2.1 线性规划方法应用的典型情况2.2 线性规划问题及其数
Chapet 2.1-2.2 线性规划(2012-7)
第2章 线性规划
将下面的线性规划问题化为标准型：
min Z = x1－x2+3x3 x1 + 2x2 + x3 ≤ 9 x1－x2 + x3 ≥ 3 2x1 + x2 + 2x3 = 5 x1≥0 ,x2≤0, x3取值无约束
s.t
讨论： 如何下手？标准化过程排序 -------
第2章 线性规划
运筹学 第2章 线性规划
课程安排
第1章 运筹学概况 第2章 线性规划 第3章 线性规划的对偶和灵敏度分析 第4章 运输问题 第5章 目标规划
第6章 整数规划
第7章 图与网络规划
第2章 线性规划
第2章 线性规划
2.1线性规划数学模型 2.2线性规划的标准型 2.3线性规划问题的解的概念 2.4线性规划的图解法 2.5单纯形法 2.6单纯形法的进一步讨论 2.7单纯形法的矩阵描述
问各截这两种彩纸多少张可得所需三种规格小纸片， 且花费最少？
第2章 线性规划
• 为建立线性规划模型，我们引入变量如下：
• x1=甲种彩纸数量； • x2=乙种彩纸数量； • 目标函数 Z=8x1+6x2 ，表示彩纸成本函数，即如 何确定x1,x2 使得成本Z=8x1+6x2最少且满足三种
规格小纸片要求的约束，这些约束条件是： • A规格小纸片要求：2x1+x2≥15
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 100 0 . 3 x 1 0 . 45 x 2 0 . 73 x 3 0 . 85 x 4 0 . 92 x 5 0 . 8 100
第2章 线性规划
有多少种配比方案？为什麽？ 何为最好？
5种硫酸价格分别为：400，700，1400， 1900，2500元/t，则有：
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
线性规划的应用
线性规划的应用引言概述：线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于各个领域。
它通过建立数学模型，寻找最优解来解决实际问题。
本文将介绍线性规划的应用，并分析其在经济、物流、生产、资源分配和运筹学等领域的具体应用。
一、经济领域的应用1.1 产量最大化：线性规划可以用于帮助企业确定最佳生产方案，以最大化产量。
通过考虑生产成本、资源限制和市场需求等因素，线性规划可以确定最优的生产数量和产品组合。
1.2 资源分配：线性规划可以帮助企业合理分配资源，以最大化利润。
通过考虑各种资源的供应和需求关系，线性规划可以确定最优的资源分配方案，提高资源利用效率。
1.3 价格优化：线性规划可以用于确定最佳定价策略，以最大化利润。
通过考虑市场需求、成本和竞争等因素，线性规划可以确定最优的价格水平，提高企业的竞争力。
二、物流领域的应用2.1 运输成本最小化：线性规划可以用于确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。
通过考虑物流网络、货物流量和运输成本等因素，线性规划可以确定最优的运输路线和运输量，提高物流效率。
2.2 仓储优化：线性规划可以帮助企业优化仓储管理，以最小化仓储成本。
通过考虑仓库容量、货物存储需求和仓储成本等因素，线性规划可以确定最优的仓储方案，提高仓储效率。
2.3 供应链优化：线性规划可以用于优化供应链管理，以提高整体供应链效率。
通过考虑供应商、生产商和分销商之间的关系，线性规划可以确定最优的供应链方案，减少库存和运输成本。
三、生产领域的应用3.1 生产计划：线性规划可以用于帮助企业制定最佳的生产计划，以满足市场需求。
通过考虑生产能力、原材料供应和市场需求等因素，线性规划可以确定最优的生产计划，提高生产效率。
3.2 产能利用率优化：线性规划可以帮助企业提高产能利用率，以降低成本。
通过考虑设备利用率、工人数量和生产效率等因素，线性规划可以确定最优的产能利用方案，提高生产效率。
3.3 品质控制：线性规划可以用于优化品质控制过程，以提高产品质量。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划方法。
一、生产计划问题1.1 最大利润问题在生产计划中，一个常见的线性规划问题是最大利润问题。
假设一个公司有多个产品，每个产品的生产和销售都有一定的成本和利润。
我们需要确定每个产品的生产数量，以最大化整体利润。
1.2 生产能力限制另一个常见的问题是生产能力限制。
公司的生产能力可能受到设备、人力资源或原材料等方面的限制。
我们需要在这些限制下，确定每个产品的生产数量，以实现最大化的利润。
1.3 市场需求满足除了考虑利润和生产能力，还需要考虑市场需求。
公司需要根据市场需求确定每个产品的生产数量，以满足市场需求，并在此基础上最大化利润。
二、资源分配问题2.1 资金分配问题在资源分配中，一个常见的线性规划问题是资金分配问题。
假设一个公司有多个项目，每个项目需要一定的资金投入，并有相应的回报。
我们需要确定每个项目的资金分配比例，以最大化整体回报。
2.2 人力资源分配另一个常见的问题是人力资源分配。
