20年苏教版初中数学《圆有关的最值问题》专题
2020年中考数学专题复习：圆中极值“圆”来如此容易 课件(共29张PPT)
动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小值的和是
.
C P
Q
当 PQ 最小时，Q 应在直线 OP 与半圆的近交点处。
A
O
B
例 5.如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 的中
点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P、Q 分别是边 BC 和半圆上的
动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小值的和是
圆外一点到圆上任意一点的最短或最长距离
B
OO A
PP
PA的长度就是最短距离，PB的长度就是最长距离.
圆外一点到圆上任意一点的最短或最长距离
例 5.如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 的中
点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P、Q 分别是边 BC 和半圆上的
动点，连接 PQ，则 PQ 长的最大值与最小值的和是
.
C
P
M
Q
分析：P 是圆外一点，Q 是圆上 一点，通过刚刚的结论，我们 就可以知道，当 PQ 出现极值时， P、Q、O 三点在同一直线上。
A
O
B
例 5.如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边 AB 的中
点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P、Q 分别是边 BC 和半圆上的
O D
过圆内一点且与过该点的直径垂直的弦最短
O
C'
D'
B
DC
B' A
y C
P O
分析：y＝kx－3k＋4 可以变形 成 y＝k(x－3)＋4，无论 k 为何值， B 当 x=3 时，y=4，对于函数图像来 A x 说就是必定经过点（3，4）.
与圆相关的最值问题
与圆相关的最值问题
与圆相关的最值问题可以包括多个方面，例如圆的周长、面积、弧长等。
以下是一些常见的与圆相关的最值问题及其解决方法：
1. 圆的周长最值问题：
* 设圆的半径为r，则周长C=2πr。
当r取最小值时，C取最小值。
* 解决方法：当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时r取最小值。
2. 圆的面积最值问题：
* 设圆的半径为r，则面积A=πr^2。
当r取最小值时，A取最小值。
* 解决方法：与周长最值问题类似，当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时r取最小值。
3. 圆的弧长最值问题：
* 设圆的半径为r，圆心角为θ，则弧长L=rθ。
当θ取最大值时，L取最大值。
* 解决方法：当圆内接于一个固定多边形时，该多边形的所有边都与圆相切，此时θ取最大值。
4. 圆内接四边形面积最值问题：
* 设圆内接四边形的边长分别为a, b, c, d，则面积S=(a×b+c ×d)/2。
当a=b=c=d时，S取最大值。
* 解决方法：当四边形为正方形时，S取最大值。
5. 圆内接三角形面积最值问题：
* 设圆内接三角形的边长分别为a, b, c，则面积S=(a×b+b×c+c×a)/4。
当a=b=c时，S取最大值。
* 解决方法：当三角形为等边三角形时，S取最大值。
以上是与圆相关的常见最值问题及其解决方法，希望对您有所帮助。
初中数学圆中最值定值问题专题（推荐）
初中数学圆中最值定值问题专题（推荐）圆中最值域定值问题研究类型一、例1、如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB 的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是_______1、已知圆O的面积为3 ，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P 为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为______2、如图，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3, 圆A、圆B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，圆A和圆B上的动点，则PE+PF的最小值为_________类型二、折叠隐圆【基本原理】（一箭穿心）点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1、P2，则AP的最小值为AP2,,最大值为A P1例、如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为______2、四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P 是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为____类型三、随动位似隐圆例、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．点D是边AC上一点D且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为_________[分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=12AD'=3,故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。
江苏省苏州市初三中考数学“与圆相关的最值问题”题型精练
初三数学“与圆相关的最值问题”题型精练一．选择题（共14小题）1．如图，AB是O的直径，AB＝8，点M在O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P 是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．5C．6D．72．如图，线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．4B．C．D．23．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径为圆上一动点，连接CE，点P为CE的中点，连接BP，若AC＝a，BD＝b，则BP的最大值为（）A．+1B．+1C．D．+15．如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点（不与A，B重合），点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：①＝；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①②D．③④6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O 上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为（）A．B．C．2D．7．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A、PB．则△P AB面积的最大值是（）A．10+1B．10C．10.5D．11.58．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（）A．