(精品)2015-2016学年上海市闵行中学高一(上)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年上海市闵行中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每空4分，共45分）1．（4分）用列举法表示集合=．2．（4分）已知全集U=R，集合，则集合∁U A=．3．（4分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，集合B={x||x﹣2|≥1，x∈R}，则A∩B=．4．（4分）已知x，y∈R*，且2x+3y=4，则xy的最大值为．5．（4分）已知函数在x=2时取得最小值，则实数a=．6．（4分）若集合A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}，B={x|x2﹣x+n=0，x∈R}，且A∪B={0，1，3}，则实数m，n的值分别是m=，n=．7．（4分）若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的条件．（从“充要、充分不必要不充分、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择一个填在横线上）8．（4分）命题“若实数a，b满足2a+b＞5，则a=2且b=3”的否命题是命题（填“真”或“假”）．9．（4分）若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≤a对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为．10．（4分）已知关于x的不等式的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为．11．（4分）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（n∈N*）．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是．12．（4分）设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有4个，则实数a的取值范围是．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列各组函数表示同一函数的是（）A．y=x与B．y=x+1与C．与y=0 D．y=x与14．（4分）若集合M⊆N，则以下集合中一定是空集的是（）A．M∩N B．M∩∁U N C．∁U M∩N D．M∪N15．（4分）已知a＞b＞c且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2＞c2B．a|b|＞c|b|C．ac＞bc D．ab＞ac16．（4分）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2|x|﹣1）的定义域是（）A． B．[﹣1，4]C．D．三、解答题：在指定范围内写出必要的步骤（满分56分）17．（8分）已知的定义域为的定义域为B，求A∩B．18．（10分）设集合A={x|a﹣2≤x≤2a+3，x∈R}，B={x|x2﹣6x+5≤0}．（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁U B=∅，求实数a的取值范围．19．（12分）已知命题甲：对任意实数x∈R，不等式恒成立；命题乙：已知x，y∈R*满足x+y=xy+3=0，且a≤xy恒成立．（1）分别求出甲、乙为真命题时，实数a的取值范围；（2）求实数a的取值范围，使命题甲、乙中有且只有一个真命题．20．（12分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21．（14分）定义：记min{x1，x2，…，x n}为x1，x2，…，x n这n个实数中的最小值，记max{x1，x2，…，x n}为x1，x2，…，x n这n个实数中的最大值，例如：min{3，﹣2，0}=﹣2．（1）求证：min{x2+y2，xy}=xy；（2）已知f（x）=max{|x|，2x+3}（x∈R），求f（x）的最小值；（3）若H=max{，，}（x，y∈R+），求H的最小值．2015-2016学年上海市闵行中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每空4分，共45分）1．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）用列举法表示集合={（3，1）} ．【解答】解：当x=1时，y=，舍去，当x=2时，y=，舍去，当x=3时，y=1，故A={（3，1）}，故答案为：{（3，1）}，2．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）已知全集U=R，集合，则集合∁U A={x|x≥0或x ≤﹣2} ．【解答】解：={x|﹣2＜x＜0}，则∁U A={x|x≥0或x≤﹣2}，故答案为：{x|x≥0或x≤﹣2}3．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，集合B={x||x﹣2|≥1，x∈R}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1，x∈R} ．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}={x|﹣1＜x＜2，x∈R}，集合B={x||x﹣2|≥1，x∈R}={x|x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，x∈R}={x|x≥3或x≤1，x∈R}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1，x∈R}．