具有高阶转向点的二次奇摄动边值问题_沈建和
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具有高阶转向点的奇摄动边值问题的尖层解
。。
ｕ， ＝ （ ） ∑ （ ｔ ￡ ）
ｊ ＝ｏ
代入（） （ Ｅ ＝ 或ｕｂ ） ） １ 和乱０ ） （ （， ＝Ｂ 并令Ｅ的系数相等得到 ， 。
ｆｔ ＇ （ ｏ ＝０ （ ｕ ＋ｇｔ ） ， ）ｏ ，
ｕ （ ＝ 或ｕ （ ＝Ｂ ｏ ） （ ｏｂ ａ ） ） 由假设［１ Ｈ］ 知其解为ｕ ＝ｕ （ （ ０ Ｒ￡ ． ０ Ｌｔ 或 ＝ （ ） ￣ ｕ （ ＝ｕ （） （ ） ０ ）故可取 ） ） ＬＯ ） Ｒ０， ０ ＝ｕ （＋ ， 一
文章编号：００４２（０２０．０００７ ｉ０—４４２ １）１０５—０
§ 引 言 １
在奇摄动内层 问题 的研究中， Ｍａｌ ［用相平面分析 的方法讨论了半线性 自治 问题 Ｏ’ ｌｙ ｅ １
Ｃ ＝９ Ｘ （） （ ，） Ａ，ｘ１￡ ＝Ｂ 一１￡ ＝ （，）
具有尖层性质的解（ 简称尖层解） 的存在性， ａｈ １ Ｋ ｔ［ 把文［的结论推广到非自治系统， １ ］ 并解释了解 具有尖层性质的定性特征． ［则讨论 了如下形式的半线 ｒ ｈｅＩ题 文３ ］ ￣Ｄ ｉ ｌ ； ｃ ｔ］
合 成 展 开 法构 造 出 尖层 解 的形 式近 似 ， 应 用微 分 不 等 式 理 论 证 明 了解 的 存 在 性 及 其 并
渐近性质．
关键词： 摄动； 奇 边值 问题 ； 尖层 解 ； 成展 开 法； 分 不 等 式 合 微
中图分类号： ７ ． Ｏ１５１ ４
文献＜ｔ ｂ Ｒｔ ） ． 其中ｕ （ ，Ｒ￡ Ｌｔ ｕ （满足［１ ≠ｕ （ ＝ （ ． ） ） Ｈ］ 且ｓ ＬＯ Ｒ０ ） ） 下面来分析 问题（）（） １，２的解（ 果存在 的话） ＝ ０ 如 在ｔ 处具有尖层性质 的条件． 采用合成展 开
法［５ 先将外展开式 ｌ 一，
ｕ， ＝ （ ） ∑ （ ｔ ￡ ）
ｊ ＝ｏ
代入（） （ Ｅ ＝ 或ｕｂ ） ） １ 和乱０ ） （ （， ＝Ｂ 并令Ｅ的系数相等得到 ， 。
ｆｔ ＇ （ ｏ ＝０ （ ｕ ＋ｇｔ ） ， ）ｏ ，
ｕ （ ＝ 或ｕ （ ＝Ｂ ｏ ） （ ｏｂ ａ ） ） 由假设［１ Ｈ］ 知其解为ｕ ＝ｕ （ （ ０ Ｒ￡ ． ０ Ｌｔ 或 ＝ （ ） ￣ ｕ （ ＝ｕ （） （ ） ０ ）故可取 ） ） ＬＯ ） Ｒ０， ０ ＝ｕ （＋ ， 一
文章编号：００４２（０２０．０００７ ｉ０—４４２ １）１０５—０
§ 引 言 １
在奇摄动内层 问题 的研究中， Ｍａｌ ［用相平面分析 的方法讨论了半线性 自治 问题 Ｏ’ ｌｙ ｅ １
Ｃ ＝９ Ｘ （） （ ，） Ａ，ｘ１￡ ＝Ｂ 一１￡ ＝ （，）
具有尖层性质的解（ 简称尖层解） 的存在性， ａｈ １ Ｋ ｔ［ 把文［的结论推广到非自治系统， １ ］ 并解释了解 具有尖层性质的定性特征． ［则讨论 了如下形式的半线 ｒ ｈｅＩ题 文３ ］ ￣Ｄ ｉ ｌ ； ｃ ｔ］
合 成 展 开 法构 造 出 尖层 解 的形 式近 似 ， 应 用微 分 不 等 式 理 论 证 明 了解 的 存 在 性 及 其 并
渐近性质．
关键词： 摄动； 奇 边值 问题 ； 尖层 解 ； 成展 开 法； 分 不 等 式 合 微
中图分类号： ７ ． Ｏ１５１ ４
文献＜ｔ ｂ Ｒｔ ） ． 其中ｕ （ ，Ｒ￡ Ｌｔ ｕ （满足［１ ≠ｕ （ ＝ （ ． ） ） Ｈ］ 且ｓ ＬＯ Ｒ０ ） ） 下面来分析 问题（）（） １，２的解（ 果存在 的话） ＝ ０ 如 在ｔ 处具有尖层性质 的条件． 采用合成展 开
法［５ 先将外展开式 ｌ 一，
一类二阶奇异摄动边值问题的再生核方法
丑
边 界条 件为
“Ｏ （ ）＝ ０ “ １ ｆ （ ）＝ ， 其 中 是 充 分 小 的正 参 数 是 有 限常数．
［ ，］Ｙ∈ ［ ，］ ＜ ０１ ， ０１ Ｗ１０ １ ［ ，］＝ ｛ ）Ｉ
） Ｙ ＞ ＝ Ｘ ． Ｒ（） ） ）是 区 间（ ，）上 的 ０１
