最新高考数学(理)第九章直线和圆的方程 9-2-2习题及答案
高考数学复习演练 第九章 直线和圆(含真题)
第九章 直线和圆考点1 直线与方程1.(2014·广东，10)曲线y ＝e －5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.1.5x ＋y －3＝0 [y ′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.]2.(2014·四川，14)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.2.5 [易求定点A (0，0)，B (1，3).当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.]3.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________. 3.－3 [由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1).又y ′＝2ax －bx2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2).由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.]考点2 圆的方程及直线与圆的位置关系1.(2016·全国Ⅱ,4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1,则a ＝( )A.－43B.－34C.3D.21.A [由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1,解之得a ＝－43.]2.(2015·广东,5)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝02.D [设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0,依题有|0＋0＋c |22＋12＝5,解得c ＝±5,所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0,故选D.]3.(2015·新课标全国Ⅱ,7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M 、N 两点,则|MN |＝( )A.2 6B.8C.4 6D.103.C [由已知,得AB →＝(3,-1),BC →＝(-3,-9),则AB →·BC →＝3×(-3)＋(-1)×(-9)＝0,所以AB →⊥BC →,即AB ⊥BC ,故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径,得其方程为(x -1)2＋(y +2)2＝25,令x ＝0得(y ＋2)2＝24,解得y 1＝－2－26,y 2＝－2＋26,所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46,选C.]4.(2015·重庆,8)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴,过点A (－4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |＝( ) A.2 B.4 2 C.6 D.2104.C [圆C 的标准方程为(x -2)2＋(y -1)2＝4,圆心为C (2,1),半径为r ＝2,因此2＋a ×1-1＝0,a ＝-1,即A (-4,-1),|AB |＝|AC |2－r 2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6,选C.]5.(2015·山东,9)一条光线从点(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－345.D [圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(-3,2),半径r ＝1.(-2,-3)关于y 轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k 存在,∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x -2),即kx -y -2k －3＝0.∵反射光线与已知圆相切,∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1,整理得12k 2＋25k ＋12＝0,解得k ＝－34或k ＝－43.]6.(2014·江西,9)在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切,则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34πC.(6－25)πD.54π 6.A [由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ,要使圆C 的面积最小,只需圆C 的半径或直径最小.又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的最小值为点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离,此时2r ＝45,得r ＝25,圆C 的面积的最小值为S ＝πr 2＝45π.]7.（2017•江苏,13）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若 ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． 7. [-5，1] 根据题意，设P （x 0 ， y 0），则有x 02+y 02=50，=（﹣12﹣x 0 ，﹣y 0）•（﹣x 0 ， 6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y+x 02+y 02≤20，化为：12x 0+6y 0+30≤0，即2x 0+y 0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x 0=﹣5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5 ，1]，故答案为：[﹣5，1]．8.(2016·全国Ⅲ,16)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ,B 两点,过A ,B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,若|AB |＝23,则|CD |＝________.8.4 [设AB 的中点为M ,由题意知,圆的半径R ＝23,AB ＝23,所以OM ＝3,解得m ＝－33,由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3,3),B (0,23),则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3),BD 的直线方程为y －23＝－3x ,令y ＝0,解得C (－2,0),D (2,0),所以|CD |＝4.]9.(2016·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x ＝6上,求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点,且BC ＝OA ,求直线l 的方程； (3)设点T (t ,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA →＋TP →＝TQ →,求实数t 的取值范围. 9.解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25,圆心M (6,7),半径r ＝5, 由题意,设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0).且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5. 解得b ＝1,∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2,∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ,即2x －y ＋m ＝0. 又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意,圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝2 5. 即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25,解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15. (3)由TA →＋TP →＝TQ →,则四边形AQPT 为平行四边形,又∵P 、Q 为圆M 上的两点,∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10,即（t －2）2＋42≤10, 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221,2＋221].10.(2015·新课标全国Ⅰ,14)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,－2)三点,(4,0),(0,－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2),令y ＝0,解得x ＝32,圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0,半径为52.故圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]11.(2015·江苏,10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.11.(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2,－1),由题意,得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]12.(2015·广东,20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ,B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ,使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围；若不存在,说明理由.12.解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.∴圆C 1的圆心坐标为(3,0).(2)设动直线l 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋y 2＝4，y ＝kx ⇒(k 2＋1)x 2－6x ＋5＝0,则Δ＝36－4(k 2＋1)×5>0⇒k 2<45.设A ,B 两点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝6k 2＋1.⇒AB 中点M 的轨迹C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 2＋1，y ＝3k k 2＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－255<k <255，即轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94,53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，y ＝k （x －4）⇒(1＋k 2)x 2－(3＋8k )x ＋16k 2＝0.