20130427二项式定理导数
二项式定理和导数结合
二项式定理和导数结合一、引言数学当中有许多看似独立的理论却可以互相结合，产生更为丰富和精密的结果。
在本文中，我们将会讨论二项式定理和导数的关系，探究二者之间的深刻联系。
二、二项式定理的基本概念二项式定理是指形如$(a+b)^n$的式子，其中$a$和$b$为常数，$n$为正整数。
二项式定理的一般形式可以表示为：$$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n-2}b^2+...+C_n^ra^{n-r}b^r+...+C_n^nb^n$$其中$C_n^r$表示从$n$个元素中取$r$个元素的组合数。
三、导数的基本概念导数是描述函数变化率的一个概念。
如果$f(x)$表示一个函数，那么$f(x)$在$x=x_0$处的导数可以表示为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$导数的概念在微积分中有重要的应用。
四、二项式定理和导数的关联二项式定理和导数看似没有什么关系，但它们实际上是有密切联系的。
这是因为导数可以用来推导二项式定理中的复杂系数。
我们来考虑二项式定理中的一个系数$C_n^r$。
假设我们对$(a+b)^n$进行$n$次求导，则会发现式子中每个成分都会逐渐消失，只有当$r=n$时，该式子才不会消失。
于是，我们可以得到：$$\frac{d^n}{dx^n}(a+b)^n=n!C_n^r$$这意味着，我们可以用导数来推导出复杂的组合数，从而简化二项式定理的计算过程。
五、应用举例我们可以通过一个例子来了解二项式定理和导数的应用。
考虑求解$(x+1)^n$在$x=0$处的$n$阶导数。
根据二项式定理，我们有：$$(x+1)^n=\sum_{r=0}^nC_n^rx^{n-r}$$对该式子求导$n$次，可得：$$\frac{d^n}{dx^n}(x+1)^n=n!C_n^0$$因此，在$x=0$处的$n$阶导数可以表示为$n!C_n^0=n!$。
二项式定理所有公式
二项式定理所有公式二项式定理啊，这可是高中数学里挺重要的一部分呢！咱们先来说说二项式定理到底是啥。
二项式定理就是指$(a+b)^n$ 展开后的式子。
这里面就有一系列的公式。
比如说，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2 + b^3$ 。
那如果是更高次幂呢，像$(a+b)^4$ 、$(a+b)^5$ 等等，展开就会更复杂一些。
咱们来具体看看二项式定理的通项公式：$T_{r+1} = C_{n}^r a^{n-r}b^r$ 。
这里的 $C_{n}^r$ 叫做二项式系数，计算方法是 $C_{n}^r =\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。
给大家讲个我之前遇到的事儿吧。
有一次我在课堂上讲二项式定理，有个学生就特别迷糊，怎么都弄不明白这个系数是怎么来的。
我就给他举了个例子，说假如咱们要从 5 个不同的苹果里选 2 个，有多少种选法？这其实就和二项式系数的计算是一个道理。
咱们先算5 的阶乘，就是 5×4×3×2×1，然后 2 的阶乘是 2×1，3 的阶乘是 3×2×1，用 5 的阶乘除以 2 的阶乘和 3 的阶乘的乘积，就能得到从 5 个里选 2 个的组合数，这就和二项式系数的计算是一样的思路。
这学生听了之后，恍然大悟，后来做这类题就很少出错啦。
再来说说二项式定理的性质。
二项式系数具有对称性，就是说$C_{n}^r = C_{n}^{n-r}$ 。
而且二项式系数的和是 $2^n$ ，也就是当$a = b = 1$ 时，$(1 + 1)^n = 2^n$ 。
在解题的时候，二项式定理用处可大啦。
比如求展开式中的特定项，或者求系数之和等等。
咱们拿个具体的题目来看看。
比如说求 $(2x - 1)^6$ 展开式中$x^3$ 的系数。
那咱们先根据通项公式，$T_{r+1} = C_{6}^r (2x)^{6-r} (-1)^r$ ，要得到 $x^3$ ，那 $6 - r = 3$ ，所以 $r = 3$ 。
二项式定理公式大全
二项式定理公式大全一、二项式定理基本公式。
1. 二项式定理。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈N^*。
- 例如，当n = 3时，(a +b)^3=C_3^0a^3b^0+C_3^1a^2b^1+C_3^2a^1b^2+C_3^3a^0b^3。
- 计算各项系数：- C_3^0=(3!)/(0!(3 - 0)!)=1- C_3^1=(3!)/(1!(3 - 1)!)=(3!)/(1!2!)=3- C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3!)/(2!1!)=3- C_3^3=(3!)/(3!(3 - 3)!)=1- 所以(a + b)^3=a^3+3a^2b + 3ab^2+b^3。
2. 二项展开式的通项公式。
- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k（k =0,1,·s,n）。
- 例如，在(x + 2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。
当k = 2时，T_3=C_5^2x^5 - 22^2。
- 计算C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=(5×4)/(2×1)=10- 所以T_3=10x^3×4 = 40x^3二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 在二项式(a + b)^n的展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。
- 例如，在(a + b)^5的展开式中，C_5^1=C_5^4，C_5^2=C_5^3。
- 计算C_5^1=(5!)/(1!(5 - 1)!)=5，C_5^4=(5!)/(4!(5 - 4)!)=5；C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=10，C_5^3=(5!)/(3!(5 - 3)!)=10。
