排列2
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排列2
排列数的定义： 排列数的定义： 从个n不同元素中，任取m 从个n不同元素中，任取m（ m ≤ n）个元素 的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m 的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个 m 元素的排列数 排列数， 元素的排列数，用符号 An 表示
注意区别排列和排列数的不同： 注意区别排列和排列数的不同： 一个排列”是指： 个不同元素中，任取m “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个 元素按照一定的顺序排成一列，不是数； 元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取mm ≤ n ） 排列数”是指从n个不同元素中，任取m（ 个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号 个元素的所有排列的个数，是一个数. m 只表示排列数，而不表示具体的排列. A 只表示排列数，而不表示具体的排列.
例2．（1）有5本不同的书，从中选3本送 ．（1 本不同的书，从中选3 名同学，每人各1 给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的 送法？ 送法？ 种不同的书，每种多于3 （2）有5种不同的书，每种多于3本，要 本送给3名同学，每人各1 买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少 种不同的送法？ 种不同的送法？
练习1 练习1．计算 6 8!+ A6 (1) 2 4 (2) A8 − A10 练习2.求证：（1） 练习2 求证：（1 ：（ （2）
n n
( m − 1)! n Am−1 (m − n)! −1
A = A ⋅A
m n−m n ． n−m
；
(2n)! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1) n 2 ⋅ n!
例3．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下 某信号兵用红、 挂在竖直的旗杆上表示信号， 挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意 面或3 挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不 同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分3类：第一类用1面旗表示的信号； 第一类用1面旗表示的信号； 第二类用2面旗表示的信号； 第二类用2面旗表示的信号； 第三类用3面旗表示的信号， 第三类用3面旗表示的信号， 由分类计数原理，所求的信号种数是： 由分类计数原理，所求的信号种数是：
排列2
知识回顾
1.m≤n）个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的一个排列． 2.排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列
的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列
数,记作 Am
n
排列数公式
A =n(n-1)(n-2)(n - m+1)
解：（l）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学， 对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同 3 的送法种数是
A5 5 4 3 60
（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的书都有5种 不同的方法，因此送给3名同学每人1本书的不同方法的 种数是 5×5×5＝125 答：分别有60种和125种不同送法．
练习
练习1
(1)4个人从9本不同的书中每人借1本，一 共有多少种不同的借法？ (2)有4本不同的书，9个人去借，每人限定 最多借1本书，并且全部借出，一共有多少 种不同的借法？ (2)有4本不同的书，9个人去借，并且完全 部借出，一共有多少种不同的借法？
练习2
1、6个人站成前后两排照相，要求前排2人， 后排4人，那不同的排法共有（ ） 2、6个人站成前后两排照相，要求前排3人， 后排3人，那不同的排法共有（ ） 3、6个人站成前后3排照相，要求前排2人，中 排2人，后排2人，那不同的排法共有（ ）
m n
A =n
1 n
n! A =n(n-1)(n-2)(n - m+1)= (n-m)!
m n
数学运用
例1 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加， 每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共 进行多少场比赛？ 分析:由于任何两队间进行1次主场比赛与1次客场 比赛,所以一场比赛相当于从14个不同元素中任取2 个的一个排列.一个排列对应一场比赛. 故总共进行 的比赛场次数等于排列数.
1.m≤n）个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的一个排列． 2.排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列
的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列
数,记作 Am
n
排列数公式
A =n(n-1)(n-2)(n - m+1)
解：（l）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学， 对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同 3 的送法种数是
A5 5 4 3 60
（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的书都有5种 不同的方法，因此送给3名同学每人1本书的不同方法的 种数是 5×5×5＝125 答：分别有60种和125种不同送法．
练习
练习1
(1)4个人从9本不同的书中每人借1本，一 共有多少种不同的借法？ (2)有4本不同的书，9个人去借，每人限定 最多借1本书，并且全部借出，一共有多少 种不同的借法？ (2)有4本不同的书，9个人去借，并且完全 部借出，一共有多少种不同的借法？
练习2
1、6个人站成前后两排照相，要求前排2人， 后排4人，那不同的排法共有（ ） 2、6个人站成前后两排照相，要求前排3人， 后排3人，那不同的排法共有（ ） 3、6个人站成前后3排照相，要求前排2人，中 排2人，后排2人，那不同的排法共有（ ）
m n
A =n
1 n
n! A =n(n-1)(n-2)(n - m+1)= (n-m)!
m n
数学运用
例1 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加， 每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共 进行多少场比赛？ 分析:由于任何两队间进行1次主场比赛与1次客场 比赛,所以一场比赛相当于从14个不同元素中任取2 个的一个排列.一个排列对应一场比赛. 故总共进行 的比赛场次数等于排列数.
