高中数学23《等比数列》教案苏教版必修

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《等比数列》教案3(苏教版必修5)

第 9 课时：§2.3 等比数列（3）【三维目标】：一、知识与技能1掌握“错位相减”的方法推导等比数列前n 项和公式；2.掌握等比数列的前n 项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题；二、过程与方法1.通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．2.从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力3.经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

三、情感、态度与价值观通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．【教学重点与难点】：重点：等比数列的前n 项和公式的推导及其简单应用．难点：等比数列的前n 项和公式的推导．突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.【学法与教学用具】：1. 学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题2. 教学方法：采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题首先回忆一下前两节课所学主要内容：1．等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即：1-n na a q =（0≠q ） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n3．}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：若b G a ,,成等比数列，则G ab G ,2=叫做a 与b 的等差中项. 6．性质：若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅ 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性二、研探新知1．等比数列前n 项和公式的推导：方法一：错位相减法一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，由12311n nn n S a a a a a a q-=++++⎧⎨=⎩ 得2211111123111111n n n n nn S a a q a q a q a qqS a q a q a q a q a q---⎧=+++++⎪⎨=+++++⎪⎩∴11(1)n n q S a a q -=-,当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a qS q-=- 当1=q 时，1na S n =这种求和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法注意：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况．方法二：运用等比定理有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132即q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．方法三：运用方程思想(提取公比q )=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是方法四：由等次幂差公式直接推得（详略）三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.解：由2 2,121===q a a 得，1521)21(144=--⨯=∴S ， 102321)21(11010=--⨯=S ，从第5项到第10项的和为10S -4S =1008例2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列，则：一天内获知此信息的人数为：12212124244-=--=∴S 例3 （教材51P 例1）求等比数列{}n a 中，（1）已知；14a =-，12q =，求10S ；（2）已知；11a =，243k a =，3q =，求k S ．解：（1）101011014[1()](1)102321112812a q S q ---===---；（2）112433364113n k a a q S q --⨯===--．例4在b a ,之间插入10个数，使它们同这个数成等比数列，求这10个数的和例5（教材51P 例2）求等比数列{}n a 中，372S =，6632S =，求n a ；解：若1q =，则632S S =，与已知372S =，6632S =矛盾，∴1q ≠，从而313(1)712a q S q -==-①，616(1)6312a q S q -==- ②． ②：①得： 319q +=，∴2q =，由此可得112a =，∴121222n n n a --=⨯=．例6（教材51P 例3）求数列11111,2,3,,,2482nn ++++的前n 项和．解：11(124n nS n =++++++++1(2nn= 11(1)(1)(1)1221122212n nn n n n -++=+=+--．说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采用分组求和．例7等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n 项之和为n S ，且6560,802==n a S S ，求：（1）通项公式n a ；（2）前100项之和100S例8设数列{}n a 65,1=a ，若以n a a a ,,,21 为系数的二次方程：*-∈=+-N n x a x a n n (0121且2≥n ）都有根α、β且满足133=+-βαβα，（1）求证：}21{-n a 为等比数列；（2）求n a ；（3）求{}n a 的前n 项和n S 。