其 中 ）ｇ ）∈ ［ ，］ ，（ ０１． 容 易证 明 ， ［ １ 是 一 个 完 备 的再 生 核空 ０，］ 问 ， 每一个 固定 的 ∈ ［ １ ， 即对 ０，］存在 Ｒ （ ）∈ Ｙ
（） ２
（） １
Ｍ（ ” ）＋ ｕ （ ）＋ｇ ｘ 戈 ， ＜１ ｘ （ ）＝ ） ０＜ ，
由定理２１ ∑ ＜Ｉｘ ， （）依 ． 知， ｔ） （ （）＞ ，
ｌ Ｉ ＝ １
如下 ： ＜ ｕ Ｙ ， 。Ｙ ＞ ＝ ０则 有 ＜ ｕ ｙ ， 若 （ ） （ ） （ ）
卢 ｌＹ １（ ）＞ ＝ ｌ ｔ ｙ ， ｌＹ １＜Ｉ ） （ ）＞ ＝卢ｌ ｔ ｙ ， （ １＜Ｉ ） （ Ｌ Ｙ ＞＝ ｌ ＜ （ ｕ （ ） Ｒ （ ） ＞＝ Ｒ （ ） １ Ｌ ） Ｙ ， Ｙ
第２ ６卷
第 ４期
哈尔滨师范大学 自然科学 学报
ＮＡ ＲＡＬ Ｓ Ｉ ＮＣ Ｏ ＴＵ Ｃ Ｅ ＥＳＪ ＵＲＮＡＬＯＦ ＨＡＲ Ｎ ＮＯ ＢＩ ＲＭＡＬ ＵＮ ＶＥ Ｉ Ｉ ＲＳＴＹ
Ｖ １ ６ Ｎ ． ０ ０ ｏ． 。 ｏ４２ １ ２
一
类 二 阶奇 异 摄 动 边 值 问题 的 再 生 核 方 法 术
＜
）ｇ ＞ ３ ＝ ｆ（（） （） ＋ ，（） Ｗ 厂 ｇ
Ｊ Ｕ
０ 引 言
笔者 研究 以下 奇异 摄动 两点边值 问题 ：
边 界条 件为
“Ｏ （ ）＝ ０ “ １ ｆ （ ）＝ ， 其 中 是 充 分 小 的正 参 数 是 有 限常数．
［ ，］Ｙ∈ ［ ，］ ＜ ０１ ， ０１ Ｗ１０ １ ［ ，］＝ ｛ ）Ｉ
） Ｙ ＞ ＝ Ｘ ． Ｒ（） ） ）是 区 间（ ，）上 的 ０１
其 中 ）ｇ ）∈ ［ ，］ ，（ ０１． 容 易证 明 ， ［ １ 是 一 个 完 备 的再 生 核空 ０，］ 问 ， 每一个 固定 的 ∈ ［ １ ， 即对 ０，］存在 Ｒ （ ）∈ Ｙ
（） ２
（） １
Ｍ（ ” ）＋ ｕ （ ）＋ｇ ｘ 戈 ， ＜１ ｘ （ ）＝ ） ０＜ ，
由定理２１ ∑ ＜Ｉｘ ， （）依 ． 知， ｔ） （ （）＞ ，
ｌ Ｉ ＝ １
如下 ： ＜ ｕ Ｙ ， 。Ｙ ＞ ＝ ０则 有 ＜ ｕ ｙ ， 若 （ ） （ ） （ ）
卢 ｌＹ １（ ）＞ ＝ ｌ ｔ ｙ ， ｌＹ １＜Ｉ ） （ ）＞ ＝卢ｌ ｔ ｙ ， （ １＜Ｉ ） （ Ｌ Ｙ ＞＝ ｌ ＜ （ ｕ （ ） Ｒ （ ） ＞＝ Ｒ （ ） １ Ｌ ） Ｙ ， Ｙ
第２ ６卷
第 ４期
哈尔滨师范大学 自然科学 学报
ＮＡ ＲＡＬ Ｓ Ｉ ＮＣ Ｏ ＴＵ Ｃ Ｅ ＥＳＪ ＵＲＮＡＬＯＦ ＨＡＲ Ｎ ＮＯ ＢＩ ＲＭＡＬ ＵＮ ＶＥ Ｉ Ｉ ＲＳＴＹ
Ｖ １ ６ Ｎ ． ０ ０ ｏ． 。 ｏ４２ １ ２
一
类 二 阶奇 异 摄 动 边 值 问题 的 再 生 核 方 法 术
＜
）ｇ ＞ ３ ＝ ｆ（（） （） ＋ ，（） Ｗ 厂 ｇ
Ｊ Ｕ
０ 引 言
笔者 研究 以下 奇异 摄动 两点边值 问题 ：
一类具有两个转向点的奇摄动边值问题
２１ ０ １年 ｌ １月 第ｌ ７卷第 ４期
安庆 师 范学院 学报 （ 自然科 学版 ）
ｄｕ ｏ ｍ￣ ｏ Ａ ｑ ｇＴ ａ ｈ ｍ Ｃ ｌｇ （ ａｕ ｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅ ｏ ｅ ｅ Ｎ ｔｒ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｎ ｌ ａＳ ｅ ｔ ｏ
一＝ ＋ ・ １ ｆ
，别 退 分是化
收 稿 日期 ：２ １ ０ ０ ０ １— ６— ３ 基金项 目：安徽高校省级 自然科学基金 （ Ｊ０ ０ １３，．０ ０ ３０ 资助 。 Ｋ ２ １ Ａ ５ Ｋ２ １Ｂ ６ ） １
作者简介 ：魏小欧， ， 男 安徽芜湖人 ， 安徽师范大学数学计算 机科学学 院硕士研究生 ， 从事应用微分方程研究 。
ＮＯ ２ ｌ Ｖ． ０１ Ｖｏ１１ ． ７ Ｎ０． ４
一
类具有两个转向点的奇摄动边值问题
魏 小欧 ，刘树 德
（ 安徽师范大学 数学计算机科学学院 ， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４０ ０
摘
