2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题7 不等式第46练

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2018年高考数学理江苏专用总复习教师用书：第七章不

第1讲不等式的性质与一元二次不等式考试要求 1.日常生活中的不等关系、不等式(组)的实际背景，A 级要求；2.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，B 级要求；3.求解一元二次不等式，C 级要求．知识梳理1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b a ∈R ，b ＞，ab ＝1⇔a ＝ba ∈R ，b ＞，a b ＜1⇔a ＜ba ∈R ，b＞2．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ≥b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n＞b n(n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n ∈N ，n ≥2)．3．三个“二次”间的关系4.分式不等式x －b<0(a 0(a b }．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ⇒/ ac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根．则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅. (4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立．答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(2017·南通调研)已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式的序号为________．解析由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x在R 上是增函数，所以f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；因为a >b >0，所以a >b ，所以(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0，所以a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．答案 ①②③3．(2015·广东卷)不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为________(用区间表示)．解析由－x 2－3x ＋4＞0，得x 2＋3x －4＜0，解得－4＜x ＜1. 答案 (－4,1)4．不等式x －12x ＋1≤0的解集为________．解析 x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，2x ＋1≠0⇔－12<x ≤1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12<x ≤1.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12<x ≤1 5．(必修5P80习题8改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________．解析由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0，解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)考点一不等式的性质及应用【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是________．(2)(2017·无锡期中)若1a <1b<0，给出下列四个不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2中，其中正确的不等式是________(填序号)．解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)因为1a <1b <0，即b －aab<0，且a <0，b <0，所以b <a <0，ab >0.经逐一分析，得①④正确．答案 (1)c ≥b >a (2)①④规律方法 (1)比较大小常用的方法： ①作差法；②作商法；③函数的单调性法．(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．【训练1】设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中正确结论的序号是________．解析由不等式性质及a ＞b ＞1知1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞c b，①正确；构造函数y ＝x c，∵c ＜0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a ＞b ＞1，∴a c ＜b c ，知②正确；∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴a －c ＞b －c ＞1，∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，知③正确．答案 ①②③考点二一元二次不等式的解法(多维探究) 命题角度一不含参的不等式【例2－1】求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集．解化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.命题角度二含参不等式【例2－2】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R )．解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a＜－1，即－2<a <0，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .规律方法含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.【训练2】 (1)(2016·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________． (2)解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R )． (1)解析由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0，又其解集是(－1,3)，∴a ＜0，且⎩⎪⎨⎪⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3＜0，得4x 2＋4x －3＞0，解得x ＞12或x ＜－32.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12或x <－32(2)解 ①当k ＝0时，不等式的解为x ＞0. ②当k ＞0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即0＜k ＜1时，不等式的解为1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k2k；若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解．③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即－1＜k ＜0时，不等式的解为x ＜1＋1－k2k或x ＞1－1－k2k；若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ；若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}．综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅； 0＜k ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}；当－1＜k ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＜1＋1－k 2k ，或x ＞1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k ＜－1时，不等式的解集为R .考点三一元二次不等式的恒成立问题【例3】设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0，解得－4＜m ＜0.所以实数m 的取值范围是(－4,0]． (2)有以下两种方法：法一由f (x )＜－m ＋5，得mx 2－mx －1＜－m ＋5，即m (x 2－x ＋1)－6＜0，因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫mm ＜67. 法二由f (x )＜－m ＋5，得mx 2－mx －1＜－m ＋5，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0，令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0，所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m ＜67.规律方法 (1)在解决不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意． (2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．【训练3】 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∴f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9. (2)x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解之得x <1或x >3.答案 (1)9 (2){x |x <1或x >3}[思想方法]1．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负．2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的填空题，用特殊值验证的方法更简单．3．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形．4．(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． [易错防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是________．解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x )．答案 f (x )>g (x )2．已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0能推出1a ＜1b成立的个数为________．解析运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b，②，④正确．又正数大于负数，①正确，③错误．答案 33．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x ＜4的解集为________．解析 ∵2x 2－x <4＝22， ∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4.答案 [0,4]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________．解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．答案 {x |x ＞1}6．(2017·盐城期中)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. 答案 [－1,4]7．(2017·扬州期末)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．解析二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝m 2＋m 2－1＜0，fm ＋＝m ＋2＋m m ＋－1＜0，解得－22＜m ＜0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－22，0 二、解答题9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}． (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－＋3＝a－a3，－＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.即a 的值为3±3，b 的值为－3.10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2017·衡水模拟)已知0<a 1a ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b；③(lg a )2<(lgb )2；④1lg a >1lg b.其中一定成立的不等式的序号为________．解析因为0<a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，(lg a )2>(lg b )2，lg a <lg b <0.由lg a <lg b <0得1lg a >1lg b ，因此只有④正确．答案 ④12．(2017·南通调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．解析法一依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x－12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3.法二由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <3，令12<e x<3，得－ln 2<x <ln 3.答案 {x |－ln 2<x <ln 3}13．(2017·无锡模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．解析由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∴x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)14．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R )．解原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}．(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a或x ＞2.综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜2.。