高中数学第二章数列231等比数列的概念学案苏教版必修

2．3.1 等比数列的概念学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一等比数列的概念思考观察下列4个数列，归纳它们的共同特点． ①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…；③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，….梳理等比数列的概念和特点．(1)定义：如果一个数列从第________项起，每一项与它的________一项的________都等于____________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0)． (2)递推公式形式的定义：a n a n －1＝q (n >1)(或a n ＋1a n＝q ，n ∈N *)． (3)等比数列各项均________为0.知识点二等比中项的概念思考在2,8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？梳理等差中项与等比中项的异同，对比如下表：类型一等比数列的判定例1 判断下列数列是不是等比数列．(1)0,1,2,4；(2)1,1,1,1；(3)0.1,0.01,0.001,0.000 1；(4)3，－33，9，－9 3.反思与感悟(1)等比数列任一项均不为0.(2)等比数列的公比可以是任意非零常数．跟踪训练1 根据下列条件，写出等比数列的前4项．(1)a1＝1，q＝2；(2)a1＝－1，q＝2；(3)a1＝1，q＝－2；(4)a1＝－1，q＝－2.类型二证明等比数列例2 已知数列{a n}满足a1＝78，且a n＋1＝12a n＋13，n∈N*.求证：{a n －23}是等比数列．反思与感悟判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列．1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3＝________.2．若等比数列的首项为4，公比为2，则这个数列的第6项为________． 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则公比q ＝________. 4．45和80的等比中项为________．1．等比数列的判断或证明 (1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．2．两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方．答案精析问题导学知识点一思考从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数．梳理(1)二前比同一个公比 (3)不能知识点二思考设这个数为G .则G 2＝8G，G 2＝16，G ＝±4.所以这样的数有2个．题型探究例1 解 (1)10无意义，不是等比数列．(2)每项与前一项的比均为1，是等比数列．(3)0.010.1＝0.1，0.0010.01＝0.1，0.000 10.001＝0.1，是等比数列．(4)－333＝－3，9－33＝－3，－939＝－3，是等比数列．跟踪训练1 解 (1)a 1＝1，a 2＝a 1×2＝2，a 3＝a 2×2＝4，a 4＝a 3×2＝8. (2)a 1＝－1，a 2＝a 1×2＝－2，a 3＝a 2×2＝－4，a 4＝a 3×2＝－8. (3)a 1＝1，a 2＝a 1×(－2)＝－2，a 3＝a 2×(－2)＝4，a 4＝a 3×(－2)＝－8. (4)a 1＝－1，a 2＝a 1×(－2)＝2，a 3＝a 2×(－2)＝－4，a 4＝a 3×(－2)＝8. 例2 证明 ∵a n ＋1＝12a n ＋13.∴a n ＋1－23＝12a n ＋13－23＝12a n －13＝12(a n －23)，∵a 1－23＝78－23＝524≠0，∴a n ＋1－23a n －23＝12，n ∈N *，∴{a n －23}是公比为12的等比数列．跟踪训练2 (1)解 ∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14.(2)证明 ∵S n ＝13(a n －1)，∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减得，a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．当堂训练1．32 2.128 3.2 4.－60或60。

