2002年全国高中数学联合竞赛试卷答案
2002年全国高中数学联赛
2002年全国高中数学联赛试卷一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是（ A ）（A ）)1,(--∞ （B ）)1,(-∞ （C ）),1(+∞ （D ）),3(+∞ 2．若实数y x ,满足22214)12()5(=-++y x ，则22y x +的最小值为（ B ） （A ）2 （B ）1 （C ）3 （D ）2 3．函数221)(xx x f x--=（ A ） （A ）是偶函数但不是奇函数 （B ）是奇函数但不是偶函数（C ）既是偶函数又是奇函数 （D ）既不是偶函数也不是奇函数4．直线134=+yx 与椭圆191622=+y x 相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3．这样的点P 共有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个解：设)sin 3,cos 4(ααP （20πα<<），即点P 在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形PAOB 面积S)cos 4(321)sin 3(421αα⨯+⨯=+=∆∆OBP OAP S S S)4sin(26)cos (sin 6πααα+=+=∴26max =S （此时4πα=）∵64321=⨯⨯=OAB S ∴PAB S ∆的最大值为)12(6-，3626<-∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ．5．已知两个实数集合},,,{10021a a a A =与},,,{5021b b b B =，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且)()()(10021a f a f a f ≤≤≤ ，则这样的映射共有（A ）50100C （B ）5099C （C ）49100C （D ）4999C解：不妨设5021b b b <<< ，将A 中元素10021,,,a a a 按顺序分为非空的50组．定义映射B A f →:，使第i 组的元素在f 之下的象都是i b （50,,2,1 =i ）．易知这样的映射f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为4999C ，则这样的映射共有4999C ．6．由曲线y x 42=，y x 42-=，4=x ，4-=x 围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ；满足1622≤+y x ，4)2(22≥-+y x ，4)2(22≥++y x 的点组成的图形y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，则（A ）2121V V =（B ）2132V V =（C ）21V V = （D ）212V V =解：如图，两图形绕y 轴旋转所得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间．用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，则所得截面面积)||44(221y S -=π，)44(]|)|2(4[)4(222222y y y S -=----=πππ，∴21S S =，由祖暅原理知，两几何体体积相等，∴21V V =二、填空题（本题满分54分，每小题9分，本题共有6个小题，要求直接将答案写在横线上．）7．已知复数1z ，2z 满足2||1=z ，3||2=z ．若它们所对应的向量的夹角为︒60，则=-+||2121z z z z 7133． 8．将二项式n xx )21(4+的展开式按x 降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有 3 个．9．已知点1021,,,P P P 分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组),,,(1k j i P P P P （101≤<<<k j i ）有 33 个．10．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f 且对任意R x ∈都有5)()5(+≥+x f x f 1)()1(+≤+x f x f若x x f x g -+=1)()(，则=)2002(g ． 解：由x x f x g -+=1)()(，得1)()(-+=x x g x f ，所以5)1()(1)5()5(+-+≥-+++x x g x x g 1)1()(1)1()1(+-+≤-+++x x g x x g即)()5(x g x g ≥+，)()1(x g x g ≤+∴)()1()2()4()5()(x g x g x g x g x g x g ≤+≤+≤+≤+≤ ∴)()1(x g x g =+即)(x g 是周期为1的周期函数，又1)1(=g ，故1)2002(=g 11．若1)2(l o g )2(l o g44=-++y x y x ，则||||y x -的最小值是 ．P 8P 9解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+>->+4)2)(2(0202y x y x y x y x ⇒⎩⎨⎧=-≥>440||222y x y x 由对称性只考虑0≥y ，因为0>x ，所以只须求y x -的最小值． 令u y x =-公代入4422=-y x ，有0)4(2322=-+-u uy y ． 这是一个关于y 的二次方程显然有实根，故0)3(162≥-=∆u ，∴3≥u当334=x ，33=y 时，3=u ．故||||y x -的最小值为312．使不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切R x ∈恒成立的负数a 的取值范围是 ．解：原不等式可化为4)1()21(cos 222-+≤--a a a x ∵1cos 1≤≤-x ，0<a ，021<-a ∴当1cos =x 时，函数2)21(cos --=a x y 有最大值2)211(--a ， 从而有4)1()211(222-+≤--a a a ，整理得022≥-+a a ∴1≥a 或2-≤a ，又0<a ，∴2-≤a三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知点)2,0(A 和抛物线42+=x y 上两点C B ,使得BC AB ⊥，求点C 的纵坐标的取值范围．解：设B 点坐标为),4(121y y -，C 点坐标为),4(2y y -．显然0421≠-y ，故21421211+=--=y y y k AB 由于BC AB ⊥，所以)2(1+-=y k BC从而⎪⎩⎪⎨⎧+=--+-==4)]4()[2(22111x y y x y y y ，消去x ，注意到1y y ≠得：01))(2(11=+++y y y ⇒0)12()2(2121=++++y y y y由0≥∆解得：0≤y 或4≥y ．当0=y 时，点B 的坐标为)1,3(--；当4=y 时，点B 的坐标为)3,5(-，均满足是题意．