2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第

1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b >0).2.不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x b >0，m >0，则①b a b －m a －m (b －m >0). ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.( × ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小.( × ) (5)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(6)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( √ )1.(教材改编)已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是______________. 答案 a >－b >b >－a解析 ∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0，－a －b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .2.(教材改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的____________条件. 答案充分不必要解析a －b >0⇒a >b⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3.(2016·南京模拟)若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是________. ①a －b >0; ②a 3＋b 3>0； ③a 2－b 2<0; ④a ＋b <0.答案 ④解析由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0.4.如果a ∈R ，且a 2＋a <0，则a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是________________. 答案 a <－a 2<a 2<－a 解析由a 2＋a <0得a <－a 2， ∴a <0且a >－1，∴a <－a 2<a 2<－a .5.(教材改编)若0<a 1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0，∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减. 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c 0，试比较a 与1a的大小.解因为a －1a ＝a 2－1a ＝(a －1)(a ＋1)a，因为a >0，所以当a >1时，(a －1)(a ＋1)a >0，有a >1a；当a ＝1时，(a －1)(a ＋1)a ＝0，有a ＝1a ；当0<a <1时，(a －1)(a ＋1)a <0，有a <1a .综上，当a >1时，a >1a ；当a ＝1时，a ＝1a；当0<a <1时，a <1a.思维升华比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论.(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是________.(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________. 答案 (1)A ≥B (2)a 0,1618>0， ∴1816<1618，即a ac; ②c (b －a )<0； ③cb 2<ab 2;④ac (a －c )>0.(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 0. 由b >c 得ab >ac 一定成立.(2)因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab 0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d－c )>b (d －c )中成立的个数是________. 答案 3解析方法一 ∵a >0>b ，c <d <0， ∴ad <0，bc >0， ∴ad <bc ，故①错误. ∵a >0>b >－a ，∴a >－b >0， ∵c <d <0，∴－c >－d >0， ∴a (－c )>(－b )(－d )，∴ac ＋bd <0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确.∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )， ∴a －c >b －d ，故③正确.∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )，故④正确. 方法二取特殊值. 题型三不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为________.答案 ①②③解析方法一由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2 ＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立. 方法二令a ＝3，b ＝2，可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________. 答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究1.将已知条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围. 解 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0).2.若将本例条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围. 解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为(－32，232).思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等. (2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径.(1)若a 1b； ②a 2<ab ； ③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1； ④a n >b n .(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c ). 其中所有正确结论的序号是________. 答案 (1)③ (2)①②③解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确； ③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a b >1知1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确.6.利用不等式变形求范围典例设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________. 错解展示解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4， ②①＋②得3≤2a ≤6，∴6≤4a ≤12，又由①可得－2≤－a ＋b ≤－1， ③②＋③得0≤2b ≤3，∴－3≤－2b ≤0，又f (－2)＝4a －2b ，∴3≤4a －2b ≤12， ∴f (－2)的取值范围是[3,12]. 答案 [3,12] 现场纠错解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1).又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A (32，12)时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.1.(教材改编)当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系为______________. 答案 x 3＞x 2－x ＋1 解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1). 又∵x ＞1，故(x －1)(x 2＋1)＞0， ∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0，即x 3＞x 2－x ＋1.2.(2016·镇江模拟)若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是__________.答案 (9,30)解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a2，∴9<3a2≤a ＋b ≤3a <30.3.已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是________. ①xy >yz; ②xz >yz ； ③xy >xz; ④x |y |>z |y |.答案 ③解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0，又y >z ，∴xy >xz .4.设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的________条件. 答案充分不必要解析由(a －b )·a 2<0⇒a ≠0且a b ，则ac 2>bc 2； ②若a c >bc，则a >b ；③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b ；④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b .答案 ③解析当c ＝0时，可知①不正确；当c <0时，可知②不正确；对于③，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0，所以1a >1b 成立，③正确；当a <0且b <0时，可知④不正确.7.若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是________. ①a ＋1b >b ＋1a ；②b a >b ＋1a ＋1； ③a －1b >b －1a ；④2a ＋b a ＋2b >ab. 答案 ①解析取a ＝2，b ＝1，排除②与④；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a－1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a ，但g (a )>g (b )未必成立. 8.若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是________. ①1a <1b； ②log 2a >log 2b ； ③a 2＋b 2≤2a ＋2b －2; ④b <ab <a ＋b2<a .答案 ③解析 ∵(a －1)2＋(b －1)2>0(由a >b >0，a ，b 不能同时为1)， ∴a 2＋b 2－2a －2b ＋2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2， ∴③一定不成立. 9.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n <0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，74解析当n 为奇数时，2n (1－a )<3n －1，1－a <13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝⎛⎭⎫321，∴a >12.当n为偶数时，2n (a －1)<3n －1，a －1<13×⎝⎛⎭⎫32n 恒成立，只需a －1<13×⎝⎛⎭⎫322，∴a <74.综上，12<a <74.10.已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题 ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －db>0；②若ab >0，c a －db >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0.其中正确的命题是________. 答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0， ∴c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴ab >0，∴③正确.故①②③都正确.11.(教材改编)一辆汽车原来每天行驶x km ，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程将超过2 200 km ，用不等式表示为____________. 答案 8(x ＋19)>2 200解析因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，所以汽车每天行驶的路程为(x ＋19) km ，则在8天内它的行程为8(x ＋19) km ，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km ”可以用不等式8(x ＋19)>2 200来表示.12.已知－1<2x －1<1，则2x －1的取值范围是________.答案 (1，＋∞)解析－1<2x －1<1⇒0<x <1⇒1x >1⇒2x >2⇒2x－1>1. 13.已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是__________(用区间表示). 答案 [3,8]解析 ∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范围是[3,8]. 14.已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小.解f(x)＝m(1＋1x－1)，f(a)＝m(1＋1a－1)，f(b)＝m(1＋1b－1).由a>b>1，知a－1>b－1>0.∴1a－1<1b－1，∴1＋1a－1<1＋1b－1.①当m>0时，m(1＋1a－1)<m(1＋1b－1)，f(a)<f(b).②当m＝0时，f(a)＝f(b)＝0.③当m<0时，m(1＋1a－1)>m(1＋1b－1)，f(a)>f(b).综上所述，当m>0时，f(a)<f(b)；当m＝0时，f(a)＝f(b)；当m<0时，f(a)>f(b).。