要： 考虑一类具有两个 转向点 的奇摄动二阶线性边值 问题 ， 在一阶导数的系数具有两个 零点 ， 即转 向点 的情 形
比较０ ÷） （ 的系数得 ＋（ 一 ）１ ２） ＝ ， １ 口（ — ａ 。 ０又由边界条件Ｙ１ （）＝２得 Ｙ（）＝２由此解得 ， ｏ０ 。
ｒ ＝ ２ 一 ｌ ＋ ｃ ｅ （一） ） ｏ ｌ 一 。（一
其中 ｃ 为任意常数。 从而
ｙ ＝２一ｃ （ １＋ｃｅ‘。 孙 ＋… ｌ一 一 （） ６
在 ＝ａ 和 ＝１ 处构造角层和边界层展开式 ， 并利用改进 的匹配渐近展开法将其与外展开式进行匹配 ， 从而得到在区间［ ，］ ０ １ 上一致有效的复合展开式。当然 ， 也可 以用类似的方法讨论具有 ， ≥２ 个转向 ｔ （ ） 点的奇摄动边值问题。 １ 外展 开式 设 外 展开式 具有形 式 Ｙ ＝Ｙ（ ｏ ）＋８ 。 ）＋… ， 它代 人 （ ）式 有 ｙ（ 将 １
安庆 师 范学院 学报 （ 自然科 学版 ）
ｄｕ ｏ ｍ￣ ｏ Ａ ｑ ｇＴ ａ ｈ ｍ Ｃ ｌｇ （ ａｕ ｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅ ｏ ｅ ｅ Ｎ ｔｒ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｎ ｌ ａＳ ｅ ｔ ｏ
一＝ ＋ ・ １ ｆ
，别 退 分是化
收 稿 日期 ：２ １ ０ ０ ０ １— ６— ３ 基金项 目：安徽高校省级 自然科学基金 （ Ｊ０ ０ １３，．０ ０ ３０ 资助 。 Ｋ ２ １ Ａ ５ Ｋ２ １Ｂ ６ ） １
作者简介 ：魏小欧， ， 男 安徽芜湖人 ， 安徽师范大学数学计算 机科学学 院硕士研究生 ， 从事应用微分方程研究 。
ＮＯ ２ ｌ Ｖ． ０１ Ｖｏ１１ ． ７ Ｎ０． ４
一
类具有两个转向点的奇摄动边值问题
魏 小欧 ，刘树 德
（ 安徽师范大学 数学计算机科学学院 ， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４０ ０
摘
要： 考虑一类具有两个 转向点 的奇摄动二阶线性边值 问题 ， 在一阶导数的系数具有两个 零点 ， 即转 向点 的情 形
比较０ ÷） （ 的系数得 ＋（ 一 ）１ ２） ＝ ， １ 口（ — ａ 。 ０又由边界条件Ｙ１ （）＝２得 Ｙ（）＝２由此解得 ， ｏ０ 。
ｒ ＝ ２ 一 ｌ ＋ ｃ ｅ （一） ） ｏ ｌ 一 。（一
其中 ｃ 为任意常数。 从而
ｙ ＝２一ｃ （ １＋ｃｅ‘。 孙 ＋… ｌ一 一 （） ６
在 ＝ａ 和 ＝１ 处构造角层和边界层展开式 ， 并利用改进 的匹配渐近展开法将其与外展开式进行匹配 ， 从而得到在区间［ ，］ ０ １ 上一致有效的复合展开式。当然 ， 也可 以用类似的方法讨论具有 ， ≥２ 个转向 ｔ （ ） 点的奇摄动边值问题。 １ 外展 开式 设 外 展开式 具有形 式 Ｙ ＝Ｙ（ ｏ ）＋８ 。 ）＋… ， 它代 人 （ ）式 有 ｙ（ 将 １
一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题
（ １ ）
这里 ∈Ｒ为状态变量 ， ０＜Ｅ《 １ ， Ｐ ０ 为常数， 与Ｂ亦 都为常数； 同时， 基于 问题 （ １ ） ， 我们还
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ ． １ １ ． ２ ６ 修 回 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ５ ． １ ８
基金项 目：国家 自然科学基金项 目（ １ １ ２ ０ １ ０ ７ ２ ； １ １ １ ０ ２ ０ ４ １ ） ； 福建省教育厅Ａ类项 目（ Ｊ Ａ１ ０ ０ ６ ５ ） 通讯作者 ： ｊ ｈ ｓ ｈ ｅ ｎ （ ￣ ｆ ｊ ｎ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
其中， 如上所述 ，
，
ｄ 元 （ ） ＝ ｛ ‘ ５ ， Ｒ ５ ‘ 。 ＜ ｔ 一 ＜ Ｅ ｌ 。 一 ＋ 。