令Δ＝(3＋8k )2－4(1＋k 2)16k 2＝0⇒k ＝±34.又∵轨迹C (即圆弧)的端点⎝ ⎛⎭⎪⎫53，±253与点(4,0)决定的直线斜率为±257.∴当直线y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点时, k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34.13.(2014·陕西,12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称,则圆C 的标准方程为____________.13.x 2＋(y －1)2＝1 [因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称点的坐标为(0,1),即圆心C 为(0,1),又半径为1,∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.]14.(2014·湖北,12)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧,则a 2＋b 2＝____________.14.2 [由题意得,直线l 1截圆所得的劣弧长为π2,则圆心到直线l 1的距离为22,即|a |2＝22⇒a 2＝1,同理可得b 2＝1,则a 2＋b 2＝2.]15.(2014·重庆,13)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a ＝________.15.4±15 [依题意,圆C 的半径是2,圆心C (1,a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3,于是有|1·a ＋a －2|a 2＋1＝3,即a 2－8a ＋1＝0,解得a ＝4±15.]16.(2014·江苏,9)在平面直角坐标系xOy 中,直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________.16.2555 [因为圆心(2,－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35,所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555.]17.(2014·新课标全国Ⅱ,16)设点M (x 0,1),若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ,使得∠OMN ＝45°,则x 0的取值范围是________.17.[－1,1] [由题意可知M 在直线y ＝1上运动,设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1).当x 0＝0即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求；当x 0≠0时,过M作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN ＝45°,只需∠OMP ≥45°.特别地,当∠OMP ＝45°时,有x 0＝±1.结合图形可知,符合条件的x 0的取值范围为[－1,1].]。
高考数学(文)一轮考点真题专项训练：第九章《直线和圆的方程》
第九章直线和圆的方程9.1直线方程和两条直线的位置关系考点一直线的倾斜角、斜率和方程1.(2014福建,6,5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案D考点二两条直线的位置关系2.(2014四川,9,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()A.[,2]B.[,2]C.[,4]D.[2,4]答案B9.2圆的方程考点圆的方程1.(2014山东,14,5分)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x 轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为.答案(x-2)2+(y-1)2=42.(2014大纲全国,16,5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于.答案3.(2014湖北,17,5分)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则(1)b=;(2)λ=.答案(1)-(2)9.3点、线、圆的位置关系考点点、线、圆的位置关系1.(2014北京,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案B2.(2014湖南,6,5分)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11答案C3.(2014浙江,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案B4.(2014安徽,6,5分)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.答案D5.(2014课标Ⅱ,12,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1]B.C.[-,]D.答案A6.(2014重庆,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为.答案0或67.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.。
高考数学 专题9.1 直线方程和圆的方程试题 理
专题9.1 直线方程和圆的方程【三年高考】1. 【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-2. 【2017课标3，理20】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程. 【解析】(1)设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+ .由22,2x my y x =+⎧⎨=⎩可得2240y my --= ，则124y y = .又221212,22y y x x == ，故()2121244y y x x == .因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==- ，所以OA OB ⊥ .故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+ .故圆心M 的坐标为()22,m m + ，圆M 的半径r = .由于圆M 过点()4,2P - ，因此0AP BP ⋅= ，故()()()()121244220x x y y --+++= ，即()()1212121242200x x x x y y y y ++++++= .由(1)可得12124,4y y x x =-= .所以2210m m --= ，解得1m = 或12m =-.当1m = 时，直线l 的方程为20x y --= ，圆心M 的坐标为()3,1 ，圆M，圆M 的方程为()()223110x y -+-= .当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-= ，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆M 的半径为4 ，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .3.【2016高考上海理数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.【答案】5【解析】利用两平行线间距离公式得d 5===. 4. 【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( )A ．26B ．8C ．46D ．10 【答案】C5.【2015高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方）， 且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MANBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+-=；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设),1(r C （r 为圆的半径），因为2||=AB ，所以21122=+=r ，所以圆心)2,1(C ，故圆的标准方程为2)2()1(22=-+-y x .（Ⅱ）联立方程组⎩⎨⎧=-+-=2)2()1(022y x x ，解得⎩⎨⎧-==120y x 或⎩⎨⎧+==120y x ，因为B 在A 的上方，所以)12,0(-A ，)12,0(+B ，令直线MN 的方程为0=x ，此时M )1,0(-M ，)1,0(N ，所以2||=MA ，22||+=MB ，22||-=NA ，2||=NB ，因为221222||||-=-=NB NA ，12222||||-=+=MB MA ，所以NA MA NBMB=.所以11)2NB MA NAMB-==-=，11NB MA NAMB+==+=.6.【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】22(1) 2.x y -+==≤1m =时取等号，所以半径最大为r =22(1) 2.x y -+=【2017考试大纲】 直线与方程(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 圆与方程掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现. 【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测2018年对这一部分考查不会有太大变化．【2018年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有三种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程 【备考知识梳理】 1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α；(2)若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1212x x y y K AB --=．2.直线的方程a.点斜式：)(11x x k y y -=-；b.斜截式：b kx y +=；c.两点式：121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+bya x ；e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是tan k α=，其中α是切斜角，故可结合正切函数tanx y =[0,)x π∈的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若(m,n)a =是直线l 的方向向量，则k nm=（m 0≠）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件． 【考点针对训练】1. 【广西陆川县2017届高三三模】 已知圆：与圆：相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程为（ ）A. B.C.D.【答案】A【解析】由题设可知线段垂直平分线过两圆的圆心，由此可得，故由点斜式方程可得，即，故应选答案A 。
第九章§9.1 直线方程与圆的方程
线l1垂直的直线l2的方程为
.