排列2
自学指导：
1.买一张5角的门票，你想怎样付钱呢？
2. 如果你有若干张1角、2角、5角的钱，你能 想出多少种付钱的方法呢？
可以怎样付钱呢？
1.
2. 3. 4.
试试看： 用 1、2 两个数字能组成几个 两位数？
12
两个
21
摆一摆
温馨提示：怎样摆才能保证不漏 掉 数，也不重复呢？
用 1、2 、3三个数字能摆成几个两位数？
当堂训练三 每两个人合照一张照片，5个人需要照几次？
12 1 3
14
15
2 3 24 2 5 34 35 45
有几种穿法？
穿法一
穿法二
穿法三
穿法四
当堂训练二
如果每两个人进行一场比赛，4个人要进 行几场？（用1、2、3、4分别代表4个运动员）
1 2 13 1 4
23 24
43
考考你：
12个 用 1、2 、3、4这4张数字卡片能摆成几个两位数？（
12 13 14 21 23 24
31 32 34 41 42 43
12 13 21 23 31 32
如果 每两个人握一次手，三个人握几次手？
3次 1次 2次
• 1、2、3能组 成的两位有： • 12 21 • 13 31 • 23 32
•
每两人握一 次手，三人 一共握3次 手
① ③ ②
① ③
②
为什么三个数字能组成6个两位数，而三个人只能握三次手呢？
当堂训练一
1.买一张5角的门票，你想怎样付钱呢？
2. 如果你有若干张1角、2角、5角的钱，你能 想出多少种付钱的方法呢？
可以怎样付钱呢？
1.
2. 3. 4.
试试看： 用 1、2 两个数字能组成几个 两位数？
12
两个
21
摆一摆
温馨提示：怎样摆才能保证不漏 掉 数，也不重复呢？
用 1、2 、3三个数字能摆成几个两位数？
当堂训练三 每两个人合照一张照片，5个人需要照几次？
12 1 3
14
15
2 3 24 2 5 34 35 45
有几种穿法？
穿法一
穿法二
穿法三
穿法四
当堂训练二
如果每两个人进行一场比赛，4个人要进 行几场？（用1、2、3、4分别代表4个运动员）
1 2 13 1 4
23 24
43
考考你：
12个 用 1、2 、3、4这4张数字卡片能摆成几个两位数？（
12 13 14 21 23 24
31 32 34 41 42 43
12 13 21 23 31 32
如果 每两个人握一次手，三个人握几次手？
3次 1次 2次
• 1、2、3能组 成的两位有： • 12 21 • 13 31 • 23 32
•
每两人握一 次手，三人 一共握3次 手
① ③ ②
① ③
②
为什么三个数字能组成6个两位数，而三个人只能握三次手呢？
当堂训练一
排列2
(1)解法一(位置分析法):因为甲不站左右两端,故先从甲以外的 5 个人 中任选 2 人站在左右两端,有A2 5 种;再让剩下的 4 个人站在中间的 4 个位置
2 4 上,有A4 4 种,由分步乘法计数原理共有A 5 ·A 4 =480 种站法.
解法二(无素分析法):因为甲不能站左右两端,故先让甲排在左右两端
������ -1 ������ -1 ������ -1
= A������ ������ +1 .
探究一排列的概念理解
排列的定义包括三个方面:(1)要排列的元素两两不相同;(2)取出元 素;(3)按一定的顺序排列,只有这三个方面同时满足才是排列问题. 【例 1】下列问题是排列问题吗?并说明理由. (1)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可 能? (2)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个做除法,其结果有多少种不同的可 能? (3)会场有 50 个座位,要求选出 3 个座位有多少种方法?若选出 3 个座 位安排 3 个客人入座,又有多少种方法? 思路分析:判断是否为排列问题的关键是:选出的元素在被安排时,是否 与顺序有关.若与顺序有关,就是排列问题,否则就不是排列问题.
