不等式第10课时
高二数学(人教版)选修4-5教案：第10课时 不等式的证明方法之——反证法
课 题： 第10课时 不等式的证明方法之三：反证法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。
也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。
但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。
所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。
其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。
具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q ”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
二、典型例题：例1、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）例1、设233=+b a ，求证.2≤+b a证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a 因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。
例2、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
高中数学 第二章 一元二次函数方程和不等式 课件 新人教A版必修第一册
B．P≥Q
C．P<Q
D．P≤Q
解析：P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2a－2b－2c＝(a－1)2＋(b－1)2 ＋(c－1)2≥0.∵a，b，c不全相等，∴P－Q>0，∴P>Q.
二、填空题(每小题5分，共20分) 8．已知两实数a＝－2x2＋2x－10，b＝－x2＋3x－9，a，b分 别对应数轴上两点A，B，则点A在点B的__左__边__ (填“左边”或 “右边”)．
甲乙丙
维生素A(单位/kg) 600 700 400
维生素B(单位/kg) 800 400 500
成本(元/kg)
11 9 4
若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混
合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单
位维生素B.试用x、y表示混合食物的成本c(单位：元)，并写出x、
——基础巩固——
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h，
行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，则用不等式
表示为( B )
A．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h
v≤120 km/h， B.d≥10 m D．d≥10 m
解析：∵a－b＝－2x2＋2x－10－(－x2＋3x－9)
＝－2x2＋2x－10＋x2－3x＋9＝－x2－x－1＝－(x＋
1 2
)2－
3 4
<0，
∴a<b，∴点A在点B的左边．
9．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路 程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200km，写成 不等式为___8_(x_＋__1_9_)_>_2_2_0_0__；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原8x来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表 示为____9_<_x_－__1_2_<_1_0__.
不等关系与不等式教案
不等关系与不等式教案教学设计3．1.1 不等关系与不等式整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．三维目标1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．教学难点：准确比较两个代数式的大小．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA＜xB.教师协助画出数轴草图如下图．实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：两点之间线段最短．实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．实例6：限速40/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x ≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|Ac|＋|Bc|＞|AB|，如下图．|AB|＋|Bc|＞|Ac|、|Ac|＋|Bc|＞|AB|、|AB|＋|Ac|＞|Bc|.|AB|－|Bc|＜|Ac|、|Ac|－|Bc|＜|AB|、|AB|－|Ac|＜|Bc|.交换被减数与减数的位置也可以．实例6，若用v表示速度，则v≤40/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的．但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．讨论结果：(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．(4)对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a－b ＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b.应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x)c．f(x)＜g(x)D．随x值变化而变化答案：A解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.例2比较下列各组数的大小(a≠b)．(1)a＋b2与21a＋1b(a＞0，b＞0)；(2)a4－b4与4a3(a－b)．活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b 2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a －b)＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.∴a4－b4＜4a3(a－b)．点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x＞y，且y≠0，比较xy与1的大小．活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系．解：xy－1＝x－yy.∵x＞y，∴x－y＞0.当y＜0时，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；当y＞0时，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy－1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为，根据问题的要求a＜b，且ab≥10%，由于a＋b＋－ab＝b－a b b＋＞0，于是a ＋b＋＞ab.又ab≥10%，因此a＋b＋＞ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．点评：一般地，设a、b为正实数，且a＜b，＞0，则a ＋b＋＞ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q ≠1，则( )A．a1＋a8＞a4＋a5 B．a1＋a8＜a4＋a5 c．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不确定答案：A解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4 ＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．∵{an}各项都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.知能训练1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )A．3B．2c．1D．02．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．答案：1．c 解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.∴只有①恒成立．2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.课堂小结1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．作业习题3—1A组3；习题3—1B组2.设计感想1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．备课资料备用习题1．比较(x－3)2与(x－2)(x－4)的大小．2．试判断下列各对整式的大小：(1)2－2＋5和－2＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.3．已知x＞0，求证：1＋x2＞1＋x.4．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．5．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．参考答案：1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．2．解：(1)(2－2＋5)－(－2＋5)＝2－2＋5＋2－5＝2.∵2≥0，∴(2－2＋5)－(－2＋5)≥0.∴2－2＋5≥－2＋5.(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.∴a2－4a＋3＞－4a＋1.3．证明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2＝1＋x＋x24－(x＋1)＝x24，又∵x＞0，∴x24＞0.∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.由x＞0，得1＋x2＞1＋x.4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0.∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，当a＞b＞0时，ab＞1，a－b＞0，则(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b＜0.则(ab)a－b＞1.于是aabb＞abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb＞abba.。
初三数学复习计划PPT课件
知识技能
数学思考 问题解决 情感态度
知识技能
1．体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理 解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数； 掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问 题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方 程、不等式、函数进行表述的方法。 2．探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边 形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法 和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、 旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平 面直角坐标系，能确定位置。 3．体验数据收集、处理、分析和推断过程，理 解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一 步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率。
情感态度
1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知 欲。 2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决 数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学 好数学的信心。 3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识 数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会 数学的价值。 4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真 勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成 实事求是的科学态度。
12课时序号复习内容课时过关测试内容时间第1课时实数第2课时二次根式第3课时代数式整式运算第4课时因式分解分式第5课时一次方程分式方程一次方程组方程与不等式1课时第6课时一元二次方程第7课时一元一次不等式组1第8课时不等式的应用第9课时函数概念一次函数函数及其图像1课时第10课时反比例函数第11课时二次函数第12课时函数的应用第13课时平行线三角形与证图形的性质1课时第14课时特殊三角形第15课时多边形平行四边形与证明第16课时特殊平行四边形梯形与证明第19课时投影与视图图形与变换第20课时图形的变换图形与变换1课时第21课时相似形第22课时解直角三角形图形与坐标第23课时图形变换与坐标图形与坐标1课时14概率与统3课时第24课时统计概率测试1课时第5课时概率151620201217重视模块之间的联系
基本不等式公开课课件完整版
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
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赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
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常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
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例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
中考复习第10课时一次函数的图象与性质课件
＞
<
0)的解集.