二项式定理(通项公式)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二项式定理二项式知识回顾 1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k k n nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ①0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=.（2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的.当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC +相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1)⑶a0+a2+a4+a6……=2)1 ()1(-+ff⑷a1+a3+a5+a7……=2)1 ()1(--ff经典例题1、“n ba)(+展开式：例1．求4)13(xx+的展开式；【练习1】求4)13(xx-的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含2x的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22x的展开式的二项式系数和比(31)n)nx-的展开式的二项式系数和大992，求21-的展开式中：（1）二项式系数最(2)nxx大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是 ；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；（2） 一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx 展开式中9x 的系数是 ；。
二项式定理ppt课件
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
二项式定理与高阶导数
高阶导数的计算方法
对每一项求导，可以得到$(a+b)^n$的导数表达式。例如，一阶导数为$na^{n-1}b + nb^{n-1}a$ ，二阶导数为$(n-1)na^{n-2}b^2 + 2(n-1)ab^{n-1}a + (n-1)nb^{n-2}a^2$。
将每一项的导数表达式相加，即可得到$(a+b)^n$的高阶导数。将高阶导数与泰勒公式的展开式对比 ，即可证明二项式定理。
二项式定理的应用场景
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决代数问题，如求幂、因式分解等；在物理中，它可以用于计算物理量（如速度 、加速度）的二项式展开；在工程中，它可用于解决与二项式相关的优化问题。
二项式定理的证明方法
总结词
二项式定理的证明方法有多种，包括数 学归纳法、组合数学方法和微积分方法 等。
03
利用高阶导数，可以研究函数的极值、拐点等性质，以及 求解微分方程等。例如，利用二项式定理展开$(x+1)^2$ ，并求其一阶导数和二阶导数，可以研究该函数的极值和 拐点等性质。
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03
高阶导数的概念与性质
高阶导数的定义
总结词
高阶导数是指一个函数的导数在某点 的导数。
详细描述
高阶导数是函数在某一点处对自变量 求导的次数大于2的结果。例如，如 果一个函数在某一点处的二阶导数存 在，那么这个二阶导数就是该函数在 该点处的高阶导数。
高阶导数的几何意义
总结词
高阶导数在几何上表示函数曲线在某点的切线斜率的 变化率。
高阶导数的计算方法
对二项式定理的每一项求导，可以得到$(a+b)^n$的导数 表达式。具体来说，对$a^{n-k} b^k$求导，可以得到 $(n-k)a^{n-k-1}b + kb^{k-1}a^{n-k}$。
二项式定理中的求导问题
二项式定理中的求导问题二项式定理是高中数学中的重要内容，它是指对于任意实数a、b 和正整数n，有如下公式：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}$$其中，$C_n^k$表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，也称为二项式系数。
这个公式在数学中有着广泛的应用，如在概率论、组合数学、微积分等领域都有着重要的作用。
然而，在微积分中，我们还需要探讨二项式定理的求导问题。
具体来说，就是对于任意实数a、b和正整数n，如何求出$(a+b)^n$的导数。
一、直接求导法我们可以直接对$(a+b)^n$进行求导，得到：$$(a+b)^{n-1}n(a'+b')$$其中，a'和b'分别表示a和b的导数。
这种方法简单易行，但是需要进行n次求导，计算量较大，不太适合实际应用。
二、利用二项式定理求导法我们可以利用二项式定理将$(a+b)^n$展开，然后对每一项进行求导，最后再将它们相加。
具体来说，我们有：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}$$对于每一项$C_n^ka^kb^{n-k}$，我们可以分别对a和b进行求导，得到：$$\frac{d}{da}(C_n^ka^kb^{n-k})=C_n^kka^{k-1}b^{n-k}$$$$\frac{d}{db}(C_n^ka^kb^{n-k})=C_n^kka^kb^{n-k-1}$$将它们相加，得到：$$(a+b)^{n-1}n(a'+b')=\sum_{k=0}^nC_n^kka^{k-1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^nC_n^kka^kb^{n-k-1}$$化简后，得到：$$(a+b)^{n-1}n(a'+b')=n\sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^ka^kb^{n-1-k}$$这个公式的计算量较小，只需要进行一次求和即可。
二项式定理重点讲解
重点讲解1．二项式定理（1）二项式定理※这个公式表示的定理叫做二项式定理．（2）二项式系数、二项式的通项在※式中它的右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：（3）二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n．②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．（4）几点注意①通项是的展开式的第项，这里②二项式的项和的展开式的第项有是区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的．③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把－b看成b代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设，则得公式．在解题时要经常用到．2．二项式系数的性质（1）杨辉三角形《九章算术》杨辉对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用下表计算…………………1 1………………1 2 1……………1 3 3 1…………1 4 6 4 1………1 5 10 10 5 1……1 6 15 20 15 6 1……表中有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”类似这样的表，早在我国宋朝数学家杨辉1261年所著出《详解九章算法》一书里就已出现，反映了我国古代数学发展的成就，显示了我国古代劳动人民的智慧和才能．