故答案为：{x|﹣1＜x≤1，x∈R}．4．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）已知x，y∈R*，且2x+3y=4，则xy的最大值为．【解答】解：∵x，y∈R*，∴4=2x+3y≥，化为：xy≤，当且仅当2x=3y=2时取等号．则xy的最大值为．故答案为：．5．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）已知函数在x=2时取得最小值，则实数a=4．【解答】解：方法一：由题意可知：x＞0，a2＞0，∴f（x）=4x+≥2=4a，当且仅当4x=，即x=时取等号，又∵f（x）在x=2时取得最小值，∴=2，解得a=4，故答案为：4．方法二：由对勾函数f（x）=4x+，x＞0，a2＞0，当x=时，取最小值，则=2，∴a=4，故答案为：4．6．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）若集合A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}，B={x|x2﹣x+n=0，x∈R}，且A ∪B={0，1，3}，则实数m，n的值分别是m=4，n=0．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}，B={x|x2﹣x+n=0，x∈R}，且A∪B={0，1，3}，∴n=0，B={x|x2﹣x=0，x∈R}={0，1}，∴A={x|x2﹣mx+3=0，x∈R}={1，3}，∴1+3=m，即m=4，实数m，n的值分别是m=4，n=0．故答案为：4，0．7．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分也不必要条件．（从“充要、充分不必要不充分、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择一个填在横线上）【解答】解：当x=1，y=﹣2时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即充分性不成立，当x=﹣2，y=1时，满足x2＞y2，但x＞y不成立，即必要性不成立，综上“x＞y”是“x2＞y2”的既不充分也不必要条件，故答案为：既不充分也不必要8．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）命题“若实数a，b满足2a+b＞5，则a=2且b=3”的否命题是真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：命题若实数a，b满足2a+b＞5，则a=2且b=3的逆命题为若实数a，b满足a=2且b=3，则2a+b＞5，此时2a+b=2×2+3=4+3=7＞5成立，即逆命题成立，则由逆否命题的等价性得命题的否命题为真命题，故答案为：真9．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≤a对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为a≥5．【解答】解：因为|x﹣2|﹣|x+3|≤|（x﹣2）+（﹣x﹣3）|=5，即（|x﹣2|﹣|x+3|）max=5，又不等式|x﹣2|﹣|x+3|≤a对于任意实数x恒成立，所以a≥（|x﹣2|﹣|x+3|）max=5，故答案为：a≥5．10．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）已知关于x的不等式的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为（﹣，1] ．【解答】解：∵不等式的解集为p，且1∉P，∴＞2，即（a﹣1）（2a+1）＜0，解得﹣＜a＜1，x=1时，不等式的解集为（1，6]，∴实数a的取值范围是（﹣，1]．故答案为（﹣，1]．11．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（n∈N*）．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是．【解答】解：依题意＜1，且三次后全部进入，+≥1，n∈N*．因此不等式组为：，故答案为：．12．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有4个，则实数a的取值范围是1＜a＜3．【解答】解：关于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有4个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x＜＜1，所以解集里的整数是﹣3，﹣2，﹣1，0 三个∴﹣4≤＜﹣2，∴2a﹣2＜b≤4a﹣4，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故答案为1＜a＜3．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）下列各组函数表示同一函数的是（）A．y=x与B．y=x+1与C．与y=0 D．y=x与【解答】解：y=x与=|x|的对应关系不一致，故不表示同一函数；y=x+1与=x+1（x≠1）的定义域不一致，故不表示同一函数；=0（x=±1）与y=0的定义域不一致，故不表示同一函数；y=x与=x的定义域和对应关系均相同，故可表示同一函数；故选：D．14．（4分）（2015秋•闵行区校级期中）若集合M⊆N，则以下集合中一定是空集的是（）A．M∩N B．M∩∁U N C．∁U M∩N D．M∪N【解答】解：若集合M⊆N，则M∩N=M不一定是空集；M∩∁U N一定是空集；∁U M∩N不一定是空集；M∪N=N不一定是空集；故选：B15．（4分）（2012春•武汉校级期末）已知a＞b＞c且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2＞c2B．