高中数学第二章数列第七课时等比数列教案(一) 苏教版必修5

第七课时等比数列(一)教学目标：掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识. 教学重点：等比数列的定义及通项公式. 教学难点：灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容. Ⅱ.讲授新课下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?1，2，4，8，16，…，263； ① 5，25，125，625，…； ②1，－12 ，14 ，－18，…；③仔细观察数列，寻其共同特点. 对于数列①，a n ＝2n －1；a na n －1＝2(n ≥2) 对于数列②，a n ＝5n；a na n －1＝5(n ≥2) 对于数列③，a n ＝(－1)n +1·12n －1；a n a n －1 ＝－12(n ≥2) 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点. 1.定义等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(q ≠0)，即：a n ∶a n －1＝q (q ≠0)如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－12 .与等差数列比较，仅一字之差.总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意（1）公差“d ”可为0，（2）公比“q ”不可为0. 等比数列的通项公式又如何呢? 2.等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得：a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝(a 1q )q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝(a 1q 2)q ＝a 1q 3，…， a n ＝a n －1q ＝a 1q n －1(a 1，q ≠0)，n ＝1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立. 解法二：由定义式得：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 1 ＝q ①a 3a 2＝q ②… …a n a n －1＝q n －1若将上述n －1个等式相乘，便可得：a 2a 1 ×a 3a 2 ×a 4a 3 ×…×a n a n －1＝q n －1 即：a n ＝a 1·q n －1(n ≥2)当n ＝1时，左＝a 1，右＝a 1，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：a n ＝a 1·q n －1(a 1，q ≠0)如：数列①，a n ＝1×2n －1＝2n －1(n ≤64) 数列②：a n ＝5×5n －1＝5n ，数列③：a n ＝1×(－12 )n －1＝(－1)n －112n －1 与等差数列比较，两者均可用归纳法求得通项公式.或者，等差数列是将由定义式得到的n －1个式子相“加”，便可求得通项公式；而等比数列则需将由定义式得到的n －1个式子相“乘”，方可求得通项公式.下面看一些例子：［例1］培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120倍，逐代的种子数可组成一等比数列，然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题.解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a 1＝120，q ＝120的等比数列{a n }.由等比数列通项公式可得：a n ＝a 1·q n －1＝120×120n －1＝120n∴a 5＝1205≈2.5×1010.答：到第5代大约可以得到种子2.5×1010粒.评述：遇到实际问题，首先应仔细分析题意，以准确恰当建立数学模型.［例2］一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式. 解：设这个等比数列的首项是a 1，公比是q则：⎩⎨⎧a 1 q 2＝12 ①a 1 q 3＝18 ②②÷①得：q ＝32 ③③代入①得：a 1＝163∴a n ＝a 1·qn －1＝163 ×（32 ）n －1，a 2＝a 1·q ＝163 ×32＝8. 答：这个数列的第1项与第2项分别是163和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式. Ⅲ.课堂练习课本P 48练习1，2，3已知{a n }是无穷等比数列，公比为q .(1)将数列{a n }中的前k 项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{a n }为：a 1，a 2，…，a k ，a k +1，…则去掉前k 项的数可列为：a k +1，a k +2，…，a n ，…可知，此数列是等比数列，它的首项为a k +1，公比为q . (2)取出数列{a n }中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{a n }为：a 1，a 2，a 3，…，a 2k －1，a 2k ，…，取出{a n }中的所有奇数项，分别为：a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 2k －1，a 2k +1，…∵a 2k +1a 2k －1 ＝a 1q 2k a 1q2k －2 ＝q 2(k ≥1) ∴此数列为等比数列，这个数列的首项是a 1，公比为q 2.(3)在数列{a n }中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？解：设数列{a n }为：a 1，a 2，…，a n ，…每隔10项取出一项的数可列为：a 11，a 22，a 33，……可知，此数列为等比数列，其公式为：a 22a 11 ＝a 11q 11a 11＝q 11.评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.Ⅳ.课时小结本节课主要学习了等比数列的定义，即：a na n －1＝q (q ≠0，q 为常数，n ≥2) 等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1(n ≥2)及推导过程.Ⅴ.课后作业课本P 52习题 1，2，3，4等比数列(一) 1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n，那么数列{a n }是（）A.等比数列B.当p ≠0时为等比数列C.当p ≠0，p ≠1时为等比数列D.不可能为等比数列2．公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6依次成等比数列，则公比等于（）A. 12B. 13C.2D.33．数列{a n }的前n 项之和是S n ＝a n＋b (a 、b 为常数且a ≠0，1)，问数列{a n }是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.4．已知等比数列x ，－34 ，y ，－2716 ，8132，…，求x ，y .5．已知数列{a n }是等比数列，首项为a 1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t ，k ，p 项，求数列{a n }的通项公式.6．已知数列{a n }为等比数列，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4的值.等比数列(一)答案1．D 2．D3．数列{a n }的前n 项之和是S n ＝a n＋b (a 、b 为常数且a ≠0，1)，问数列{a n }是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由. 分析：利用等比数列的定义解题.解：a 1＝S 1＝a ＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)a n －1又a 1＝(a －1)·a 0＝a －1∴若a －1≠a ＋b ，即b ≠－1时，显然数列{a n }不是等比数列.若a －1＝a ＋b ，即b ＝－1时，由a n ＝(a －1)a n －1(n ≥1)，得a na n －1＝a (n ≥2) 故数列{a n }是等比数列. 4．x ＝12 ，y ＝985．已知数列{a n }是等比数列，首项为a 1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t ，k ，p 项，求数列{a n }的通项公式. 分析一：先从等比数列入手解决问题.解法一：设符合题设的等比数列{a n }中的连续三项为a m ，a m +1，a m +2，则： a m +1＝a m q ，a m +2＝a m +1q (q 为公比)两式相减，得q ＝a m ＋2－a m ＋1a m ＋1－a m又a m +1＝a m ＋(k －t )d ，即a m +1－a m ＝(k －t )d同理a m +2－a m +1＝(p －k )d (d 为公差），故q ＝（p －k ）d （k －t ）d ＝ p －kk －t∴所求通项公式为a n ＝a 1(p －k k －t)n －1. 分析二：先从等差数列入手解决问题. 解法二：设等差数列为{b n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝b 1＋（t －1）d b k ＝b 1＋（k －1）d b p ＝b 1＋（p －1）d由题设知，b t ，b k ，b p 是等比数列{a n }中的连续三项：故q ＝b kb t ＝b p b k利用等比定理，可得b k b t ＝b p －b k b k －b t ＝（p －k ）d （k －t ）d ＝ p －k k －t∴q ＝p －k k －t ，a n ＝a 1(p －k k －t)n －1. 6．已知数列{a n }为等比数列，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4的值.分析：要求a 4可以先求a n ，这样求基本量a 1和q 的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决.解：设此数列的公比为q ,由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1 q 2＝10a 1 q 3＋a 1 q 5＝54 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q 2）＝10 ①a 1 q 3（1＋q 2）＝54 ② 由a 1≠0，1＋q 2≠0，②÷①得，q 3＝18 ⇒q ＝12 ⇒a 1＝8. a 4＝a 1q 3＝8×18 ＝1.评述：本题在求基本量a 1和q 时，运用方程思想把两个方程相除达到消元的目的，此法应重视.。

