1.2排列及其性质

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高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3

第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题．探究2 组合数及组合数性质的运用例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5，当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法．拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________．答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。

1.2 排列-王后雄学案

张喜林制1.2 排列教材知识检索考点知识清单1．一般地，从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的2．一般地，我们把从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的，用符号表示．3．排列数公式：=mn A = ，其中,,+∈N m n 且.n m ≤4．全排列公式：=n n A n n A ,称为n 的阶乘，通常用n ！表示，即=n n A要点核心解读1．排列的定义(1)定义：一般地，从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)说明：①如无特别说明，取出的m 个元素都是不重复的．②排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”，③从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列．④在定义中规定,n m ≤如果,n m <有的书上称做选排列；如果,n m =称做全排列．⑤在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．⑥如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n 个不同元素中取出m 个元素后，再安排这m 个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列，例如，从3，5，7，10，13五个数中任取两个数相加（相乘），可得到多少个不同的和（积），因为加法（乘法）满足交换律，它们的和（积）与顺序无关，因此就不是排列问题，从这五个数中任取两个数相减（相除），一共有多少个不同的差（商），因为,3553,3553=/-=/-也就是减法（除法）不满足交换律，存在被减（除）数和减（除）数的区别，取出的两个数就与顺序有关了，这就属于排列问题，而检验它是否有顺序的依据就是变换元素不同的位置，看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．2．排列数的定义(I)排列数定义：一般地，我们把从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号mn A 表示．(2)排列数定义的理解：①从6个不同元素中，取出4个元素的排列数表示为;46A 从5个不同元素中，取出3个元素的排列数表示为;35A 从7个不同元素中，取出7个元素的排列数表示为.77A ②“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同的元素中，任取)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；排列数是指“从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数，比如从3个元素a 、b 、c 中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab ，ac ，ba ，bc ，ca ，cb ，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号m n A 表示排列数，在此题中.623=A3．排列数公式 (1)排列数公式：),1()2)(1(+---=m n n n n A m n 其中,,+∈N m n 且.n m ≤第一步：第一位可以从n 个元素中任选一个填上，共有n 种填法，第二步：第二位只能从余下的n-1个元素中任选一个填上，共有n-l 种填法，第三步：第三位只能从余下的n-2个元素中任选—个填上，共有n -2种填法．依此类推，当前面的m-l 个空位都填上后，第m 位只能从余下的)1(--m n 个元素中任选一个填上，共有1+-m n 种填法．这m 步都完成，才得到一个排列，根据分步计数原理，全部填满m个空位共有.).2)(1( --n n n )1(+-m n 种填法．所以有.).2)(1( --=n n n A mn ⋅+-)1(m n 这里， ,,+∈N m n 且m≤n，这个公式叫做排列数公式．特别地，当n=m 时，.3)2()1(⋅-⋅-⋅== n n n A A n n m n.12⋅这个公式指出，n 个不同元素全部取出的排列数，等于自然数1到n 的连乘积．[说明] ①这个公式在n m N n m ≤∈+,,的情况下成立，m>n 时不成立．②排列数公式的推导过程是不完全归纳法，不是严格的证明，要严格证明排列数公式，可采用数学归纳法证明．这个证明不作要求，今后直接应用公式即可，③要从以下几点加深对排列数公式的记忆和理解：a.排列规律，从大到小；b ．最后一个数为)1(+-m n ；c ．数字个数为m 个；d ．公式的正、逆应用．(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示：①全排列：n 个i 素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排阶乘：自然数l 到n,的连乘积，叫做n 的阶乘，用n!表示，即！n A nn =③由此排列数公式）（1)2)(1(+---=m n n n n A m n =⋅⋅-⋅⋅-⋅+-⋅-⋅-⋅=12).(12).()1().2()1( m n m n m n n n n .)!(!m n n -所以⋅-=)!(!m n n A mn4.简单排列应用题的基本解法 (1)排列应用题的最基本解法：①直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素（又称元素分析法）；或以位置为考察对象，先满位置的要求，再考虑一般位置（又称位置分析法）．②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．③相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素．④相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置(2)排列数的派生性质．