圆周角定理

圆周角定理
1.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【变式1】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B等于（）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【变式2】如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（）
A．100°B．72°C．64°D．36°
【变式3】．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径是（）
A．2 B．4 C．D．
【变式4】如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（）
A．12.5° B．15°C．20°D．22.5°
2如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠A=35°，则∠BCD的度数是（）
A．55°B．65°C．70°D．75°
【变式1】如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则⊙O的半径为．
【变式2】．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=2．
（1）求⊙O的半径；
（2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为．
【变式3】．如图，在⊙O中，AC与BD是圆的直径，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；
（2）求证：BE=CF．
【变式4】．如图，点D是等腰△ABC底边的中点，过点A、B、D作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）延长CB交⊙O于点E，连结DE，求证：DC=DE．
【变式5】．如图，AB、AC是⊙O相等的两弦，延长CA至点D，使AD=AC，连接DB交⊙O于点E，连接CE．证明：CE 是⊙O的直径．
3．如图，半径为5的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A的优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为（）
A．（0，5）B．（0，5）C．（0，）D．（0，）
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCB的外接圆与y轴交于点A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，求OC的长．
【变式2】已知，⊙C经过原点，并与两坐标轴相交于A、D两点，若∠OBA=30°，点D的坐标是（0，2），求点A的坐标及圆心C的坐标．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y 轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．
（1）求点C、P的坐标；
（2）求证：BE=2OE．
【变式4】Rt△ABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，∠C=90°，AB=6，AC=3，点A在x轴上由原点O开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2所示；当点B滑动至点O重合时，运动结束．在上述运动过程中，⊙G始终以AB为直径．
（1）试判断在运动过程中，原点O与⊙G的位置关系，并说明理由；
（2）设点C坐标为（x，y），试求出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C运动的路径的长．
4．如图，在⊙O中，CD⊥AB于点D，求证：∠ACD=∠BCD．
【变式1】已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．
【变式2】．AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）若CD=6，AC=8，则⊙O的半径为，CE的长是，BD的长是；
（2）求证：CF=BF．
【变式3】．已知△ABC内接于⊙O，F是弧上一点，OG⊥BF于点G，且OG=AC．证明：AF⊥BC．
【变式4】．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
【变式5】如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC
的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明．
（2）求证：AE=BF．
【变式6】如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E，求证：AE=BD+DE．
5．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求的长．
（2）求弦BD的长．
【变式1】如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP 交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC=度，∠BPC=度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．
【变式2】已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BM=a，CM=b（其中b＞a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．
【变式3】如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的角平分线．
（1）求证：△ABD为等腰三角形；
（2）若∠DCE=45°，BD=6，求⊙O的半径．
【变式3】．如图，已知⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°
（1）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？并求出最大面积；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
【课后练习】
1．（西城一模）在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径，如图，直角角尺，∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA、OB与圆的交点C、D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（）
A．17 B．14 C．12 D．10
2．（怀柔区二模）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数为（）
A．32°B．58°C．64°D．116°
3．（海淀区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=50°，则∠B的度数为（）
A．60°B．50°C．40°D．30°
4．（平谷区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为6，则圆心O到弦CD的距离OE长为（）
A．6 B．5 C．3D．3
5．（石景山区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ABC=65°，则∠D的度数为（）
A．130°B．65°C．35°D．25°
6．（西城区期末）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为（）
A．55°B．45°C．35°D．25°
7．（房山区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，点D为弧AB的中点，AC=4．求CD的长．
8．（西城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．
（1）求证：AM=BM；
（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．
9．（昌平区期末）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．
10．（房山区一模）小明遇到这样一个问题：
如图1，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠AFE=∠ACB．
小明是这样思考问题的：如图2，以BC为直径作半⊙O，则点F、E在⊙O上，
∠BFE+∠BCE=180°，所以∠AFE=∠ACB．
请回答：若∠ABC=40°，则∠AEF的度数是．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠BDF=∠CDE．
11．（西城区一模）如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称，作BE⊥l于点E，连接AD，DE
（1）依题意补全图形；
（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．
12（三帆中学期中）．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC交AD于H，若CF是⊙O的直径．
（1）求∠FCB的度数；
（2）求证：AH=CF．。