为正的连 续函数 ．
（ ５ ）
定义１ 称退化解ｕ ＝ Ｒ （ ￡ ） 在［ ０ ， １ ］ 上强（ 弱） 稳定， 如果在Ｄ１ 或Ｄ ２ 中满足
韩建邦等： 一 类具有无 穷边界值 的二次奇摄动边值 问题
１ ８ １
将进一步得到如下Ｎ ｅ ｕ ｍａ ｎ ｎ Ｉ ； － ］ 题的有关结果，
ｆ ｅ ｙ ：， （ ｔ ， ） ＋ｇ （ ｔ ， ） ， ０ ＜ｔ ＜１ ， ｛－ － ｙ ， （ ０ ， Ｅ ） ＝ ／ Ｅ ，
渐进 行 为， 重 点关注边 界值 的奇 异程 度对 解的边 界层 行 为的影 响；同时将 所得 的结 果 与Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ Ｙ ￣ Ｈ ｏ ｗ ｅ ｓ 的 结果ｆ 带 正 常边界 值） 进 行 比较．研 究表 明：（ １ ） 当边 界值 大 小
为Ｏ （ １ ／ ｅ ） 时， 得到的边界层 大小为Ｏ （ Ｅ Ｉ ｎ Ｅ ） ， 这比ｃ ｈ ａ ｎ ｇ 及Ｈ ０ ｗ ｅ ｓ 带正常边界值的情形 提高了Ｏ （ １ ｎ Ｅ ） 量级； （ ２ ） 增大边界值的奇性＿ ￣ Ｏ（ １ ／ ｅ ） ， 这里ｒ＞ １ ， 边界层 大小的量级 不变， 依 然为０（ Ｅ ｉ ｎ Ｅ ） ； （ ３ ） 若要使得边界层 大小为０（ １ ） ， 则边界值的 大小需 为ｏ（ ｅ ＿ ｜ ｌ ／ ｅ ） ．
求解一类高阶奇摄动线性边值问题
分 析 ， 出 了相 应 的 结 果 ． 得
［ 键 词 ］ 高 阶 奇 异摄 动 ； 统 降 阶 ； 界 层 ； 近 展 开 式 关 系 边 渐 （ 章 编 号 ］ １ ７ — ０ ７ ２ １ ） ３ ０ ３ — ５ ［ 图 分 类 号 ） Ｏ１ ５ １ （ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ２ ２ ２ （ ０ １ ０ — ０ ６０ 中 ７． ４ 文
２ １年 ９月 ０ １
求解一类高阶奇摄动线性边值 问题
卫 丽 娟
（ 中北 大 学 理 学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ５ ） ３ ０ １
（ 要 ］ 文 章 研 究 了 一 类 高 阶 奇 异 摄 动 线 性 系 统 的 近 似 解 ， 过 降 阶 将 高 阶 奇 异 摄 动 系 统 转 摘 通 化 成 一 般 的 低 阶 变 系 数 奇 异 摄 动 系统 ， 根 据 不 同 的 边 界 层 引 入 伸 长 变 量 构 造 渐 近 解 ， 对 其 进 行 再 并
时
和
心 ． （ ）一 “ ． （ ， ｏ１ ０ ｚ） ２
０． ２
阶 的求解 问题 ， 而方便 了我们 的研 究 ， 从 而低 阶 的问题 又有 不 同的情 形 ， 现在进 行 具体 的分 析． 我们 首先 对 系统进 行 降阶运 算 ． 由于 （ ） 立 ， 以对 系统 （ ） 行变 换 ， Ｈ 成 可 １进 具体过 程 如下 ：
（ ６ ）
第 ３期
卫 丽娟 ： 解 一 类 高 阶 奇 摄 动 线 性 边 值 问 题 求
其
中
．式容 易求 得 。的表 达式 ， 再将 “ 。的表 达式 代 人 （ ） 容 易 求 得 “ ４式 的表 达 式 ， 次 可 以求 得 “ ， 依 。
一１ … ， 一是 ） 志均 为 常数． ， 一１ ， 首先 假设 如下 条件 成立 ：
［ 键 词 ］ 高 阶 奇 异摄 动 ； 统 降 阶 ； 界 层 ； 近 展 开 式 关 系 边 渐 （ 章 编 号 ］ １ ７ — ０ ７ ２ １ ） ３ ０ ３ — ５ ［ 图 分 类 号 ） Ｏ１ ５ １ （ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ２ ２ ２ （ ０ １ ０ — ０ ６０ 中 ７． ４ 文
２ １年 ９月 ０ １
求解一类高阶奇摄动线性边值 问题
卫 丽 娟
（ 中北 大 学 理 学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ５ ） ３ ０ １