﹣1B．2C．2D．39．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最大值为（）A．2+B．3+C．3+D．4+10．如图，是半径为1的圆弧，∠AOC等于45°，D是上的一动点，则四边形AODC 的面积s的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，且与y轴交于点B，过点B作直线BC 平行于x轴，点M（a，1）在直线BC上，若在⊙O上存在点N，使得∠OMN＝45°，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a≤1B．﹣C．D．12．如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，点C为半圆AB上一动点，以BC为边向⊙O外作正△BCD（点D在直线AB的上方），连接OD，则线段OD的长（）A．随点C的运动而变化，最大值为4B．随点C的运动而变化，最大值为4C．随点C的运动而变化，最小值为2D．随点C的运动而变化，但无最值13．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，以AB为直径作⊙M，点C是优弧上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（）A．B．2C．D．14．如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于E 点，连接CE，P是CE上任意一点，PM⊥BC，PN⊥BD，垂足分别为M、N，则PM+PN 的值为（）A．cm B．1cm C．cm D．2cm二．填空题（共11小题）15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是．16．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线y＝﹣x+4上的一点，过点P 作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为．17．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx+3与轴、轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是．18．如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD 为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．19．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为cm．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是．21．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为cm．23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．24．如图，已知⊙O经过点A（2，0）、C（0，2）．直线y＝kx（k≠0）与⊙O分别交于点B、D，则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为．25．如图，正方形ABCD，以B为圆心，BC长为半径画弧，点E在圆弧上，EH⊥BC于点H，P是△EHB的内心，AB＝2，则AP的最小值为．三．解答题（共1小题）26．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．参考答案一、选择1-5. BBBBC 6-10 BCCAB 11-14 ABBA二、填空15.﹣1 16.2 17.4 18.219. （3﹣1）20. 4．21.22.23.2﹣2 24.4．25.﹣．三、解答题解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．。
苏科版九年级数学上册微专题：与圆有关的最值问题
微专题：与圆有关的最值问题1.如图，在平面直接坐标系中，A（4，0）、B（0，-3），以点B 为圆心、2 为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C 为AP 的中点，连接OC，则OC 的最小值为.2.如图，在平面直接坐标系中，M（6,8），P 是以M 为圆心，2 为半径的⊙M 上一动点，A（-2,0）、B（2,0），连接PA、PB，则PA2 PB2 的最大值是.3.如图，AB、CD 是半径为5 的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB⊥MN 于点E，CD⊥MN 于点F，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC 的最小值为.4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点 C 为圆心，6 为半径AD＋BD 的最小值是．的圆上有一个动点 D．连接 AD、BD、CD，则235.如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心 A 的坐标为（-1，0），半径为 1，点 P 为直线 y 334y x =-+上的动点，过点 P 作⊙A 的切线，切点为 Q ，则切线长 PQ的最小值是 .6.如图，已知直线334y x =-与 x 轴、 y 轴分别交于 A ， B 两点， P 是以 C (0,1) 为圆心，为半径的圆上一动点，连接 PA ， PB ，则PAB 面积的最大值是.7.如图，在矩形 ABCD 中， AB 2 ，BC 3 ，以点 A 为圆心，1 为半径画圆，E 是⊙ A 上 一动点， P 是 BC 上一动点，则 PEPD 的最小值是.8.如图，在平面直角坐标系中，点 P 是以C(为圆心，1 为半径的⊙C 上的一个动点，已知 A(-1, 0), B(1, 0) ，连接 PA, PB ，则 PA 2 +PB 2 的最小值是 .9.如图，AC＝1，∠BAC＝60°，弧 BC所对的圆心角为 60°，且 AC⊥弦 BC．若点 P 上，点 E、F 分别在 AB、AC 上．则 PE＋EF＋FP 的最小值为.10.如图，在正方形 ABCD中，动点 E，F分别从 D，C两点同时出发，以相同的速度在边 DC，CB上移动，连接 AE和 DF交于点 P，由于点 E，F的移动，使得点 P 也随之运动，若 AD=2，线段 CP的最小值是.。
2020中考数学专题10——最值问题之阿氏圆
