第2章 连续系统的数学模型总结
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第2章 连续系统的数学模型
10
单位脉冲输入信号下系统的输出
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
R(s) L{δ(t)} 1
R(s)
C(s)
系统G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为
C(s) G(s)
1
系统G(s) G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) L1{C(s)} L1{G(s)} 脉冲响应是系统的数学模型!
s3 5s2 8s 6 (s 3)(s 1 j)(s 1 j)
多应用于根轨迹法中
13
3．时间常数形式
m
K ( i s 1)
G(s)
i 1 nv
sv (Ti s 1)
i 1
多应用于频域分析法中
14
2.3.3 线性系统的典型环节
无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到 的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划 分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统 的一种重要方法。
建立数学模型的方法
分析法（机理分析法） 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。
实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。
4
表达形式
时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
线性系统
传递函数
)
an c(t )
d mr(t) d m1r(t)
dc(t )
b0 dt m b1 dt m1 L bm1 dt bmr(t)
其中，ai 、bj (i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，是由系统本身的结构参数所决定。
单位脉冲输入信号下系统的输出
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
R(s) L{δ(t)} 1
R(s)
C(s)
系统G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为
C(s) G(s)
1
系统G(s) G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) L1{C(s)} L1{G(s)} 脉冲响应是系统的数学模型!
s3 5s2 8s 6 (s 3)(s 1 j)(s 1 j)
多应用于根轨迹法中
13
3．时间常数形式
m
K ( i s 1)
G(s)
i 1 nv
sv (Ti s 1)
i 1
多应用于频域分析法中
14
2.3.3 线性系统的典型环节
无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到 的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划 分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统 的一种重要方法。
建立数学模型的方法
分析法（机理分析法） 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。
实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。
4
表达形式
时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
线性系统
传递函数
)
an c(t )
d mr(t) d m1r(t)
dc(t )
b0 dt m b1 dt m1 L bm1 dt bmr(t)
其中，ai 、bj (i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，是由系统本身的结构参数所决定。
机械工程控制基础--第二章
,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmML0 ua
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机 1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
bm1xi(
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。
孙炳达版 《自动控制原理》第2章 线性连续系统的数学模型-3
2.3 传递函数
例 图中的RC电路，当开关K突然接通后，试求出 电容电压uc(t)的变化规律。 R C
ur
uc
解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)。由基尔霍夫 电压定律写出电路微分方程：
du c RC uc ur dt
2.3 传递函数
du c RC uc ur dt
电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换
2.3 传递函数
1 1 1 U c (s) u c 0 s s 1 s 1 RC RC 对上式进行拉氏逆变换，得uc (t)的解为：
u c (t ) u 0 (1 e
1 t RC
) u c 0e
1 t RC
式中右端第一项是由输入电压ur (t)决定的分量，是 当电容初始状态uc(0) =0 时的响应，故称零状态响应。
2.3 传递函数
传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图 直观的表示： Ur(s) G(s) Uc(s) Uc(s) = G(s) Ur(s)
传递函数的定义： 在零初始条件下，系统（环节/元件）输出量的拉 氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（环 节/元件）的传递函数。通常用G(s)或Φ(s)表示。
RC[sUc (s) u c (0)] Uc (s) Ur (s)
1 RC U c (s) U r (s) u c (0) RCs 1 RCs 1
当输入为单位阶跃电压时，ur (t) = 1， Ur (s) = 1/s， 得
1 1 1 U c (s) u c 0 s s 1 s 1 RC RC
2 2 2 2 2 2
比例 环节
1 1 1 2 2 K (1s 1) ( 2s 2 2s 1) 2 2 s T1s 1 T2 s 2 2s 1
连续系统模型
举例：具有质量弹簧阻尼器的机械位移系统
（1）确定输入、输出量为F 、y （2）根据力学、运动学原理列微分方程
ma F Fs F f d2y a 2 dt Fs ky dy F f f dt
（3）消去中间变量，可得微分方程
d2y dy m 2 f ky F dt dt
ai (i 0,1, , n 1), b j ( j 0,1, , m)为微分方程的常系数。 其中： 对应的初始条件为：
( y (t0 ) y0 , y(t0 ) y0 , , y ( n ) (t0 ) y0n ) ( u (t0 ) u0 , u (t0 ) u0 , , u ( m ) (t0 ) u0m )