如下图叫杨辉三角，由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数．参看动画演示：杨辉三角（2）二项式系数的性质前面介绍了二项式系数，利用“杨辉三角”可以帮助我们观察二项式系数的性质．下面再从函数角度入手，研究一下二项式系数．展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是r为自变量的函数，其定义域是：．当时，的图象为下图．这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如…），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为．当n是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为③二项式系数的和为，即．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即．。
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1. 有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（ ） A.0B.1C.2D.3 2.展开式中不含．．项的系数的和为（ ）A.-1B.0C.1D.23. 若S=，则S 的个位数字是（ ） A 0 B 3 C 5 D 84. 已知（x －x a ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） A.28B.38C.1或38D.1或285. 在2431⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（ ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项6. 在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ ）A 、－5B 、 5C 、10D 、－10 7. 若x=21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（ ） A.第一项B.第三项C.第六项D.第八项8. 设函数则导函数的展开式项的系数为（ ）A ．1440B ．-1440C ．-2880D ．2880 9. 在51(1)x x+-的展开式中，常数项为（ ） （A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）1110. 若，且，则的值为（ ） Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11 Ｄ．1211. 若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ）（A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10-12. 若x(1+x)n的展开式中的每项的系数都用这一项的x 的指数去除，则得到的新系数和等于（ ）A.(2n+1-1)／(n+1)B.(2n -1)／(n+1)C.(2n-1+n-2)/(n+1)D.(n ·2n+1)/(n+1)13. 设a 、b 、m 为整数（m>0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a≡b(mod m).已知a=1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020·219，b≡a(mod 10)，则b 的值可以是（）A.2015B.2011C.2008D.2006 14. 若二项式6)sin (x x-θ展开式的常数项为20，则θ值为（ ） A. )(22Z k k ∈+ππB. )(22z k k ∈-ππ C.2π D. 2π-15. (x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)的展开式中，x 的系数是…………………（ ）A .1n n C -B .2nC C .21n C +D .21n C -(824x 123100123100A A A A ++++ ,)21()(10x x f -=)(x f '2x 32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N :3:1a b =n16. 已知二项式，（n ∈N ）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的 比是10：1。
（1）求展开式中各项的系数和 （2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项17. 在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求ba的最值18. 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员,,A B C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立. （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.n xx )2(2-*19.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且2l r≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c>千元.设该容器的建造费用为y千元。