（ 要 ］ 文 章 研 究 了 一 类 高 阶 奇 异 摄 动 线 性 系 统 的 近 似 解 ， 过 降 阶 将 高 阶 奇 异 摄 动 系 统 转 摘 通 化 成 一 般 的 低 阶 变 系 数 奇 异 摄 动 系统 ， 根 据 不 同 的 边 界 层 引 入 伸 长 变 量 构 造 渐 近 解 ， 对 其 进 行 再 并
时
和
心 ． （ ）一 “ ． （ ， ｏ１ ０ ｚ） ２
０． ２
阶 的求解 问题 ， 而方便 了我们 的研 究 ， 从 而低 阶 的问题 又有 不 同的情 形 ， 现在进 行 具体 的分 析． 我们 首先 对 系统进 行 降阶运 算 ． 由于 （ ） 立 ， 以对 系统 （ ） 行变 换 ， Ｈ 成 可 １进 具体过 程 如下 ：
（ ６ ）
第 ３期
卫 丽娟 ： 解 一 类 高 阶 奇 摄 动 线 性 边 值 问 题 求
其
中
．式容 易求 得 。的表 达式 ， 再将 “ 。的表 达式 代 人 （ ） 容 易 求 得 “ ４式 的表 达 式 ， 次 可 以求 得 “ ， 依 。
一１ … ， 一是 ） 志均 为 常数． ， 一１ ， 首先 假设 如下 条件 成立 ：
奇摄动拟线性边值问题的高阶近似解
奇摄动拟线性边值问题的高阶近似解孔伟应;陈怀军;娄正来【摘要】研究了一类具有边界层性质的奇摄动拟线性边值问题.在相对较弱的条件下,利用合成展开法构造问题的形式近似解,然后利用不动点定理证明解的存在性,并给出满足边界层性质的高阶近似解,使得它与精确解之间的渐近估计可达到任意O(εn)阶近似.【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)001【总页数】6页(P22-27)【关键词】奇摄动;边值问题;合成展开法;高阶近似;不动点定理【作者】孔伟应;陈怀军;娄正来【作者单位】安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000【正文语种】中文【中图分类】O175.14研究奇摄动边值问题，需要在构造形式近似的基础上证明解的存在性[1-7]。
1996年，De Jager和江福汝[8]把Harten不动点定理应用到奇摄动拟线性常微分方程初值问题的研究中，随后刘树德等[9]用改进的方法研究了与文[8]相应的边值问题，得到解的零次近似并证明了解的存在性。
本文进一步研究奇摄动拟线性边值问题的高阶近似,并应用如下改进的不动点定理。
引理[8](Harten不动点定理) 设(N,‖·‖1)是赋范线性空间,(B,‖·‖)是Banach空间,F 是N到B的非线性映射，F[0]=0，且F可分解为F[p]=L[p]+Ψ[p], p∈N，其中L是F在p=0的线性化算子，L和Ψ满足条件：(i)L是双射，L-1连续，即存在常数l>0使‖L-1[q]‖1 ∀q∈B；(ii)存在使得0ρ时，‖Ψ[p2]-Ψ[p1]‖m(ρ)‖p2-p1‖1, ∀p1,p2∈ΩN(ρ),其中ΩN(ρ)={p|p∈N,‖p‖1ρ},m(ρ)当ρ→0时单调减少，且记ρ0=sup {0ρ则对满足‖χ‖的任意χ∈B，存在p∈N，使得F[p]=χ,且‖p‖1ρ0。
一类非线性奇摄动问题的多层解
Ｙ ＝日（ ＋Ｆ ／）一１ （ ３ ）＋… （） ５
［ ］函数 Ｙ 占 ， ∈ ； Ｈ１ ，）Ｅ Ｃ Ｙ ［ Ｈ ］函数 Ｆ ｙ 是 １ｆ ｙ０ （ ） ／（ ，）的某一 个原 函数 ， 而且是严 格 单 调 函 数 。 ＝ Ｆ（ ）的 反 函数 为 Ｙ ＝ Ｙ
文献 标 志 码 ： Ａ
关键词 ： 非线性 ； 奇摄动 ； 匹配 ； 多层 ； 界层 边
中 图分 类号 ： １５ １ ０ ７ ．４
奇 摄动 问题在许 多学科 领域 中均有 着重要 而广 泛 的应 用 …． 因此 ， 奇 摄 动 问 题 的研 究 一 直 受 到 对
ｌ的情 形是 一类转 向点 问题 。
Ｙ 。＝日（ ＋ｃ ）＋… ０ （） ４
现象 的边 界层 问题 ， 并且 边 界 层位 置 随着参 数 的取 值不 同 而变化 。其 中 当边 界层 位 置 位 于 内部 时 ， 它 又是 一类特 殊 的转 向点 问题 。具 体 地 ， 虑如 下 二 考 阶非 线性奇摄 动边值 问 题 ：