则得到 s nY ( s ) an 1s n 1Y ( s ) a1sY ( s ) a0Y ( s )
bm s U ( s ) bm 1s U ( s ) b1sU ( s ) b0U ( s )
m
m 1
（3.1）
式（3.1）中，Y(s)=L[y(t)]，U(s)=L[u(t)]，故系 统的传递函数G(s)为
X (t ) AX (t ) Bu(t ) y (t ) CX (t ) Du (t )
状态方程
输出方程
（4.1）
（4.2）
Biblioteka 状态空间表达式的两种标准型
X AX Bu y CX
X AX Bu y CX
Laplace变量s可视为微分算子，1/s视为积分算子。
对方程（2.1）两边取Laplace变换，并假设y(t)和u(t)及各阶 导数的初值均为零，即
第2章 连续系统的数学模型
第 2 章 连续系统的数学模型 13
自动控制原理
列写系统微分方程的一般步骤：
（1）确定系统的输入、输出变量； （2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程； （4）标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输 出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将 系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。
例2：列写如图所示RC网络的微分方程。给定输入电压 ur(t)为系统的输入量，电容上的电压uc(t)为系统的输出量。
R1 ur(t)
C1 R2 C2 uc(t)
设R1上的电流为i1，R2的电流为i2，C1上的电压为uc1 ， 由基尔霍夫电压定律，列写回路方程：
i1R1 uc1 ur
i 2R2 uc uc1
因为该建模方法只依赖于系统的输入输出关系，即使对 系统内部机理不了解，也可以建立模型，所以常称为“黑箱” 建模方法。 由于系统辨识是基于建模对象的实验数据或者正常运行 数据，所以，建模对象必须已经存在，并能够进行实验。而 且，辨识得到的模型只反映系统输入输出的特性，不能反映 系统的内在信息，难以描述系统的本质。
第 2 章 连续系统的数学模型 4
自动控制原理
2.输入输出描述模型与内部描述模型
描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出 描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。
状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之 间的关系，所以称为内部描述模型。
内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而 且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深 入地揭示了系统的动态特性。
系统仿真技术_第2章+经典的连续系统仿真建模方法学
准则是：
绝对误差准则： ey (tn ) yˆ(tn ) y(tn )
相对误差准则：
ey (tn )
yˆ(tn ) y(tn )
yˆ(tn )
其中 规定精度的误差量。
对仿真建模方法三个基本要求(续)
（3）快速性：若第n步计算对应的系统时间间隔 为 hn tn1 tn ,计算机由计算需要的时间为Tn，若
欧拉法
y1 y(t1 ) y0 t f (t0，y0 )
对任意时刻tn+1 yn1 y(tn1) yn (tn1 tn ) f (tn，yn )
截断误差正比于 h2
f(t,y)
f(t0,yo)
t0 t t1
t
数值积分算法（续）
梯形法: yn1
y(tn1 )
h 2
，yn
h 2
k
2
)
k4 f (tn h，yn hk3 )
2.2.2龙格--库塔法的特点
1.形式多样性
例：a1，a2，b1，b2 非唯一解，可以得到许多
种龙格--库塔公式：yn1 yn k2h (中点公式)
其中 k1 f (tn , yn )
k2
f (tn
h 2
di (i 0,1,2, m)
需要m+1个独立方程。该m+1个方程可由以下
等式导出：
ym
(t
)
y m
(t)
ynk j ynk j
m i0
di
tnk
自动控制原理第2章
y(t)
L1
Tv Ts
1
t
ve T
对比例4结果，知全响应应为零输入响应和零状态响应之和。
2.1.5 全响应与零输入响应和零状态响应的关系 前面是对一个特定的例子证明了全响应为零输入响应和零状态 响应之和。下面从一般的形式来证明。
数学模型表达式：
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n1
例7
G(s) 1
Ts 1
r(t) t 求输出。
Y(s) G(s)R(s) 1 1 1 T T 2 Ts 1 s2 s2 s Ts 1
t
y(t) (t T ) Te T
第一项是稳态分量，对应于输入函数极点；第二项是暂态分量， 对应于传递函数极点。
2.2 脉冲响应函数（书30页）
第二章 线性连续系统的数学模型
2.1 线性常系数微分方程的建立和它的解 2.1.1 建立常系数微分方程
例1
u0 (t)
1 C
i(t)
d
t
i(t) C du0 (t) dt
LC
d
2u0 (t) d 2t
RC
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
例2
m:质量；x：位移；F：外力；F1：摩擦力； F2：弹簧拉力；f：摩擦系数；K：弹性系数
R(s)有 l 个互异的极点 s j
n
l
n
则
y(t) Aiesit B j esjt Ciesit
i1
j 1
i1
当零输入时， R(s) 0
n
y(t) Ciesit
i1
当零状态时， M 0 (s) 0
n
l
y(t) Aiesit B j esjt
第2章 连续系统的数学模型
1 j f (t ) L F ( s) F ( s)e st ds , t 0 j 2j
1
L－1为拉氏反变换的符号。
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27
第二章 数学模型
几种典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
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15
第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
a R +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
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2
第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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1
第二章 数学模型 数学模型的基本概念
数学模型
1
L－1为拉氏反变换的符号。
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第二章 数学模型
几种典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