故点C 的纵坐标的取值范围是0≤y 或4≥y ．14．如图，有一列曲线 ,,,210P P P ．已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1+k P 是对k P 进行如下操作：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（ ,3,2,1,0=k ）．记n S 为曲线n P 所围成图形的面积．（1）求数列}{n S 的通项公式； （2）求n n S ∞→lim ．解：（1）对0P 进行操作，容易看出0P 的每条边变成1P 的4条边，故1P 的边数为43⨯；同样，对1P 进行操作，1P 的每条边变成2P 的4条边，故2P 的边数为243⨯，从而不难得到n P 的边数为n43⨯．已知0P 的面积为10=S ，比较1P 与0P ．容易看出1P 在0P 的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为231，而0P 有3条边，故311313201+=⨯+=S S再比较2P 与1P ，可知2P 在1P 的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为223131⋅，而1P 有43⨯条边，故3412343113143++=⋅⋅+=S S 类似地有：523622334343113143+++=⋅⋅+=S S于是有∑∑==----+=+=+++++=n t tnt t t n n n S 11121121523)94(431341343434311n n n )94(5358])94(1[531941])94(1[94431⋅-=-+=--⋅+=以下用数学归纳法证明nn S )94(5358⋅-=成立．1=n 时，由上面已知等式成立假设k n =时，有kk S )94(5358⋅-=当1+=k n 时，易知第1+k 次操作后，比较1+k P 与k P ，1+k P 在k P 的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为)1(231+k ，而k P 有k43⋅条边，故112)1(21)94(5358343143++++⋅-=+=⋅⋅+=k k k k k kk k S S S综上，由数学归纳法知nn S )94(5358⋅-=成立． （2）58])94(5358[lim lim =⋅-=∞→∞→n n n n S ．15．设二次函数c bx ax x f ++=2)(（0,,,≠∈a R c b a ）满足条件： （1）当R x ∈时，)2()4(x f x f -=-，且x x f ≥)(； （2）当)2,0(∈x 时，2)21()(+≤x x f ； （3）)(x f 在R 上的最小值为0．求最大的m （1>m ），使得存在R t ∈，只要],1[m x ∈，就有x t x f ≤+)(． 解：∵)2()4(x f x f -=-，∴函数的图象关于1-=x 对称， ∴12-=-ab，a b 2= 由（3）知，1-=x 时，0=y ，即0=+-c b a ， 由（1）得1)1(≥f ，由（2）得1)1(≤f∴1)1(=f ，即1=++c b a ，又0=+-c b a ＝0 ∴21=b ，41=a ，41=c ，∴412141)(2++=x x x f 假设存在R t ∈，只要],1[m x ∈，就有x t x f ≤+)(． 取1=x 有1)1(≤+t f ．即141)1(21)1(412≤++++t t ，解得04≤≤-t ． 对固定的]0,4[-∈t ，取m x =，有m m t f ≤+)(，即m m t m t ≤++++41)(21)(412， 化简有，0)12()1(222≤+++--t t m t m ， 解得t t m t t 4141-+-≤≤---于是有9)4(4)4(141=--+--=-+-≤t t m 当4-=t 时，对任意的]9,1[∈x ，恒有0)9)(1(41)910(41)4(2≤--=+-=--x x x x x x f ． 所以m 的最大值为9．2002年全国高中数学联赛加试试卷一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，︒=∠60A ，AC AB >，点O 是外心，两条高BE 、CF 交于H 点．点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足CN BM =．求OHNHMH +的值．解：在BE 上取CH BK =，边接OK OC OB ,,． 由三角形外心的性质知︒=∠=∠1202A BOC ，由三角形垂心的性质知︒=∠-︒=∠120180A BHC∴BOC BHC ∠=∠∴O H C B ,,,四点共圆． OCH OBH ∠=∠，又OC OB =，CH BK =， ∴△BOK ≌△COH∵COH BOK ∠=∠，OH OK =∴︒=∠=∠120BOC KOH ，︒=∠=∠30OHK OKH观察△OKH ，︒=︒30sin 120sin OHKH ，则OH KH ⋅=3；又∵CN BM =，CH BK =，∴NH KM =∴OH KH KM MH NH MH ⋅==+=+3，故3=+OHNHMH ． 二、（本题满分50分）实数c b a ,,和正数λ使得c bx ax x x f +++=23)(有三个实根321,,x x x ，且满足（1）λ=-12x x ； （2）)(21213x x x +>． 求339272λabc a -+的最大值．解：由于])()[()()()(3233233b ax x x x a x x x x f x f x f +++++-=-=B C所以21,x x 是方程0)(32332=+++++b ax x x x a x 的两个根，由（1）可得 232323)(4)(λ=++-+b ax x x a ，即042322323=-+++a b ax x λ再由（2）可得]3124[31223λ--+-=b a a x ，且0312422≥--λb a 易知ab c a a x b a ax c bx ax x x f 31272)3)(3()3()(32323-+++--+=+++=由0)(3=x f 可得)3)(3()3(2723132333a x b a a x c a ab +--+=---由]3124[31223λ--+-=b a a x ，得 433323124313122223λλ--=--=+b a b a a x 记b a p -=32，则42λ≥p ，且)(433227231223λλ--=---p p c a ab令42λ-=p y ，则0≥y ，且)43(93227231223λ-=--y y c a ab 由于243)2(434432323323λλλλλλ⋅+--=+-y y y y )4342)(2(222λλλλ-++-=y y y 0)()2(2≥+-=λλy y所以3318327231λ-≥--c a ab 于是332339272λ≤-+ab c a ，由此得233927233≤-+λab c a取32=a ，2=b ，0=c ，2=λ，则x x x x f 232)(23++=有根13--，13+-，0，显然假设条件成立，且233927233=-+λabc a ． 综上可知，339272λabc a -+的最大值为233． 