高中数学2.3.3等比数列的前n项和(2)教案苏教版必修5

2.3.3等比数列前n 项和(2) 第 18课时一、学习目标（1）能运用等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题；（2）理解分期付款中的有关规定，掌握分期付款中的有关计算．能运用等差、等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题。

二、学法指导1.对于等比数列可以用类比等差数列前n 项和的性质，得到等比数列前n 项和的性质，2．要注意等比数列与等差数列之间存在的差异性。

3．对于前n 项和S n 的公式形式，等差数列与二次函数有关，而等比数列与指数函数有关。

三、课前预习1．若某数列前n 项和公式为1(0,1,*)n n s a a a n N =-≠≠±∈ 则{}n a 是数列。

2．若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则（1）n m s +=（2）在等比数列中，若项数为2(*),s n n N s ∈=偶奇则三、课堂探究例1．水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？例2．某人从2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购房，贷款的月利率为3.375%，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？例3：已知数列{}n a 为等差数列（公差d ≠0）, {}n a 中的部分项组成的数列1k a ，2k a ……n k a ……恰为等比数列，其中n k k k k k k ++===21321,17,5,1求的值。

例4．（选讲）在等比数列{}n a 中，已知248,60,n n s s ==3n 求s四、巩固训练（一）当堂练习(书后练习)（二）课后作业1、在等比数列{a n }中，a 3=23，S 3=29求{a n }的通项和前n 项和。