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15
第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
a R +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
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2
第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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1
第二章 数学模型 数学模型的基本概念
数学模型
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传递函数的一般形式
（考虑时间滞后情况）
G( s)
bm s m bm1 s m1 b1 s b0 a n s n a n1 s n1 a1 s a0
e s
考虑时间滞后时（存在输送带）：
拉氏变换的应用：求解微分方程
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有理分式的分解（1）：极点为相异实数的情况
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有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况
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2.1.2 建立数学模型的方法
机理分析建模方法，称为分析法； 实验建模方法，通常称为系统辨识。
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
控制系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
数学预备知识：拉氏变换
典型信号的拉氏变换（1）
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典型信号的拉氏变换（2）
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拉氏变换的性质
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系统
g(t)
传递函数的性质：
（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换； （5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。
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第2章
2.2
连续系统的数学模型
微分方程描述
描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的 微分方程称为微分方程模型
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2.2
微分方程描述
u(t)
系统
y(t)
a0 y bm u (m) b1u b0 u a n y (n) a n1 y (n1) a1 y
U(s)
系统
y(t)
系统G(s)
Y(s)
Y ( s) G ( s)U ( s)
y(t ) L1{Y (s)} L1{G(s)U (s)}
系统微分方程与传递 函数可以直接转换!
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下面考察单位脉冲输入信号下系统的输出
Y (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 U (s) an s n an1s n1 a1s a0
G( s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 a n s n a n1 s n1 a1 s a0
微分环节： s 惯性环节：
1 Ts 1
1
振荡环节： T 2 s 2 2Ts 1
一阶微分环节： s 1 二阶微分环节： 2 s 2 2 s 1 滞后环节（纯时滞环节）： e s
一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。 有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不 能单独存在的。
2.3.1
传递函数与脉冲响应函数的定义
定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与 输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数。
a0 y bm u (m) b1u b0 u a n y (n) a n1 y (n1) a1 y
u(t)
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
U ( s) L{δ (t )} 1
U(s)
系统G(s)
Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为 Y(s) G(s) 1 系统G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) L1{Y(s)} L1{G(s)}
δ(t )
G(s)
脉冲响应是系统的数学模型! 阶跃响应不是系统的数学模型! 思考： 求系统在单位阶跃信号作用下的输出相应（单位阶跃响应）。 并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？
i1 i2 C1 duc1 dt
i1 C1
duc1 dt
C2
duc dt
i2 C 2
duc dt
duc R1C1 R1C2 uc1 ur dt dt du R2C2 c uc uc1 dt
duc1
R1C1 R2 C 2
d 2uc dt 2
T1T2
( R1C1 R1C 2 R2 C 2 )
一阶RC网络系统
duc dt
iC
u1 iR
u1 u c u r
duc RC uc u r dt
T
duc uc u r dt
T RC
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例2.2
二阶RC网络系统
i1R1 uc1 ur
i2 R2 uc uc1
2．零极点形式
k G (s)
(s z )
i i 1 n i i 1
m
(s p )
2( s 1)(s 2) G(s) 3 2 s 5s 8s 6 ( s 3)(s 1 j )(s 1 j )
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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2.1
系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况
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有理分式的分解（3）：出现极点为相异复数数的情况