答案 x+2y-3=0
解析 由题意可知圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆的圆心坐标为(-1,2),由已知得直线l2
的斜率k=- 12 ,所以直线l2的方程为y-2=- 12 (x+1),即x+2y-3=0.
4.(2017豫北重点中学4月联考,14)已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点A(1,3)到直线l的距
2
4
.
由题设知 4k 2 k
2
4
=8,解得k=-1(舍去),或k=1,
因此l的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.
设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
y0
x0
5,
( x0
1)2
0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得 TA
+ TP
= TQ
,求实数t的取值范围.
解析 圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25, 所以圆心M(6,7),半径为5. (1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0). 因为圆N与x轴相切,与圆M外切, 所以0<y0<7, 于是圆N的半径为y0, 从而7-y0=5+y0,解得y0=1. 因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
高考数学复习演练 第九章 直线和圆(含真题)
第九章 直线和圆考点1 直线与方程1.(2014·广东，10)曲线y ＝e －5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.1.5x ＋y －3＝0 [y ′＝－5e－5x，曲线在点(0，3)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.]2.(2014·四川，14)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.2.5 [易求定点A (0，0)，B (1，3).当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.]3.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________. 3.－3 [由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1).又y ′＝2ax －bx2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2).由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.]考点2 圆的方程及直线与圆的位置关系1.(2016·全国Ⅱ,4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1,则a ＝( )A.－43B.－34C.3D.21.A [由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1,解之得a ＝－43.]2.(2015·广东,5)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝02.D [设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0,依题有|0＋0＋c |22＋12＝5,解得c ＝±5,所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0,故选D.]3.(2015·新课标全国Ⅱ,7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M 、N 两点,则|MN |＝( )A.2 6B.8C.4 6D.103.C [由已知,得AB →＝(3,-1),BC →＝(-3,-9),则AB →·BC →＝3×(-3)＋(-1)×(-9)＝0,所以AB →⊥BC →,即AB ⊥BC ,故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径,得其方程为(x -1)2＋(y +2)2＝25,令x ＝0得(y ＋2)2＝24,解得y 1＝－2－26,y 2＝－2＋26,所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46,选C.]4.(2015·重庆,8)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴,过点A (－4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |＝( ) A.2 B.4 2 C.6 D.2104.C [圆C 的标准方程为(x -2)2＋(y -1)2＝4,圆心为C (2,1),半径为r ＝2,因此2＋a ×1-1＝0,a ＝-1,即A (-4,-1),|AB |＝|AC |2－r 2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6,选C.]5.(2015·山东,9)一条光线从点(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－345.D [圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(-3,2),半径r ＝1.(-2,-3)关于y 轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k 存在,∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x -2),即kx -y -2k －3＝0.∵反射光线与已知圆相切,∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1,整理得12k 2＋25k ＋12＝0,解得k ＝－34或k ＝－43.]6.(2014·江西,9)在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切,则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34πC.(6－25)πD.54π 6.A [由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ,要使圆C 的面积最小,只需圆C 的半径或直径最小.又圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的最小值为点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离,此时2r ＝45,得r ＝25,圆C 的面积的最小值为S ＝πr 2＝45π.]7.（2017•江苏,13）在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若 ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． 7. [-5，1] 根据题意，设P （x 0 ， y 0），则有x 02+y 02=50，=（﹣12﹣x 0 ，﹣y 0）•（﹣x 0 ， 6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y+x 02+y 02≤20，化为：12x 0+6y 0+30≤0，即2x 0+y 0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x 0=﹣5或x 0=1，结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5 ，1]，故答案为：[﹣5，1]．8.(2016·全国Ⅲ,16)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ,B 两点,过A ,B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,若|AB |＝23,则|CD |＝________.8.4 [设AB 的中点为M ,由题意知,圆的半径R ＝23,AB ＝23,所以OM ＝3,解得m ＝－33,由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3,3),B (0,23),则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3),BD 的直线方程为y －23＝－3x ,令y ＝0,解得C (－2,0),D (2,0),所以|CD |＝4.]9.(2016·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x ＝6上,求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点,且BC ＝OA ,求直线l 的方程； (3)设点T (t ,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得TA →＋TP →＝TQ →,求实数t 的取值范围. 9.解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25,圆心M (6,7),半径r ＝5, 由题意,设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0).且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5. 解得b ＝1,∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2,∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ,即2x －y ＋m ＝0. 又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意,圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝2 5. 