⋅+=++=+n n n n n n ).1()!1(,!).1()!1(①)!.1(-n!.)!1(n n A n nn -+=⋅②在解题过程中要学会灵活应用．典例分类剖析考点1 与排列数有关的运算命题规律解方程，解不等式，解有关排列的应用题．[例1] (1)计算：;A 2459885848-+A A A (2)解方程;43198-=x x A A(3)解不等式;6288-<x x A A(4)若,N n ∈将)69)(68()56)(55(n n n n ---- 用排列数符号表示．[解析] (1)计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数间的关系；先化简再求值，可以减少运算量．(2)、(3)两小题是利用排列数公式，消去符号,mn A 转化为关于x 的方程或不等式．(4)逆用排列数公式．[解] (1)原式⋅==-+=-⨯⨯⨯+=541512924849234424884848A A A A (2)由,43198-=x x A A 得,)!10(!94)!8(!83x x -⨯=-⨯化简得-2x ,07198=+x解得.13,621==x x又,8≤x 且∴≤-,91x 原方程的解是.6=x(3)先求定义域⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++∈⋅∈≤<⇒≤-<≤<N x N x x x x x .}82|{,820,80且原不等式可化为,)!10(!8.6)!8(!8x x -<-即,)!8()9()10(!8.6)!8(!8x x x x -⋅-⋅-<-化简得：⋅--<)9)(10(61x x,82≤<x∴ 原式可化为：,6)9)(10(<--x x 即.084192<+-x x.127<<∴x又,82+∈≤<N x x 且,8=∴x∴ 原不等式的解集为⋅}8{(4)先确定最大数，即69 -n ．再确定因式的个数为-69（.151)55()=+--n n 则由排列数公式得.1569n A -[点拨] (1)在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意，m n A 中++∈∈N n N m ,且n m ≤这些限制条件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉，建议：如(3)可先求定义域，那么在解题过程中可直接约分，避免讨论．(2)利用排列数公式灵活地解决问题的前提条件是准确把握排列数公式的结构特征mn A 就是从n 起，依次减“l ”的m 个正整数之积，熟练掌握这一结构特征，就能活用排列数公式．[特别提示],)!8)(9)(10()!10(x x x x ---=-所以(3)中两边可同时乘以)!8(x - 母题迁移 1．(1)计算：;32332211nn nA A A A +++++(2)解不等式.4221111≤≤-+ n n n n A A 考点2 排列的定义及其理解命题规律考查排列的定义及其如何判断某个问题是否为排列问题． [例2] 判断下列问题是否是排列问题：(1)从1,2，3，5中任取两个不同的数相减（除）可得到多少个不同的结果？ (2)从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘）可得到多少个不同的结果？ (3)某班有50名同学，约定每两人通一次信，共需写信多少封？ (4) 某班有50名同学，约定相互握手一次，共需握手多少次？(5)平面内有10个点，无任何三点共线，由这些点可连射线多少条？[解析] 判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系，具体问题中取出的元素与顺序有无关系，由问题的条件和性质决定，认清问题的性质是作出正确判断的前提与关键．[解]根据排列的定义可知：(1)、(3)、(5)是排列问题．[点拨] 判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n 个不同元素中取出m 个元素后，再安排这m 个元素时是有序还是无序，有序则是排列；否则不是排列母题迁移2. 判断下列问题是否是排列问题：(1)从l 到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的选取方法？考点3．简单排列应用题的解法命题规律站队问题，其中以相邻与不相邻为主；排数问题，其中若含O 时，O 不能排在首位． [例3] 有四个男生和三个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？ (1)甲排在正中间；(2)甲不在排头，乙不在排尾； (3)三个女生排在一起； (4)三个女生两两都不相邻．[解析] 本题主要考查有限制条件的排列问题，注意对特殊元素的处理．[解] (1)甲排在正中间位置，其他6人排在余下的六个位置上，共有720.66=A 种排法．(2)分四类考虑：①甲不在排头，乙不在排尾，甲也不在排尾，乙也不在排头（即甲、乙在中间5个位置上），有5525A A ⋅ 种排法；②乙在排头，甲不在排头也不在排尾，有551511A A A ⋅⋅种排法； ③甲在排尾，乙不在排头也不在排尾，有551511A A A ⋅⋅种排法：④甲在排尾且乙在排头，共有55A 种排法．根据分类计数原理，共有37202555515115525=++A A A A A A （种）．(3)（捆绑法）分两步：先把三个女生算一个元素与其他四个男生排，有55A 种排法，再排三个女生有33A 种排法，由分步计数原理，有7203355=⋅A A 种不同排法．(4)（插空法）分两步：先排四个男生有44A 种排法，再让三个女生插入5个空中，有35A 种插法，由分步计数原理，共有.44A 144035=A 种不同排法．[点拨] 本题是有限制条件的排列问题，这类问题依限制条件一般有下列三种题型：(1)某元素只能在某个位置时，可先把这个元素排在这个位置上；不能在某个位置时，可先让其他元素排在这个位置上，或先把这个元素排在其他位置上．(2)某些元素相邻或不相邻，相邻的可“捆绑”成一个新元素，参与整体排列，然后这些相邻元素再内排；不相邻的元素去插前者元素之间的空——俗称“插空法”．(3)某些元素顺序一定，可先求总的排列数，再求这些特殊元素的排列数，则符合条件的排列数为前者的排列数除以后者的排列数．母题迁移 3．某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同排课程表的方法？ [例4] 用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？[解析] 该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题． [解] (1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有35A 个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有14A 种），十位和百位从余下的数字中选（有 24A 种），于是有2414A A ⋅个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有2414A A ⋅个．