(江苏专用)2018年高考数学总复习专题71不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用

专题7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用【三年高考】1．【201.7高考江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 2.【2015高考江苏，7】不等式224x x-<的解集为________.【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-3.【2013江苏，理11】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．【答案】(－5,0)∪(5，＋∞)．【解析】∵函数f(x)为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝224,0,0,0,4,0,x x x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪--<⎩∴原不等式等价于20,4,x x x x >⎧⎨->⎩或20,4,x x x x <⎧⎨-->⎩由此可解得x ＞5或－5＜x ＜0. 故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．.4. 【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a ab b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.5．【2017天津，理8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C ）[23,2]- （D ）39[23,]16-【答案】A22222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号），所以32a -≤≤，综上47216a -≤≤．故选A ．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.6．【2017天津，理12】若,a b ∈R ， 0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】【解析】44224141114244a b a b ab ab ab ab ab ab+++≥=+≥⋅= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当2222,a b ==时取等号）. 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b R a b ab ∈+≥ ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，2a b ab +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.7．【2016高考浙江理数改编】已知a ，b ，c 是实数，则下列命题①“若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100”；②“若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100”；③“若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100”；④“若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100”中正确的是．【答案】④考点：不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．8．【2016高考上海理数】设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为__________.【答案】(2,4) 【解析】试题分析：由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4). 考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易.9.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a bq f +=，1(()())2r f a f b =+，则,,p q r 的大小关系是_____________.【答案】p r q =<10.【2015高考湖北，理10】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数的最大值是_________. 【答案】4【解析】因为[]x 表示不超过x 的最大整数.由1][=t 得21<≤t ，由2][2=t 得322<≤t ，由3][4=t 得544<≤t ，所以522<≤t ，所以522<≤t ，由3][3=t 得433<≤t ，所以5465<≤t ，由5][5=t 得655<≤t ，与5465<≤t 矛盾，故正整数的最大值是4.11.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为__________. 【答案】1812.【2015高考天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【答案】4【2018年高考命题预测】纵观2017各地高考试题，对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用．对不等式性质的考查，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，一般是选填题，属于容易题．对不等关系的考查，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，一般是选填题，部分省市在大题中出现，属于容易题或中档题．对不等式解法的考查，主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用的考查，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解．不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题．问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高．预测2018年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，也可能与导数结合出一道解答题．【2018年高考考点定位】高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系．【考点1】不等式性质【备考知识梳理】1．不等式的基本性质：（1）a b b a >⇔< （2）,a b b c a c >>⇒> （3）a b c a c b +<⇔<-， a b a c b c >⇔+>+ （4）000c ac bca b c ac bc c ac bc >⇒>⎧⎪>=⇒=⎨⎪<⇒<⎩2．不等式的运算性质：（１）加法法则：,a b c d a c b d >>⇒+>+ （２）减法法则：,a b c d a d b c >>⇒->-，（３）乘法法则：0,00a b c d ac bd >>>>⇒>>（４）除法法则：0,00a ba b c d d c>>>>⇒>>，（５）乘方法则：00(,2)n n a b a b n N n >>⇒>>∈≥（６）开方法则：00(,2)a b n N n >>⇒>>∈≥【规律方法技巧】1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．【考点针对训练】1.如果0a b <<,那么下列不等式①11a b <②2ab b <③2ab a -<-④11a b-<-成立的是．【答案】④【解析】因0a b <<，故110b a a b ab --=>11a b⇒>，①错，④正确，22()b ab b b a b ab -=-⇒<，②错；222()0a ab a a b a ab a ab -=->⇒>⇒-<-，③错．2. 设10<<②11a b<③1b a >④()lg 0b a -<成立的是 . 【答案】④ 【解析】取11,42a b ==，代入可知①②③错，又∵10<<<b a ，∴()01lg 0b a b a <-<∴-<，故选④.【考点2】不等关系【备考知识梳理】在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.【规律方法技巧】区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号,><≠≥≤，,,表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用,a a b b b b b ><≠≥≤，a ,a ,a 等式子表示，不等关系是通过不等式表现．【考点针对训练】1.若a ，b ，c 为实数，且0a b <<，则下列不等式①22ac bc <②11<a b ③>b aa b④22a ab b >>正确的是．【答案】④【解析】试题分析：因为0a b <<,所以11>,1,1,b a a b a b <>即11<a b ，>b aa b均不成立；当20c =时，22ac bc <不成立；故填④.2.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是______________. 【答案】a c b <<【考点3】一元二次不等式解法【备考知识梳理】对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅【规律方法技巧】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【考点针对训练】1.已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{}1x x x b<>或．（1）求,a b 的值；（2）当c ∈R 时，解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<（用表示）．的解集为{}2x x c <<，当2c <时，所求不等式的解集为{}2x c x <<，当2c =时，所求不等式的解集为∅.2.若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数的最大值为．【答案】422-【考点4】基本不等式及应用【备考知识梳理】1、如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、如果0a >，0b >,则2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+ 【规律方法技巧】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 【考点针对训练】1.已知正数a ，b ，c 满足3a －b ＋2c ＝0的最大值为．≤=，当且仅当322b ac ==的最大值2.设实数,x y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是．【答案】6+【解析】令2x y t +=，则12x y t -=，所以()1112t t x t t y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，，，则222432626x xy t t -=+++≥【两年模拟详解析】1．【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是__________．【答案】(或)【解析】整理不等式可得： .问题等价于在区间上，过点斜率为的直线恒在抛物线的上方，注意到点三点共线，据此可得实数a的取值范围是，即12．【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知a，b均为正数，且20ab a b--=，则22214aba b-+-的最小值为．【答案】7 【解析】，所以（当且仅当时取等号）而（当且仅当时取等号），因此（当且仅当时取等号），即的最小值为7.3．【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．25【解析】222222222111()1(83)sin 1cos ()()222424ABCa b c c S ab C ab C ab ab ∆+--==-=-=-，而222228242ab a b c ab c ≤+=-⇒≤-，所以222222221(83)125(4)(165)2444525ABCc S c c c ∆-≤--=-≤=，当且仅当28,5a b c ==时取等号 4. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 42-=)(，则不等式x x f >)(的解集为．【答案】()()5,05,-+∞U【解析】当0< x 时，]4[)()(2x x x f x f +-=--=，所以⎩⎨⎧>->x x x x 402或⎩⎨⎧>+-<x x x x )4(02，解得5>x 或05<<-x ，解集为),5()0,5(+∞-U5. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】不等式42<-x x a ln log （0>a 且1≠a ）对任意),(1001∈x 恒成立，则实数的取值范围为．【答案】()140,1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U【解析】)100ln ,0(ln )100,1(∈⇒∈x x ，所以x xa x x a ln ln 4ln 14ln log 2+<⇒<-，又 4ln ln 42ln ln 4=⨯≥+x xx x ，当且仅当)100ln ,0(2ln ∈=x 时取等号，因此 104ln 1<<⇒<a a或41e a > 6. 【镇江市2017届高三年级第一次模拟】已知不等式222≥+-+-)ln ()(λn m n m 对任意R ∈m ，),(+∞∈0n 恒成立，则实数λ的取值范围为．【答案】1λ…【解析】不等式恒成立等价于直线λ+=x y 上任一点到曲线x y ln =上任一点距离最小值不小于2，易得直线1-=x y 与曲线x y ln =相切，所以11,22|1|≥⇒->≥+λλλ 7. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】对任意的π(0,)2θ∈，不等式2214|21|sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】[4,5]-8. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】实数,x y 满足01xy x y ≥⎧⎨+≤⎩，使z ax y =+取得最大值的最优解有两个，则z ax y =+的最小值为_______. 【答案】1-【解析】如下图所示，画出不等式组所表示的区域，∵z ax y =+取得最大值的最优解有两个，∴11a a -=⇒=-，∴当1x =，0y =或0x =，1y =-时，z ax y x y =+=-+有最小值1-．9. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若tan ,tan ,tan A B C 依次成等差数列，则tan tan tan A B C 的取值范围为．【答案】[33,)+∞ 【解析】由题意得tan tan 2tan tan tan 2tan()tan tan 2tan tan 1tan tan A CB AC A C A C A C A C+=+⇒-+=+⇒-=+-因为锐角三角形ABC ，所以tan 0,tan 0A C >>，因此tan tan 3A C =，2tan 2tan tan tan 3B A C B ≥⇒≥（当且仅当tan tan A C =时取等号），从而tan tan tan 33A B C ≥10. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】已知,x y ∈R 且22231x xy y +-=,则22z x y=+的最小值为_______. 51+【解析】由22231x xy y +-=得(3)()1x y x y +-=,可设13,,(0)x y t x y t t+=-=≠,因此22223152,,448t t t t t t x y z x y +-++===+=≥=,当且仅当2t =取等号,即22z x y =+的最小值为14. 11. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知21,,26x y x y x y+∈+++=R ，则2x y +的最大值为_____________．【答案】4【解析】令2(0)x y m m +=>，则216m x y+=-，因为2121214()(4)x y y x x y x y m m x y++=+=++18(4m m≥+=，当且仅当2x y =时取等号，所以286,680,24m m m m m-≥-+≤≤≤，即2x y +的最大值为4（当且仅当22x y ==时取等号）．12．【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】若，y 满足不等式2,6,20,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则yx 的最大值是．【答案】 2【解析】在直角坐标系内作出不等式组2620x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，所表示的可行域如图阴影部分（含边界），其中y x 表示可行域内点(,)x y 与原点O 连线的斜率，由图可知，OC 斜率最大，422OC k ==，所以yx最大值为2．13．【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】已知,,,a b c d ∈R 且满足123ln 3=-=+cd b a a ，则22)()(d b c a -+-的最小值为 . 【答案】e9ln 59 【解析】由题设可得点Q P ,分别在曲线c d a a b 23,ln 3=-+=上.设点),(),,(d c Q b a P ，则问题转化为求曲线a a b ln 3+=上的动点P 与直线32+=c d 上的动点Q 之间的距离的最小值的平方问题.设点)ln 3,(t t t M +是曲线a a b ln 3+=的切点，因ab 31/+=，故在点M 处的切线的斜率t k 31+=，由题意231=+t，即3=t 时，也即当切线与已知直线32+=c d 平行时，此时切点)3ln 33,3(+M 到已知直线32+=c d 的距离最近，最近距离55d ==，也即22)()(d b c a -+-的最小值为2229(2ln 3)9ln 553e d -==.14. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设0,0a b >>，点(,)P a b 在过点(1,1),(2,3)A B --的直线上，则2224S ab a b =+的最大值为．【答案】5415. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为． 122【解析】11,2,,22c c b c a b c a b a b b c a b b c +≥+≥+≥≥++++，2b c b c c a b c b c+≥+++，令1211121111,2221221222122b bc t t t t c c b c t t t ++=+=+=+-≥⋅=++++当且仅当212t =时取“=”，则b a c c b ++12216．【江苏省清江中学数学模拟试卷】不等式2ln x x x +>的解集为 . 【答案】(1,)+∞【解析】当01x <≤时，2x x <，ln 0x ≤，所以2ln x x x +≤，当1x >时，2x x >，ln 0x >，所以2ln x x x +>，因此原不等式的解集为(1,)+∞．17．【江苏省清江中学数学模拟试卷】已知x ，y 是正整数，216max{,}()t x y x y =-，则t 的最小值为 . 【答案】8【解析】由题意只要考虑16()y x y -是正数，即0x y ->的情形，因为16()y x y -221664()2y x y x ≥=+-，所以2221664max{,}max{,}()t x x y x y x=≥-，当28x =时，22648x x==，所以min 8t =． 18【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】已知实数0y x >>，若以x y +，，x λ为三边长能构成一个三角形，则实数λ的范围为．【答案】[12，【解析】根据已知条件得：x y x x x y x y x λλλ⎧+>>+++>⎪⎩①② ，0y x x y >>∴+=>Q ，0x y x λλ>∴++>Q ，0,0y x λ>>> 都成立；∴由①得，211()y yx xλ<+++，令1110y t t f t t f t x =>=+>'=，，（）（），∴()f t 在1+∞（，）上单调递增；()()122f t f λ∴∴≤>= 由②得211()y y x x λ>+-+，令110y t t g t t g t x =>=+'=>，，（）（），∴g t （）在1+∞（，）单调递增； ()()1,1,1g t t g t g t λ=∴→∞→∴<∴≥=+，（），综上即λ的取值范围为[12，19．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】.已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 . 【答案】3【解析】令log a b t =，又1＞＞b a 得01t <<，32log 3log 27a bb a t t +=+=解得12t =，即21log ,2a b a b ==，21111311a ab a +=-++≥--，当且仅当2a =时取“=” 20．【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．【答案】(－2，0)∪(2，＋∞)．【解析】当x <0时，()()()2log 1f x f x x =--=--, f (x )<0,即()2log 10x --<，解得20x -<<；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0,即21log 0x -<，解得2x >，综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞)．21．【泰州市2016届高三第一次模拟考试】若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最大值为．【答案】12- 【解析】令1,(0)2x t t y+=>，则222(22)(52)(2),(45)(88)80yt y y t y t y -=+--+-+=，因此222(88)32(45)0247001t t t t t ∆=---≥⇒+-≤⇒<≤-，当1t =-时，2440045t y x t -==>=>-，，因此12x y +1-． 22．【江苏歌风中如皋办高三数学九月月考】若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 . 【答案】4【解析】由已知222log log log 1xy x y =+=，2xy =，又0x y ->，所以222()2x y x y xy x y x y+-+=--4()x y x y =-+-4≥=（当且仅当2x y -=时取等号），所以最小值为4.【一年原创真预测】1.若正实数,a b 满足1ab =，则224b a --g 的最大值为 .【答案】14【解析】由题可得()2242ba b a --+-=g ,因为()222a b ab a b a b +≥⇒+≥⇒-+≤-()()212224a b a b -+-+-⇒≤⇒≤,当且仅当1a b ==时, 224b a --g 取得最大值14. 【入选理由】】本题考查基本不等式和指数运算等基础知识，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力，以及学生逻辑推理能力.本题是基本不等式与指数函数结合，难度不大，故选此题.2.若关于x 的不等式0xe ax b --≥对任意实数x 恒成立，则ab 的最大值为_________. 【答案】2e【入选理由】本题考查不等式恒成立问题，利用导数判断函数的单调性，函数的极值与最值问题等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．本题是一个综合题，考查了不等式的性质的应用，同时又是一个函数性质题，有一定的难度，但构思比较巧，故选此题.3.已知||||2a b ==r r ，对任意x R ∈，若不等式||1a xb +≥r r 恒成立，则a b ⋅r r 的取值范围是___________. 【答案】(,23⎤-∞-⎦，或)23,⎡+∞⎣【入选理由】本题考查向量的模，二次函数最值，不等式恒成立等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．本题是一个综合题，巧妙的把向量，二次函数，不等式有机的结合在一起，难度中等，此题的解题妙处就在把向量的模的问题转化为二次函数来处理，的确是一个好题，故选此题.。