即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25,解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15. (3)由TA →＋TP →＝TQ →,则四边形AQPT 为平行四边形,又∵P 、Q 为圆M 上的两点,∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10,即（t －2）2＋42≤10, 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的范围为[2－221,2＋221].10.(2015·新课标全国Ⅰ,14)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,－2)三点,(4,0),(0,－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2),令y ＝0,解得x ＝32,圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0,半径为52.故圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]11.(2015·江苏,10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.11.(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2,－1),由题意,得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]12.(2015·广东,20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ,B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ,使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围；若不存在,说明理由.12.解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.∴圆C 1的圆心坐标为(3,0).(2)设动直线l 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋y 2＝4，y ＝kx ⇒(k 2＋1)x 2－6x ＋5＝0,则Δ＝36－4(k 2＋1)×5>0⇒k 2<45.设A ,B 两点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝6k 2＋1.⇒AB 中点M 的轨迹C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 2＋1，y ＝3k k 2＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－255<k <255，即轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94,53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，y ＝k （x －4）⇒(1＋k 2)x 2－(3＋8k )x ＋16k 2＝0.令Δ＝(3＋8k )2－4(1＋k 2)16k 2＝0⇒k ＝±34.又∵轨迹C (即圆弧)的端点⎝ ⎛⎭⎪⎫53，±253与点(4,0)决定的直线斜率为±257.∴当直线y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点时, k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34.13.(2014·陕西,12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称,则圆C 的标准方程为____________.13.x 2＋(y －1)2＝1 [因为点(1,0)关于直线y ＝x 对称点的坐标为(0,1),即圆心C 为(0,1),又半径为1,∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.]14.(2014·湖北,12)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧,则a 2＋b 2＝____________.14.2 [由题意得,直线l 1截圆所得的劣弧长为π2,则圆心到直线l 1的距离为22,即|a |2＝22⇒a 2＝1,同理可得b 2＝1,则a 2＋b 2＝2.]15.(2014·重庆,13)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a ＝________.15.4±15 [依题意,圆C 的半径是2,圆心C (1,a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3,于是有|1·a ＋a －2|a 2＋1＝3,即a 2－8a ＋1＝0,解得a ＝4±15.]16.(2014·江苏,9)在平面直角坐标系xOy 中,直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________.16.2555 [因为圆心(2,－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2－2－3|5＝35,所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为24－95＝2555.]17.(2014·新课标全国Ⅱ,16)设点M (x 0,1),若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ,使得∠OMN ＝45°,则x 0的取值范围是________.17.[－1,1] [由题意可知M 在直线y ＝1上运动,设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1).当x 0＝0即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求；当x 0≠0时,过M作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN ＝45°,只需∠OMP ≥45°.特别地,当∠OMP ＝45°时,有x 0＝±1.结合图形可知,符合条件的x 0的取值范围为[－1,1].]。
精编2018高考数学(文科)习题第九章直线和圆的方程922和答案
1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为C (－3,2)，半径r ＝1.如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B .设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k－－2－2k －3|1＋k2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.2.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )点击观看解答视频A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)答案 D解析 当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0<r <5；所以当直线l 的斜率存在时，这样的直线l 有2条即可．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x 0y 1＋y 2＝2y 0.又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2y 0.设圆心为C (5,0)，则k CM ＝y 00.因为直线l 与圆相切，所以20·y 00＝－1，解得x 0＝3，于是y 20＝r 2－4，r >2，又y 20<4x 0，即r 2－4<12，所以0<r <4，又0<r <5，r >2，所以2<r <4，选D.3．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210答案 C解析 由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π5B.3π4 C ．(6－25)π D.5π4答案 A解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝45 .∴圆C 面积的最小值为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝4π.故选A.解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半．因此，圆C 半径的最小值为r min ＝45×12＝25.故圆C 面积的最小值为πr 2min ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝4π5.5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.答案 2解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2＝cos45°＝22，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．答案 2555解析 圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝|2＋－－3|12＋22＝35，所求弦长l ＝2r 2－d 2＝24－95＝2555. 8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析 由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|1＋a2＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15. 9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .点击观看解答视频(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝9.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3.(3)联立⎩⎨⎧x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。