三、（本题满分50分）在世界杯足球赛前，F 国教练为了考察721,,,A A A ，这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场．假设在比赛的任何时刻，这些队员中有且仅有一人在场上，并且4321,,,A A A A 每人上场的总时间（以分钟为单位）均被7整除，765,,A A A 每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除．如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况．解：设第i 名队员上场的时间为i x 分钟（7,,2,1 =i ），问题即求不定方程270721=+++x x x （1）在条件i x |7（41≤≤i ）且j x |13（75≤≤j ）下的正整数解的组数． 若),,,(721x x x 是满足条件（1）的一组正整数解，则应有m xi i741=∑=，n x i i 1375=∑=，+∈N n m ,于是n m ,是不定方程270137=+n m （2） 在条件4≥m 且3≥n 下的一组正整数解 由于203)3(13)4(7=-+-n m令4-='m m ，3-='n n ，有203137='+'n m （3）所以，求（2）满足条件4≥m ，3≥n 的正整数解等价于求（3）的非负整数解． 易观察到 1)1(1327=-⨯+⨯于是有203)203(134067=-⨯+⨯。
二○○二年全国高中数学联合竞赛题
二○○二年全国高中数学联合竞赛题（10月13日上午8：00—9：40）题号 一 二 三合计 加试 总成绩 13 14 15 得分 评卷人 复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A ）（B ）（C ）（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、 函数f(x)=)32(log 221--x x 的单调递增区间是(A) (-∞，+∞) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 23、 函数f(x)=221xx x --(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数4、 直线134=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C6、 由曲线x 2=4y, x 2= -4y, x=4, x= -4围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为V 1，满足x 2+y 2≤16, x 2+(y -2)2≥4, x 2+(y +2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则(A) V 1=21V 2 (B) V 1=32V 2 (C) V 1=V 2 (D) V 1=2V 2 二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2002年全国高中数学联赛试题及参考答案(3)
2002年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。
（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（）。
（A）2（B）1（C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。
（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。
8、将二项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。
9、如图，点P1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k≤10）有个。
2002年全国高中数学联赛试题3
2002年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。
（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（）。
（A）2（B）1（C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。
（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。
8、将二项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。
9、如图，点P1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，P i，P j，P k）（1＜i＜j＜k≤10）有个。
2002年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
2002年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
佚名
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2002(000)012
【摘要】一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.函数f(x)=log_(1/2)(x^2-2x-3)
【总页数】7页(P31-37)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案 [J], 李名德
2.2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案(试题见上期) [J],
3.2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案 [J],
4.《2002年全国高中数学联合竞赛试题》参考答案 [J], 无
5.《2002年全国高中数学联合竞赛加试试题》参考答案 [J], 无
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2002年全国高中数学联赛试题及参考答案(2)
2002年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。
（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（）。
（A）2 （B）1 （C）√3 （D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。
（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣= 。
8、将二项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有个。
9、如图，点P1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，P i，P j，P k）（1＜i＜j＜k≤10）有个。
2002年全国高中数学联赛加试题另解
3.