IA2020中考专题10——最值问题之阿氏班级________姓名____________ . 【模型解析】“阿氏圆”樓型——u PA + k PB M型最值♦条件：A、B为定点,P为ΘO±一个动A, —= k (0<i<l). OB♦问題:求PA^k PB的最小血并预出点P的位置・CP ∙k PB•所以PA + k PB∙PAYP≥AC,当P为AC与GlO的交点时■ PA^kPB的最小置为AC・【例題分析】2例 1.⅛ Rt∆ABC 中P ZACB=90β , AC=4, BC=3,点 D 为AABC 内一动点■满足CD=2,求AD÷ jBD 的最小值•例2•问题提出：如图h在RtΔ^5C中.ZACB=90°. CB=A, CA≈69 CDC半径为2, P为SI上一动点，连结肿、BP9求AP丄BP的最小值.2图2图3√2 2尝试解决，为了解决这个问題，下面给出一种耘題思路：如图2,连按CP,在CB 上取点D,使CDCP1PD 1 1CD=I,则有一=—=-,Xv ZPCD=ZBCP, ΛΔPCDS≤ΔJCP, — = -, APD=-BP, CPCB2 BP 2 2：.AP--BP^AP^PD.2请你芫成余下的思考，芥直按写出答案，AP +I BP 的最小值为 ______________ .2自主探索：在“问题提出"的条件不变的情况下，^AP^BP 的最:、值为 ______________ . 拓展延伸：己知扇形CoD 中，ZCOD=90°, OC=6, 0Λ=3f 0B≡5f 点P 是弧CD 上一点,求的最小值.【巩固训练】2•如BB 2,在Rt∆ABC 中∙ ZB=90t ∙ AB=CB=2,以点B 为圆心作HIB 与AC 相切.点P 为OaB 上任3•如图3,己知点P 是边长为6的正方形ABCD 内SC —动点・PA=3■求PC÷- PD 的量小值为.—动点.则PA∙PC 的最小值是 __________1 •如图 1,在 Rt∆ABC 中，ZACB=90∙ , CB=4, CA=6, HIC 半径为 2,点 P 为21上一动点，连按 AP,国45•如图5,己知点A (4, 0), B (4, 4力点P 在半径为2的圆0上运动•试求丄AP+BP 的最小值• 26•如旳6,己知点A (-3^ 0) ,B (03), C C1, 0),若点P 为ElCJz 的一気 试求, CI)1AP ÷BP ^^5 ⑵的最小值.7.如图 7,扼物线y=-χ2+bx-^c 与直线 AB 交于 A(-4,-4), B(0, 4)两点，直线 AC ： V = -^X-6 交y 轴于点C,点E 是直线AB ±的动点，过点E 作EF 丄X 轴交AC 于点F,交拋物线于点G(I) 求牠物线y = -x 2+bx + C 的表达式；4•如EB 4,己知［S O 半径为1, AC. BD 为切线，AC=1, BD=2, P 为弧AB 上一动点试求√2 2PC÷PD留5国6(2) 连按GB, EO,当四边形GEOB 是平行四边形时， 求点G 的坐标：(3) ①在y 轴上存在一点H,连按EH, HF,当点E 运动到什么住置时，以A. E l F, H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点匕H 的坐标： ②在①的前提下，以点E 为El 心，EH 长为半径作Eh 点M 为EIE 上一动点，求ZAM 十CM 的最小值.2图72020中考专题10——最值问題之阿氏圆 参考答案CD 2 例1・分析：由C 为定点D 为动点可知CD 的运动轨迹为以C 为图心半径为2的匮。
与圆有关最值问题课件
最小周长问题在材料科学、机械工程等领 域有应用，例如材料强度分析、机械零件 优化等。
最大面积问题
详细描述
最大面积问题通常涉及到圆的半径和面积 的关系，通过利用圆的面积公式，可以推
导出最大面积的条件和计算方法。
A 总结词
最大面积问题主要研究在给定条件 下，圆的面积的最大可能值。
B
C
D
应用场景
最大面积问题在资源开发、环境保护等领 域有应用，例如土地资源利用、生态保护 等。
02
与圆有关的最值问题
最大弦长问题
总结词
最大弦长问题主要研究在给定条件下，圆内弦长的最大可 能值。
公式
最大弦长 = 2 × √(R^2 - d^2)，其中 R 是圆的半径，d 是圆心到弦的垂直距离。
详细描述
最大弦长问题通常涉及到圆心角和半径的关系，通过利用 圆心角与弧长、弦长的关系，可以推导出弦长与半径的关 系式，进而求出最大弦长。
应用场景
最大弦长问题在几何、工程、建筑等领域有广泛应用，例 如桥梁设计、建筑结构分析等。
最小周长问题
总结词
详细描述
最小周长问题主要研究在给定条件下，圆 的周长的最小可能值。
最小周长问题通常涉及到圆的直径和半径 的关系，通过利用圆的周长公式，可以推 导出最小周长的条件和计算方法。
公式
应用场景
最小周长 = π × d，其中 d 是圆的直径。
详细描述
几何方法包括利用图形变换、对称性 等来求解最值问题。例如，在求圆上 一点到圆内某点的距离最值问题时， 可以通过作对称点并利用图形变换来 找到该点的位置和距离。
04
与圆有关最值问题的应用
在几何题中的应用
总结词
利用圆的性质求最值
初中圆的最值问题三种解法
在初中数学中，圆的最值问题可以通过三种不同的解法来求解。
以下是三种常见的解法：
1. 几何解法：
首先，确定问题中圆的相关条件，例如圆的半径或圆心坐标等。
然后，利用几何性质和定理来分析问题。
对于圆的最值问题，常常使用切线和切线长度来解决。
通过找到与切线相关的角度和长度关系，可以求得圆的最大值或最小值。
2. 代数解法：
这种方法使用代数方程和函数来解决圆的最值问题。
首先，将圆的方程转化为合适的形式，例如标准方程或一般方程。
然后，利用代数的方法，对方程进行求导或化简，找到函数的最值点。
最后，将最值点带入原始问题中，求得圆的最大值或最小值。
3. 组合解法：
这种方法结合了几何和代数的思想。
首先，利用几何性质和定理来确定问题中的几何关系。
然后，将几何关系转化为代数方程或函数。
接下来，通过代数的方法求解方程或函数的最值点。
最后，将最值点代入几何关系中，求得圆的最大值或最小值。
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3 圆有关的最值问题 一、求解方法： 1．根据“三角形三边关系”求解： abcab 2．动中有静，抓住不变量求解． 3．旋转必产生圆，很多情况在相切位置产生最值． 4．四点共圆（补充）． 五个基本判断方法： (1)若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆． (2)若一个四边形的一组对角互补（和为180。），则这个四边形的四个点共圆． (3)若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆． (4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆． (5)同斜边的直角三角形的顶点共圆， 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化． 3
三、中考展望与题型训练 例一、圆外一点与圆的最近点、最远点 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内的一个动点，且AD＝2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 ．
例二、正弦定理 2．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为 ．
3．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是 ．
例三、不等式、配方法 4．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？ 3
5．如图，线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．2 6．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．则线段AB的最小值是 ．
例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角） 7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的 垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是____ 3
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是 ．
9．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ） A． B． C．3 D．2