公司的人力资源可能有限，而各个项目对人力资源的需求也不同。
我们需要在人力资源有限的情况下，确定每个项目的人力资源分配比例，以实现最大化的效益。
2.3 时间分配除了资金和人力资源，时间也是一种有限资源。
在资源分配中，我们需要合理安排时间，以满足各个项目的需求，并在此基础上实现最大化的效益。
三、运输问题3.1 最小成本运输问题在运输领域，线性规划可以用于解决最小成本运输问题。
假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间的运输成本不同。
我们需要确定每个供应地和需求地之间的货物运输量，以实现最小化的总运输成本。
3.2 运输能力限制另一个常见的问题是运输能力限制。
运输公司的运输能力可能受到车辆数量、运输距离或运输时间等方面的限制。
线性规划教案
线性规划教案一、引言线性规划是运筹学中的一种优化问题求解方法，它可以用来解决多种实际问题，如生产计划、资源分配、投资决策等。
本教案旨在介绍线性规划的基本概念、求解方法和应用案例，帮助学生理解和掌握线性规划的原理和应用。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行解等。
2. 掌握线性规划的求解方法，包括图形法、单纯形法等。
3. 能够应用线性规划解决实际问题，如生产计划、资源分配等。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
三、教学内容1. 线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
1.2 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
1.3 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
2. 线性规划的图形法2.1 二元线性规划的图形解法：通过绘制目标函数和约束条件的图形，确定最优解的方法。
2.2 三元或多元线性规划的图形解法：通过绘制等高线图，确定最优解的方法。
3. 线性规划的单纯形法3.1 单纯形表格法：通过构造单纯形表格，通过迭代计算找到最优解的方法。
3.2 单纯形法的基本步骤：初始化、选择主元、计算新的单纯形表格、迭代计算等。
4. 线性规划的应用案例4.1 生产计划问题：如何安排生产计划，使得利润最大化。
4.2 资源分配问题：如何合理分配资源，满足各项需求。
4.3 投资决策问题：如何选择最佳投资组合，最大化收益。
（可以根据实际情况增加或修改案例内容）四、教学方法1. 讲授法：通过讲解线性规划的基本概念和求解方法，帮助学生理解和掌握知识点。
2. 实例演示法：通过具体的应用案例，演示线性规划的解题过程，培养学生的应用能力。
3. 讨论互动法：引导学生参与讨论，思考问题，提高学生的思维能力和合作能力。
4. 练习和作业：布置练习和作业，巩固学生的知识和技能。
五、教学评估1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与度和表达能力。
线性规划方法及其应用
05
线性规划方法优缺点分析
优点分析
有效处理多变量问题
线性规划能够同时处理多个决策变量，通过 优化算法寻找最优解。
直观易懂的数学模型
线性规划在各个领域都有广泛的应用，如生 产计划、资源分配、运输问题等。
广泛应用
线性规划的数学模型相对简单，易于理解和 应用。
可求解大规模问题
随着计算机技术的发展，线性规划可以求解 大规模的问题，满足实际应用的需求。
复杂约束处理
研究如何处理包含复杂约束条件的线性规划问题，提高求解效率和 准确性。
不确定性问题建模
针对包含不确定性因素的线性规划问题，发展有效的建模和求解方 法。
应用领域拓展
探索线性规划方法在更多领域（如机器学习、大数据分析等）的应用 潜力，推动相关领域的理论和技术创新。
感谢您的观看
THANKS
3
考虑不确定性
将不确定性因素引入资源分配问题中，通过线性 规划求解鲁棒性强的资源分配策略，以应对潜在 的风险和变化。
04
线性规划软件介绍
MATLAB软件介绍
1
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的数学 计算软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、 数据分析以及数值计算等领域。
2
MATLAB提供了丰富的工具箱，其中包括优化工 具箱（Optimization Toolbox），可用于解决线 性规划问题。
线性规划方法及其应用
目录
• 线性规划基本概念 • 线性规划方法 • 线性规划应用举例 • 线性规划软件介绍 • 线性规划方法优缺点分析 • 线性规划方法发展趋势与展望
01
线性规划基本概念
定义与特点
定义：线性规划是一种数学方法，用于 优化一组线性不等式约束下的线性目标 函数。
第2章 线性规划
产 资 源 品
1
2
资源限制
设备 原料 A 原料 B 利润
1 4 0 2元
2 0 4 3元
8 台时 16 千克 12 千克
2.2 线性规划问题及其数学模型