故
MH + NH OH
=
B H - CH OH
=
3.
(张伟哲 河北省正定中学 007 班 ,050800)
解法 4 :如图 1 , 由 BM = CN 易知 MH + NH = B H
- CH. 记 △ABC 的外接圆半径为 R , ∠A 、∠B 、∠C
为三个内角. 由垂心余弦定理有
B H - CH = 2 R (cos B - cos C)
如下.
第一题 如图 1 , 在
△ABC中 , ∠A = 60°, AB >
AC ,点 O 是外心 , 两条高
B E、CF 交于点 H ,点 M 、N
分别 在 线 段 B H、HF 上 ,
且 满 足 BM = CN . 求
M HO+HN H的值 .
图1
解法 1 :连 OB 、OC ,并设 △ABC 的外接圆半径为
2003 年第 1 期
11
●命题与解题 ●
2002 年全国高中数学联赛加试题另解
李 建 泉 整理
(天津师范大学数学科学学院 ,300074)
2002 年全国高中数学联合竞赛于 2002
年 10 月 13 日结束 ,许多读者于一周之内寄来
加试题的解答 ,其中诸多证明方法或解法相
同或相近. 现根据来稿先后及解法特点整理
b=
x1 x2
+
x2 x3
+
x3 x1
= 3 m2
+ 2 mt
-
λ2 4
,
c=
-
x1 x2 x3 =
-
m3 -
m2
t
+
2002年全国高中数学联赛试题参考答案
2002年全国高中数学联赛试题参考答案一、选择题1、由x2-2x-3＞0有x＜-1或x＞3，故函数log1/2(x2-2x-3)的定义域为x＜-1或x＞3。
二次函数u=x2-2x-3在（-∞，-1）内单调递减，在（3，+∞）内单调递增。
而log1/2u 在(0,+∞)上单调递减，所以log1/2(x2-2x-3)在(-∞,-1)单调递增，故选A。
2、(x+5)2+(y-12)2=142是以点C(-5,12)为圆心，半径为14的圆。
设P为圆上任一点，则∣OP∣≥∣CP∣-∣OC∣=14-13=1当点C、O、P共线时，等号成立，所以P到点O的最小值为1，故选B。
3、函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为f(-x)=(-x)/(1-2-x)-(-x)/2=(-x2x)/(2x-1)+(x/2)=(x+x(2x-1))/(1-2x)+(x/2)=(x/(1-2x))-x+( x/2)=(x/(1-2x))-(x/2)=f(x)，所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A。
4、设P1(4cosα,3sinα)(0＜α＜(π/2))，即点P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P1AOB面积S，S=SΔOAP1+SΔOBP1=(1/2)×4(3sinα)+(1/2)×3(4cosα)=6(sinα+cosα)=6√2sin(α=(π/4)),∴S max=6√2(此时α+(π/4)).∵SΔOAB=(1/2)×4×3=6为定值，∴SΔP1AB的最大值为6√2－6.∵6√2－6＜3,∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B。
5、不妨设b1＜b2＜…＜b50，将A中元素a1,a2,…,a100按顺序分为非空的50组。
定义映射f:A→B，使第i组的元素在f之下的象都是b i(i=1,2,…,50).易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分法数为C4999，则这样的映射共有C4999，故选D。
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http://gaoyun63.diy.163.com 第 1 页 共 9 页 二○○二年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。 一、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log221xx的单调递增区间是
(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x2-2x-3>0x<-1或x>3，令f(x)=u21log, u= x2-2x-3，故选A
2、 若实数x, y满足(x+5)2+(y12)2=142，则x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)=221xxx (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A
4、 直线134yx椭圆191622yx相交于A，B两点，该圆上点P，使得⊿PAB面积等于3，这样的点P共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
解：设P1(4cos,3sin) (0<<2)，即点P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P1AOB的面积S。
S=11OBPOAPSS=cos4321sin3421=6(sin+cos)=)4sin(26 ∴Smax=62 ∵S⊿OAB=6 ∴626)(max1ABPS
∵626<3 ∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B 5、 已知两个实数集合A={a1, a2, … , a100}与B={b1, b2, … , b50}，若从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有
(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C 解：不妨设b1
x y O A B P1 http://gaoyun63.diy.163.com
第 2 页 共 9 页 第i组的元素在f之下的象都是bi (i=1,2,…,50)，易知这样的f满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与A按足码顺序分为50组的分法数相等，而A的分
