⼈开会的⽅法和从5⼈中选出2⼈不去开会的⽅法是⼀样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．五、插板法⼀般⽤来解决求分解⼀定数量的⽆差别物体的⽅法的总数，使⽤插板法⼀般有三个要求：①所要分解的物体⼀般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组⾄少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题⽬中，已知条件与上⾯的三个要求并不⼀定完全相符，对此应当对已知条件进⾏适当的变形，使得它与⼀般的要求相符，再适⽤插板法．六、使⽤插板法⼀般有如下三种类型：⑴ m 个⼈分n 个东西，要求每个⼈⾄少有⼀个．这个时候我们只需要把所有的东西排成⼀排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数⽬为11m n C --．⑵ m 个⼈分n 个东西，要求每个⼈⾄少有a 个．这个时候，我们先发给每个⼈(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数⽬为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个⼈分n 个东西，允许有⼈没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个⼈多发1个，这样就和类型⑴⼀样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数⽬为11m n m C -+-．⼀．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：⼀类可以重复，另⼀类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使⽤住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学⽣报名参加数学、物理、化学竞赛，每⼈限报⼀科，有多少种不同的报名⽅法？（2）有4名学⽣参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投⼊4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】把6名实习⽣分配到7个车间实习共有多少种不同⽅法？【解析】：完成此事共分6步，第⼀步；将第⼀名实习⽣分配到车间有7种不同⽅案，第⼆步：将第⼆名实习⽣分配到车间也有7种不同⽅案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同⽅案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】：冠军不能重复，但同⼀个学⽣可获得多项冠军，把8名学⽣看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意⼀家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
排列组合公式演示文稿
(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
第十七页，共121页。
几个记号
下阶乘函数
[x]n x(x 1)(x n 1)
上阶乘函数 [x]n x(x 1)(x n 1)
[ ]n ( 1)( n 1)
Cn
n
[ ]n
n!
(
1)(
n!
n 1)
第十八页，共121页。
计算
例题
• 证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。
• 提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类，k 个物体属于第二类，… ，k个物体属于第(k-1)! 类。
第三十二页，共121页。
推论
• 多项式(x1+x2+…+xr)n的展开式中有 的系x1数n1 x为2n2 xr。nr
(2x1 3x2 5x3 )6
• k=0时
第四十九页，共121页。
例题
• 书架上有1-24共24卷百科全书，从其中选5卷使
得任何两卷都不相继，这样的选法有多少种？
第五十页，共121页。
7、圆排列
• n个元素的r-无重圆排列数
• 圆排列与线排列的区别 • 计算
第五十一页，共121页。
例题
例1 把20个不同的钉子钉在鼓表面一周，订钉子的方式
• 求解方法1 • 求解方法2
第三十页，共121页。
例题
• 五条短划和八个点可以安排成多少种不同的方 式？
13! 5!8!
• 如果只用这十三个短划和点中的七个，则有 多少种不同的方式？
7! 7! 7! 7! 7! 7! + + + ++
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2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土 上进行试验，有24 种不同的种植方法？
A4343224
3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某
场比赛，
60
并排定A53他们5的4出3场6顺0序，有
种不同的方法？
有约束条件的排列问题
练习2：有4个男生和3个女生排成一排，按下 列要求各有多少种不同排法：
（1）男甲排在正中间；
（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；
若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相 邻），有多少种站法？
二.相邻元素捆绑策略
有4个男生和3个女生排成一排，按下 列要求各有多少种不同排法： （1）三个女生排在一起； （2）三个女生两两都不相邻；
0
0
A3 9
A2 9
A2 9
根据加法原理
A 2A 3 2648
9
9
解法三：间接法. 逆向思维法
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为
A3 10
，
其中以0为排头的排列数为
A
2 9
.
∴
所求的三位数的个数是
A A 3
2
10
9
1 0 9 8 9 8 6.48
例5：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，
2.有4个男生和4个女生排成一排，
要求男女相间，有多少种不同排法？
四.定序问题倍缩空位插入策略
那么不同的排法共有（ C ）
A.30种
B. 360种 C. 720种 D. 1440种
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个 没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 位题置最排先分常,排以析用末免法也位不和是共合元最有要素基_求C _分本31_的析的元法方素是法占解,了若决这以排两元列个素组位分合置析问为
比赛的总场次是 A1241413182
例2：(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每 人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书，买3本送给3名同学，每人各 1本，共有多少种不同的送法？
例3：某信号兵用红，黄，蓝3面旗从上到下挂在竖 直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表 示多少种不同的信号？
主,然需后先排安首排位特共殊有元_素C _41 _,再处理其它元素.若以 位处考置理虑最由分其一后分析它个排步为位约其计主置束它数。条,位原需若件置理先有的共得满多同有足C 个时31 _特AC _约还4341_殊AC束要43位41 条 兼=置2件顾8的8A，其43要往它求往条,是件再C 31
有约束条件的排列问题
4．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最
打出不同的信号有（C ）
A . 1 种 种B C 种 ..36D种 .27
A333216
例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加， 每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共 进行多少场比赛？
解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛， 对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此，
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时
要注意合并元素内部也必须排列.
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
4.有关公式：
1.阶乘：n1 !2 3 •••( n 1n )
（2）排列数公式:
Anm n(n1)(nm1)(nnm！ )！ (m、 Nn*m,n)
(3)全排列数公式： Ann n!
课堂练习
1．计算：（1）5A53 4A42 348 （2） A4 1A42A43A44 64
A 4 1 A 4 2 A 4 3 A 4 4 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 6
例4：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复 数字的三位数？
解法一：对排列方法分步思考。
从位置出发
百位 十位 个位
AAA AA 1 9
1
9
1 89986481 9
2998648条件的三位数
可分为两类： 从元素出发分析
百位 十位 个位
百位 十位 个位 百位 十位 个位
有
A
5 5
种，第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种
A
4 6
不同的方法
由分步计数原理,节目的
不同顺序共有A
5 5
A
4 6
种
元素相离问相题可先独把没有独 位置独要求相的元素进 行排队再把不相邻元素插入中间和两端
练习题
1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成 节目单，开演前又增加了两个新节目.如 果将这两个新节目插入原节目单中，且 两个新节目不相邻，那么不同插法的种 数为（ 30 ）
复习巩固
1、排列的定义：
从n个不同元素中，任取m( mn)个元素（m
个元素不可重复取）按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m( mn)个元素的
所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元
素的排列数
A
m n
3.全排列的定义： n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个不 同元素的一个全排列.
有约束条件的排列问题
练习1：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五 位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
万位 千位 百位 十位 个位
解法二：（逆向） 思由 维 1、 2、 法 3、 4、 5组成无重复 数字的 5位数有 A55个，减去其中奇数 数A31的 A44个 个，再 减去偶数中5大 00于 0的0 数A21A33个，符合题意的偶 共有： A55 A31A44 A21A33 36个
练习1：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五 位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
万位 千位 百位 十位 个位
A
1 3
A
3 3
A
1 2
解法一：（正向思）考个法位上的数字排列
有A21种（从 2、4中选）；万位上的排数列字数有 A31种（5不能选），十位、、百千位位上的排列 有A33种，故符合题意的有偶 A21A数 31A33个。