2019年高三数学(理科)人教A版一轮课时分层训练21函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
2019高考数学一轮复习学案(北师大理科)： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (56)
课时分层训练(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件A 组 基础达标一、选择题1．命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题是( )A ．若a ＞b ，则a －1≤b －1B ．若a ＞b ，则a －1＜b －1C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a ＜b ，则a －1＜b －1C [根据否命题的定义可知：命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题应为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．故选C.] 2．下列命题是真命题的是( )【导学号：79140009】A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2A [由1x ＝1y得x ＝y ，A 正确；由x 2＝1得x ＝±1，B 错误；由x ＝y ，x ，y 不一定有意义，C 错误；由x ＜y 不一定能得到x 2＜y 2，如x ＝－2，y ＝－1，D 错误，故选A.] 3．设M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [若N ⊆M ，则a 2＝1或a 2＝2， 解得a ＝±1或a ＝±2，所以“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件，故选A.]4．已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若函数y ＝2x ＋m －1有零点，则m －1＜0，得m ＜1；若函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m ＜1，由于(0,1)(－∞，1)，所以“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．] 5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A．a＞5 B．a≥5C．a＜5 D．a≤5D[由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}⊆{x|x＞a}．∴a≤5，故选D.] 6．(2018·青岛质检)已知λ∈R，向量a＝(3，λ)，b＝(λ－1,2)，则“λ＝3”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意得a∥b⇔3×2－λ(λ－1)＝0，解得λ＝－2或λ＝3，所以“λ＝3”是“a∥b”的充分不必要条件，故选A.]7．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[法一：∵数列{a n}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，即S4＋S6>2S5.若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d，∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.法二：∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.]二、填空题8．(2017·北京高考)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．－1，－2，－3(答案不唯一) [只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．]9．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是________．m ＝－2 [∵f (x )＝x 2＋mx ＋1图像的对称轴为直线x ＝－m2，∴f (x )的图像关于直线x＝1对称⇔－m2＝1⇔m ＝－2.]10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140010】(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知A B ，所以a ＞4.]B 组 能力提升11．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件B [函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数等价于－－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选B.]12．(2018·石家庄质检(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的( )【导学号：79140011】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R (R 为三角形外接圆半径)得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sinB ，故sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b .]13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]B [解x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，故﹁p ：－3≤x ≤1，又﹁q ：x ≤a ，由﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，可知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，故a ≥1.]14．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)． 由图可知，p 是q 的必要不充分条件．] 15．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________.【导学号：79140012】②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误． ②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．]16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．(2，＋∞) [A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.]。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (31)
课时分层训练(五十一) 直线与圆、圆与圆的位置关系A 组 基础达标一、选择题1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．(2018·东北三省四市模拟(二))直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( ) A.30 B.532C ．4 2D ．33 A [圆心(1,3)到直线的距离为|1－3×3＋3|12＋32＝102，从而得所求弦长为210－⎝⎛⎭⎪⎫1022＝30，故选A.] 3．过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1， 将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]4．(2018·深圳二调)在平面直角坐标系中，直线y ＝2x 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，α，β的始边是x 轴的非负半轴，终边分别在射线OA 和OB 上，则tan(α＋β)的值为( )【导学号：79140281】A ．－2 2B ．－ 2C ．0D ．22A [由题可知tan α＝tan β＝2，那么tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－22，故选A.]5．(2017·广东惠州一模)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，则ab 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 B [把圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心的坐标为(－1,2)，半径r ＝2， ∵圆C 的圆心在直线ax －by ＋1＝0上， ∴－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ， 则ab ＝b (1－2b )＝－2b 2＋b＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18，∴当b ＝14时，ab 有最大值，最大值为18，则ab 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18.