信息安全导论 5密码学数学基础

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带余除法
带余除法：
a∈Z, m>0，可找出两个唯一确定的整数q和r使a=qm+r,
0≤r< m。 (若r=0则m∣a）
q和r这两个数分别称为以m去除a所得到的商数和余数.记： q=a div m或[a/m], r =a mod m。
存在x,y，gcd(a,b)＝ax+by 如果a=qb+r,则gcd(a,b)=gcd(b,r). gcd(a/gcd(a,b),b/gcd(a,b))=1
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密码学是一门交叉学科，它很大程度上是应用数 学学科。 密码学中涉及数论、代数、概率论、组合数学、 计算复杂理论等多种数学知识。 还涉及信息论学科知识。 密码学所涉及的知识十分广阔，这里仅介绍部分 数学基本知识。
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数论基础
素数 同余、模运算 中国剩余定理 Euclean算法 Fermat定理、Euler定理 素性检验 因子分解 离散对数
整数p>1被称为素数是指p的因子仅有1，-1，p，-p。 否则，称为合数。
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整除基本性质
a|a; b≠0，b | 0; If a|b,b|c,then a|c; if a|1, then a=±1; if a|b, and b|a,then a=±b; if b|g and b|h, then b|(mg+nh),for any integers
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算术基本定理
下面关于素数的事实均成立
如果p是一个素数，并且p|ab，则有p|a或p|b； 素数有无穷多个； 素数定理:记π(x)为不大于x的素数的个数，则有
lim (x ) /(x ln x )=1
x
它表明，对于充分大的x，可以用xlnx近似地表示π(x)。
算术基本定理：
m and n
注意: if a=0 mod n, then n|a
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互素与最大公约数
最大公约数（最大公因子）：
若a,b,c∈Z，如果c∣a，c∣b，称c是a和b的公约数。正 整数d称为a和b的最大公约数(记d=gcd(a,b)或(a,b)) ，如 果它满足:
d是a和b的公约数。
对a和b的任何一个公约数c有c∣d。
P
max(et ,f t )
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整数同余式和同余方程
带余除法中，a∈Z，m>0，a=qm+r， 0≤r< m，r为
a除以m的余数或剩余(Residue)，m称为模数，所以
称r为a模正整数m的剩余，记r≡a mod m
m∣(a-b)a=q1m+r,b=q2m+r。即a和b分别 除以m有 相同的余数 同余称整数a模正整数m同余(数)于整数b，并写a≡b （mod m）是指m∣(a－b), m称为模数。
任何一个不等于0的正整数a都可以写成唯一的表达 at a1 a2 式 aP P P ，这里P1>P2>P3…>Pt是素数，其 1 2 t 中αi>0整数。
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目前没有可用于整数分解的有效算法。
e1 e2 a P 对于整数a,b(a,b≥2)，a,b的素数分解式分别为： 1 P 2
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由于历次所得的余数 r1> r2 >r3 >r4 >…rk>…≥0 是严格递降的一串非负整数，故最后总会出现余数为0的情形： rk-1=qk+1rk (k+1) 所以，进行有限步必停止，此时d=rk=(a,b)成立，这是因为 1). 可知rk为a和b的公约数，只要按倒序分析自然有此结论。 2). a和b的任何一个公约数c都是rk的约数，只要按正序分析，自然 可知。 为证定理的后一部分，将式(1)做移项有 r1=s1a+t1b（其中s1=1,t1= -q1） 再将式(2)右端通过移项变为r2=s2a+t2b 这样一直下去，最后得d=rk=s*a+t*b,s,t∈z.