2021年高考数学专题09 直线与圆的方程 (原卷版)
专题09 直线与圆的方程易错点1 忽略90°倾斜角的特殊情形求经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【错解】由斜率公式可得直线AB 的斜率k =3－2m －1=1m －1.①当m >1时，k =1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；②当m <1时，k =1m －1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m =1，m >1，m <1三种情况进行讨论．【试题解析】当m =1时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角α=90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k =3－2m －1=1m －1.①当m >1时，k =1m －1>0，所以直线倾斜角α的取值范围是0°<α<90°.②当m <1时，k =1m －1<0，所以直线倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 【参考答案】见试题解析.1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y =tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y =tan x 的单调性求斜率k 的范围． 3．直线的倾斜角与斜率的关系（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线1x =的倾斜角为2π，但斜率不存在．（2）直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：1．直线10x y -+=的倾斜角为A ．6π B ．4π C ．34π D ．56π 【答案】B【解析】直线10x y -+=的斜率1k =，则tan 1k α==，所以直线10x y -+=的倾斜角=4απ.故选B.易错点2 忽略斜率不存在的特殊情形已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a −2，3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (−1，a −2)，若l 1⊥l 2，求a 的值．【错解】由l 1⊥l 2⇔12·1k k =-，又k 1=3－a a －5，k 2=a －5－3，所以3－a a －5·a －5－3=−1，解得a =0.【错因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l 1⊥l 2⇔12·1k k =-，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．【试题解析】由题意知l 2的斜率一定存在，则l 2的斜率可能为0，下面对a 进行讨论．当20k =时，a =5，此时k 1不存在，所以两直线垂直．当20k ≠时，由12·1k k =-，得a =0. 所以a 的值为0或5.【参考答案】0或51．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解． 2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k =2121y y x x --．3．求直线方程的方法（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程； （2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．4．求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax +By +C =0，且A ≥0.5．已知三点,,A B C ，若直线,AB AC 的斜率相同，则,,A B C 三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.2．设直线l 的方程为(m 2−2m −3)x +(2m 2+m −1)y =2m −6，根据下列条件分别求m 的值． （1）在x 轴上的截距为1； （2）斜率为1；（3）经过定点P (−1,−1)． 【答案】（1）1；（2）43；（3）53或−2.【解析】(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6.解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得{−m 2−2m−32m 2+m−1=12m 2+m −1≠0解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－ (m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝53或m ＝－2.当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．易错点3 忽视两条直线平行的条件当a 为何值时，直线1l ：y =−x ＋2a 与直线2l ：()222y a x =-+平行？【错解】由题意，得22a -=−1，∴a =±1.【错因分析】该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合． 【试题解析】∵12l l ∥，∴22a -=−1且2a ≠2，解得a =−1.【方法点睛】要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合． 【参考答案】a =−1.1．两直线的位置关系问题中注意重合与平行的区别．2．由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解. 3．两条直线的位置关系3．已知直线40x ay++=与直线430ax y+-=互相平行，则实数a的值为A．2±B．2C．2-D．0【答案】A【解析】直线40x ay++=与直线430ax y+-=互相平行，；∴410a a⨯-⋅=，即240a-=，解得：2a=±.当2a=时，直线分别为240x y++=和2430x y+-=，平行，满足条件当2a=-时，直线分别为240x y-+=和2430x y-+-=，平行，满足条件；所以2a=±；故选A.【名师点睛】本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题.易错点4 忽视截距为0的情形已知直线l过点P(2，−1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【错解】由题意，设直线l 的方程为x a ＋ya =1，∵直线l 过点(2，−1)，∴2a ＋－1a =1，∴a =1，则直线l 的方程为x ＋y −1=0. 【错因分析】错解忽略了过原点时的情况． 【试题解析】设直线l 在两坐标轴上的截距为a . 若a =0，则直线l 过原点，其方程为x ＋2y =0； 若a ≠0，则直线l 的方程可设为x a ＋ya =1，∵直线l 过点(2，−1)，∴2a ＋－1a =1，∴a =1，则直线l 的方程为x ＋y −1=0.综上所述，直线l 的方程为20x y +=或x ＋y −1=0.【思路分析】截距式方程中a ≠0，b ≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x ，y 轴上的截距均为0，即过原点． 【参考答案】20x y +=或x ＋y −1=0.1．在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．2．在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点，常见的与截距问题有关的易错点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，应先考虑截距为0的情形，注意分类讨论思想的运用．4．经过点(1,3)P ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有 A ．0条 B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【解析】若直线过原点，则过()1,3P 的直线方程为3y x =，满足题意. 若直线不过原点，设直线为x y a +=，代入()1,3P ，解得：4a =，∴直线方程为：40x y +-=∴满足题意的直线有2条故选C.【名师点睛】本题考查在坐标轴截距相等的直线的求解，易错点是忽略直线过原点的情况.易错点5 含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误若三条直线123:10,:10,:0l ax y l x ay l x y a ++=++=++=共有三个不同的交点，则a 的取值范围为 A ．1a ≠± B ．a ≠1且a ≠−2 C ．a ≠−2D ．1a ≠±且a ≠−2【错解】选A 或选B【错因分析】在解题过程中，常错选B ，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．错选A 时，只考虑三条直线斜率不相等的条件而忽视了三条直线相交于一点的情况．【试题解析】因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．①若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点()1,1a --代入l 1的方程解得a =1或a =−2. ②若12l l ∥，则由a ×a −1×1=0，解得a =±1， 当a =1时，1l 与2l 重合．③若2l ∥3l ，则由1×1−a ×1=0，解得a =1， 当a =1，2l 与3l 重合．④若1l ∥3l ，则由a ×1−1×1=0，解得a =1， 当a =1时，1l 与3l 重合．综上，当a =1时，三条直线重合；当a =−1时，1l ∥2l ；当a =−2时，三条直线交于一点. 