3 5 5
≠ 3 ,也就是减法(除法)不满足交换律,存在被减(除)数和减(除)
数的区别,取出的两个数就与顺序有关了,这就属于排列问题.
2.排列数与排列数公式 (1)排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数, 叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号A������ ������ 表示.
错因分析二:甲安排在最后一棒,且乙安排在第一棒已包含在甲安排在 最后一棒或乙安排在第一棒的情形中,因此重复计算了A5 5 种情形.
排列2
解法一（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有 种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有 种方法所以一共有 ＝2400种排列方法．
解法二：（排除法）若甲站在排头有 种方法；若乙站在排尾有 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 －2 ＋ =2400种．
⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列—— =720
⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：
第一步甲、乙站在两端有 种；
第二步余下的5名同学进行全排列有 种则共有 =240种排列方法
⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
德育目标
发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学重点
1、排列的定义
2、排列数公式
教学难点
1、定义的理解
2、公式的应用
教学方法
启发式、讨论研究发现法
使用教具
课外作业
课后体会
备注
教学内容或板书设计
附记
一、复习
1.加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法……，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
例3：7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法）
解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有 种方法，所以一共有
解法二：（排除法）若甲站在排头有 种方法；若乙站在排尾有 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有 种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 －2 ＋ =2400种．
⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列—— =720
⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：
第一步甲、乙站在两端有 种；
第二步余下的5名同学进行全排列有 种则共有 =240种排列方法
⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
德育目标
发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学重点
1、排列的定义
2、排列数公式
教学难点
1、定义的理解
2、公式的应用
教学方法
启发式、讨论研究发现法
使用教具
课外作业
课后体会
备注
教学内容或板书设计
附记
一、复习
1.加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法……，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
例3：7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法）
解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有 种方法，所以一共有
排列2
说明：某些元素不相邻时，可先排其它元素，再将 这些不相邻元素插入空挡。称为“插空法”
（7）全体排成一排，甲、乙、丙三人的顺序一定
（定序问题除阶乘法）
解：
7 A7 7! 840 3 A3 3!
另：甲、乙、丙三人的顺序一定，就是有顺序， 无位置，相当于7个位置排4个元素 7! 4 ∴ A7 840 7 A7 7! 3! 练习：甲、乙顺序一定 （ A2 2! 2520 ） 2 说明：n个不同元素中m个元素顺序一定的排列 问题的排法
位置排6个人 ∴ A6 720 7 法2 （排除法）7个任意排，有 A7 种，
6
1 6 A6 A6 其中甲不在中间 ，有 7 1 6 A7 A6 A6 7!6 6! 720 ∴甲在中间有
2 （2）分两步，第1步：排两端 A2
5 A5 第2步：排中间5人
由分步计数原理
2 5 A2 A5 2 120 240
n An m Am
（8）全体排成一排，其中女生不相邻. （9）全体排成一排，其中男生不相邻.
（10）排成前后两排，前排3人，后排4人。（多排问题单排法） (11)排成前后两排照，前排3人，后排4人，但其中甲 必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ （12）全体排成一排，甲要在乙的左边。（对称问题）
（6）全体排成一排，甲、乙两人必须不相邻（不相邻问题插空 5 法） A5 种， 解：（法1）甲、乙不相邻，先排其余5人，有 A62 种， 5人排列共有6个空，从中选2个空排甲、乙，有 ∴共有 A5 A2 120 6 5 3600
5 6
（法2）总的排法减去相邻的排法，（间接法）
7 6 2 A7 A6 A2 3600
8 A8 A
排列2
排列定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按 照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列． 排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一 定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列 问题的重要标志． 根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排 列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同． 如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯 定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但 摆的顺序不同，那么也是不同的排列．