3．一次函数与方程组之间的关系：两直线的交点是两个一次 函数关系式 y＝k1x＋b1 和 y＝k2x＋b2 所组成的方程组 y＝k1x＋b1，
y＝k2x＋b2 的解.
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第10课时┃ 一次函数的图象与性质
豫 考 探 究
► 热考一 一次函数的性质
例1 [2010· 河南] 写出一个y随x增大而增大的一次函 数的关系式：答案不惟一，如y＝2x＋3等 .
解 析
根据函数的图象可知m－1＜0，求出m的取
值范围是m＜1.故选B.
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第10课时┃一次函数的图象与性质 ► 热考二 一次函数与一元一次不等式
例2 [2012· 河南] 如图 10－5，函数 y＝2x 和 y＝ax＋4 的图象相交于点 A(m，3)，则 不等式 2x＜ax＋4 的解集为( A ) 3 A．x＜ B．x＜3 2 3 C．x＞ D．x＞3 2
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第10课时┃一次函数的图象与性质
3．如图 10－3 所示，观察两个函数在同 一坐标系中的图象并填空：当 x 满 足 0≤x<3 时， y1 的值大于 y2 的值； 当 x 满足 x＝3 时，y1 与 y2 的值相 等；当 x 满足 小于 y2 的值.
x>3
时，y1 的值
考点聚焦
b个单位. 下移
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第10课时┃ 一次函数的图象与性质
3．性质
字母 函数 取值 k>0 y＝kx (k≠0) k<0 图象 经过的 象限 函数性质 y随x增大而 增大
2015版中考大一轮复习数学初中(课件)第10课 不等式(组)的应用
[难点正本 疑点清源] 疑点清源]
1. 正确掌握列不等式 组)解应用题的基本思想 正确掌握列不等式(组 解应用题的基本思想 列不等式(组 解决实际问题 解决实际问题， 列不等式 组)解决实际问题，就是根据问题中的不等关系列出不 等式(组 ，把实际问题转化成数学问题，再通过解不等式(组 得到 等式 组)，把实际问题转化成数学问题，再通过解不等式 组)得到 实际问题的答案． 实际问题的答案．列一元一次不等式解应用题与列方程解应用题的 基本思路是一致的，一般可根据所求解的问题设未知数， 基本思路是一致的，一般可根据所求解的问题设未知数，关键是分 析题中各种数量的实际意义，列出正确的不等式．在解题的时候， 析题中各种数量的实际意义，列出正确的不等式．在解题的时候， 要注意不等号方向是否需要改变，所得的解是否符合实际意义， 要注意不等号方向是否需要改变，所得的解是否符合实际意义，把 不合题意的解舍去．对于含有多种不等式的问题， 不合题意的解舍去．对于含有多种不等式的问题，可通过列不等式 组来解决．值得注意的是：解实际问题时，应根据实际意义， 组来解决．值得注意的是：解实际问题时，应根据实际意义，检验 结果的合理性，必要时，应在解集范围内取正整数． 结果的合理性，必要时，应在解集范围内取正整数．
2
3．(2011·永州 某市打市话的收费标准是：每次 分钟以内 含3分 ． 永州)某市打市话的收费标准是 分钟以内(含 分 永州 某市打市话的收费标准是：每次3分钟以内 收费0.2元 以后每分钟收费0.1元 不足 分钟按1分钟计 不足1分钟按 分钟计)． 钟)收费 元，以后每分钟收费 元(不足 分钟按 分钟计 ． 收费 某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为 元 某天小芳给同学打了一个 分钟的市话，所用电话费为0.5元． 分钟的市话 小刚现准备给同学打市话6分钟，他经过思考以后， 小刚现准备给同学打市话 分钟，他经过思考以后，决定先打 分钟 3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费 元．如果你想 分钟，挂断后再打 分钟 这样只需电话费0.4元 分钟， 分钟 给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至 分钟， 给某同学打市话，准备通话 分钟 少为( 少为B ) A．0.6元 ． 元 B．0.7元 ． 元 C．0.8元 ． 元 D．0.9元 ． 元
2023新插图版人教二年级数学下册-第10课时 用估算的策略解决问题【教案】
◎教学笔记第10课时用估算的策略解决问题▶教学内容教科书P96例13，完成教科书P98~99第6~8题。
▶教学目标1.使学生能够结合具体情境，初步学会用加、减法的估算策略解决问题。
2.培养学生的数感及估算意识，体会算法的多样化。
3.感受数学知识与日常生活的联系，初步感受估算的价值。
▶教学重点学会用加、减法估算解决问题，体会算法多样化。
▶教学难点根据实际需要选择估算方法。