所以要使三条直线共有三个交点，需1a ≠±且a ≠−2. 【参考答案】D1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标. 2．求过两直线交点的直线方程的求法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.5．设()()2,3,1,2A B -，若直线10ax y +-=与线段AB 相交，则a 的取值范围是 A ．[]1,1- B ．()1,1-C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】由题意，直线10ax y +-=，即1y ax =-+，所以直线经过定点()0,1P ， 又由斜率公式，可得31120PA k -==---，21110PB k -==-．∵直线10ax y +-=与线段AB 相交，∴1a -≥或1a -≤-，则a 的取值范围是(][),11,-∞-+∞．故选C ．【名师点睛】本题考查了斜率计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．易错点6 忽视圆的方程需要满足的条件致错已知点O (0，0)在圆x 2＋y 2＋kx ＋2ky ＋2k 2＋k −1=0外，求k 的取值范围．1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． 2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．3．与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． （2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； ②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． （3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； ②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．4．对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．6．若直线2y kx k =+与圆2240x y mx +++=至少有一个交点，则实数m 的取值范围为 A ．[0，+∞） B ．[4，+∞） C ．（4，+∞） D ．[2，4]【答案】C【解析】由2y kx k =+可得(2)y k x =+，故直线2y kx k =+恒过定点(2,0)-，因此可得点(2,0)-必在圆内或圆上，故2220240)4(m m -+-+≤⇒≥．由方程表示圆的条件可得24404m m -⨯>⇒<-或4m >．综上可知4m >．故实数m 的取值范围为（4，+∞）．故选C ．【名师点睛】本题主要考查了直线过定点及直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，属于中档题.易错点7 利用数形结合的解题误区方程1－x 2=kx ＋2有唯一解，则实数k 的取值范围是A ．k =± 3B ．k ∈(−2，2)C ．k <−2或k >2D ．k <−2或k >2或k =±3 【错解】选A 或选C线与圆相切的情形而错选C ．【试题解析】由题意知，直线y =kx ＋2与半圆x 2＋y 2=1(y ≥0)只有一个交点．结合图形易得k <−2或k >2或k =± 3.【参考答案】D1．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：（1）明确圆心C 的坐标（a ，b ）和半径长r ，将直线方程化为一般式； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ； （3）比较d 与r 的大小，写出结论.判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法. 2．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则12|||AB x x =-.7．若直线y =x ＋b 与曲线y =4－x 2有公共点，试求b 的取值范围． 【答案】−2≤b ≤22【解析】如图所示，在坐标系内作出曲线y =4－x 2(半圆)，直线l 1：y =x −2，直线l 2：y =x ＋2 2.当直线l ：y =x ＋b 夹在l 1与l 2之间(包含l 1，l 2)时，l 与曲线y =4－x 2有公共点，易错点8 不理解两圆相切已知圆222210,x y x y ++++=圆226890x y x y +-++=，判断两圆的位置关系.【错解】由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，x 2＋y 2－6x ＋8y ＋9＝0，得4x −3y −4=0，即y =4x －43.将其代入方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1=0，得22(44)8821093x x x x --++++=，即9x 2＋16x 2＋16−32x ＋18x ＋3(8x −8)＋9=0，25x 2＋10x ＋1=0， 因为Δ=100−4×25=0.所以两圆只有一个公共点，两圆相切．【错因分析】将两圆方程联立，Δ=0说明两圆只有一个公共点，此时两圆有可能外切，也有可能内切． 【试题解析】把两圆方程分别配方，化为标准方程为：(x ＋1)2＋(y ＋1)2=1，(x −3)2＋(y ＋4)2=16， 所以C 1(−1，−1)，C 2(3，−4)，r 1=1，r 2=4.∵圆心距12|5|C C ==，r 1＋r 2=1＋4=5， ∴|C 1C 2|=r 1＋r 2，故两圆外切． 【参考答案】外切.1．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长；（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求1212||r r r r +-，； （3）比较1212,,||d r r r r +-的大小，写出结论. 2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； 二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.8．已知两圆221x y +=和224)()25x y a ++-=（相切，求实数a 的值.【答案】±0【解析】题中所给两圆的圆心坐标分别为()()0,0,4,a -，半径分别为1,5，51=+，解得：a =±51=-，解得：0a =，综上可得，a 的值为±0.【名师点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法，两圆相切注意讨论内切外切两种情况.两圆外切和内切统称为相切，d =|r 1−r 2|⇔内切；d =r 1＋r 2⇔外切．本题容易出现的错误是：只考虑外切的情况而把内切情况漏掉了．易错点9 求切线时考虑不全致错过点P (2，4)引圆()()22111x y --=＋的切线，则切线方程为__________．【错解】设切线方程为y −4=k (x −2)，即kx −y ＋4−2k =0， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d1==，解得k =43，【错因分析】本题容易忽略切线斜率不存在的情况，从而导致漏解． 【试题解析】显然点P (2，4)不在圆上，当切线的斜率存在时，设切线方程为y −4=k (x −2)，即420kx y k -+-=， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即d1==，解得k =43，故所求切线方程为43x −y ＋4−2×43=0，即4x −3y ＋4=0； 当切线的斜率不存在时，切线方程为2x =，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意． 综上，切线方程为2x =或4x −3y ＋4=0． 【参考答案】2x =或4x −3y ＋4=0.求解此类问题时，应先判断点是在圆上还是在圆外，在圆上时切线方程唯一，在圆外时切线方程必有两条．1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =；若0k =，则由图形可写出切线方程为0x x =；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求出切线方程.2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程： （1）几何方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．9．已知圆：22(1)2x y +-=，则过点（1，2）作该圆的切线方程为 A ．440x y +-= B ．250x y +-=C ．2x =D ．30x y +-=【答案】D【解析】根据题意，设圆：()2212x y +-=的圆心为M ，且M （0，1），点N （1，2）， 有()221212+-=，则点N 在圆上，则过点N 的切线有且只有1条； 则21110MN k -==-， 则过点（1，2）作该圆的切线的斜率1k =-，切线的方程为2(1)y x -=--， 变形可得30x y +-=， 故选D ．一、直线与方程 1．直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0︒．（2）范围：直线l 倾斜角的范围是[0,180)︒︒． 2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k =2121y y x x --．3．直线方程的五种形式()00y y k x x -=-，斜率不存在时可设为x =x 0.（2）平行于直线Ax ＋By ＋C =0的直线系方程：()110Ax By C C C ++=≠． （3）垂直于直线Ax ＋By ＋C =0的直线系方程：10Bx Ay C -+=.（4）过两条已知直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0(其中不包括直线2220A x B y C ++=)． 2．求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点.二、直线的位置关系 1．两条直线的位置关系2．