解 在应用运筹学知识解决实际问题时，数学模型的建立是首要的任务，建立数学模型 就是将用语言文字表达的问题转化为用数学语言表达。 描述目标：本题的目标就是分别生产多少千克 1 和 2 产品，使工厂利润最大。 描述约束条件：对于生产件数来说，一共有三个约束条件。 约束条件 1 生产 1 和 2 产品所用设备台时数之和不能多于 8 台时。 约束条件 2 生产 1 和 2 产品所用原料 A 数量之和不能多于 16 千克。 约束条件 3 生产 1 和 2 产品所用原料 B 数量之和不能多于 12 千克。 定义变量 该问题的变量有两个，设生产 1 产品的数量为 x1 千克，生产 2 产品的数量
(2.5)
2.3 简单最大化问题图解法求解
解
我们把 ( x1 , x2 ) 看作平面直角坐标系中某个点的坐标，则满足任意约束不等式的点
( x1 , x2 ) 就位于一个半平面上，如式（2.5）中满足不等式 x1 2 x2 8 的点在 x1 2 x2 8
为边界的半平面上，其中在一个半平面上任意选取一点，代入直线方程 x1 2 x2 8 左边后 所得值大于 8，则另一个半平面上任意一点代入该直线方程左边所得值一定小于 8，由此可 以判定满足不等式 x1 2 x2 8 的所有的点在 x1 2 x2 8 为边界的左下半平面上。在式 （2.5）中共有 5 个约束不等式，按照这样的方法就可以确定满足每一个不等式的点集，这 5 个半平面的公共部分就形成了如图 2-1 所示的多边形区域 OABCD， 多边形区域 OABCD 中 的点就是线性规划问题的可行解（可行点） ，多边形区域 OABCD 称为线性规划问题的可行 解区域。显然它是一个凸区域。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，可用于解决各种实际问题。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用领域，并通过具体案例展示其在实际问题中的应用。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数被称为目标函数。
目标函数通常表示为各个决策变量的线性组合。
2. 约束条件：线性规划问题必须满足一组线性不等式或等式的约束条件。
这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，其取值对问题的解决方案产生影响。
4. 可行解：满足约束条件的决策变量取值称为可行解。
5. 最优解：在满足约束条件的可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、线性规划的应用领域线性规划广泛应用于各个领域，包括生产计划、资源分配、运输问题、投资组合、市场营销等。
下面将通过一个生产计划的案例来说明线性规划在实际问题中的应用。
案例：生产计划问题某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。
公司有两个生产车间，生产车间1每天可生产产品A 4个单位或产品B 6个单位；生产车间2每天可生产产品A 6个单位或产品B 3个单位。
公司每天的生产时间为8小时。
假设公司希望最大化每天的利润，请问应该如何安排生产计划？解决方案：1. 确定决策变量：- x1：生产车间1生产的产品A的单位数- x2：生产车间1生产的产品B的单位数- x3：生产车间2生产的产品A的单位数- x4：生产车间2生产的产品B的单位数2. 建立目标函数和约束条件：目标函数：最大化利润- 目标函数：maximize 10x1 + 15x2 + 10x3 + 15x4约束条件：生产时间和生产能力的限制- 生产时间约束：4x1 + 6x2 + 6x3 + 3x4 <= 8- 生产能力约束：x1, x2, x3, x4 >= 03. 求解最优解：使用线性规划求解器，可以得到最优解，即每天生产2个单位的产品A和1个单位的产品B，每天的利润为40元。
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【例3-2】将下面的线性规划问题化为标准型：
min z x1 2x2 3x3
2x1 x2 x3 9
st.
3x1 4x1 2
x2 x2
2x3 2 x3
4 6
x1 0, 2 x2 6, x3无约束
（1）变量非负约束的转换 令x1 x1，x3 x3 x3， 由2 x2 6,则2 2 x2 2 6 2，令x2 x2 2 即0 x2 4，此式等价于x2 0，且x2 4 其中x1，x2，x3，x3 0，
①约束方程为
n
aij x j bi
j 1
n
aij x j xn1 bi
j 1
在“≤”左端加入一个非负松弛变量，把原“≤” 的不等式变为等式。
②约束方程为
n
aij x j bi
j 1
n
aij x j xn1 bi
j 1
在“≥”左端减去一个非负剩余变量，把原“≥” 的不等式变为等式。
4
x2
x6
4
x1，x2，x3，x3，x4，x5，x6，
0，
即可得：
max z x1 2x2 4 3x3 3 x3 0x4 0x5 0x6
2
x1
x2
2
x3
x3
x4
9
st.