故选B.]二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.1 [两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y ＝1a，如图，由已知得|AC |＝3，|OA |＝2，∴|OC |＝1a＝1，∴a ＝1.]8．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.4 [法一：由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝23.∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0,23)． 过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，得x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4.] 三、解答题9．已知点P (2＋1,2－2)，M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.【导学号：79140282】(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时， 设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.10．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. [解] (1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1， 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.B 组 能力提升11．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)过动点M 作圆：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线MN ，其中N 为切点，若|MN |＝|MO |(O 为坐标原点)，则|MN |的最小值是( ) A.324B.728 C. 2 D.928B [设圆心C (2,2)，因为|MN |＝|MO |，所以|MN |2＝|MC |2－1＝|MO |2.设M (x ，y )，则(x －2)2＋(y －2)2－1＝x 2＋y 2，化简得4x ＋4y －7＝0，即为点M 的轨迹方程，则|MN |的最小值为|MO |的最小值，即点O 到直线4x ＋4y －7＝0的距离，所以|MN |min ＝|－7|16＋16＝728，故选B.] 12．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． [－52，1] [设P (x ，y )，则PA →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x,6－y )． ∵PA →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1，又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]．]13．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由.【导学号：79140283】[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4. 得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0. ∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*) ∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)． (2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧MN 所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2. 在Rt△MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2， 故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)， 故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x .。
2019高考数学一轮复习学案(北师大理科)： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (47)
课时分层训练(六十七) 几何概型A 组 基础达标一、选择题1．在区间[0，π]上随机取一个实数x ，使得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的概率为( ) A.1πB.2πC.13D.23C [由0≤sin x ≤12，且x ∈[0，π]，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π.故所求事件的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－56π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－0π－0＝13.]2．若将一个质点随机投入如图1066所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是()图1066A.π2B.π4C.π6D.π8B [设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.]3．(2018·深圳二调)设实数a ∈(0,1)，则函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋1有零点的概率为( )【导学号：79140364】A.34 B.23 C.13D.14D [由函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋1有零点，可得Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋1)＝4a －3≥0，解得a ≥34，即有34≤a <1，结合几何概型的概率计算公式可得所求的概率为P ＝1－341－0＝14，故选D.] 4．(2018·湖北调考)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：y ＝x ，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离小于1的概率为( ) A.34 B.23 C.12 D.13D[如图所示，设与y ＝x 平行的两直线AD ，BF 交圆C 于点A ，D ，B ，F ，且它们到直线y ＝x 的距离相等，过点A 作AE 垂直于直线y ＝x ，垂足为E ，当点A 到直线y ＝x 的距离为1时，AE ＝1，又CA ＝2，则∠ACE ＝π6，所以∠ACB ＝∠FCD ＝π3，所以所求概率P ＝2π32π＝13，故选D.]5．已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC ＜12V S ABC的概率是( ) A.78 B.34 C.12D.14A [当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P ABC ＜12V S ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝78.]6．(2018·西宁检测(一))已知平面区域D 1＝{(x ，y )||x |<2，|y |<2}，D 2＝{(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2<4}，在区域D 1内随机选取一点P ，则点P 恰好取自区域D 2的概率是( )A.14B.π4C.π16D.π32C [平面区域D 1是边长为4的正方形，面积是16，其中区域D 1与D 2的公共部分是半径为2的14圆，其面积为14×π×22＝π，则所求概率为π16，故选C.]7．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4nmB.2nmC.4mnD.2mnC [因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4mn.]二、填空题8.如图1067所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．图106716 [如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16.]9．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________． 127[由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.]10．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x2和y ＝x 2上，如图1068所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________.