（） ７
将 （ ）代人 （ ）可得 ７ １
基金项 目： 自然科学基金资助项 目（１７２５ ； 国家 １ １０ ） 国家特色专业 （ 学与应用数学 ）浙 江省新世 纪教改基金 资助项 目 ０ 数 ， （ Ｂ７０ Ｚ ００３ ； Ｙ ０ １９，Ｃ９ ６ ） 湖州师范学院重点教改基金资助项 目（ Ｊ０ ０ ４ ； Ｇ ａ ９０ ） 常微分方程精 品课程资助。 作者简介 ： 曾艳婷 （９７ ）女 ， 士生 。 通信作者 ： 阳成 （９４一 ， ， 。Ｅｍ ｉｏｃ ｕ ． ．ｎ １８ 一 ， 硕 欧 １６ ）女 教授 —ａ ： ＠ｈｔ ｚ ｃ。 ｌｙ ｃｊ
造 原问题 的外部解 ； 其次 ， 利用伸 长变量 ， 求得 了两个 特异极 限 ， 进而 得到 了对应 问题 的两个 内部解 ； 最后 ， 研究 了 边 界层位于三种不同位置的多层解 ， 利用 匹配原则 ， 出了各种情形 解的一致 有效 的零 次渐近展开式 。并 解决 了 求
［ ］函数 Ｙ 占 ， ∈ ； Ｈ１ ，）Ｅ Ｃ Ｙ ［ Ｈ ］函数 Ｆ ｙ 是 １ｆ ｙ０ （ ） ／（ ，）的某一 个原 函数 ， 而且是严 格 单 调 函 数 。 ＝ Ｆ（ ）的 反 函数 为 Ｙ ＝ Ｙ
文献 标 志 码 ： Ａ
关键词 ： 非线性 ； 奇摄动 ； 匹配 ； 多层 ； 界层 边
中 图分 类号 ： １５ １ ０ ７ ．４
奇 摄动 问题在许 多学科 领域 中均有 着重要 而广 泛 的应 用 …． 因此 ， 奇 摄 动 问 题 的研 究 一 直 受 到 对
ｌ的情 形是 一类转 向点 问题 。
Ｙ 。＝日（ ＋ｃ ）＋… ０ （） ４
现象 的边 界层 问题 ， 并且 边 界 层位 置 随着参 数 的取 值不 同 而变化 。其 中 当边 界层 位 置 位 于 内部 时 ， 它 又是 一类特 殊 的转 向点 问题 。具 体 地 ， 虑如 下 二 考 阶非 线性奇摄 动边值 问 题 ：
（） ７
将 （ ）代人 （ ）可得 ７ １
基金项 目： 自然科学基金资助项 目（１７２５ ； 国家 １ １０ ） 国家特色专业 （ 学与应用数学 ）浙 江省新世 纪教改基金 资助项 目 ０ 数 ， （ Ｂ７０ Ｚ ００３ ； Ｙ ０ １９，Ｃ９ ６ ） 湖州师范学院重点教改基金资助项 目（ Ｊ０ ０ ４ ； Ｇ ａ ９０ ） 常微分方程精 品课程资助。 作者简介 ： 曾艳婷 （９７ ）女 ， 士生 。 通信作者 ： 阳成 （９４一 ， ， 。Ｅｍ ｉｏｃ ｕ ． ．ｎ １８ 一 ， 硕 欧 １６ ）女 教授 —ａ ： ＠ｈｔ ｚ ｃ。 ｌｙ ｃｊ
造 原问题 的外部解 ； 其次 ， 利用伸 长变量 ， 求得 了两个 特异极 限 ， 进而 得到 了对应 问题 的两个 内部解 ； 最后 ， 研究 了 边 界层位于三种不同位置的多层解 ， 利用 匹配原则 ， 出了各种情形 解的一致 有效 的零 次渐近展开式 。并 解决 了 求
一类二阶两点边值问题正解的唯一性
Ｖｏ． ２ＮＯ １１ ．１
Ｍ ａ ．２ ２ ｒ ０１
２１ ０ ２年 ３月
文章 编 号 ：６ １７３ （０ ２ ０ —０ １０ １ ７ —３ ３ ２ １ ） １０ ６ —６
一
类 二 阶 两 点 边 值 问 题 正 解 的 唯 一 性 ・
安 玉 莲
２１１ ； ． ０ ４ ８ ２ 上海师范大学 数理学院 ， 上海 ２０３） ０ ２４
ｆｕ＋ ‘ （ Ａ ）＝０ ｉ Ｂ” ， ｎ ，
【 （ ）＝ ０， ０ ｏ Ｂ”， ｎａ
…
ｌ
径 向对称 的 。此 时 ， 问题 （ ） 化为 １可
＋ 钆 ＋ ∈
其 中 Ｂ ｎ≥ １是 Ｒ”空 间 中的单 位 球 ， （ ） ＞０是
一
个参 数 。众所 周 知 ， ＿ 区 间 ［ ，０ 上 满 足 当 厂在 ０Ｏ）
作者简介 ： 安玉莲 （ ９ １）女 ， １ ７ 一， 副教授 ， 博士 ， 主要研究方 向为常微分方程及动力系统．
【 ）＝０ 钆（ ０ ， （）＝０ １ 。