a=q1b+r1,0≤r1<b; (1) 如果r1=0，停止，否则再用r1去除b，得 b=q2r1+r2,0≤r2<r1; (2) 如果r2=0，停止，否则再用r2去除r1，得 r1=q3r2+r3;0≤r3<r2; (3) 等等，这样一直进行下去，可得一系列关系式： rk-3=qk-1rk-2+rk-1,0≤rk-1<rk-2; (k-1) rk-2=qkrk-1+rk,0≤rk<rk-1; (k)
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3、模运算：对于某个固定模m的同余式可以象普通的等式那 样相加相减和相乘：
a(mod m)±b(mod m)=(a±b)(mod m)
a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m)
例：由同余式演算证明560－1是56的倍数，223－1是47的倍数。
解： 注意53=125≡13(mod56) 于是有56≡169≡1(mod56) 对同余式的两边同时升到10次幂， 即有56∣(560-1)。 其次, 注意26=64≡-30(mod47),
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定理：剩余类环zm中元素α=[a]为zm的可逆元最大公约数(a,m)=1 要证明这个定理，只需证明下列引理： 引理：任意两个整数a和b都有一个最大公约数，这样一个最大公约 数d可以表示成a,b二数关于整系数的线性组合，即有s,t∈z，使d＝sa ＋tb。 证明：不妨设b>0，用辗转相除法，先用b去除a，得
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6、整数环z模正整数m得到的剩余类集合可以记为zm (或z/(m)), zm={[0],[1],…,[m-1]} 在3、中已说明zm对剩余类的加法，乘法是封闭的，可 列出它们的加乘表。我们称zm为剩余类环（或同余类 环） 7、在整数环z中是没有零因子的，即两个非零整数的 乘积一定不等于0，但是剩余环则不然。 例z12中：[3]*[4]=[12]=[0] 说明，zm中的元素可分为两类，一类是零因子，即若α ∈zm,α≠[0]，存在β∈zm且β≠[0]，有α*β=[0]，则称α，β 都为zm中的零因子。另一类是可逆元，即若α∈zm，存 在β∈zm，使α*β=[1]，此时α,β互为各自的逆元，记α-1= β；β-1=α
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中国剩余定理
例子：（孙子算经）今有物不知其数：三三数之余二；五五数之余三； 七七数之余二。问物几何？ 答曰：二十三。 23≡2*70+3*21+2*15(mod 105) （ 口 诀 ： 三 人 同 行 七 十 稀 ， 五 树 梅 花 廿 一 枝 ， 七子团圆月正半，除百零五便得知。） 问，70，21，15如何得到的？ 原问题为： 求解同余方程组
于是 223=(26)3· 25=(26 ·26)26 ·25 ≡900*(-30)*(32) mod(47) ≡(7)* (-30)*(32) (mod47) ≡1(mod47) 于是有 47∣(223-1)
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Modulo 8 Example
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4、定理：(消去律)对于ab≡ac(mod m)来说，若最大公 因子gcd (a,m)＝1（即a与m是互素），则b≡c(mod m) 加法消去律： a+b≡a+c(mod m)，有b≡c(mod m). 5、一次同余方程ax≡b(mod m)，这个方程有没有解， 相当于问有没有那样一个整数x，使得对于某个整数y 来说，有ax+my=b 定理：记最大公因子(a,m)=d，则同余方程ax≡b(mod m) 有解的充分必要条件是d∣b。当这个条件满足时，恰 有d个模m同余类中的整数是上述方程的解。 证明：略。（从ax+my=b入手）
信息安全导论
第五讲
密码学技术中的数学基础
华中科技大学图象所 信息安全研究室 Dr. Zuxi Wang2 Nhomakorabea15-6-7
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密码学是研究密码系统或通信安全的一门学科， 分为密码编码学和密码分析学。 密码编码学是使得消息保密的学科，从事此行的 称为密码编码者。 密码分析学（密码破译学）是研究加密消息的破 译的学科，从事此行的称为密码分析者。精于此 道的人被称为密码学家，现代的密码学家通常是 理论数学家。
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整除、素数
记整数集合Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} 整除
设a,b∈Z，a≠0，如果存在m∈Z，使得b=ma，则称a整 除b，以a|b表示，a是b的一个因子或约数。 如果没有任何m，使得b=ma，则称a不能整除b,记a†b， 此时有a=mb+r且0<r<b。
素数(质数)
note: if a=0 mod m, then m|a
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1、模关系：相对于某个固定模数m的同余关系，是指整数 间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质： 自反性：对任意整数a，有a≡a（mod m） 对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a（mod m） 传递性：若a≡b (mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m) 全体整数集合Z可按模m（m>1）分成一些两两不交的等 价类（剩余类）。 2、整数模m同余类共有m个，他们分别为mk+0,mk+1, mk+ 2,…mk+(m-1); k∈z，每一个算一类，每一类都可以选一个 代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于是称[0], [1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。其中与m互素的剩余类 构成模m的简约剩余系。Z模12的标准完全剩余系为：[0], [1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]