两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，1l 与2l 的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解⇔1l ∥2l ；（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合． 3．距离问题（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2（2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C =0的距离d．（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1=0与Ax ＋By ＋C 2=0(C 1≠C 2)间的距离d．1．求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等. 2．解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3．求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题. 4．对称问题（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．（2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'l P P'l ⊥⎧⎨⎩直线与的中点在上．解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．三、圆的方程1．圆的标准方程与一般方程D E 2．点与圆的位置关系（1）圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． （2）两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．①同心圆系方程：2220()()()x a y b r r =->+-，其中a ，b 为定值，r 是参数； ②半径相等的圆系方程：2220()()()x a y b r r -->+＝，其中r 为定值，a ，b 为参数．四、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相离，没有公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相交，有两个公共点． 2．直线与圆的位置关系的判断方法3．圆与圆的位置关系4．圆与圆位置关系的判断圆与圆的位置关系的判断方法有两种. （1）几何法：由两圆的圆心距d 与半径长R ，r 的关系来判断（如下图，其中R r >）．（2）代数法：设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆222222:0C x y D x E y F ++++= ②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆222222:0C x y D x E y F ++++= ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①−②，得121212()()0D D x E E y F F -+-+-=③． 方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程．1．（2018新课标Ⅲ理）直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x −2)2+y 2=2上，则ABP △面积的取值范围是A ．[2 ， 6]B ．[4 ， 8]C ．[√2 ， 3√2]D ．[2√2 ， 3√2]2．（2016新课标II 理）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34-CD ．23．不论m 为何值，直线()()21250m x m y -+++=恒过定点 A ．()1,2-- B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,24．已知直线1:20l mx y +-=与直线()2:240l m x my -+-=垂直，则m = A ．0 B ．1C ．1-或0D ．0或15．圆22(2)(1)1x y -+-=上的一点到直线:10l x y -+=的最大距离为A 1B ．2CD 16．已知圆()()221:24O x m y -+-=与圆()()222:229O x y m +++=有3条公切线，则m = A ．1-B ．1或175-C ．175-D ．1-或1757．已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动，且90ABC ∠=，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为A ．9B ．8C ．7D ．68．已知直线10():ay a l x +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则=ABA ．2B ．C ．D ．69．已知点()1,Q m -，P 是圆C ：()()22244x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为()2211x y +-=，则m 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．410．过直线:1l y x =+上的点P 作圆C :()()22162x y -+-=的两条切线1l 、2l ，当直线1l 、2l 关于直线:1l y x =+对称时，PC =A ．3B ．C ．1D ．211．（2019年高考浙江卷）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．12．（2018天津卷）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 13．（2018新课标I 卷）直线y =x +1与圆x 2+y 2+2y −3=0交于A ， B 两点，则|AB |=________． 14．若直线l 1:x −2y +m =0(m >0)与直线l 2:x +ny −3=0之间的距离是√5，则m +n =_________. 15．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．16．若双曲线22:154y x C -=的渐近线与圆()()22230x y r r -+=>相切，则r =_________.17．（2018新课标II 理）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．18．（2017新课标III 理）已知抛物线C ：22y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.19．已知直线3410x y --=被圆C ：222(3)x y r ++=截得的弦长为 （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y x m =+与圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，3OA OB ⋅=-，求|AB |的值.________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________。
高考复习文科数学第九章直线和圆的方程
第九章 直线和圆 考点1 直线与方程 1. (2016·北京，7)已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为( ) A.－1 B.3 C.7 D.8
1.解析 线段AB的方程为y－1＝5－12－4(x－4)，2≤x≤4. 即2x＋y－9＝0，2≤x≤4，因为P(x，y)在线段AB上， 所以2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9. 又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x－y最大值为7. 答案 C
2.(2015·安徽，8)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( ) A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12 D.2或12 2.解析 圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，
∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b|32＋42＝1.解得b＝2或b＝12，故选D. 答案 D
3.(2014·福建，6)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( ) A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0 C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0 3.解析 依题意,得直线l过点(0,3),斜率为1,所以直线l的方程为y－3＝x－0,即x－y＋3＝0.故选D. 答案 D
4.(2014·四川，9)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋ 3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( ) A.[5，25] B.[10，25] C.[10，45] D.[25，45] 4.解析 易知直线x＋my＝0过定点A(0，0)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且两条直线相互垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动，故|PA|＋|PB|＝|AB|cos∠PAB＋|AB|sin∠
PAB＝10·2sin∠PAB＋π4∈[10，25]，故选B. 答案 B 5.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.