【导学号：79140365】图106823 [由对称性，S 阴影＝4⎠⎛01(1－x 2)d x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33⎪⎪⎪10＝83. 又S 正方形ABCD ＝2×2＝4，由几何概型，质点落在阴影区域的概率P ＝S 阴S 正方形ABCD ＝23.]B 组 能力提升11．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12πD [|z |＝(x －1)2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分．因为S 圆＝π×12＝π，S 阴影＝π4－12×12＝π－24. 故所求事件的概率P ＝S 阴影S 圆＝π－24π＝14－12π.]12．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12B ．p 2<12<p 1C ．12<p 2<p 1 D ．p 1<12<p 2D [如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE (如图(1))，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分(如图(2))，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.]13. (2018·太原模拟(二))如图1069，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为15，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()图1069A.55B.255 C.15D.33B [设大正方形边长为a ，直角三角形中较大锐角为θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则小正方形的面积为a 2－4×12×a cos θ×a sin θ＝a 2－a 2sin 2θ，则由题意，得a 2－a 2sin 2θa 2＝15，解得sin 2θ＝45.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝35 ①，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝15②.由①＋②解得sin θ＝255，故选B.]14．(2018·贵州适应性考试)已知区域Ω＝{(x ，y )||x |≤2，0≤y ≤2}，由直线x ＝－π3，x ＝π3，曲线y ＝cos x 与x 轴围成的封闭图形所表示的区域记为A .若在区域Ω内随机取一点P ，则点P 在区域A 内的概率为( ) A.24 B.12 C.34D.64C [区域Ω＝{(x ，y )||x |≤2，0≤y ≤2}对应的区域是矩形，面积为22×2＝4，区域A 的面积为2⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝2sin π3＝3，由几何概型的概率计算公式得所求的概率为P ＝34，故选C .]15．在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝120°，D 为棱BC 上一个动点，设直线PD 与平面ABC 所成的角为θ，则θ不大于45°的概率为________.【导学号：79140366】23 [因为tan θ＝PA AD ＝1AD≤1，所以AD ≥1.在等腰三角形ABC 中，当BD ≤1或CD ≤1时，AD ≥1，又BC ＝3，故所求概率为23.]16.如图10610，正四棱锥S ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．图106101 2π[设球的半径为R，则所求的概率为P＝V锥V球＝13×12×2R×2R·R43πR3＝12π.]。
2019高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大理)： 分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像应用理 (65)
课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y ＝f (x A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．故选B.]3．(2017·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 12的交点横坐标所在区间为( )【导学号：79140063】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜bB [由于f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，且f (x )为R 上的增函数，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (x )是R 上的增函数，g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a ＜c ＜b .]5．(2018·合肥第一次质检)从[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x－a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23A [函数f (x )有零点，即f (x )＝4x －2a ·2x ＋1＝0有解，则2a ＝2x＋12x ≥2，a ≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立．所求概率为2－12＋2＝14，故选A.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点所构成的集合为________．{－2，e} [由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.]8．若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________.【导学号：79140064】(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图像，如图所示，则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．[解] (1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．B 组 能力提升11．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]12．(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则( )A ．当a ＜0时，方程没有实数根B ．当0＜a ＜e 时，方程有一个实数根C ．当a ＝e 时，方程有三个实数根D ．当a ＞e 时，方程有两个实数根D [由x ＝ln(ax )得e x＝ax ，则函数y ＝e x，y ＝ax 图像的交点个数是原方程根的个数．当a ＜0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x相切的切点坐标为(x 0，e x 0)，则e x 0＝ex 0x 0，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0＜a ＜e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a ＞e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D.]13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．(0,1) [函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图像，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．]14．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数. 【导学号：79140065】[解] (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝(x －1)(x －3)x2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：所以当又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，且g (3)＜0，g (e 3)＞0，所以g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．。
2019高考数学一轮复习学案(北师大理科)： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (51)