高中数学第2章数列2.3.3等比数列的前n项和1教案苏教版必修

2.3.3 等比数列的前n 项和（1）教学目标：1.了解等比数列前n 项和公式及其获取思路，会用等比数列的前n 项和公式解决简单的与前n 项和有关的问题．2. 提高学生的推理能力，培养学生应用意识．教学重点：等比数列前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：应用等差数列前n 项和公式解决一些简单的有关问题．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程：一、问题情境提出问题：关于国王的奖赏，国际象棋棋盘的格子中分别放1，2，4，…，263粒麦子．怎样求数列1，2，4，…，262，263的各项和？即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为： 626364124822S =++++⋯++， ①26364642481622S =+++⋯++， ②由②－①可得：126464-=S ．这种求和方法称为“错位相减法”，“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法．二、学生活动怎样求等比数列前n 项的和？公式的推导方法一：一般地，设等比数列123,,n a a a a +⋯,⋯它的前n 项和是 =n S 123n a a a a +++⋯+，由12311n n n n S a a a a a a q -=+++⋯+⎧⎪⎨=⎪⎩，．得2211111123111111n n n n n n S a a q a q a q a q qS a q a q a q a q a q ---⎧=+++⋯++⎪⎨=+++⋯++⎪⎩，．nn q a a S q 11)1(-=-∴． ∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或q q a a S n n --=11．当q ＝1时，1na S n =．三、建构教学等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②；当q ＝1时，1na S n =．思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？（当已知a 1， q ，n 时用公式①；当已知a 1，q ，a n 时，用公式②）四、数学运用1. 例题讲解．例1 求下列等比数列前8项的和．（1）21，41，81，…；（2）()19127,,0243a a q ==>．例3 求数列2311,3,5,7,...,(21)n a a a n a--（a ≠1）的前n 项的和．2．练习．课本P57－58练习1，2，3， 5题．五、要点归纳与方法小结：1. 等比数列求和公式：当q ＝1时，1na S n =；当1≠q 时，q q a a S n n --=11 或qq a S n n --=1)1(1 ． 2．这节课我们从已有的知识出发，用错位相减法推导出了等比数列的前n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．六、课外作业课本P61习题第1，3题．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第2章数列2.3.3等比数列的前n项和2教案苏教版必修

2.3.3 等比数列的前n 项和（2）教学目标：1．掌握等比数列前n 项和公式．2．综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式解决相关的问题．教学重点：进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：灵活应用相关知识解决有关问题．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程一、复习引入：1．等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 2．数学思想方法：错位相减，分类讨论．二、学生活动求和：2311n a a a a-++++⋯+．三、建构教学1．等比数列通项a n 与前n 项和S n 的关系？{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A .2．S n 为等比数列的前n 项和, 0≠n S ，则232,,(k k k k k S S S S S k --∈N ﹡)是等比数列．注意：①公比q 的各种取值情况的讨论，②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件．3．在等比数列中，若项数为2n (n ∈N ﹡)，S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和，则=奇偶S S ．四、数学运用1．例题讲解．例1 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，求q 的值．例3 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n 项和．2．练习．①若等比数列{a n }中，,13+=n n m S 则实数m ＝；②等比数列中，S 10= 10，S 20= 30，则S 30= ；③等比数列中S n = 48，S 2n = 60，则S 3n = ；④等比数列{a n }共2n 项,其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q = ．五、要点归纳与方法小结1．{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A ．2．S n （0n S ≠）为等比数列的前n 项和，则232232,,(,,0n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ----都不为）一定是等比数列． 3．在等比数列中,若项数为2n （n ∈N ﹡），S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则q S S =奇偶．六、课外作业课本P62习题6，7，9，10，11，13题．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.3.3 等比数列的前n项和》48

教学设计------等比数列前n项和教材分析从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列〞第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和〞与“等比数列〞内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜测，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．教师教学用书安排“等比数列的前n项和〞这局部内容授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系教学目标1、掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题．2、通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．3、通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受形式的简洁美、数学的严谨美．教学重点和难点重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单应用．难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前项和公式教学方法利用计算机等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式教学过程一、问题情境：将一张纸平放在桌面上，接下来放2张，第三次放4张，第四次放8张，…，共放三十次，这些纸垒起来会有多高？请你猜猜看！你有没有什么方法解决上述问题呢？引导：放30次，一共放了多少张纸？如何测量这些纸的高度？能不能借助身边的物品解决这个问题？设计意图：启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