由分类计数原理知，共有四位偶数：1562414241435=⋅+⋅+A A A A A （个）． (2)五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有45A 个；个位上的数字是5的五位数有3414A A ⋅个故满足条件的五位数共有216341445=⋅+A A A （个）． (3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如共3514A A ⋅个；第二类：形如共有2412A A ⋅个；第三类：形如共有1312A A ⋅个；由分类母题迁移计教原理知，比1325大的四位数共有：270131224123514=⋅+⋅+⋅A A A A A A （个）．[点拨] 不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、太小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决，这类问题的隐舍条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．母题迁移 4．用O，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，这样的六位数共有( )．A．300个 B．464个 C．600个 D．720个5.4个女孩和6个男孩围成一圈，其中任意两个女孩都不相邻，则有多少种不同的排法？优化分层测训学业水平测试1．a ，b ，c ，d ，e 共5人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是( )种．20.A 16.B 10.C 6.D2．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有( )． A ．60个 B.48个 C ．36个 D ．24个3.3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是( )．1260.A 120.B 240.C 720.D4．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可以组成个以b 为首的不同的排列，它们分别是 5．从2,3,2,2,1,0π这六个数中，不重复的任取两个数作为直线b x y +=αtan 的倾斜角和截距，共可组成：(1) 条不同的直线；(2) 条平行于x 轴的直线．6．计算： ;)1(10104959A A A A -+ ⋅+++++)!1(!43!32!21)2(n n高考能力测试（测试时间：60分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列各式中，与排列数mn A 相等的是( )．)!(!.n m n A - )()2)(1(.m n n n n B --- n n A m n n C 11-+-⋅ 111.--m n n A A D2．若,+∈N a 且,20<a 则)34()28)(27(a a a --- 等于( )．827.a A A - a a A B --2734. 734.a A C - 834.a A D -3．（2010年北京海淀区模拟题）7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )． A ．720种 B ．360种C.1440种 D.120种4．三张卡片的正反两面分别写上数字1和2，3和4，5和6．若用这三张卡片上的数字放在桌面上排成一行组成一个三位数，则可能得到的不同的三位数的个数是( )． 120.A 36.B 48.C 20.D 5．（2010年重庆高考题）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )．A ．504种B ．960种 C.1008种 D.1108种 6．（2011年全国高考题）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友l 本，则不同的赠送方法共有( )． A.4种 B ．10种 C.18种 D ．20种7．某歌舞团要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，要求舞蹈节目不排第一，并且任何2个舞蹈节目不连排，不同的排法种数是( )．5838.A A A 3355.A A B 3555.A A C 3855.A A D 8．（2009年四川高考题）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )． 60.A 48.B 42.C 36.D二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）9．由O ，1，3，5，7，9这六个数字可组成个没有重复数字的六位奇数．10.将数字 1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有种．11.（改编题）点Z(a ，b)的横、纵坐标可以从-3，-2，-1，0，1，2，3中取两个不同的数，以x 轴的非负半轴为始边、向量（O 是原点）所在的射线为终边的角记为θ，当πθπ24<<时，不同的点Z共有个．三、解答题（共45分）12.（8分）列出下列各题的所有排列：(1)从4个不同元素中任取2个元素的所有排列；(2)从5个不同元素中任取2个元素的所有排列．13.（8分）(1)有5个不同的科研课题，从中选3个由高二(3)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研课题，高二(3)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一项，共有多少种不同的安排方法？14.（11分）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的种数． (1)选5名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； (3)全体站成一排，其中甲、乙不在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； (5)全体站成一排，男、女各站在一起； (6)全体站成一排，男生必须排在一起； (7)全体站成一排，男生不能排在一起； (8)全体站成一排，男、女生各不相邻； (9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人； (10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变．15.（9分）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4310的四位偶数．16.（9分）8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员 1人．(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？。