34xx11
x2 2 2x2
2 4
x3 2 2x3
x3 2 x3
x5 6
4
x2
x6
4
x1，x2，x3，x3，x4，x5，x6，
st.
ai1x1 ai
x1
,
x2
,L
2
,
x2 xn
L 0
ain xn
bi ,i
1, 2,L
,m
n
1.目标函数为求极小值，即为： min z cj xj j 1
因 为 求 minz 等 价 于 求max(-z)，令z’=-z，
即转换为：
n
max z cj xj j 1
2.约束条件为不等式，
（5）统一变量，令 x=x3，y(1)=x4，y(2)=x5， 得到该线性规划问题的标准形式：
min z 0 x1 0 x2 7 x3 12x4 12x5
x1
9x3 4x4 4x5 360
s.t .
4x3 5x4 5x5 200
x2 3x3 10x4 10x5 300
（2）约束条件的转换
由 2x1 x2 x3 9 2x1 x2 x3 x4 9
3x1 x2 2x3 4 3x1 x2 2x3 x5 4
x2 4
x2 x6 4
（3）右端常数项的转换
4x1 2x2 2x3 6 4x1 2x2 2x3 6 （4）目标函数的转换
第2章 线性规划模型和图解法
2.1 线性规划方法应用的典型情况 2.2 线性规划问题及其数学模型 2.3 简单最大化问题的图解法求解 2.4 简单最小化问题的图解法求解 2.5 图解法的特殊情况 2.6 线性规划模型及图解法得到的启示 2.7 使用计算机软件求解LP问题
上周内容回顾
基本概念
（1）可行解：满足约束条件的决策变量的取值 （2）可行域：可行解的全体 （3）最优解：使目标函数取得最优值的可行解 （4）最优值：最优解代入目标函数所得到的值 （5）凸 集：如果集合C中任意两点连线上所有的点
0，
将下面的线性规划问题化为标准型：
min z 7x 12 y
9x 4 y 360
s.t.
4x 5y 200 3x 10 y 300
x 0, y无非负要求
解 （1）对目标函数，令 z z 7 x 12 y
则 max z min z min 7x 12 y
（2）对于“”约束 9x+3y 360，引入松弛 变量 x1，得到 x1 9x 3 y 360 （3）对于“”约束 3x+10y 300，引入剩 余变量 x2，得到 x2 3x 10 y 300 （4）对于 y 无非负约束，令 y＝y(1)-y(2)，且 y(1) 0，y(2) 0.
2）若线性规划问题存在最优解，它一定在可行 域的某个顶点得到。
3）若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线 上的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解。
第 3 章 线性规划模型的单纯形法
3.1 线性规划数学模型的结构及特征 3.2 线性规划模型的标准形式 3.3 基、基本解、基本可行解 3.4 单纯形表的数学原理 3.5 从一个基本可行解转化为相邻的基本可行解 3.6 最优性检验和解的判别 3.7 单纯形表法 3.8 人工变量法和两阶段法 3.9 计算机软件QM求解
都是集合C中的点，该集合为凸集
图解法求解步骤
1. 由全部约束条件作图求出可行域； 2. 作目标函数等值线，确定使目标函数最优的移
动方向； 3. 平移目标函数的等值线，找出最优点，算出最
优值。
解的情况可归结如下
唯一解 有最优解
无穷多解 无最优解 无有限最优解
无可行解
线性规划的几何意义
1）当线性规划问题的可行解域非空时，它是有 界或无界凸多边形。
３.右端项bi<0时，只需将等式两端同乘（-1），则
右端项必大于零
4.决策变量无非负约束,设xj没有非负约束， 若xj≤0，可令xj=-xj’，则xj’≥0； 若xj为自由变量，即xj可为任意实数， 可令xj=xj’-xj’’，且xj’,xj’’≥0
5.决策变量xj有上界或者下界，即xj≥u或者xj≤v 若xj≥u，可令xj’=xj-u，xj’≥0； 若xj≤v，可令xj’=v-xj，xj’≥0；
z z x1 2x2 3x3 max z min z x1 2x2 3x3
（5）整理得
max z x1 （2 x2 2）（3 x3 x3）
2
x1
（x2
2）（x3
x3）
x49ຫໍສະໝຸດ st.34xx11
（x2 2） （2 x3 x3） x5 （2 x2 2） （2 x3 x3） 6
3.2.2 一般形式的线性规划模型变换为标准形式
线性规划模型的一般形式为
max(或 min)z c1x1 L cn xn
st.
ai1x1 ai2
x
j1
,
x
j
2
,L
x2 L , x jk
ain 0,
xn k
(或 , )bi ,i 1, 2,L n
,m
线性规划模型的标准形式为
max z c1x1 L cn xn
x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0