课时跟踪训练26

[解析] 如图所示，以 O 为原点，以 OD 所在 直线为 x 轴建立直角坐标系．设点 P(x，y)， → → → ∵OP＝αOC＋βOD， 则(x，y)＝α(0,1)＋β(3,0) x ＝(3β，α)，∴x＝3β，y＝α，α＋β＝y＋3.由于点 P 在△BCD 内(包含 x 边界)，目标函数为 α＋β＝y＋3，当点 P 与点 B(1,1)重合时，α＋β＝y x 1 4 ＋3取得最大值，其最大值为 1＋3＝3.
－1＋m＝1＋2n， 则 1＋2m＝－2＋3n. m＝－12， 得 n＝－7.
此时 a＝b＝(－13，－23)． [答案] {(－13，－23)} 13． 线段 AB 的端点为 A(x,5)， B(－2， y)， 直线 AB 上的点 C(1,1)， → → 使|AC|＝2|BC|，则 x＋y＝________. [解析] → → → 由已知得AC＝(1－x，－4)，2BC＝2(3,1－y)．由|AC|＝
[答案] D 二、填空题 11．设向量 a，b 满足|a|＝2 5，b＝(2,1)，且 a 与 b 的方向相反， 则 a 的坐标为________． [解析] ∵b＝(2,1)， 且 a 与 b 的方向相反， ∴设 a＝(2λ， λ)(λ<0)． ∵|a|＝2 5， ∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2. ∴a＝(－4，－2)． [答案] (－4，－2) 12．(2016· 九江模拟)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b ＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则 P∩Q 等于________． [解析] P 中， a＝(－1＋m,1＋2m)， Q 中， b＝(1＋2n， －2＋3n)．
→ → π [解析] 因为|OC|＝2， ∠AOC＝4， 所以 C( 2， 2)， 又OC＝λOA → ＋μOB，所以( 2， 2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以 λ＝μ＝ 2，λ ＋μ 是一组基底，向量 γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x， y)为向量 γ 在基底 α，β 下的坐标，现已知向量 a 在基底 p＝(1，－1)， q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则向量 a 在另一组基底 m＝(－1,1)，n＝ (1,2)下的坐标为( A．(2,0) C．(－2,0) ) B．(0，－2) D．(0,2)
3 6 π 6 ∴λ＋ 3μ＝ 2 (sinθ＋cosθ)＝ 2 sinθ＋4≤ 2 ， π π π 仅当 θ＋4＝2，即 θ＝4时取等号． [答案] B
10．如图所示，四边形 OABC 是边长为 1 的正 方形，OD＝3，点 P 为△BCD 内(含边界)的动点， → → → 设OP＝αOC＋βOD(α，β∈R)，则 α＋β 的最大值等于( 1 A.4 1 C.3 B．1 4 D.3 )
课时跟踪训练(二十六)
一、选择题 1．在下列向量组中，可以把向量 a＝(2,3)表示成 λe1＋μe2(λ，μ ∈R)的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(2,1) B．e1＝(3,4)，e2＝(6,8) C．e1＝(－1,2)，e2＝(3，－2) D．e1＝(1，－3)，e2＝(－1,3) [解析] 根据平面向量基本定理可知，e1，e2 不共线，验证各选 项，只有选项 C 中的两个向量不共线，故选 C. [答案] C 2．已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，x)，若 a＋b 与 4b－2a 平行，则 实数 x 的值是( A．－2 C．1 [解析] ) B．0 D．2 解法一：因为 a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以 a＋b＝(3，x
[解析] ∵a 在基底 p，q 下的坐标为(－2,2)，则 a＝－2p＋2q＝ (2,4)，令 a＝xm＋yn，则 a＝(－x＋y，x＋2y)＝(2,4)，
－x＋y＝2， ∴ 解得{x＝0，y＝2. ∴a 在基底 m，n 下的坐 x＋2y＝4，
标为(0,2)． [答案] D → → 7．设向量OA＝e1，OB＝e2，若 e1 与 e2 不共线，且点 P 在线段 → → → AB 上，|AP|∶|PB|＝2，如图所示，则OP＝( )
1 2 A.3e1－3e2 1 2 C.3e1＋3e2
2 1 B.3e1＋3e2 2 1 D.3e1－3e2
→ → → → → → → → [解析] 由题意知AP＝2PB，∴AB＝AP＋PB＝3PB，OP＝OB＋ → → 1→ → 1 → → 1 2 BP＝OB－3AB＝OB－3(OB－OA)＝3e1＋3e2. [答案] C
－6m＋n＝5， ∴ －3m＋8n＝－5， m＝－1， 解得 n＝－1.