高考数学专题复习专题7 不等式第46练不等式中的易错题型练习文(2021年最新整理)

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中的易错题型练习文1错误!________．2．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈错误!恒成立，则a的最小值为________．3．已知a，b都是正实数，且满足log4(2a＋b)＝log2ab,则2a＋b的最小值为________．4．若a，b是常数，a＞0,b＞0,a≠b，x，y∈（0，＋∞)，则错误!＋错误!≥错误!，当且仅当错误!＝错误!时取等号．利用以上结论，可以得到函数f（x）＝错误!＋错误!(0＜x＜错误!）的最小值为________．5．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件错误!则z＝10x＋10y的最大值是________．6．已知不等式（x＋y）错误!≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．7．已知0＜x＜1,则f(x)＝2＋log2x＋错误!的最大值是________．8．函数y＝错误!(x＞－1)的最小值为________．9．若a、b、c＞0且a(a＋b＋c）＋bc＝4－2错误!，则2a＋b＋c的最小值为________．10．已知x＞0,y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2,则错误!＋错误!的最小值是________．11．对于0≤m≤4的任意m,不等式x2＋mx＞4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．12．设正实数x,y,z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当错误!取得最大值时，错误!＋错误!－错误!的最大值为________．13．设x＞－1,则函数y＝错误!的最小值是________．14．某运输公司接受了向一地区每天至少运送180 t物资的任务，该公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车,有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次,每辆卡车每天往返的费用为A型卡车320元，B型卡车504元，则公司如何调配车辆,才能使公司所花的费用最低，最低费用为________元．答案精析1．｛x｜x≤错误!－1} 2.－错误! 3.8 4。