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小值时的r.20. 设函数定义在上，，导函数 （Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论与的大小关系；（Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.()f x (0,)+∞(1)0f =1(),()()().f x g x f x f x x''==+()g x ()g x 1()g x00x 〉01()()g x g x x-∠0xDBBCCCBCBC DABBB 解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，∴，解得n=8 令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1(2) 展开式中第r 项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,,,若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：≢ 并且 ≢，解得5≢r ≢6；所以系数最大的项为T =1792；二项式系数最大的项为T =1120解：（1）设T 1+r =C r12（ax m）12－r·（bx n）r=C r12a12－r b r x m （12－r ）+nr为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项.（2）∵第5项又是系数最大的项，C 412a 8b 4≣C 312a 9b 3①C 412a 8b 4≣C 512a 7b 5②由①得2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≣23101112⨯⨯⨯a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴49 b ≣a ，即b a ≢49.由②得ba ≣58，∴58≢b a ≢49.故ba 的最大值、最小值分别为49、58.（1）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜的C 事件为F ，则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件. 因为()0.6,()0.5,()0.5P D P E P F ===，由对立事件的概率公式知()0.4,()0.5,()0.5P D P E P F ===， 红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ， 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 110)2()2(2244=-⋅-⋅CC nn8r n r C--⋅218r r C 28⋅1182++⋅r r C r n r C--⋅218r r C 28⋅1182++⋅r r C r rC 28⋅7111x⋅561x ⋅∴有（2）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3.又由（1）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥时间，且各盘比赛的结果相互独立， 因此(0)()0.40.50.50.1(1)()()()0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35(3)()0.60.50.50.15P P DEF P P DEF P DEF P DEF P P DEF ξξξ===⨯⨯===++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯====⨯⨯=由对立事件的概率公式得(2)1(0)(1)(3)0.4P P P P ξξξξ==-=-=-==所以ξ的分布列为因此00.110.3520.430.15 1.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=21、（1）设容器的容积为V ， 由题意知2343V r l r ππ=+，又803V π=， 故322248044203()333V r l r r r r rππ-==-=- 由于2l r ≥， 因此02r <≤所以建造费用2224202342()343y rl r c r r r c rππππ=⨯+=⨯-⨯+ 因此21604(2),02y c r r rππ=-+<≤ （2）由（1）得，3221608(2)20'8(2)(),022c y c r r r r r c πππ-=--=-<<- 由于3c >，所以20c ->，当32002r c -=-时，r =令r m ==，则0m > 所以2228(2)'()()c y r m r rm m rπ-=-++ ①当02m <<即92c >时，当r m =时，'0y =当(0,)r m ∈时，'0y < 当(,2)r m ∈时，'0y >所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点.②当2m ≥即932c <≤时 当(0,2)r ∈时，'0y <，函数单调递减， 所以，2r =是函数y 的最小值点. 综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2r = 当92c >时，建造费用最小时r =解 （Ⅰ）由题设易知，， ，令得， 当时，，故（0,1）是的单调减区间， 当时，，故是的单调增区间，因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为.（Ⅱ），设，则，当时，，即，当时，， 因此，在内单调递减，当时，，即，()ln f x x =1()ln g x x x=+∴21'()x g x x -='()0g x =1x =(0,1)x ∈'()0g x <()g x (1,)x ∈+∞'()0g x >(1,)+∞()g x 1x =()g x (1)1g =1()ln g x x x=-+11()()(2ln h x g x g x x x x =-=-+22(1)'()x h x x -=-1x =(1)0h =1()(g x g x=(0,1)(1,)x ∈⋃+∞'()0h x <'(1)0h =()h x (0,)+∞01x <<()(1)0h x h >=1()(g x g x>当时，，即.（Ⅲ）满足条件的不存在. 证明如下：证法一 假设存在 ，使 对任意 成立， 即对任意，有 ，（*）但对上述，取时，有 ，这与(*)左边不等式矛盾， 因此，不存在 ，使 对任意成立。
证法二假设存在，使 对任意的成立。
由（Ⅰ）知，的最小值为。
又，而时，的值域为， ∴ 时，的值域为， 从而可取一个，使 ， 即，故 ，与假设矛盾。
∴不存在 ，使对任意成立。
1x >()(1)0h x h <=1()(g x g x<0x 00x >01|()()|g x g x x-<0x >0x >02()Inx g x Inx x<<+0x 0()1g x x e =10()Inx g x =00x >01|()()|g x g x x-<0x >00x >01|()()|g x g x x-<0x >0()g x e ()1g x =1()g x Inx x=+I nx >1x >Inx (0,)+∞1x ≥()g x [1,)+∞11x >10()()1g x g x ≥+1()g x -0()g x 1≥10|()()|1g x g x -≥>11x 00x >01|()()|g x g x x-<0x >。