系统运动稳定性分析
线性系统的稳定性与稳定判据
dF ( s ) 8s 3 96 s 0 ds
1 24 23 2 48 46 s3行中为零的项，为简化计 1 12 算，各项除以8，并计算以 下各行的系数，得劳斯阵为 24 46 121 1 s 新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位于复平面右侧的根。 12 s 0 46
用导数方程的系数取代
s 3 3s 2 0
试应用判据判别实部为 正的特征根的个数。
s3 s2 s s
0
1 0
- 3 - 2
-3 2 0
改变一次
2
改变一次
有两实部为正的根。
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
例：设系统特征方程为 ，s 46 0 s 5 2s 4 24 s 3 48 s 2 23
解: 列写劳 斯阵 :列 s s s s
4 3 2 1 0
1 2
23- 4 2
3 4 1 6 5 0
5 0
符号改变一次
14- 25 1
符号改变一次
s 5 Routh 阵列第一列符 号改 次 变 ,二
故有 两个实部 为正的根 。
a.某行第一个元素为零，其余均不为零。
例：设系统特征方程为 系统的稳定性。 ，试判别 s 4 2s 3 s 2 2 s 1 0
s5 s4 s3 s2
F (s) 2s 4 48s 2 46 0
解： （1）特征方程各项系数大于0
（2）列劳斯阵
1 1 1 2 2 0(用代替） 1 2 1 s 2 当ε→0时， ，该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改 0 s 1
s4 s3 s2
随机机械系统的稳定性及Hopf分岔分析
随机机械系统的稳定性及Hopf分岔分析随机机械系统的稳定性及Hopf分岔分析随机机械系统是指在外界激励下，由多个机械元件构成的系统。
这些元件之间通过连杆、轴等连接，形成一个复杂的结构。
随机机械系统广泛应用于自动化、机械工程等领域，其稳定性研究对于系统的可靠性和性能至关重要。
稳定性是随机机械系统研究中的一个核心问题。
随机机械系统受到外界的各种随机激励，如摩擦力、噪声等，这些随机因素会对系统产生不确定的影响，导致系统的运动变得复杂和难以预测。
因此，研究随机机械系统的稳定性是解决这些问题的关键。
Hopf分岔是一种典型的非线性现象，也是研究随机机械系统稳定性的重要方法之一。
当系统参数经过一定的改变时，系统的稳定性可能发生突变，从而导致系统出现周期性运动或混沌行为。
通过Hopf分岔分析，可以确定系统在不同参数值下的运动状态，评估系统的稳定性以及确定系统的优化方案。
在实际工程应用中，随机机械系统的稳定性研究常常需要考虑多种影响因素。
例如，系统结构的复杂性、元件之间的耦合程度、外界激励的类型和强度等。
这些因素综合作用于系统的运动特性和稳定性，对系统的设计和优化提出了更高的要求。
对于随机机械系统的稳定性研究，可以通过数学模型建立和仿真分析来进行。
通过建立系统的运动方程和边界条件，可以利用数值方法求解系统的稳定解。
在计算过程中引入随机项，可以模拟随机激励对系统的影响，得到系统的运动轨迹和稳定性指标。
随机机械系统的稳定性研究不仅可以在系统设计和优化中发挥重要作用，还可以为实际应用中的故障诊断和故障预测提供参考。
例如，在工业自动化生产线中，通过对随机机械系统的稳定性分析，可以判断系统是否存在故障，并采取相应的维修和调整措施，以保证生产线的正常运行。
然而，随机机械系统的稳定性研究也存在一些挑战和困难。
首先，系统模型的建立和求解本身就是一个复杂的过程，需要考虑多种因素的综合作用。
其次，随机机械系统的运动是一个非线性、非平稳的过程，涉及到多种概率统计方法和数值计算技术。
李雅普诺夫稳定性分析方法
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
机械稳定性分析
机械稳定性分析机械稳定性是指机械系统在运行时的稳定性能，包括结构的稳定性、运动的稳定性以及控制的稳定性等。
在机械工程中，稳定性分析是一项至关重要的任务，它能够帮助工程师识别并解决潜在的稳定性问题，确保机械设备的可靠运行。
本文将对机械稳定性分析的相关内容进行探讨。
一、结构稳定性分析在机械系统中，结构稳定性是指机械设备在受力作用下的变形和变位能否保持在可接受的范围内。
结构稳定性分析主要涉及材料的选择、构件的设计以及边界条件的确定等。
例如，对于高空建筑物的设计，在考虑地震等外部力作用下，需要确定合适的结构形式和支撑结构，以确保整个建筑物的稳定性。
二、运动稳定性分析运动稳定性是指机械系统在运动过程中能否保持平稳的状态而不出现异常振动或不稳定现象。
运动稳定性分析主要关注机械系统的动力学特性、摩擦、轴承等因素的作用。
例如，在机械加工过程中，需要通过稳定性分析来确定刀具转速、进给速度等参数，以避免材料损坏或加工质量下降。
三、控制稳定性分析控制稳定性是指机械系统在自动控制下能否保持稳定的状态，不受外界扰动的影响。
控制稳定性分析主要关注控制系统的稳定性判据和设计方法。
例如，在飞行器的自动驾驶系统中，需要通过稳定性分析来设计合适的控制器，以保持航向、高度等参数的稳定性。
稳定性分析是机械工程中重要的一项任务，通过对结构、运动和控制等方面的稳定性进行分析，可以有效地预防和解决机械设备在运行过程中可能出现的稳定性问题。