2018版高考数学(江苏专用,理科)专题复习：专题7 不等式第42练含解析

1．【2016·镇江模拟)设A ＝12a ＋12b ，B ＝1a ＋b 【a ＞0，b ＞0)，则A ，B 的大小关系是________．2．【2017·河南六市第一次联考)若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是________．【填序号)①a 2＜b 2；②ab ＜b 2；③a ＋b ＜0；④|a |＋|b |＞|a ＋b |.3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能使log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________．4．【2016·济南模拟)已知实数x ，y 满足a x ＜a y 【0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是________．【填序号)①1x 2＋1＞1y 2＋1； ②ln 【x 2＋1)＞ln 【y 2＋1)；③sin x ＞sin y ；④x 3＞y 3.5．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞bc －b ；⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0.其中真命题是________．【填序号)6．【2016·北京西城区模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ∨b ＝⎩⎨⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则下列结论正确的是________．①a ∧b ≥2，c ∧d ≤2; ②a ∧b ≥2，c ∨d ≥2；③a ∨b ≥2，c ∧d ≤2; ④a ∨b ≥2，c ∨d ≥2.7．若存在x 使不等式x －m e x ＞x 成立，则实数m 的取值范围为____________．8．设a ＞0，且a ≠1，P ＝log a 【a 3－1)，Q ＝log a 【a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是________．9．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a 【1＋a )＜log a 【1＋1a )；②log a 【1＋a )＞log a 【1＋1a )；③a 1＋a＜a 1＋1a ；④a 1＋a ＞a 1＋1a . 其中成立的是________．10．【2016·苏州模拟)设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．【用“＞”连接)11．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 12．【2017·辽宁五校联考)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则b a 的取值范围是________．13．【2016·长沙模拟)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n ＞2时，c n 与a n ＋b n 的大小关系为______________．【用“＞”连接)14．已知－12＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．【用“＞”连接)答案精析1．A ＞B 2.④ 3.② 4.④5．②③④⑤解析 ①中，c 的符号不确定，故ac 与bc 的大小关系也不能确定，故为假． ②中，由ac 2＞bc 2知c ≠0，∴c 2＞0，则a ＞b ，故为真．③中，由⎩⎨⎧ a ＜b ，b ＜0可得ab ＞b 2，由⎩⎨⎧ a ＜b ，a ＜0可得a 2＞ab ，∴a 2＞ab ＞b 2，故为真．④中，由a ＞b 得－a ＜－b ，∴c －a ＜c －b ，又c ＞a ，∴0＜c －a ＜c －b ，∴1c －a ＞1c －b ＞0.又a ＞b ＞0，∴ac －a ＞bc －b ，故为真．⑤中，由a ＞b 得a －b ＞0，由1a ＞1b 得b －a ab ＞0，又b －a ＜0，∴ab ＜0，而a ＞b ，∴a ＞0，b ＜0，故为真．6．③解析不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b ＜2，则a ＜2，∴ab ＜4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c ＞2，则d ＞2，∴c ＋d ＞4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故③正确．7．【－∞，0)解析由x －me x ＞x ，得－m ＞e x ×x －x 【x ＞0)，令f 【x )＝e x ×x －x 【x ＞0)，则－m ＞f 【x )min ，f ′【x )＝e x ×x ＋e x ×12x －1≥2×e x －1＞0【x ＞0)，所以f 【x )为【0，＋∞)上的增函数，所以f 【x )≥f 【0)＝0，－m ＞0，m ＜0.8．P ＞Q解析由题意可知a ＞1.∴【a 3－1)－【a 2－1)＝a 2【a －1)＞0，∴a 3－1＞a 2－1，∴log a 【a 3－1)＞log a 【a 2－1)，即P ＞Q .9．②④解析因为0＜a ＜1，所以【1＋a )－【1＋1a )＝(a ＋1)(a －1)a ＜0，则1＋a ＜1＋1a ，可知②④成立．10．z ＞y ＞x解析方法一 y 2－x 2＝2c 【a －b )＞0，∴y ＞x . 同理，z ＞y ，∴z ＞y ＞x .方法二令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20， z ＝26，故z ＞y ＞x .11．27解析由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81.又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27. ∴x 3y 4的最大值是27.12．23，32]解析两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b a ＋c a ≤2， ①b a ≤1＋c a ≤2·b a ，②将②乘【－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b a ＋c a ≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－b a ，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.13．c n ＞a n ＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ＞0，b n ＞0，c n ＞0.而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n . ∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1， ∴0＜a c ＜1,0＜b c ＜1.∵n ∈N ，n ＞2，∴【a c )n ＜【a c )2，【b c )n ＜【b c )2.∴a n ＋b n c n ＝【a c )n ＋【b c )n ＜a 2＋b 2c 2＝1.∴a n ＋b n ＜c n .14．C ＞A ＞B ＞D解析由已知得－12＜a ＜0，不妨取a ＝－14，这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45.由此猜测：C ＞A ＞B ＞D .∵C －A ＝11＋a－【1＋a 2) ＝－a (a 2＋a ＋1)1＋a＝－a [(a ＋12)2＋34]1＋a .又∵1＋a ＞0，－a ＞0，【a ＋12)2＋34＞0，∴C ＞A .∵A －B ＝【1＋a 2)－【1－a 2)＝2a 2＞0，∴A ＞B .∵B－D＝1－a2－11－a＝a(a2－a－1)1－a＝a[(a－12)2－54]1－a.又∵－12＜a＜0，∴1－a＞0.又∵【a－12)2－54＜【－12－12)2－54＜0，∴B＞D.综上所述，C＞A＞B＞D.。