收稿 日期 ：０ １０ ５ ２ １－９ １ 基金项 目： 中国博 士后科学基金项 目（ ０ ｌ ０ ６ ５ ； ２ １Ｍ５ ０ １ ） 上海市教育委 员会科研创 新项 目（ １ Ｚ ２ ） 上海 直用技术学 院引进人 才科 １Ｙ ２５ ； 研 启 动 项 目 （ Ｊ０ ９１ ） Ｙ ２ ０ ・６
运 用分歧技 巧 和 Ｓｕ ｍ 比较 定理 ， ｔｒ 获得 了上 述 问题 正 解 集合 的 全局 结构 ， 而对 于任 意给 定 进
的 参数 ＞０得 到 了该 问题 正 解不存 在或 恰有 一个 的确切 结论 。 ，
关键 词 ： 正 解 ； 一性 ；分歧 ；特征 值 唯
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f
( x,
E) U ′2N +
1 ( S,
E)
+
g ( x , E) U N + 1 ( S, E) +
O ( EN + 1 ) .
( 8)
第 3 期 沈建和等: 具有高阶转 向点的二次奇摄动边值问题
3
将 f ( SE, E) -Y ′N( SE, E) 联合展开, f ( SE, E) 与 g( SE, E) 分别展开, 得
N+ 1
∑ Y- ′N ( SE, E) f ( SE, E) =
Ei ( S) Ei + O( EN + 2 ) , m ≥ 3,
i= m
N+ 1
∑ f ( SE, E) =
Fi ( S) Ei + O( EN + 2 ) , m ≥ 3.
i= m
将 Y- ′N ( SE, E) f ( SE, E) , f ( SE, E) , g( SE, E) 的展开式代入( 8) 得: 当 - a ≤ x ≤ 0 时,
确地说,
H3 : 方程组
f 0( x ) y ′20( x ) + g 0( x ) y0 ( x ) = 0, i = 0. 2f 0( x ) y ′0 ( x ) y ′i ( x ) + g0( x ) y i( x ) = H i( x ) , i = 1, 2, 3, …, N 存在满足条件 y i( - a) = A i 的解 y-i( x ) ∈ CN + 2 [ - a, 0] , 又存在满足条件 y i( b) =
1 E2
f
( x , E) U ′2N + 1 ( S,
E)
+
g( x , E) U N + 1( S, E) +
g( x , E) Y- N ( x , E) + O ( EN + 1) . 由
( 6) 得
U ″N + 1 ( S, E) =
2Ef ( x , E) Y- ′N ( x , E) U ′N + 1( S, E) +
X 收稿日期: 2004-04-13 XX 基金项目: 福建省教育厅 A 类基金资助项目 ( JA 03172) XXX 作者简介: 沈建和 ( 1980— ) , 男, 福建诏安人, 硕士研究生.
2
福 建 师 范 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 2004 年
N
N
到渐近解关于精确解的误差估计.
为得到相关结果, 对问题作出如下的假设:
H1: f ( x , E) 和 g ( x , E) 在[ - a, b] × [ 0, E0] ( E0 是某小正数) 上, A ( E) 和 B ( E) 在[ 0, E0] 上 N + 2 次
连续可微. 这里的 N 是高阶渐近解的阶数. 因而有:
Key words: singular pert urbat io n; t ur ning point ; boundary value pro blem
1 引言及相关假设
转向点问题是奇异摄动理论研究的重要方面, 它所体现的实际问题在物理、化学等学科中广泛出
现[ 1] . 文 [ 2] ～ [ 5] 分别研究了几类带有转向点的二阶线性、拟线性方程, 在一定的条件下, 获得问
这里 S= xE,
N
N
∑ ∑ Y- N ( x , E) =
y-i( x ) Ei, Y= N ( x , E) =
y=i ( x ) Ei ,
i= 0 N+ 1
i= 0 N+ 1
( 5)
∑ ∑ U N+ 1( S, E) =
ui( S) Ei, V N + 1( S, E) =
v i( S) Ei.