法数为4999C，则这样的映射共有4999C，故选D。 6、 由曲线x2=4y, x2= 4y, x=4, x= 4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1，满足x2+y2≤16, x2+(y-2)2≥4, x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则
(A) V1=21V2 (B) V1=32V2 (C) V1=V2 (D) V1=2V2 解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，则所得截面面积 ∵S1=(424|y|) , S2=(42y2)[4(2|y|)2]=(424|y|) ∴ S1=S2 由祖暅原理知，两个几何体体积相等。故远C。 二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、 已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则2121zzzz= 。
解：由余弦定理得|Z1+Z2|=19, |Z1Z2|=7, 2121zzzz=7133 8、 将二项式nxx)21(4的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有 个。 解：不难求出前三项的系数分别是)1(81,21,1nnn，
∵)1(811212nnn
∴当n=8时，43161)21(rrrnrxCT (r=0,1,2,…，8) ∴r=0,4,8,即有3个 9、 如图，点P1,P2,…,P10分别是四面体点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P1, Pi, Pj, Pk)(1解：首先，在每个侧面上除P1点外尚有五个点，其中任意三点组添加点P1后组成的四点组都在同一个平面，
这样三点组有35C个，三个侧面共有335C个。 其次，含P1的每条棱上三点组添加底面与它异面的那条棱上的中点组成的四点组也在一个平面上，这样的四点组有3个
∴共有335C＋3＝33个 10、 已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有 f(x+5)≥f(x)+5 f(x+1)≤f(x)+1
P9
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P10
y x x
y o o 4 4 4 4
-4 -4
-4 -4 http://gaoyun63.diy.163.com
第 3 页 共 9 页 若g(x)=f(x)+1x，则g(2002)= 。 解：由g(x)=f(x)+1x得f(x)=g(x)+ x 1 ∴g(x+5)+(x+5)1≥g(x)+(x1)+5 g(x+1)+(x+1)1≤g(x)+(x1)+5 ∴g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x) ∴g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)≤g(x) ∴g(x+1)=g(x) ∴T=1 ∵g(1)=1 ∴g(2002)=1
11、 若1)2(log)2(log44yxyx，则|x||y|的最小值是 。
解：440||24)2)(2(020222yxyxyxyxyxyx 由对称性只考虑y≥0，因为x>0，所以只须求xy的最小值。 令xy=u代入x24y2=4中有3y22uy+(4u2)=0 ∵y∈R
∴⊿≥03u
∴当33,334yx时，u=3，故|x||y|的最小值是3 12、 使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是 。 解：∵sin2x+acosx+a2≥1+cosx
∴4)1()21(cos222aaax ∵a<0, ∴当cosx=1时，函数2)21(cosaxy有最大值2)211(a
∴4)1()211(222aaaa2+a-2≥0a≤-2或a≥1 ∵a<0 ∴负数a的取值范围是(-∞,2] 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13、 已知点A(0,2)和抛物线y=x2+4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。 解：设B点坐标为B(y124,y1)，C点坐标为C(y24,y)
显然y124≠0，故21421211yyykAB …………5分 ∵AB⊥BC ∴KBC= (y1+2) http://gaoyun63.diy.163.com 第 4 页 共 9 页 ∴4)]4()[2(22111xyyxyyy (2+y1)(y+y1)+1=0 y12+(2+y)y1+(2y+1)=0 …………10分 ∵y1∈R ∴⊿≥0y≤0或y≥4 …………15分 ∴当y=0时，点B的坐标为(-3，-1)；当y=4时，点B的坐标为(5，3)，均满足题意。 故点C的纵坐标的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞) 14、 如图，有一列曲线P0, P1, P2, ……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记Sn为曲线Pk所围成图形面积。
①求数列{Sn}的通项公式；②求nnSlim。
解：①对P0进行操作，容易看出P0的每条边变成P1的4条边，故P1的边数为3×4；同样，对P1进行操作，P1的每条边变成P2的4条边，故P2的边数为3×42，从而不难得到Pn的边数为3×4n …………5分 已知P0的面积为S0=1，比较P1与P0，容易看出P1在P0的每条边上增加了一个小等边三角形，其面
积为231，而P0有3条边，故S1=S0+3×231=1+31
再比较P2与P1，容易看出P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为231×231，而P1
有3×4条边，故S2=S1+3×4×431=1+31+334
类似地有：S3=S2+3×42×631=1+31+334+5234 …………5分 ∴Sn=121523343434311n
n
=1+nkk1)94(43 =n)94(5358 (※) …………10分 下面用数学归纳法证明(※)式 当n=1时，由上面已知(※)式成立，
假设当n=k时，有Sk=k)94(5358
P0
P1 P
2