引例
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加
某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动， 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
解决这个问题，需分2个步骤： 第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有 3种方法； 第2步，确定参加下午活动的同学，只能从余下的2人 中选，有2种方法． 根据分步计数原理，共有：3×2＝6 种不同的方法．
小结
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺 序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不 同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不 同的排列）． 由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也 就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元 素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．
每日贵州 ； 餐饮资讯 ；
引例
问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个
按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？
由此可以写出所cda dba
abd adc bcd cad cdb dbc
acb bac bda cba dab dca
acd bad bdc cbd dac dcb
排列2
4. 9个学生排成前后两排，前排4人，后排 个学生排成前后两排，前排 人 个学生排成前后两排 5人，若其中甲、乙两人必须相邻，则共 人 若其中甲、乙两人必须相邻， 有多少种不同的排法？ 有多少种不同的排法？
5. 3男3女站成一排 男 女站成一排 女不相邻， （1）若要求 女不相邻，有多少种不同 ）若要求3女不相邻 站法？ 站法？ （2）若要求男女相间排列，有多少种不 ）若要求男女相间排列， 同站法？ 同站法？
7.一天课表中，6节课要安排 门理科，3门 一天课表中， 节课要安排 门理科， 门 节课要安排3门理科 一天课表中 文科，要使3门理科中的数学与物理连排 门理科中的数学与物理连排， 文科，要使 门理科中的数学与物理连排， 化学不得与数学、物理连排， 化学不得与数学、物理连排，不同的排课 方式有多少种？ 方式有多少种？
3.不相邻问题（插空法） 不相邻问题（插空法） 不相邻问题 例2. 7位同学站在一排 位同学站在一排 （1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多 ） 少种？ 少种？ （2）甲、乙、丙三同学都不能相邻的排法 ） 共有多少种？ 共有多少种？
ห้องสมุดไป่ตู้
练习 1.某商场中有 个展架排成一排，展示 某商场中有10个展架排成一排 展示10 某商场中有 个展架排成一排， 台不同的电视机，其中甲厂5台 乙厂3台 台不同的电视机，其中甲厂 台，乙厂 台， 丙厂2台 若要求同厂的产品分别集中， 丙厂 台，若要求同厂的产品分别集中， 且甲厂产品不放两端， 且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式 有多少种？ 有多少种？
6. 3个女生和 个男生排成一排 个女生和5个男生排成一排 个女生和 （1）如果女生必须全排在一起，有多少种 ）如果女生必须全排在一起， 不同排法？ 不同排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同 ）如果女生必须全分开， 排法？ 排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不 ）如果两端都不能排女生， 同排法？ 同排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不 ）如果两端不能都排女生， 同排法？ 同排法？
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排列2
1. 什么叫排列？从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素〔那个地点的被取元素各不相同〕按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． .表示为 .
2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.
3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.
4. 从n 个不同元素中取出m 〔n m ≤〕个元素的排列数是 .
5. 什么叫全排列？n 个元素的全排列表示为 = ，这是 个连续自然数的积，n 个元素的全排列叫做 ，表示为 .
6. 用全排列〔或阶乘〕表示的排列数公式为 .
【例题与练习】
1. 运算：
①38p = ②316p = 33p = ④44p =
⑤55p = ⑥66p = 22p =
2. 某段铁路上有12个车站，共需预备多少种一般客票？
3. 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次能够任挂一面、二面或三面，同时不同的顺序表示不同的信号，一共能够表示多少种不同的信号？
小结：解有关排列的应用题时，先将咨询题归结为排列咨询题，然后确定原有元素和取出元素的个数，即n 、m 的值.
4. 用0到9这十个数字，能够组成没有重复数字的三位数 个.
5. 用排列数表示以下各式：
① 10⨯9⨯8⨯7⨯6= ② 24⨯23⨯22⨯…⨯3⨯2⨯1= ③ n •(n-1) •(n-2) •(n-3)=
6.①从x 个不同元素中任取3个的排列数为720，那么x= ；
②1111++--=+n n n n n n xp p p ，求x 的值.
小结：解有关排列数的方程关键在于用排列数公式将方程转化为关于x 的一元方程.
【课后检测】
1.由数字1、2、3、4、5、6能够组成没有重复数字的五位数 个； 自然数 个；三位数 个.
2.5个人排成一排，共有 种不同的排法.
3.从5个人中任选两人分不担任班长和团书记，所有选法的总数为 .
4.求以下各式中的n ：
① 89557=-n n n p p p ② 33210n n p p = ③ 4345=+n
n n p p p
5.求证：① 11--=m n m n np p ② 11211--++=-n n n n n n p n p p
③
()()()!
!1!1!!!1k n k n k n k n ⋅+-=--+。