课时分层训练(七十一) 坐标系1．若函数y ＝f (x )的图像在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．[解] 由题意，把变换公式代入曲线方程y ′＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.2．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)法一：将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2， 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.法二：直线C 3的直角坐标方程为x －y ＝0，圆C 2的圆心C 2(1,2)到直线C 3的距离d ＝12＝22，圆C 2的半径为1， 所以|MN |＝2×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2018·合肥一检)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3＋3t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标轴中，曲线C 的方程为sin θ－3ρ cos 2θ＝0.(1)求曲线C 的直线坐标方程；(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标． [解] (1)∵sin θ－3ρcos 2θ＝0， ∴ρsin θ－3ρ2cos 2θ＝0，即y －3x 2＝0. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝3＋3t ，代入y －3x 2＝0，得3＋3t －3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝0，即t ＝0.从而交点坐标为(1，3)．∴交点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.4．在直角坐标系xOy中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.【导学号：79140387】[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.6．(2018·湖北调考)在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2 sin θ，正方形ABCD 的顶点都在C 1上，且依次按逆时针方向排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4.(1)求点C 的直角坐标；(2)若点P 在曲线C 2：x 2＋y 2＝4上运动，求|PB |2＋|PC |2的取值范围.【导学号：79140388】[解] (1)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4的直角坐标为(1,1)． 由A ，C 关于y 轴对称，则C (－1,1)． (2)易得B (0,2)，C (－1,1)．曲线C 1：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1. 设P (x ，y )，x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 则|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －2)2＋(x ＋1)2＋(y －1)2＝2x 2＋2y 2－6y ＋2x ＋6 ＝14＋2(x －3y )＝14＋2(2cos θ－6sin θ)＝14＋4(cos θ－3sin θ)＝14＋410cos(θ＋φ)．所以|PB|2＋|PC|2∈[14－410，14＋410]．。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (24)
课时分层训练(四十四) 简单几何体的表面积与体积A 组 基础达标一、选择题1．(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图759所示，则该三棱锥的体积为( )图759A ．60B ．30C ．20D ．10D [由三视图画出如图所示的三棱锥P ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V 三棱锥P ACD ＝13×12×3×5×4＝10.故选D.]2．(2016·全国卷Ⅱ)如图7510是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )图7510A ．20πB ．24πC ．28πD ．32πC [由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为23，所以圆锥的母线长为(23)2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S ＝16π＋4π＋8π＝28π.]3．(2016·全国卷Ⅲ)如图7511，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )图7511A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81B [由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.] 4．某几何体的三视图如图7512所示，且该几何体的体积是3，则主视图中的x 的值是( )图7512A ．2B ．92 C.32D ．3D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S 底＝12×(1＋2)×2＝3，所以V ＝13x ·3＝3，解得x ＝3.]5．(2018·石家庄质检)某几何体的三视图如图7513所示，则该几何体的体积是( )【导学号：79140241】图7513A ．16B ．20C ．52D ．60B [由三视图得该几何体的直观图如图所示，其中四边形ABCD 为邻边长分别为2,4的长方形，四边形CDEF 为上底为2、下底为6、高为3的等腰梯形，所以该几何体可以看作是由两个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形，高为2的三棱锥和一个底面为直角边长分别为3,4的直角三角形，高为2的三棱柱组成，则该几何体的体积为2×13×12×3×4×2＋12×3×4×2＝20，故选B.] 二、填空题6．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]7．(2017·江苏高考)如图7514，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．图751432[设球O 的半径为R ， ∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.] 8．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．92π [设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3. 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.]三、解答题9.如图7515，在三棱锥D ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D ABC 的体积的最大值.【导学号：79140242】图7515[解] 由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，∵棱AD 与棱BC 相互垂直，设d 为AD 到BC 的距离，则V D ABC ＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ，当d 最大时，V D ABC 体积最大． ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时，d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215.10.如图7516，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．图7516(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． [解] (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.]B 组 能力提升11．(2018·东北三省四市模拟(一))点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°.若四面体ABCD 体积的最大值为34，则这个球的表面积为( ) A.500π81 B ．4π C.25π9D ．100π9D [因为AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，所以由正弦定理知△ABC 外接圆的半径r ＝12×AB sin 30°＝1，S △ABC ＝12AB ×BC sin 120°＝34.设外接圆的圆心为Q ，则当DQ 与平面ABC 垂直时，四面体ABCD 的体积最大，所以13S △ABC ×DQ ＝34，所以DQ ＝3.设球心为O ，半径为R ，则在Rt△AQO 中，OA 2＝AQ 2＋OQ 2，即R 2＝12＋(3－R )2，解得R ＝53，所以球的表面积S ＝4πR 2＝100π9，故选D.] 12．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________.【导学号：79140243】92π [如图，设球O 的半径为R ，则由AH ∶HB ＝1∶2得 HA ＝13·2R ＝23R ，∴OH ＝R3.∵截面面积为π＝π·(HM )2， ∴HM ＝1.在Rt△HMO 中，OM 2＝OH 2＋HM 2， ∴R 2＝19R 2＋HM 2＝19R 2＋1，∴R ＝324，∴S 球＝4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎪⎫3242＝92π.] 13．四面体ABCD 及其三视图如图7517所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA于点E ，F ，G ，H .图7517(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ， ∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形．。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (22)