1.2排列(2)

380
2. 在 7名运动员中选出 4名组成接力队，参加 4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？
400
解排列问题的常用技巧
一.特殊元素的“优先安排法” 例.用0到9这10个数字,可组成多少个没有重复数字的 (1)五位奇数? (2)大于30000的五位偶数?
解 : (1) A A A 5 8 8 7 6 13440(个)
3 n
二、例题选讲：
例１.某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解：如果把3面旗看成3个元素，则从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的一个排列对应一种信号．
练习：
1.20位同学互通一封信，那么通信的次数是多少？
三.顺序固定问题用“除法”. 例.五人排队,其中甲在乙前面的排法有多少种?
四.分排问题用“直排法”. 例. 7人坐两排座位,第一排坐3人,第二排坐 4人,有多少种排法?
练习:
7名师生站成一排表演节目,其中老师1人,男生
4人,女生2人,在下列情况下,各有多少种不同的
站法？
(1)两名女生相邻而站;
(2)4名男生互不相邻;
二.相邻问题用“捆绑法”,不相邻问题用“插空法”. 例. 7位同学排成一列,其中有4名男生,3名女生. (1)若甲、乙两位同学必须排在两端;
(2)若甲、乙两位同学不得排在两端;
(3)若男生必须相邻; (4)若三名女生互不相邻; (5)若四名男生互不相邻; (6)若甲、乙两名女生相邻且不与第三名女生相邻. 上述情况中,各有多少种排法?
2.排列数与排列数公式:

12高等代数排列

1.2 高等代数排列高等代数是数学中的一个重要分支，主要研究线性代数、多项式代数和群表示论等基本概念和性质。

在高等代数中，排列是一个重要的概念，下面我们将对排列的概念进行详细的介绍。

定义 1 (排列)在整数集合 {1, 2, , n} 中，一个排列是指一个有序的子集。

换句话说，排列是由集合中的元素按照一定的顺序组成的序列。

例如，在集合 {1, 2, 3, 4} 中，一个可能的排列是 {2, 1, 4, 3}，其中数字 2、1、4 和 3 按照这个顺序排列而成。

需要注意的是，排列中的元素与元素的位置有关，即不同的排列对应着集合中元素的不同排列顺序。

性质 1 (排列的逆序数)在排列中，如果前面的数字大于后面的数字，则它们之间形成了一个逆序。

例如，在排列 {2, 1, 4, 3} 中，数字 2 在数字 1 的前面，因此它们之间形成了一个逆序。

类似地，数字 4 在数字 3 的前面，它们之间也是一个逆序。

因此，这个排列中共有 2 个逆序。

逆序数是一个用来描述排列中逆序数量多少的指标。

对于一个长度为 n 的排列，其逆序数的计算方法是从前往后遍历该排列中的相邻数字对，如果前面的数字大于后面的数字，则它们之间形成了一个逆序。

例如，在排列 {2, 1, 4, 3} 中，数字 2 和 1、4 和 3 之间形成了逆序，因此该排列的逆序数为 2。

性质 2 (相邻数字的对换)如果将排列中的两个相邻数字对换，则可以得到一个新的排列。

例如，将排列{2, 1, 4, 3} 中的数字 1 和 2 对换，可以得到排列 {1, 2, 4, 3}。

这个对换操作会影响排列的逆序数。

例如，在原始排列中，数字 2 和 1、4 和 3 之间形成了逆序，因此该排列的逆序数为 2。

在对换操作后，数字 1 和 2、3 和 4 之间形成了逆序，因此新排列的逆序数为 2。

对换操作是高等代数中的一个基本操作，通过对换相邻数字可以得到不同的排列。

通过对排列中的相邻数字进行对换，可以得到所有可能的排列。

高中数学第一章计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合(第2课时)教案新人教A版选修2-

1.2.2 组合第二课时教学目标知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学过程引入新课提出问题1：判断以下问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．活动设计：教师提问．活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合与排列的区别和联系：(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列那么需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成以下两个练习：练习1：求证：C m n ＝n m C m －1n －1.(本式也可变形为：mC m n ＝nC m －1n －1)练习2：计算：①C 310和C 710；②C 37－C 26与C 36；③C 411＋C 511. 活动设计：学生板演．活动成果：练习2答案：①120,120 ②20,20 ③792.1．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示．2．组合数的公式：C m n＝A mn A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C mn ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m∈N ，且m≤n)．设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．探索新知提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充．活动成果：1．性质：(1)C mn ＝C n －mn ；(2)C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .2．证明：(1)∵C n －mn ＝n ！(n －m)！[n －(n －m)]！＝n ！m ！(n －m)！，又C mn ＝n ！m ！(n －m)！，∴C m n ＝C n －mn .(2)C m n ＋C m －1n ＝n ！m ！(n －m)！＋n ！(m －1)！[n －(m －1)]！＝n ！(n －m ＋1)＋n ！m m ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1＋m)n ！m ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！m ！(n －m ＋1)！＝C mn ＋1，∴C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．运用新知类型一：组合数的性质 1(1)计算：C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (2)求证：C nm ＋2＝C nm ＋2C n －1m ＋C n －2m .(1)解：原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210；(2)证明：右边＝(C nm ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C nm ＋1＋C n －1m ＋1＝C nm ＋2＝左边． [巩固练习]求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝n2n －1.证明：左边＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝C 11C 1n ＋C 12C 2n ＋C 13C 3n ＋…＋C 1n C nn ，其中C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数．设某班有n 个同学，选出假设干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i 分类(i ＝1,2，…，n)，那么选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的n －1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n －1种，所以选法总数为n2n －1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．[变练演编]求证：C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝n(n ＋1)2n －2.证明：由于i 2C in ＝C 1i C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．假设组长和副组长是同一个人，那么有n2n －1种选法；假设组长和副组长不是同一个人，那么有n(n－1)2n －2种选法．∴共有n2n －1＋n(n －1)2n －2＝n(n ＋1)2n －2种选法．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．类型二：有约束条件的组合问题2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700种．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12×C 298＝9 506种．(3)解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12×C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 12×C 298＋C 22×C 198＝9 604种．解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604种．点评：“至少〞“至多〞的问题，通常用分类法或间接法求解． [巩固练习]1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C 34，C 24×C 16，C 14×C 26种方法，所以，一共有C 34＋C 24×C 16＋C 14×C 26＝100种方法．解法二：(间接法)C 310－C 36＝100.2．按以下条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ (1)甲、乙、丙三人必须当选； (2)甲、乙、丙三人不能当选； (3)甲必须当选，乙、丙不能当选； (4)甲、乙、丙三人只有一人当选； (5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；解：(1)C 33C 29＝36；(2)C 03C 59＝126；(3)C 11C 49＝126；(4)C 13C 49＝378； (5)方法一：(直接法)C 03C 59＋C 13C 49＋C 23C 39＝756，方法二：(间接法)C 512－C 33C 29＝756；(6)方法一：(直接法)C 13C 49＋C 23C 39＋C 33C 29＝666，方法二：(间接法)C 512－C 03C 59＝666. [变练演编]有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少X 不同的？解：分三类：第一类：2名英、法语皆通的均不选，有C 45C 44＝5种；第二类：2名英、法语皆通的选一名，有C 12C 35C 44＋C 12C 45C 34＝60种；第三类：2名英、法语皆通的均选，有A 22C 35C 34＋C 25C 44＋C 45C 24＝120种．根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的． [达标检测]1．计算：(1)C 399＋C 299；(2)2C 38－C 39＋C 28.2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求X 、王两人中至多有一个人参加，那么有不同的选法种数为________．3．从7人中选出3人参加活动，那么甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种．答案：课堂小结1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题． 2．方法收获：化归的思想方法． 3．思维收获：化归的思想方法．补充练习[基础练习]1．求证：(1)C mn ＋1＝C m －1n ＋C mn －1＋C m －1n －1；(2)C m ＋1n ＋C m －1n ＋2C mn ＝C m ＋1n ＋2.2．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有______．3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有1件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有多少种？4．从编号为1,2,3，…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，那么一共有多少种不同的取法？38＝56；3．解：(1)C490＝2 555 190；(2)C4100－C490＝C110C390＋C210C290＋C310C190＋C410＝1 366 035；(3)C4100－C410＝C190C310＋C290C210＋C390C110＋C490＝3 921 015.4．解：分为三类：1奇4偶有C16C45；3奇2偶有C36C25；5奇有C56，所以一共有C16C45＋C36C25＋C56＝236种不同的取法．[拓展练习]现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，那么有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C23；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C13；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C23.所以一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42种方法．设计说明本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料相同元素分组分配问题解决方法：档板法．(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，那么每个班级至少一个名额的分配方法有______种；(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，那么使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有______种．解析：利用档板法．(1)相当于在排成一排的10个“1〞所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C79种方法；(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C26种方法．注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1＋x2＋…＋x m＝n(m，n∈N，m，n≥2)的自然数解有C m－1n＋m－1组．简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换y i＝x i＋1(i＝1,2，…，m)，那么方程x1＋x2＋…＋x m＝n的自然数解的组数，即y1＋y2＋…＋y m＝n＋m的正整数解的组数，相当于把n＋m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n＋m－1个球的间隙中放置m－1个档板的方法种数，即C m－1n＋m－1.。

高三数学排列知识点

高三数学排列知识点一、排列的定义与性质排列是指从一组元素中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列的方式。