k= 1 j= 0
k= 1
k= 1
在 H i ( x ) 中, 若出现负下标的函数, 则令其为 0. 明显地, 这里 H i( x ) 是逐次可知函数, 即方程( 3) 右端非
齐次项 H i( x ) 只与 y 0( x ) , y 1( x ) , …, yi- 1 ( x ) 有关. H4: 设在[ - a, b] × [ 0, E0] 上 g( x , E) ≥ m > 0.
i= 0
i= 0
这里 y-i ( x ) , y=i ( x ) ( i = 0, 1, …, N ) 为 H3 确定得到的外部解, 因此有如下关系:
E2Y- ″N ( x , E) = f ( x , E) -Y ′2N ( x , E) + g( x , E) Y- N ( x , E) + O( EN + 1 ) ,
N+ 1
N+ 1
N+ 1
N+ 1
N+ 1 i
∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ u″i( S) Ei = 2 E i( S) Ei- 1 u′i( S) Ei +
Fi( S) Ei- 2
u′j ( S) u′i- j ( S) Ei +
i= 0
i= m
i= 0
i= m
i= 0 j = 0
N+ 1
N+ 1
∑ ∑ Gi ( S) Ei ui( S) Ei + O ( EN + 1) .
Gk ( S) ui- k( S) Ei +
i= m- 2 k= 0
j= 0
i= 0 k= 0
i= 0
i= 0
这里 f i( x ) =
5i f ( x , E) i! 5 Ei
,Ai
, 函数 gi( x ) 及常数 B i 类似.
E= 0
x = 0 作为问题的转向点, 假设
H2 : f ( 0, E) =
5f
( 0, E) 5x
=
…=
5( m- 1) f ( 0, E) 5x ( m- 1)
V ol. 20 N o . 3 Sept . 2004
沈建和, 余赞平, 周哲彦
( 福建师范大学数学与计算机科学学院, 福建 福州 350007)
摘要: 在一定条件下, 证明了一类带有转向点的二次奇摄动边值问 题解的存在性, 同时构造问题的高阶 渐近解, 并对误差作出估计.
关键词: 奇异摄动; 转向点; 边值问题 中图分类号: O 175. 1 文献标识码: A XXXXX
∑ ∑ f ( x , E) =
f i ( x ) Ei + O ( EN + 1) , g( x , E) =
gi ( x ) Ei + O( EN + 1) ,
i= 0
i= 0
N
N
∑ ∑ A ( E) =
A iEi + O ( EN + 1) , B ( E) =
Bi Ei + O( EN + 1 ) .
第 20 卷 第 3 期 2004 年 9 月
福建师范大学学报 ( 自然科学版) Jo ur nal of F ujian N or mal U niver sity ( Nat ur al Science Edition)
文章编号: 1000-5277( 2004) 03-0001-05
具有高阶转向点的二次奇摄动边值问题X
Quadratic Singular Perturbed Boundary Value Problems with Higher-order Turning Point
SHEN Jian-he, YU Zan-pi ng, ZHOU Zhe-yan
( S chool of M athematics and Comp uter Science, F uj ian N or mal U niver sity , Fuz hou 350007, China)
定解条件确定.
将( 4) 代入方程( 1) 得: 当 - a ≤ x ≤ 0 时, E2Y- ″N ( x , E) + U ″N + 1 ( S, E) = f ( x , E) Y- ′2N ( x , E) + 2Ef ( x ,
E) Y- ′N ( x , E) U ′N + 1( S, E) +
i= 0
这里 E i( S) =
di( Y- ′N ( SE, E) f ( SE, E) ) i! dEi
, Gi( S) 和 Fi ( S) 类似. 容易知道 Ei ( S) , Fi( S) 和 Gi ( S) 都是 S的次
E= 0
数不超过 i 的多项式.
又由 x = 0 是问题的高阶转向点( H2) 知
=
0,
5mf ( 0, 5x m
E)
≠ 0( m ≥ 3) , f ( x , E)
≠ 0( x ∈ [ -
a,
0) ∪ ( 0, b] × [ 0, E0] ) .
作为问题解的正则部分的存在性( 包括相应退化解的存在性) , 假设方程( 1) 满足 y ( - a, E) = A ( E)
的外部解至少在 - a ≤ x ≤ 0 存在; 方程( 1) 满足 y ( b, E) = B( E) 的外部解至少在 0 ≤ x ≤ b 存在; 明
Abstract: Under suit able co nditions, gives t he ex ist ence of t he so lut ion fo r a class of quadrat ic singular pert urbed bo undary value pr oblem wit h hig her-or der t urning po int , at t he sam e t ime, co nstr uct t he hig her-or der asympt ot ic solut ion t o t he pr obl em . Fort hermor e gives est im ation o f err or of t he so lut ion.