二、新课讲授：等比数列的第1项和公比，如何求出它的前项和？设计意图：引导学生用“特例到一般〞的研究方法，猜测数学规律。

高中数学 2.3.3 等比数列的前n项和(2)教案苏教版必修5

2.3.3 等比数列的前n 项和（2）教学目标：1．掌握等比数列前n 项和公式．2．综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式解决相关的问题．教学重点：进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：灵活应用相关知识解决有关问题．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程一、复习引入：1．等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 2．数学思想方法：错位相减，分类讨论．二、学生活动求和：2311n a a a a-++++⋯+．三、建构教学1．等比数列通项a n 与前n 项和S n 的关系？{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A .2．S n 为等比数列的前n 项和, 0≠n S ，则232,,(k k k k k S S S S S k --∈N ﹡)是等比数列．注意：①公比q 的各种取值情况的讨论，②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件．3．在等比数列中，若项数为2n (n ∈N ﹡)， S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和，则=奇偶S S ．四、数学运用1．例题讲解．例1 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，求q 的值．例2 等差数列{a n }中a 1=1， d =2，依次抽取这个数列的第1，3，32，…，3n -1项组成数列{b n }，求数列{b n }的通项和前n 项和S n ．例3 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n 项和．2．练习．①若等比数列{a n }中，,13+=n n m S 则实数m ＝；②等比数列中，S 10= 10，S 20= 30，则S 30= ；③等比数列中S n = 48，S 2n = 60，则S 3n = ；④等比数列{a n }共2n 项,其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q = ．五、要点归纳与方法小结1．{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A ．2．S n （0n S ≠）为等比数列的前n 项和，则232232,,(,,0n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ----都不为）一定是等比数列． 3．在等比数列中,若项数为2n （n ∈N ﹡），S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则q S S =奇偶．六、课外作业课本P62习题6，7，9，10，11，13题．。

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第 10课时：§2.3 等比数列（4）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，
2.提高学生分析、解决问题能能力。理解这种数列的模型应用．
二、过程与方法
通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
三、情感、态度与价值观
在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
【教学重点与难点】：
重点：用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题
难点：将实际问题转化为数学问题（数学建模）．
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列的定义：nnaa1=q（Nn,0q）

2.等比数列的通项公式:)0(111qaqaann，
3．性质：①bGa,,成等比数列G2=ab（0ab）
②在等比数列中，若mnpq(,,,)mnqpN，则qpnmaaaa
4．等比数列的前n项和公式：
∴当1q时，qqaSnn1)1(1① 或qqaaSnn11②

当1q时，1naSn，当已知1a,q,n时用公式①；当已知1a,q,na时，用公式②.
5.)1(11nSa，)2(1nSSannn
6．nS是等比数列na的前n项和，
①当1q且k为偶数时，kkkkkSSSSS232,,不是等比数列.
②当1q或k为奇数时，kkkkkSSSSS232,, 仍成等比数列
二、研探新知,质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 已知：nS是等比数列na的前n项和，396,,SSS成等差数列，
求证：285,,aaa成等差数列．
证明：∵396,,SSS成等差数列，∴3692SSS，若1q，则3161913,6,9SaSaSa，由

9631
2S0SSa可得
，与题设矛盾，∴1q,qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131,整理，得

3692qqq，∵0q，∴36
12qq
，4372511118(1)2aaaqaqaqqaqa．

∴285,,aaa成等差数列．

例2已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数

项的和为170，求这个数列的公比和项数。
例3（教材52P例4）水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕
还林，其中西部地区占70%．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面
积递增12%，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
解：根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的

面积（单位：万亩）组成一个等比数列na，其中

1
515,112%1.12,6,aqn
则66515(11.12)417911.12S（万亩）．

答：从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩．
思考：到哪一年底，西部地区基本解决退耕还林问题？
例4 某人从2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购房，贷款的月利率为3.375%，
并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，且在期末付款；
（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．
解：设每月应还贷x元，付款次数为120次，则
2119120
[1(13.375%)(13.375%)(13.375%)]200000(13.375%)x

，

即120120[(13.375%)1]200000(13.375%)(13.375%)1x，
120
120
2000003.375%(13.375%)2029.66(13.375%)1]x





（元）．答：设每月应还贷2029.66元．
四、巩固深化，反馈矫正

1.教材53P练习第1，2，3题；2.教材56P习题第3,7题
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课的内容
六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略）
八、课后记：