▶教学准备课件。
▶教学过程一、复习导入1.口算下面各题。
300＋800＝700＋900＝1200－700＝1300－500＝3000－800＝500－200＝900－700＝500－300＝2.填空。
（1）妈妈买一台电脑花了4995元，约是（）元。
（2）望江小学有608人，约是（）人。
（3）果园里有1298棵果树，约是（）棵。
师：看来大家对整百、整千数的加减法掌握得很好。
在生活中我们经常会遇到用加减法的计算来解决问题。
今天我们又会遇到什么新的问题呢？（板书课题：用估算的策略解决问题）【设计意图】回顾求近似数的方法，巩固整千、整百数的加减法的口算，为学习估算做准备。
二、探究新知，体会估算优点课件出示教科书P96例13。
1.审题，思考一般思路。
师：从图中你都知道了哪些信息？要求学生有条理、完整地叙述。
师：要解决“买这两件商品，500元够吗？”这个问题，你想怎样解答？先独立思考，想一想，写一写。
【学情预设】要把两件商品的总价格与500元作比较后才知道够不够。
师：怎样求两件商品的总价格呢？学生列式。
给学生思考的时间。
◎教学笔记◎教学笔记【教学提示】在解决问题过程中遇到困难，会有很多学生能找到一种解题思路，却没办法计算，此时就能凸显估算的好处。
同时注意培养学生碰到难题联想其他相关知识解决问题的能力。
【教学提示】检验的基本方法要由学生去表达，让学生养成检验的好习惯。
若学生不会，可引导或示范。
检验不能仅仅停留在检验算式的准确性上。
教学设计的意图是学生没有学过三位数加三位数的加法，通过制造矛盾，引入估算解决问题。
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3.4基本不等式的证明(1)
学习要求
1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.
2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.
3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不
等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等. 【课堂互动】
自学评价
１．算术平均数：
２．几何平均数
３．设a ≥0,b ≥0则2
a b
+与为
４．基本不等式的证明方法： 【精典范例】
例1．.设a 、b 为正数, 求证明：
2
a b
+³
点评：
１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法
２．本题对a ≥0,b ≥０时仍成立，且题中
a=b 时成立．
３．把不等式
2a b +³ (a ≥0,b ≥0) 4.由本题可知，两正数的算术平均数不当两数相等时两者相5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．
例2. 利用基本不等式证明下列不等式： (1) 已知a>0,求证 a+
1
2a
³ (2).已知a, b, c ∈R , 求证: a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac .
(3).已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (111
1)(1)(1)8x y z
--->
点评：1..基本不等式的变形公式： (1) 2
2
2(,)a b ab a b
R +澄
(2) 22
(,)2
a b ab a b R +Ｎ
(3) ,)a b a b R ++澄
(4) 2
(
)(,)2
a b ab a b R ++Ｎ
2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将
学习札记
一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．
３．注意严格不等式的证明方法．
思维点拔：
1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．
２．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若a i ≥0(i=1,2,…,n),
则
12n
a a a n
++鬃?(n>1,n ÎN)
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数． （１）２与８ （２）３与１２ （３）Ｐ与９Ｐ （４）２与２2
p ２．已知a>1求证a+1
1
a -≥3
３．已知a+b+c=1,求证a 2+b 2+c 2≥
13
４．已知a , b , c 不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证: c b a c
b a ++>++1
11．
学习札记。