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1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－5
3
或－
3
5
B．－
3
2
或－
2
3
C．－5
4
或－
4
5
D．－
4
3
或－
3
4
答案 D
解析圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3,2)，半径r＝1.如图，作出
点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得
|k－－2－2k－3|
1＋k2
＝1，即|5k＋5|＝1＋k2，整得12k2＋25k＋12＝0，即(3k
＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－4
3
或k＝－
3
4
.故选D.
2.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
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A．(1,3) B．(1,4)
C．(2,3) D．(2,4)
答案 D
解析当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以0<r<5；所以当直线l的斜率存在时，这样的直线l有2条即可．设A(x1，y1)，
B(x
2，y2)，M(x0，y0)，则
⎩
⎨
⎧x1＋x2＝2x0
y
1
＋y2＝2y0
.
又
⎩
⎨
⎧y21＝4x1
y2
2
＝4x2
，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，k AB＝
y
1
－y2
x
1
－x2
＝
4
y
1
＋y2
＝2
y 0.设圆心为C(5,0)，则k CM＝
y
x
－5
.因为直线l与圆相切，所以
2
y
·
y
x
－5
＝－1，
解得x0＝3，于是y20＝r2－4，r>2，又y20<4x0，即r2－4<12，所以0<r<4，又0<r<5，r>2，所以2<r<4，选D.
3．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 B．4 2
C．6 D．210
答案 C
解析由题意得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆C的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a －1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故选C.
4．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )
A.4π
5
B.
3π
4
C ．(6－25)π D.
5π4
答案 A
解析 解法一：由题意得以AB 为直径的圆C 过原点O ，圆心C 为AB 的中点，设D 为切点，要使圆C 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC ＋CD 最小，其最小值为OE (过原点O 作直线2x ＋y －4＝0的垂线，垂足为E )的长度．由点到直线的距离公式得OE ＝
4
5
. ∴圆C 面积的最小值为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝4
5
π.故选A.
解法二：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点，且圆C 过原点(0,0)，∵圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离
等于M 点到直线2x ＋y －4＝0的距离．
由抛物线的定义可知，圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点，2x ＋y －4＝0为准线的抛物线．如图所示．
要使圆C 面积最小，则需找出圆C 半径的最小值．
由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x ＋y －4＝0的距离的一半．
因此，圆C 半径的最小值为r min ＝45
×12＝255.故圆C 面积的最小值为πr 2min
＝π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2552＝4π
5.
5．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
答案 (x －1)2＋y 2＝2
解析 因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.
6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.
答案 2
解析 由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即|a |2＝|b |2，|a |2
＝cos45°＝2
2，所以a 2＝b 2＝1，故a 2＋b 2＝2.
7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．
答案
255
5
解析 圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心为C (2，－1)，半径r ＝2，圆心C 到直线x ＋2y －3＝0的距离为d ＝
|2＋
－－3|12＋22＝3
5
，所求弦长l ＝2r 2－d 2
＝2
4－95＝2555
. 8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B
两点，且△ABC 为等边三角形，则实a ＝________.
答案 4±15
解析 由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的距离为3，即(1，a )到直线
ax ＋y －2＝0的距离d ＝
|a ＋a －2|
1＋a
2
＝3，即a 2－8a ＋1＝0，可求得a ＝4±15. 9.已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，
B .
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(1)求圆C 1的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明由．
解 (1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．
(2)由垂径定知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝
⎛
⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.
故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2
＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53＜x ≤3.
(3)联立⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5
3
，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －322
＋y 2
＝94，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝5
3，y ＝±253.
不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，
253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－
257，kPP 2＝25
7
. 当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
32k －4k k 2
＋1＝3
2，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－34，34∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－257，
257时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。