排列的元素个数称为排列的项数。

1.1 排列的定义在高三数学中，排列是指从n个不同元素中，取出m（1≤m≤n）个元素，按照一定的顺序进行排列的不同方式。

1.2 排列的计算a) 从n个不同元素中，取出m个元素进行排列，计算公式为Anm = n! / (n-m)!。

b) 当m=n时，全排列即Anm = n!。

c) 当m>n时，不存在排列。

二、排列的分类2.1 重复排列重复排列是指从n个不同元素中，允许重复取出m个元素进行排列的方式。

记为Anm。

2.2 不重复排列不重复排列是指从n个不同元素中，不允许重复取出m个元素进行排列的方式。

记为Cnm或Pnm。

三、排列的应用3.1 排列的计数原理在实际问题中，排列有很多应用，其中计数原理是排列常用的一个应用。

a) 乘法原理：如果一个事件可以分为k个步骤来完成，第i 个步骤有ni种方式完成，则整个事件有n1 * n2 * ... * nk种完成方式。

b) 加法原理：如果一个事件可以分为k个情况来完成，第i 个情况有ni种方式完成，则整个事件有n1 + n2 + ... + nk种完成方式。

3.2 难题解析a) 难题1：有n个不同的物品，求由这n个物品所组成的一切排列的个数。

b) 难题2：有n个不同的物品，从中选出m个物品，求由这m个物品所组成的一切排列的个数。

c) 难题3：有n个不同的物品，从中选出m个物品进行排列，其中某些物品有相同的，求由这m个物品所组成的一切排列的个数。

四、全排列4.1 全排列的定义全排列是指从n个不同元素中，取出n个元素按照一定的顺序进行排列的方式，每个元素只能使用一次。

4.2 全排列的计算全排列的计算公式为An = n!4.3 全排列的性质a) n个元素进行全排列，共有n!个不同的排列方式。

b) 每个元素出现在每个位置上的次数相同，都为(n-1)!c) 全排列的逆运算为全排列的倒序。

高中数学第一章计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列(第3课时)教案新人教A版选修2-

1.2.1 排列第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归〞的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归〞思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学过程复习回顾提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决以下排列问题．(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5 040.(2)根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66＝720.(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A22种；第二步余下的5名同学进行全排列有A55种，所以，共有A22·A55＝240种排列方法．(5)第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A25种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法，所以一共有A25A55＝2 400种排列方法．典型例题类型一：捆绑法例17位同学站成一排，(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑〞在一起看成一个元素，与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22＝1 440种．(2)方法同上，一共有A55A33＝720种．(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A25A44A22＝960种．解法二：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，假设丙站在排头或排尾有2A55种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960种．解法三：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A14种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑〞，所以，这样的排法一共有A14A55A22＝960种．(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑〞在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A33A44A22＝288种．点评：对于相邻问题，常用“捆绑法〞(先捆后松)．[巩固练习]某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，假设要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，那么不同的陈列方式有多少种？解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，乙厂3台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，丙厂2台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A22种排法，共有A55A33A22A22＝2 880种不同的排法．[变练演编]7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？(2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A15种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有A15A55A22＝1 200种不同的排法．(2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有A25种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有A25A44A22＝960种不同的排法．类型二：插空法例27位同学站成一排，(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600；方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置(称为“空〞)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A26种方法，所以一共有A55A26＝3 600种方法．(2)先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空〞，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空〞有A 35种方法，所以一共有A 44A 35＝1 440种方法．点评：对于不相邻问题，常用“插空法〞(特殊元素后考虑)．[巩固练习]5男5女排成一排，按以下要求各有多少种排法：(1)男女相间；(2)女生按指定顺序排列．解：(1)先将男生排好，有A 55种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空〞(包括两端，但不能同时排在两端)中，有2A 55种排法，故此题的排法有N ＝2A 55·A 55＝28 800种．(2)方法1：N ＝A 1010A 55＝A 510＝30 240；方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A 510种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法．故此题的排法为N ＝A 510×1＝30 240种．[变练演编]5男6女排成一列，问(1)5男排在一起有多少种不同排法？(2)5男不都排在一起有多少种排法？(3)5男每两个不排在一起有多少种排法？(4)男女相互间隔有多少种不同的排法？解：(1)先把5男看成一个整体，得A 77，5男之间排列有顺序问题，得A 55，共A 77A 55种．(2)全排列除去5男排在一起即为所求，得A 1111－A 77A 55.(3)因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得A 66A 57.(4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得A 66A 55.[达标检测]1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A ．1 440种B ．960种C．720种 D．480种2．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是( )A．A88 B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A．42 B．96C．48 D．124答案：课堂小结1．知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式．2．方法收获：捆绑法、插空法．3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．补充练习[基础练习]1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，那么不同的排法种数为( )A．12 B．24C．48 D．1442．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有______个( )A．9 B．12C．24 D．213．用数字0,1,2,3,4能组成没有重复数字的且比20 000大的五位奇数的个数为( ) A．3 B．30C．72 D．184．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )A．540 B．300C．180 D．150答案：[拓展练习]5．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．答案：(1)241 920 (2)10 080 (3)5 760 (4)2 880 (5)60 480设计说明本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空法．本节课的特点是教师引导给学生以提示，在从例题中学会了方法后，马上让学生练习巩固方法，在变练演编中，举一反三，反复强化，使学生更好地掌握方法和技巧．备课资料一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．例A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________．解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4人的全排列，有A44＝24种排法．二、相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有______种不同的插法(具体数字作答)．解析：A17A33＋A27A23＋A37＝504种．例2高三(1)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是________．解析：不同排法的种数为A55A26＝3 600.例3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________．解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个“空〞中，可得有A25＝20种不同排法．例4某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾〞有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，那么该晚会的节目单的编排总数为________种．解析：A19A33＋A29A23＋A39＝990种．例53个人坐在一排8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？解析：解法1：先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A33，○*○*○*○，在四个“空〞中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都有空位的排法有A14A33＝24种．解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个“空〞，*○*○*○*○*，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34＝24种．注：题中*表示元素，○表示空．例6停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放．要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A88种方法，要求空位置连在一起，那么在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空位置插入有A19种方法，所以共有A19A88种方法．。

