双曲线的综合讲义

学生： 邹依青 科目： 数学 教师： 刘兵 时间： 9.26 5-7课 题双曲线教学目标1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题.重点、难点1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程. 考点及考试要求双曲线的综合教学内容 知识框架1）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2222m x n y λ-=，根据已知条件，求出λ即可。

（3）与双曲线12222=-by a x 有公共渐近线的双曲线与双曲线12222=-by a x 有公共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x =±，因此等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠. 知识概括、方法总结与易错点分析1 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=1 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是 （ ）A ．1422=-y xB ．1422=-y x C ．13222=-y x D ．12322=-y x 1 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x=的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．12+C ．13+D ．23+1 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3)1 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习(一)数学理试题）已知1F 、2F 为双曲线C:14x 22=-y 的左、右焦点,点P 在C 上,∠21PF F =060,则P 到x 轴的距离为（ ）A ．55B ．155C ．2155D ．15201 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ,满足212PF FF =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．540x y ±=D ．430x y ±=1 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则△AFK 的面积为 （ ）A ．4B ．8C ．16D ．321 ．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为 （ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 二、填空题1．若双曲线C:2221(0)3x y a a -=> 的离心率为2,则抛物线28y x =的焦点到C 的渐近线距离是______. 1．圆22()1x a y -+=与双曲线221x y -=的渐近线相切，则a 的值是 _______.1．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____. 1．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x y a b a b -=>>， 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双 曲线的离心率为 .1．抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为 1．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为3y x =,则b =_________.1．（2010年高考（北京理））已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2,焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为__________｡1．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线3y x =无交点，则离心率e 的取值范围是 .1．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线Ay2F1F BOx221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ． 1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为3,右准线方程为33x =(Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线,l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ,证明AOB ∠的大小为定值.巩固性练习1．（2014•正定县校级三模）设F 1，F 2是焦距等于6的双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|+|PF 2|=6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的方程为 ．2．（2014•上海校级模拟）已知双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1，F 2，其中一条渐近线方程为y=，P 为双曲线上一点，且满足|OP|＜5（其中O 为坐标原点），若|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|成等比数列，则双曲线C 的方程为 ． 3．（2015•甘肃一模）过双曲线的右顶点A 作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ．若，则双曲线的离心率是 ．4．（2015•邢台四模）双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，若，则双曲线的离心率为 ．5．（2015•大观区校级四模）双曲线C 的左右焦点分别为F 1、F 2，且F 2恰为抛物线y 2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为．6．（2015•武昌区模拟）设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是．7．（2015•闵行区一模）已知F1、F2是椭圆Γ1：=1和双曲线Γ2：=1的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=，则mn的最大值为．8．（2015•龙岩一模）已知点P在渐近线方程为4x±3y=0的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上，其中F1，F2分别为其左、右焦点．若△PF1F2的面积为16且=0，则a+b的值为．9．（2015•浙江模拟）已知点P是双曲线y2﹣=1上任意一点，过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则线段|AB|的最小值为．10．（2015•衢州一模）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线于点M且，则双曲线C的离心率为．11．（2015•浙江模拟）设F1，F2是双曲线的两个焦点．若此双曲线上存在点P满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值范围是．12．（2014•山东）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为．13．（2011•桂林模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于．14．（2010•西城区一模）已知双曲线x2﹣=1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则•最小值为．15．（2010•杭州校级模拟）P是双曲线的右支上一动点，F是双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为．16．（2014•浙江二模）如图，已知过点A（1，2）的抛物线C：y2=ax与过点T（3，﹣2）的动直线l相交于P、Q两点．（Ⅰ）求直线AP与直线AQ的斜率的乘积；（Ⅱ）若∠APQ=∠AQP，求证：△APQ的周长为定值．17．（2014•浙江模拟）如图，已知在抛物线y2=4x上有三个点A，B，C恰好构成等腰直角三角形，且点B为直角顶点，A，B，C按逆时针排列，设直线AB的斜率为a（a＞0）．（Ⅰ）求顶点B的坐标；（Ⅱ）当a变化时，求△ABC的面积的最小值．18．（2013秋•东湖区校级月考）已知双曲线x2﹣y2=2013的左、右顶点分别为M、N，点P是双曲线上异于M、N的任意一点．（1）记直线PM、PN的斜率分别为k PM、k PN，求证：k PM•k PN为定值；（2）若点P是双曲线上位于第一象限的点，且∠PNM=7∠PMN，求∠MPN．（3）类比到椭圆，M、N为其左、右顶点，点P是椭圆上异于M、N的任意一点．k PM•k PN 还是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．。