工程师们可以借助计算机辅助设计软件和仿真工具，进行各种稳定性分析，并根据分析结果进行合理的设计和优化。
总之，机械稳定性分析是机械工程领域中不可或缺的一环，它对于确保机械设备的安全和可靠运行具有重要意义。
通过结构稳定性分析、运动稳定性分析和控制稳定性分析等方面的研究，可以进一步提升机械系统的稳定性能，推动机械工程技术的发展与进步。
在今后的工作中，我们应继续深入研究机械稳定性分析的相关理论和方法，并积极探索新的技术手段和解决方案，为机械工程的发展贡献力量。
机械系统运动稳定性分析的Routh-Hurwitz法
使用上述特征根判据定理的主要困难在于需要求出特征方程即
系统的稳定性， 实际只需知道所有根的符号就够了。利用多项式的根与系数的关系， 劳斯 … 规定其中 （ ） 将 ， 将此方程的系数按以下规则构成 阶方阵 ! 。 ， ， …， 依次排列为对角线元素。
）
出了代数方程的根均为负实部的条件。设常系数线性微分方程组的特征方程展开后的一般形式为
［ ］
，
） 法 （含一次近似理论和
［］ ） 定理 、 劳 ［ ） 定理 ］
、 相平面法
［ ，］
、 邦加莱 （
，） 法则
［ ，］
、 拉格朗日 狄里克雷 （
斯 赫尔维茨 （
［ ，］ ） 判据 、 开尔文 泰勒 切塔耶夫 （
等等。
对于机械系统中多自由度线性自治系统的稳定性分析， 劳斯一赫尔维茨方法不失为一种较为方便、 简捷的实用方法。因为线性系统是一种特殊的动力学系统， 由于线性常系数微分方程组的数学理论已 发展得十分完善， 可以提供更简单的稳定性判断方法， 因此在工程设计中， 经常将原系统的非线性项略 去， 近似化作线性系统， 即一次近似系统。本文利用劳斯 系统的运动稳定性分析问题进行初步研究。 赫尔维茨法对机械运动中多自由度线性自治
赫尔
##
若系统内存在粘性阻尼力， 记作 动产生的科氏惯性力引起的陀螺力， 记作
，
##
（ ）
， 通常可表示为广义速度
的线性函数， 还存在通常由旋转运
， 为广义速度的一次式， 则阻尼力和陀螺力的一般形式为
#
，
#
（
，， …，）
（ ）
将式 （ ） （ ） 、 代入存在粘性阻尼力系统的拉格朗日方程
其中 （ ，
第
劳斯判据
，统化第 系有 一 统一一列
s 1 112 .7 0
不 稳
个 正
次
系 数
s 0 50
定实，符
。
可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：
P(s)2s44s8250 (s22)5s(21)0
s 1 , s 5j
原 ( s 方 1 ) s ( 1 ) s ( 程 j 5 ) s ( j 5 ) s ( 2 )
1
S3 0
0
2
S2 4 1 1
1
0
S1 1
0
0
2
S0 0
0
0
系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右 半平面。
特征根（Matlab:c=[1 2 2 4 1 1];roots(c))
例5.4 试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：
s 5 2 s 4 3 s 3 6 s 2 1 s 0 1 0 5
劳斯行列式：
sn an an2 an4
s n1 an1 an3 an5
s n2 b1
b2
b3
sn3 c1
c2
c3
sn4 d1
d2
d3
s0
a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 0
a n6 a n7 b4
bb13aann11aann aa26nn 11aannaann37b,2, an1ana4n1anan5
c4 d4
c1
b1an3 an1b2 b1
,c2
b1an5 an1b3 b1
c3
b1an7an1b4 b1
,
d1
c1b2 b1c2 c1
,
d2
车辆系统横向运动稳定性评判的数值仿真研究
Ｔ Ｉ ４ ２ ０ （ 于 欧洲 车 辆 系统 子 系 统 互 操 作 性 Ｓ ８ － ０ ８ 关 Ｌ （ 的技术规 范 》 １ ， 国的《 ０ ｍ／ 等［ ］ 我 。 ２ ０ｋ ｈ及 以上 速 度 级 动车 组 动 力 学 性 能 试 验 鉴 定 方 法 及 评 判 标 准 》 暂 （ 行） ［ 照 ＵＩ １— １ ８ 《 参 Ｃ ５ ５ ９ ４ 客车 车辆一 拖 车转 向架一 运 用齿轮 一适用 于拖 车 转 向架 部 件 的 通用 条 款 》 ＿ ｌ 对 ５
车辆系统 的稳定 性进 行评 价 。
本文 利用 Ｓ ＭＰ Ｋ 仿 真 软件 建 立 高 速 车 辆 模 Ｉ ＡＣ
型， 通过数 值仿 真 ， 别 采 用 极 限 环 法 、 分 构架 加 速 度 幅
值法 、 构架 加速 度和 轮 对 加速 度 均 方 根 值法 对 车 辆 系
统 横 向 运 动 稳 定 性 进 行 评 判 ， 深 入 分 析 不 同 方 法 所 以
性 评判 有 比较大 的难度 。文献 Ｅ Ｏ 通 过改 变等效 锥度 ｌ］
来 改变 轮轨 接触几 何 关 系 ， 对 比了几 种 稳 定性 的研 并 究 方法 ， 最终 采用 ３种 方法来 确 定临界 速度 ， 以考 查采 用 不 同方法 和不 同标准 的临界 速 度 。３种方 法 分 别为
摘
要 ： 用 极 限 环 法 、 架加 速 度 幅 值 法 、 架 和轮 对加 速 度 均 方根 值 法 对 车 辆 系统 的 横 向 运 动 稳 定 性 进 行 了评 采 构 构