高中数学第1章计数原理 1.2 排列第1课时排列与排列数公式学案苏教版选修2-3-苏教版高

第1课时排列与排列数公式1.了解排列及排列数的意义．2.理解排列数公式的推导并应用．3.掌握排列数公式并会运用．1．排列的定义一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．3．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.4．全排列与n的阶乘(1)n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，在排列数公式中，当m＝n时，即有A n n＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1．(2)正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，即有A n n＝n！.5．排列数公式的阶乘形式A m n＝n！（n－m）！(n≥m)，规定0！＝1．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ) 答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下面问题中，是排列问题的是( )A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数B．从60人中选11人组成足球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合答案：A3．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．答案：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙4．A24＝________，A33＝________．答案：12 6排列的有关概念判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．【解】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．判断一个具体问题是否为排列问题的方法1.判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．“树形图”解决排列问题四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．【解】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步计数原理，有4×3×2×1＝24种．画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.1．若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法．2．若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA共12种．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．2.将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙三人，每人一本，共有多少种不同的分法？请将它们列举出来．解：按分步计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法．故共有3×2×1＝6种不同的分法．列出树形图，如下：所以，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英，语英数，数语英，数英语，英语数，英数语．排列数公式及其应用(1)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)解方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x . 【解】 (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1.(2)由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ，得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)．因为x ≥3，且x ∈N *，所以3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0. 解得x ＝5，x ＝23(舍去)．所以x ＝5.利用排列数公式①A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)或②A mn ＝n ！（n －m ）！解题时，要注意题目特点，当m 较小时，用公式①较方便，第②个公式常用在化简或证明问题中．3.已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于________．解析：由已知3×8！（9－n ）！＝4×9！（11－n ）！，即4×3（11－n ）（10－n ）＝1，因为n ≤9，所以解得n ＝7. 答案：71．排列定义的两个要素一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”，这是排列的两个要素． 2．对排列数公式的说明(1)这个公式是在m ，n ∈N *，m ≤n 的情况下成立的，m ＞n 时不成立．(2)公式右边是m 个数的连乘积，形式较复杂，其特点是：从n 开始，依次递减1，连乘m 个．3．排列与排列数的区别排列与排列数是两个不同的概念，一个排列就是完成一件事的一种方法，不是数；排列数是指所有排列的个数，它是一个数．符号A m n 中，m ，n 均为正整数，且m ≤n ，A mn 是一个整体．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？【解】坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A 610＝151 200(种)坐法．(1)本题易出现以下错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法．该错解是没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一个，是从10个人中取出6个人的一个排列问题．(2)在用排列数公式求解时需先对问题是否是排列问题做出判断．1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：选D.4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3n .2．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( ) A ．9个 B ．12个 C ．15个D ．18个解析：选B.用树形图表示为：由此可知共有12个． 3．5A 35＋4A 24＝________．解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 答案：3484．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________．解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6. 答案：6[A 基础达标]1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题． 2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选D.A 67－A 56A 45＝7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×25×4×3×2＝7×6－6＝36.3．若α∈N *，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于( ) A ．A 827－α B ．A 27－α34－α C ．A 734－αD ．A 834－α解析：选D.从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数．所以(27－α)(28－α)…(34－α)＝A 834－α.4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8 D ．10解析：选B.列树形图如下：5．不等式A 2n －1－n ＜7的解集为( ) A ．{n |－1＜n ＜5} B ．{1，2，3，4} C ．{3，4}D ．{4}解析：选C.由不等式A 2n －1－n ＜7，得(n －1)(n －2)－n ＜7，整理得n 2－4n －5＜0，解得－1＜n ＜5.又因为n －1≥2且n ∈N *，即n ≥3且n ∈N *，所以n ＝3或n ＝4，故不等式A 2n －1－n ＜7的解集为{3，4}． 6．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3，所以A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7447．给出的下列四个关系式中，其中正确的个数是________．①A mn ＝（n －m ）！n ！；②A m －1n －1＝n －1！（m －n ）！；③A m n ＝n A m －1n －1；④n ！＝（n ＋1）！n ＋1.解析：①②不成立，③④成立．答案：28．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列，它们分别是____________________．解析：画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 9．求证：12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！<1.证明：因为n －1n ！＝n n ！－1n ！＝1（n －1）！－1n ！，所以12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！＝11！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1（n －1）！－1n ！＝1－1n ！<1. 所以原式得证． 10．计算下列各题． (1)A 215； (2)A 66； (3)A m －1n －1·A n －mn －m A n －1n －1；(4)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n ！. 解：(1)A 215＝15×14＝210.(2)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(3)原式＝（n －1）！[n －1－（m －1）]！·(n －m )！·1（n －1）！＝（n －1）！（n －m ）！·(n －m )！·1（n －1）！＝1.(4)因为n ·n ！＝[(n ＋1)－1]·n! ＝(n ＋1)n ！－n! ＝(n ＋1)！－n ！，所以原式＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n ＋1)！－n ！]＝(n ＋1)！－1.[B 能力提升]1．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数字是( ) A ．8 B ．5 C ．3D ．0解析：选C.因为当n ≥5时，A nn 的个位数字是0，故S 的个位数取决于前四个排列数．又A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝33，故选C.2．若2<（m ＋1）！A m －1m －1≤42，则满足条件的m 的集合是________．解析：原不等式可化为2<（m ＋1）！（m －1）！≤42.即2<m 2＋m ≤42.所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0m 2＋m －42≤0，解不等式组得，－7≤m <－2或1<m ≤6，又m ∈N *，所以满足题意的m 的集合为{2，3，4，5，6}．答案：{2，3，4，5，6}3．一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解：由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，所以A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62，所以m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，因为m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31，解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．4．(选做题)A ，B ，C ，D 四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．解：假设A ，B ，C ，D 四名同学原来的位子分别为1，2，3，4号，树形图如下：换位后，原来1，2，3，4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA .。