课时分层训练(四十二) 平行关系A 组 基础达标一、选择题1．(2017·合肥模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．在平面内D ．不能确定A [如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF 平面DEF ，AC ⊆/平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .]2．(2017·湖南长沙二模)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，则n ∥α C ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC [对于A ，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故A 不正确；对于B ，m ∥n ，m ∥α，则n ∥α或n α，故B 不正确； 对于C ，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C 正确；对于D ，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D 不正确．故选C.]3．(2017·豫西五校4月联考)已知m ，n ，l 1，l 2表示不同直线，α、β表示不同平面，若m α，n α，l 1β，l 2β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2D [对于选项A ，当m ∥β且l 1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A 不是α∥β的充分条件；对于选项B ，当m ∥β且n ∥β时，若m ∥n ，则α，β可能平行也可能相交，故B 不是α∥β的充分条件；对于选项C ，当m ∥β且n ∥l 2时，α，β可能平行也可能相交，故C 不是α∥β的充分条件；对于选项D ，当m ∥l 1，n ∥l 2时，由线面平行的判定定理可得l 1∥α，l 2∥α，又l 1∩l 2＝M ，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m ∥l 1且n ∥l 2不一定成立，故D 是α∥β的一个充分条件．故选D.]4．(2017·山东济南模拟)如图735所示的三棱柱ABC A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )【导学号：79140231】图735A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能B[在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB平面ABC，A1B1⊆/平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]5．(2018·合肥二检)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有( )A．0条B．1条C．2条D．0条或2条C[如图设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，EF⊆/平面BCD，GH 平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，EF 平面EFGH，CD⊆/平面EFGH，则CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，故选C.]二、填空题6．如图736，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.图73652[∵α∥β，∴CD ∥AB ， 则PC PA ＝CD AB ，∴AB ＝PA ×CD PC ＝5×12＝52.] 7.如图737所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．图7372 [在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.]8.如图738，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．图738平面ABC ，平面ABD [连接AM 并延长交CD 于E ，则E 为CD 的中点．由于N 为△BCD 的重心， 所以B ，N ，E 三点共线，且EM MA ＝EN NB ＝12，所以MN ∥AB . 于是MN ∥平面ABD 且MN ∥平面ABC .] 三、解答题9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图739所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论.【导学号：79140232】图739[解] (1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)平面BEG ∥平面ACH ，证明如下： 因为ABCD EFGH 为正方体， 所以BC ∥FG ，BC ＝FG .又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ， 于是四边形BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH . 又CH 平面ACH ，BE ⊆/平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH .又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .10．(2017·石家庄质检(一))如图7310，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N 为PC 上一点，且PC ＝3PN .图7310(1)求证：MN ∥平面PAB ； (2)求点M 到平面PAN 的距离．[解] (1)在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH (图略)，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM ＝12AD ＝1.又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ，∴四边形AMNH 为平行四边形， ∴MN ∥AH ，又AH 平面PAB ，MN ⊆/平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB .(2)连接AC ，MC ，PM (图略)，平面PAN 即为平面PAC ，设点M 到平面PAC 的距离为h .由题意可得CD ＝22，AC ＝23，∴S △PAC ＝12PA ·AC ＝43，S △AMC ＝12AM ·CD ＝2，由V M PAC ＝V P AMC ，得13S △PAC ·h ＝13S △AMC ·PA ， 即43h ＝2×4，∴h ＝63， ∴点M 到平面PAN 的距离为63.] B 组 能力提升11.如图7311，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是( )图7311A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°C[因为截面PQMN是正方形，所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A，B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]12．如图7312所示，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.【导学号：79140233】图73121 [设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是菱形，∴O 为BC 1的中点， ∴D 为A 1C 1的中点， 则A 1D ∶DC 1＝1.]13．如图7313，四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点．图7313(1)求证：CE ∥平面PAD ；(2)在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面PAD ∥平面CEF ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：取PA 的中点H ，连接EH ，DH ，因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB ，又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD ，因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH ， 又DH平面PAD ，CE ⊆/平面PAD ，因此CE ∥平面PAD .(2)存在点F 为AB 的中点，使平面PAD ∥平面CEF ， 证明如下：取AB 的中点F ，连接CF ，EF ， 所以AF ＝12AB ，又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD ，又AF ∥CD ，所以四边形AECD 为平行四边形，因此CF ∥AD ， 又CF ⊆/平面PAD ，所以CF ∥平面PAD ， 由(1)可知CE ∥平面PAD ，又CE ∩CF ＝C ，故平面CEF ∥平面PAD ，故存在AB 的中点F 满足要求．。