→ → → (3)设 O 为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， → → ∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M(0,20)． → → → 又∵CN＝ON－OC＝－2b， → → ∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
[解析] 以点 A 为原点、AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标 系，
则 B(1,0)，D(0， 3)， P
3 π 3 ，θ∈0， ， cos θ ， sin θ 2 2 2
→ → → 由AP＝λAB＋μAD，
23cosθ＝λ， 得 3 2 sinθ＝ 3μ，
→ → → → (2)因为OA＝(1,2)，PB＝OB－OP＝(3－3t,3－3t)， → → 若四边形 OABP 为平行四边形，则OA＝PB.
3－3t＝1， 由 得此方程组无解， 3－3t＝2，
∴四边形 OABP 不可能为平行四边形．
3 1 C.2a－2b
3 1 D．－2a＋2b
[解析] 设 c＝λ1a＋λ2b， 则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1， －1)＝(λ1＋λ2， 1 λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得 λ1＝2， 3 1 3 λ2＝－2，所以 c＝2a－2b. [答案] B 4．“x＝3”是“向量 a＝(x＋1,1)与向量 b＝(4，x－2)共线”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] 由 a∥b⇒(x＋1)(x－2)－4＝0⇒x2－x－6＝0⇒x＝3 或 x ＝－2，故选 A. [答案] A 5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平 → → → π 面内第一象限内一点且∠AOC＝4，且|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB， 则 λ＋μ＝( A．2 2 C．2 ) B. 2 D．4 2
8．已知向量 a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中 m，n 为正数)， 若 a∥b， 1 2 则m＋n的最小值是( A．2 2 C．3 2＋2 ) B．3 2 D．2 2＋3
[解析] a＝(m,1)，b＝(1－n,1)，(其中 m，n 为正数)，若 a∥b， 则 m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1. 1 2 m＋n 2m＋2n n 2m ∴m＋n＝ m ＋ n ＝3＋m＋ n ≥3＋2 n 2m m·n ＝3＋2 2，
→ → ∴OA＝(1,2)，AB＝(4－1,5－2)＝(3,3)． → (1)设 P(x，y)，则OP＝(x，y)，若点 P 在第二象限，
x<0， 则 且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)， y>0， x＝1＋3t， 1＋3t<0， 2 1 ∴ ∴ ∴－3<t<－3. y＝2＋3t， 2＋3t>0，
n 2m 1 2 当且仅当m＝ n 时取等号，故m＋n的最小值是 3＋2 2，故选 D. [答案] D 9．(2016· 福建质检)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝ 3，P 为矩 → → 3 → 形内一点，且 AP＝ 2 .若AP＝λAB＋μAD(λ，μ∈R)，则 λ＋ 3μ 的最 大值为( 3 A.2 3＋ 3 C. 4 ) 6 B. 2 D. 6＋3 2 4
→ ∴N(9,2)．∴MN＝(9，－18)． 15．已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线； → → (2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb 且 A、B、C 三点共线，求 m 的 值． [解] (1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2， －1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1) ＝(5,2)． ∵k a－b 与 a＋2b 共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 1 即 2k－4＋5＝0，得 k＝－2. → → (2)解法一：∵A、B、C 三点共线，∴AB＝λBC，
1－x＝6， → → → → → 2| BC | ，可得 AC ＝ ± 2 BC ，则当 AC ＝ 2 BC 时， 解得 －4＝2－2y， x＝－5， 1－x＝－6， → → x＋y＝－2；当AC＝－2BC时，有 解得 y＝3， －4＝－2＋2y，
x＝7， x＋y＝6. y＝－1，
＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由 a＋b 与 4b－2a 平行，得 6(x＋1)－3(4x －2)＝0，解得 x＝2. 解法二：因为 a＋b 与 4b－2a 平行，所以存在常数 λ，使 a＋b ＝λ(4b－2a)，即(2λ＋1)a＝(4λ－1)b，根据向量共线的条件知，向量 a 与 b 共线，故 x＝2. [答案] D 3．若向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则 c＝( 1 3 A．－2a＋2b 1 3 B.2a－2b )
综上可知 x＋y＝－2 或 6. [答案] －2 或 6 三、解答题 → → 14．已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b， → → → CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b， (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； → (3)求 M，N 的坐标及向量MN的坐标． [解] 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，