2018年江苏高考数学复习：第1部分专题7 不等式含答案

专题七不等式———————命题观察·高考定位———————(对应学生用书第28页)1．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y)为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y)之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y－2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A(2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45，13.] 2．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______．{x|－1＜x ＜2}()或－1，2 [∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.]3．(2014·江苏高考)已知函数f (x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x)<0成立，则实数m 的取值范围是________.【56394045】⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，0 [作出二次函数f (x)的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x)<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ fm <0，f m ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m 2－1<0，m ＋12＋m m ＋1－1<0，解得－22<m<0.所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，0.] [命题规律]在近年来的高考数学中，有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上，填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、简单线性规划的应用、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等；解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是寓不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中，知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对简单线性规划的应用的考查，不但具有连续性，而且其题型规律易于把握；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中．通过第二轮的专题复习，应注意在巩固基础知识、基本方法的基础上，强化记忆，熟化常见题型的解法，提升综合应用不等式解题的能力．———————主干整合·归纳拓展———————(对应学生用书第28页)[第1步▕核心知识再整合]1．在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握．2．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此在学习中理解保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．转化的方法是：超越式、分式、整式(高次)、整式(低次)、一次(或二次)不等式．其中准确熟练求解一元二次(一次)不等式是解其他不等式的基础，这体现了转化与化归的数学思想．。

2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题7 不等式第43练

1．(2017·杭州联考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )＜x 2的解集是__________________．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的值的集合是______________． 3．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．4．(2016·南京模拟)不等式2x 2－3|x |－2＜0的解集为____________． 5．(2016·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜14，则ab ＝________.6．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________________________．7．(2017·南宁月考)已知当a ∈－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为________________．8．(2016·宿迁模拟)若存在实数a ∈1,3]，使得关于x 的不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是________________________． 9．(2017·合肥质检)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为________________．10．(2016·徐州一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f f (x )]≤3的解集为________．11．(2016·南京一模)若关于x 的不等式(ax －20)lg 2ax ≤0对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值集合是________．12．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈32，＋∞)，f (xm )－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．13．设关于x 的不等式|x 2－2x ＋3m －1|≤2x ＋3的解集为A ，且－1∉A,1∈A ，则实数m 的取值范围是__________．14．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈2,6]恒成立，则a 的取值范围是________．答案精析1．(－∞，0]∪(2，＋∞) 2.{a |0≤a ≤4} 3.(－7,3) 4.(－2,2) 5．28解析由题意知－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，且a ＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－2＋14，－2a ＝(－2)×14，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.6．(－∞，－32)∪(12，＋∞)解析由题意知f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a ＜0，由f (－2x )＜0，得－2x ＞3或－2x ＜－1， ∴x ＜－32或x ＞12. 7．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )＞0对于任意的a ∈－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，联立方程解得x ＜1或x ＞3. 8．(－∞，－1)∪(23，＋∞)解析当a ∈1,3]时，a (x 2＋x )－2x －2＞0成立． ①若x 2＋x ＝0，即x ＝－1或x ＝0，不合题意；②若⎩⎨⎧x 2＋x ＞0，3x 2＋3x －2x －2＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，x ＞23或x ＜－1，解得x ＞23或x ＜－1；③若⎩⎨⎧x 2＋x ＜0，x 2＋x －2x －2＞0，则⎩⎨⎧－1＜x ＜0，x ＞2或x ＜－1，无解，综上所述，x ＞23或x ＜－1.9．{x |x ＜－lg2}解析由已知条件得0＜10x ＜12，解得x ＜lg 12＝－lg2. 10．(－∞，3]解析 f (x )的图象如图．结合图象，由f f (x )]≤3，得f (x )≥－3，由图可知f (x )≥－3的解集为(－∞，3]，所以不等式f f (x )]≤3的解集为(－∞，3]．11．{10}解析由2ax ＞0，x ＞0，得a ＞0，由不等式(ax －20)lg 2ax ≤0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20a ，x ≥2a或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤20a ，0＜x ≤2a ，所以20a ＝2a ，a ＝10. 12．{m |m ≤－32或m ≥32}解析依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈32，＋∞)上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 13．{m |－13＜m ≤73} 解析由－1∉A ，得|(－1)2－2×(－1)＋3m －1|＞2×(－1)＋3，即|3m ＋2|＞1，解得m ＜－1或m ＞－13.①由1∈A ，得|12－2×1＋3m －1|≤2×1＋3，即|3m －2|≤5，解得－1≤m ≤73.② 故由①②得实数m 的取值范围是 {m |－13＜m ≤73}． 14．－1,2] 解析设y ＝2x －1，则y ′＝－2(x －1)2＜0，故y ＝2x －1在2,6]上单调递减，即y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎨⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是－1,2]．。

(江苏版)2018年高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用(测)