2019高考数学一轮复习学案(北师大理科)： 课时分层训练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用理 (41)
课时分层训练(六十一) 变量间的相关关系与统计案例A 组 基础达标一、选择题1．如图942对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )(1) (2)图942A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关C [由题图(1)可知y 随x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，故变量x 与y 负相关，由题图(2)知v 随u 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，故变量v 与u 正相关．] 2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④D [由回归直线方程y ＝bx ＋a ，知当b ＞0时，y 与x 正相关；当b ＜0时，y 与x 负相关．所以①④一定错误．故选D.]3．(2018·石家庄一模)下列说法错误的是( )A ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ，随机变量χ2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程y ＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.2个单位C [根据相关定义分析知A ，B ，D 正确；C 中对分类变量X 与Y 的随机变量χ2的观测值k 来说，k 越大，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误，故选C.] 4．(2017·山东高考)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系．设其回归直线方程为y ＝bx ＋a .已知∑10i ＝1x i ＝225，∑10i ＝1y i ＝1 600，b ＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )【导学号：79140334】A ．160B ．163C ．166D ．170C [∵∑10i ＝1x i ＝225，∴x ＝110∑10i ＝1x i ＝22.5.∵v y i ＝1 600，∴y ＝110∑10i ＝1y i ＝160.又b ＝4，∴a ＝y －b x ＝160－4×22.5＝70. ∴回归直线方程为y ＝4x ＋70.将x ＝24代入上式得y ＝4×24＋70＝166. 故选C.]5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝n (ad (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，算得χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C[根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8＞6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．]二、填空题6．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9.现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为68[由x＝30，得y＝0.67×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，即a＝68.]7．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.①[χ2＝3.918≥3.841，而P(χ2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．]8．(2017·长沙雅礼中学质检)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：℃时，用电量为________度．68[根据题意知x＝18＋13＋10＋(－1)4＝10，y＝24＋34＋38＋644＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以a＝40－(－2)×10＝60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量为68度．]三、解答题9．(2018·合肥二检)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查．现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.【导学号：79140335】(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？附：χ2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .[解] (1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为180＝12.(2)根据统计数据，可得2×2列联表如下：则χ2＝105×75×90×90＝7≈5.142 9＞5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关．10．(2016·全国卷Ⅲ)如图943是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．图943注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注参考数据：∑7i ＝1y i ＝9.32，∑7i ＝1t i y i ＝40.17，∑7i ＝1(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑ni ＝1 (t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2∑n i ＝1(y i －y )2，回归方程y ＝a ＋bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ＝∑ni ＝1(t i －t )(y i －y )∑ni ＝1(t i －t )2，a ＝y －－b t . [解] (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t ＝4，∑7i ＝1(t i －t )2＝28，∑7i ＝1(y i －y )2＝0.55，∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )＝∑7i ＝1t i y i －t ∑7i ＝1y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ＝∑7i ＝1(t i －t )(y i －y )∑7i ＝1(t i －t )2＝2.8928≈0.103， a ＝y －b t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．B 组 能力提升11．下列说法错误的是( )A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系B ．在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好B [根据相关关系的概念知A 正确；当r ＞0时，r 越大，相关性越强，当r ＜0时，r 越大，相关性越弱，故B 不正确；对于一组数据拟合程度好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好；二是R 2越大，拟合效果越好，所以R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好，C ，D 正确，故选B.]12．2017年9月18日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________.【导学号：79140336】10 [x ＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5，y ＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n5，回归直线一定经过样本中心(x ，y )，即6＋n5＝－3.2⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42.又因为m ＋n ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝10，故n ＝10.]13．