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§1.2 排列及其性质
2.不同n级排列的总数: 用1,2, …, n这n个数字，可以组成多少个
不同的n级排列？ ●●● ●●●
n n-1 n-2 种种种放放放法法法
32 1 种种种放放放法法法
共有
n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!
证明：先证相邻对换的情形
设排列为
a1
al
ab b1
对换 a 与 b
bm
a1
al
ba b1
bm
除a,b 外，其它元素的逆序数不改变.
当a b 时
经对换后 a 的逆序数增加1 , b的逆序数不变;
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§1.2 排列及其性质
当a b时，经对换后 a 的逆序数不变，b的逆序数减少1.
例如
a1 al a bb b1 bm a1 al bb aa b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm aa c1 cn
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§1.2 排列及其性质
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
ex : 217986354 偶排列 t 1 13445
18
ex.已知1s46t5为奇排列,求 s,t.
s2 t3
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§1.2 排列及其性质
二、n 级排列的性质
定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
nn 1
2
ex. 13 ( 2n 1 )24 ( 2n 2 )2n
t (n 1) (n 2) 1 0
nn 1
2 注意:能熟练地求逆序数.
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§1.2 排列及其性质
5. 奇排列:逆序数为奇数偶排列:逆序数为偶数
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与 b.
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§1.2 排列及其性质
再证一般对换的情形 a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al bb b1 bm aa c1 cn
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
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§1.2 排列及其性质
例1.求下列排列的逆序数:
1. 2 4 3 1
t 0013 4
00 1 3
2. 3 2 5 1 4 01031
t 01031 5
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§1.2 排列及其性质
3. nn 1n 2 321
t 1 2 (n 2) (n 1)
第一章行列式
§1.2 排列及其性质
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§1.2 排列及其性质
一、n 级排列的定义
1. 排列: 将n个数1,2,…, n按某种顺序摆成一排，
称为这n个数的一个n级排列。
例 2431
4级排列；
45321 123 …n
5级排列； n级排列，称为自然排列；
n (n –1) … 1 n级排列。
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作业
习题一（P23）：
1(2)(3)；2(3)(4)(6); 3.
补充：1. 求解二元一次方程组
2
x1 x1
3x2 7x2

1 3
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推论1 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明：由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数, 而标准排列是偶排列(反序数为0),因此知推论成立.
定理2 在全部n 级排列中 n2 ,奇偶排列各占
一半,即各有 n!个. 2
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§1.2 排列及其性质
3.标准次序：从左到右，从小到大
在一个排列 i1i2 it is in 中，若数
it is 则称这两个数组成一个逆序.
逆序 32514 逆序
4.逆序数: 一个排列中所有逆序的总数. t
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§1.2 排列及其性质