a|b|＞c|b|C．ac＞bc D．ab＞ac【解答】解：已知a＞b＞c且a+b+c=0，则a＞0，c＜0，对于A：令a=1，b=0，c=﹣1，不成立，对于B：令b=0，不成立，对于C：c＜0，由a＞b得：ac＜bc，不成立，对于D：由b＞c，都乘以a，得到ab＞ac，故选：D．16．（4分）（2015春•南昌校级期末）已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2|x|﹣1）的定义域是（）A． B．[﹣1，4]C．D．【解答】解：因为函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，所以﹣2≤x≤3，即﹣1≤x+1≤4．所以函数f（x）的定义域为[﹣1，4]．由﹣1≤2|x|﹣1≤4．得0≤2|x|≤5，解得﹣，即y=f（2|x|﹣1）的定义域为．故选C．三、解答题：在指定范围内写出必要的步骤（满分56分）17．（8分）（2015秋•闵行区校级期中）已知的定义域为的定义域为B，求A∩B．【解答】解：A={x|x2+x﹣2≥0}={x|x≥1或x≤﹣2}，B={x|≥0，且x+2≠0}={x|﹣3≤x＜3且x≠﹣2}，则A∩B={x|1≤x＜3或﹣3≤x＜﹣2}．18．（10分）（2015秋•闵行区校级期中）设集合A={x|a﹣2≤x≤2a+3，x∈R}，B={x|x2﹣6x+5≤0}．（1）若A∩B=B，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁U B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|a﹣2≤x≤2a+3，x∈R}，B={x|x2﹣6x+5≤0}={x|1≤x≤5}．若A∩B=B，则B⊆A，即a﹣2≤1，且2a+3≥5，解得：a∈[1，3]，（2）若A∩∁U B=∅，则A⊆B，当A=∅，即a﹣2＞2a+3时，满足条件，解得：a＜﹣5，当A≠∅，即a﹣2≤2a+3，a≥﹣5时，a﹣2≥1，且2a+3≤5，此时不存在满足条件的a值，综相可得：若A∩∁U B=∅，则a＜﹣5．19．（12分）（2015秋•闵行区校级期中）已知命题甲：对任意实数x∈R，不等式恒成立；命题乙：已知x，y∈R*满足x+y=xy+3=0，且a≤xy恒成立．（1）分别求出甲、乙为真命题时，实数a的取值范围；（2）求实数a的取值范围，使命题甲、乙中有且只有一个真命题．【解答】解：（1）∵x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1＞0恒成立，∴命题甲：对任意实数x∈R，不等式恒成立⇔ax2﹣ax+3≥0恒成立，当a=0时，3＞0恒成立；当a≠0时，必有，解得：0＜a≤12，综上，甲为真命题时，实数a的取值范围为[0，12]；∵正数x，y，满足x+y≥2，xy=x+y+3，∴xy﹣2﹣3≥0，∴≥3或≤﹣1（舍去），∴xy≥9，要使xy≥a恒成立，则a≤9．∴a的取值范围为（﹣∞，9]．（2）若甲为真命题，则乙为假命题，则a∈[0，12]∩（9，+∞）=（9，12]；若甲为假命题，则乙为真命题，则a∈{a|a＜0或a＞12}∩{a|a≤9}=（﹣∞，9]．综上，使命题甲、乙中有且只有一个真命题的a的范围为（﹣∞，12]．20．（12分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【解答】解：（1）在 y=kx ﹣（1+k 2）x 2（k ＞0）中，令y=0，得 kx ﹣（1+k 2）x 2=0． 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0． ∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a ＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ＞0，使ka ﹣（1+k 2）a 2=3.2成立，即关于k 的方程a 2k 2﹣20ak +a 2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a 2﹣4a 2（a 2+64）≥0得a ≤6．此时，k=＞0． ∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标．21．（14分）（2015秋•闵行区校级期中）定义：记min {x 1，x 2，…，x n }为x 1，x 2，…，x n 这n 个实数中的最小值，记max {x 1，x 2，…，x n }为x 1，x 2，…，x n 这n 个实数中的最大值，例如：min {3，﹣2，0}=﹣2．（1）求证：min {x 2+y 2，xy }=xy ；（2）已知f （x ）=max {|x |，2x +3}（x ∈R ），求f （x ）的最小值；（3）若H=max {，，}（x ，y ∈R +），求H 的最小值．【解答】（1）证明：当xy ≤0时，x 2+y 2≥xy ，则min {x 2+y 2，xy }=xy ，当xy ＞0时，由x 2+y 2≥2|xy |＞xy ，则min {x 2+y 2，xy }=xy ，综上所述min {x 2+y 2，xy }=xy ；（2）解：f （x ）=max {|x |，2x +3}=，∴当x=﹣1时，f （x ）的有最小值，即为1；（3）解：x=y=时，H=max {，，}={2}，H 的最小值为2．不失一般性，设x＞y＞0，当x＞y＞时，∵x，y∈R+，∴≥=2，当且仅当x=y时取等号，∵2＞＞，∴H=max{，，}={2}，H的最小值为2．当x＞＞y时，H=max{，，}={}，H的最小值不存在．当＞x＞y时，H=max{，，}={}，H的最小值不存在．综上所述，x=y=时，H的最小值为2．:whgcn；maths；742048；沂蒙松；铭灏2016；zlzhan；lcb001；豫汝王世崇；刘老师；双曲线；sxs123；刘长柏（排名不分先后）2017年6月4日。