(2018·东北三省三校二联)下表数据为某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)及对应销售价格y (单位：千元/吨)．(1)若y 与x 用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(2)若每吨该农产品的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z 最大？参考公式：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1x i y i －n x －y－∑ni ＝1x 2i－n x －2＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y －)∑ni ＝1(x i －x )2，a ＝y －－b x －.[解] (1)∵x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝70＋65＋55＋38＋225＝50，∑5i ＝1x i y i ＝1×70＋2×65＋3×55＋4×38＋5×22＝627，∑5i ＝1x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＝55，根据公式解得b ＝－12.3，a ＝50＋12.3×3＝86.9，∴y ＝－12.3x ＋86.9.(2)∵年利润Z ＝x (86.9－12.3x )－13.1x ＝－12.3x 2＋73.8x ＝－12.3(x －3)2＋110.7， ∴当x ＝3时，年利润Z 最大．。
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课时分层训练(二十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
(对应学生用书第222页)
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·沈阳三十一中月考)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2，π上的简图是
( )
A [令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除
B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＝0，排
除C ．]
2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π
2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6的值是( )
【导学号：97190118】
A ．－3
B ．33
C ．1
D ．3
D [由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π6
＝tan π
3＝ 3.]
3．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得
图象对应的函数为( )
A ．y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4
B ．y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3
C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3 D [函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移
14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3，故选D.]
4．若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，0，则ω的最
小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
B [由题意知πω6＋π6＝k π＋π
2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ωmin ＝2.]
5．(2018·云南二检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3，将其图象向右平移φ(φ＞0)
个单位长度后得到的函数为奇函数，则φ的最小值为( )
A ．π
12 B ．π6 C ．π3
D ．π2
B [由题意，得平移后的函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π3－2φ，则要使此函数为奇函数，则π3－2φ＝k π(k ∈Z )，解得φ＝－k π2＋π
6(k ∈Z )，由φ＞0，得
φ的最小值为π
6，故选B.]
二、填空题
6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＝________.
0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＝3
sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4×π3－π3＝0.] 7．(2018·武汉调研)如图3-4-5，某地一天6—14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (|φ|＜π)，则这段曲线的函数解析式可以为________．
图3-4-5
y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π8x ＋3π4＋20(6≤x ≤14) [由图知A ＝10，b ＝20，T ＝2(14－6)＝16，
所以ω＝2πT ＝π8，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20，把点(10,20)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π4＋φ＝0，
因为|φ|＜π，则φ可以取3π4，所以这段曲线的函数解析式可以为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．]
8．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象如图3-4-6所示，则当t ＝1
100秒时，电流强度是________安.
【导学号：97190119】
图3-4-6
－5 [由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1
100， ∴ω＝2π
T ＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． ∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
1300，10，
∴10sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
100π×1300＋φ＝10，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，
∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z .又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6， ∴I ＝10sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫100πt ＋π6， 当t ＝1
100秒时，I ＝－5(安)．] 三、解答题
9．已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象． [解] (1)y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，
最小正周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π
3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .
列表：
描点画图：
10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12，0，图象上与
点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，5.
(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．
[解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－π12＝π，
∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12，0，
∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，
∴y ＝5sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π6.
(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ， 得－π6＋k π≤x ≤π
3＋k π，k ∈Z ，
故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
11．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若。