判 。 结 果表 明 ， 用 构 架加 速度 幅值 法评 判 得 到 的 临界 速 度 高 于 采 用极 限 环 法得 到 的 ， 采 而采 用构 架和 轮 对 加 速 度 均 方 根 值 法评 判得 到 的 临界 速 度 在 速 度 高 时往 往 要 低 于 采 用 极 限 环 法 得 到 的 。对 于 Ｔ Ｉ ４ ２ Ｏ Ｓ ８ — Ｏ ８标 准 规 定 的 构 架加 速 度 Ｌ 幅值 评 判 方 法 ， 过 仿 真 分 析 ， 通 建议 将 其 滤 波频 率 ３ Ｈｚ ９ Ｈｚ改 为 ２ Ｈｚ ９ Ｈｚ 以 覆 盖 低 于 ３ Ｈｚ 蛇 行 失稳 频 率 ， ～ ～ ， 的 使 评 判 结 果 更加 准 确 。 最后 ， 对 高 速 车 辆 蛇行 失稳 后 的 脱轨 安 全 性和 运行 平稳 性进 行 了分 析 。 还 关 键 词 ： 道 车 辆 ； 向运 动 稳 定性 ； 全 性 ； 行 平 稳 性 ； 真分 析 铁 横 安 运 仿 中 图分 类号 ： ７ ． １ Ｕ２ ０ １ 文献标识码 ： Ａ
系统的稳定性常见判据
思路：
①特征方程→根的分布（避免求解） ②开环传递函数→闭环系统的稳定性
（开环极点易知，闭环极点难求）
稳定判据
二、Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
1. 系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
s3
2 n
(
s
K
)
2
n s 2
2 n
s
K
2 n
特征方程：
D(s)
s3
2
ns2
2 n
s
K
2 n
0
即： D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K=0
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所 34.6 7500 7500K 0
① 确定P
② 作G(j)H(j)的Nyquist图 ③ 运用判据
三、Nyquist 稳定判据
例1
三、Nyquist 稳定判据
例2 G(s)H (s)
(T12 s2
K (Ta s 1)(Tb s 1)
2T1s 1)(T2s 1)(T3s
1)
P=1
开环不稳定， 闭环稳定
三、Nyquist 稳定判据
② LF包围原点的圈数 = LGH包围（－1，j0）点的圈数 N=Z-P
现代控制理论基础4控制系统的稳定性分析课件
[解] （1）系统的传递函数为：
G(s) C(sI A)1 B 0
1s1
6
1
2
s 1 1
(s
(s 2)(
2) s
3)
(s
1
3)
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。
（2） 求系统的特征方程：
de
t(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
稳
图解表示：
定
区
内部稳定性判据：
Im S平面 临不 界 稳 Re 稳定 定区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6]
设系统方程为：
x
0 1
6 1
x
12u,
y 0 1x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
6
二、状态向量范数
符号 称为向量的范数， x xe 为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义 为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定 义式为：
1
x xe (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen )2 2
7
三、李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的）
3）对任意初始时刻 t0 时的任意状态 x0 0 ，在 t t0
时，除了在 x 0 时有 V(x) 0 外，V ( x) 不恒等于零。
则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
说明： 恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面 V(x) C 。
李雅普诺夫稳定性分析
第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。
因为它关系到系统是否能正常工作。
经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。
分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。
1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。
§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。
（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。
【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。