专题7.4 基本不等式及其应用一、填空题 1.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为_______．【解析】因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，－aa ＋≤－a ＋a ＋2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 2．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是_______．【解析】∵1＝2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立，∴2x ＋y≤12，∴2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 3．若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于_______．4．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是_______．【解析】因为a >－1，b >－2，所以a ＋1>0，b ＋2>0，又(a ＋1)(b ＋2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1＋b ＋222，即16≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋322，整理得a ＋b ≥5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是_______．【解析】 ∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴x ＋y 4min ＜m 2－3m ，∵x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y 4x ，即x ＝2，y ＝8时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，∴m 2－3m ＞4，即(m ＋1)(m －4)＞0，解得m ＜－1或m ＞4，故实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．6．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为_______．【解析】xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x＋1y －2z＝－1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.7．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．【答案】4【解析】由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1时取等号．8．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．【答案】2 29．(2017·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为________．【答案】1【解析】因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1.10．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(－10，＋∞) 【解析】不等式2x ＋m ＋8x －1>0可化为2(x －1)＋8x －1>－m －2， ∵x >1，∴2(x －1)＋8x －1≥2x －8x －1＝8，当且仅当x ＝3时取等号． ∵不等式2x ＋m ＋8x －1>0对一切x ∈(1，＋∞)恒成立， ∴－m －2<8，解得m >－10. 二、解答题11．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．12．(2017·常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450，所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676 m 2.。

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1．(2016·金华十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x ＋1，x ＜0，
x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋
1)≤1的解集是________．
2．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为________．
3．已知a ，b 都是正实数，且满足log 4(2a ＋b )＝log 2ab ，则2a ＋b 的最小值为________．
4．若a ，b 是常数，a ＞0，b ＞0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )
2
x ＋y ，当
且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3x ＋41－3x (0＜x ＜13)的最
小值为________．
5．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎨⎧
5x －11y ≥－22，
2x ＋3y ≥9，
2x ≤11.
则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．
6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为
________．
7．已知0＜x ＜1，则f (x )＝2＋log 2x ＋5
log 2x 的最大值是________．
8．函数y ＝x 2＋7x ＋10
x ＋1
(x ＞－1)的最小值为________．
9．若a 、b 、c ＞0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为________． 10．已知x ＞0，y ＞0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋1
3y 的最小值是________．
11．对于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx＞4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．
12．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xy
z取得最大值时，
2
x＋
1
y－
2
z的
最大值为________．
13．设x＞－1，则函数y＝(x＋5)(x＋2)
x＋1
的最小值是________．
14．某运输公司接受了向一地区每天至少运送180t物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的费用为A型卡车320元，B型卡车504元，则公司如何调配车辆，才能使公司所花的费用最低，最低费用为________元．
答案精析
1．{x |x ≤2－1} 2.－5
2 3.8 4.25 5．90
解析如图，作出可行域，
由z ＝10x ＋10y ⇒y ＝－x ＋z 10，它表示斜率为－1，纵截距为z
10的平行直线系，要使z ＝10x ＋10y 取得最大值，
当直线z ＝10x ＋10y 通过A (112，9
2)时z 取得最大值．因为x ，y ∈N *，故A 点不是最优整数解．于是考虑可行域内A 点附近的整点(5,4)，经检验直线经过点(5,4)时，z max ＝90. 6．4
解析不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1＋a ＋y x ＋ax y ≥a ＋2a
＋1≥9，所以a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4. 7．2－2 5
解析当0＜x ＜1时，log 2x ＜0，所以f (x )＝2＋log 2x ＋5
log 2
x
＝2－⎣⎢⎡
⎦⎥⎤(－log 2x )＋5－log 2x ≤2－2 5.
当且仅当－log 2x ＝5
－log 2x
，
即(log 2x )2＝5，亦即x ＝2－5
时，等号成立．
8．9
解析 y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1
＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1
＝(x ＋1)＋4
x ＋1＋5，
当x ＞－1，即x ＋1＞0时， y ≥2
(x ＋1)×
4
x ＋1
＋5＝9(当且仅当x ＝1时取“＝”)． 9．23－2
解析由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－2 3. ∵a 、b 、c ＞0，
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤⎝
⎛⎭⎪⎫2a ＋b ＋c 22
(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)， ∴2a ＋b ＋c ≥24－23＝2(3－1) ＝23－2. 10．4
解析由x ＞0，y ＞0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，得lg2x 8y ＝lg2，即2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1，故1x ＋13y ＝(1x ＋1
3y )(x ＋3y ) ＝2＋3y x ＋x
3y ≥2＋2
3y x ·x 3y ＝4，
当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝1
6时取等号，所以1x ＋1
3y 的最小值为4. 11．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析不等式可化为m (x －1)＋x 2－4x ＋3＞0在0≤m ≤4时恒成立．令f (m )＝m (x －1)＋x 2－4x ＋3.
则⎩⎨⎧ f (0)＞0，f (4)＞0，⇒⎩⎨⎧
x 2
－4x ＋3＞0，x 2－1＞0，
⇒⎩⎨⎧
x ＜1或x ＞3，x ＜－1或x ＞1，即x ＜－1或x ＞3.
12．1
解析由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，
∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y
x －3
≤
1
24－3
＝1，
当且仅当x ＝2y 时取等号．此时z ＝2y 2，
∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2 ＝－(1y )2＋2y ＝－(1
y －1)2＋1≤1. 13．9
解析 ∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，设x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4
t
＝t ＋4
t ＋5≥2
t ·
4t ＋5＝9，
当且仅当t ＝4
t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)
x ＋1取得最小值9.
14．2560
解析设每天调出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的费用为z 元，则目标函数z ＝320x ＋504y (x ，y ∈N)．
由题意可得，⎩⎨⎧
0≤x ≤8，x ∈N ，
0≤y ≤4，x ∈N ，
x ＋y ≤10，
4x ×6＋3y ×10≥180.
作出上述不等式组所确定的平面区域即可行域，如图中阴影部分所示．
结合图形可知，z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z＝320x＋504y 取得最小值，z min＝320×8＋504×0＝2560.
故每天调出A型卡车8辆，公司所花费用最低为2560元．。

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