【题型训练】 10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°＜a＜360°），连结AC′、BD′，设直线AC′与直线BD′相交
于点F，则点F的纵坐标的最大值为 ． 3
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（ ） A．4 B． C． D．
12．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）
A．4.75 B．4.8 C．5 D．4 13．如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D是BC的中点，点E在AB边上 运动（点E不与点A重合），过A、D、E三点作⊙O，⊙O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为____
14．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0）， 3
半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ） A．2 B．1 C． D．
15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ） A．3 B． C． D．4 16．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4 17．如图，∠BAC＝60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长
度的最大值为 ． 3
18．在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P是y轴右侧一点，且AP＝2，点B是直线y＝x+1上一动点，且PB⊥AP于点P，则tan∠ABP＝m，则m的取值范围是 ．
19．在平面直角坐标系中，M（6，8），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（﹣2，0）、B（2，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC =6，圆A和圆B相切于点D， 且分别交线段AC，BC于点E，F．则阴影部分（在△ABC内，且在两圆外）面积的最大值 是____． 3
21．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（ ）
A．2﹣2 B． C． D． 22．如图，平面直角坐标系中，分别以点M（2，3）、N（3，﹣5）为圆心，以1、2为半径作⊙M、⊙N，A、B分别是⊙M、⊙N上的动点，P为y轴上的动点，则PA+PB的最小值等于 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，1+m），C（0，1﹣m）（m＞0），点P在以D（﹣4，﹣2）为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则m的取值范围是 ． 3
24．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D是弧ACB上的一个动点（不与点A、B重合）．连接BD．过点A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若⊙O的半径为2cm，则CE长的最小值为 cm．
25．在平面直角坐标系中，点A是直线y＝x上动点，以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，若直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 26．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，分别以A、D为圆心，1为半径画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5 27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离
为 ．
28．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B 3
上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为 cm． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是 ．
30．已知条件如图所示，点D是AC上动点，求弦EF长度的最小值．
31．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠A＝60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′，如图，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．
32．在平面直角坐标系中，以点A(10，8)为圆心的⊙A与y轴相切。点B(0，16)，点C是 3
⊙A上任意一点，点M是线段BC的中点，求线段OM的取值范围． 答案与解析 1．【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解． 【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE． 在直角△ABC中，AB＝＝＝5， ∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CE＝AB＝． ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴ME＝AD＝1． ∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤． 故答案是：≤CM≤．
2．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时 3
线段EF＝2EH＝2OE•sin∠EOH＝2OE•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周
角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH，即可求出答案． 【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短， 如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H， ∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4， ∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2， 由圆周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°， ∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝， 由垂径定理可知EF＝2EH＝， 故答案为：．
3．【分析】方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，求出当DK为直径时符合，再求出PM即可； 方法二、求出C，M，O，P，四点共圆，连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．