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系统微分方程的形式与系统分类之间的关系: （1）非线性微分方程描述的是非线性系统； （2）线性微分方程描述的是线性系统; （3）时变系统的微分方程的系数与时间有关； （4）时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。
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例2.1
2s 2 2s 4
2．零极点形式
G (s)
20( s 1) ( s 2)
（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）
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2．零极点形式
G( s) 1 ( s 2)( s 2 j 2)( s 2 j 2)
？
串联
T1T2 d 2uc dt
2
duc (T1 T12 T2 ) uc ur dt
T12=0
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思考： 能否可以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一阶RC网 络的串联？为什么？ 一阶有源网络系统
R1
ur
C
＋
F(t)
＋ i uc(t) －
ur(t)
m
f X(t)
－
d 2U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
d 2 X (t ) dX (t ) m f kX (t ) F (t ) 2 dt dt
完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！
应用拉氏变换的终值定理求 y ( )
注意拉氏变换终值定理的适用条件：
sY (s) 的极点均处在复平面的左半边。
不满足终值定理的条件。
事实上：
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几个拉氏变换定理的证明
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i
R2
uc
二阶有源网络系统
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
控制系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 传递函数模型 结构框图模型
2.6
频率特性模型
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传递函数的一般形式
（考虑时间滞后情况）
G( s)
bm s m bm1 s m1 b1 s b0 a n s n a n1 s n1 a1 s a0
e s
考虑时间滞后时（存在输送带）：
拉氏变换的应用：求解微分方程
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有理分式的分解（1）：极点为相异实数的情况
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有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况
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2.1.2 建立数学模型的方法
机理分析建模方法，称为分析法； 实验建模方法，通常称为系统辨识。
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
控制系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
数学预备知识：拉氏变换
典型信号的拉氏变换（1）
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典型信号的拉氏变换（2）
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拉氏变换的性质
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系统
g(t)
传递函数的性质：
（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换； （5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。
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第2章
2.2
连续系统的数学模型
微分方程描述
描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的 微分方程称为微分方程模型
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2.2
微分方程描述
u(t)
系统
y(t)
a0 y bm u (m) b1u b0 u a n y (n) a n1 y (n1) a1 y
U(s)
系统
y(t)
系统G(s)
Y(s)
Y ( s) G ( s)U ( s)
y(t ) L1{Y (s)} L1{G(s)U (s)}
系统微分方程与传递 函数可以直接转换!
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下面考察单位脉冲输入信号下系统的输出
Y (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 U (s) an s n an1s n1 a1s a0
G( s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 a n s n a n1 s n1 a1 s a0
微分环节： s 惯性环节：
1 Ts 1
1
振荡环节： T 2 s 2 2Ts 1
一阶微分环节： s 1 二阶微分环节： 2 s 2 2 s 1 滞后环节（纯时滞环节）： e s
一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。 有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不 能单独存在的。
2.3.1
传递函数与脉冲响应函数的定义
定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与 输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数。
a0 y bm u (m) b1u b0 u a n y (n) a n1 y (n1) a1 y
u(t)
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
U ( s) L{δ (t )} 1
U(s)
系统G(s)
Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为 Y(s) G(s) 1 系统G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) L1{Y(s)} L1{G(s)}
δ(t )
G(s)
脉冲响应是系统的数学模型! 阶跃响应不是系统的数学模型! 思考： 求系统在单位阶跃信号作用下的输出相应（单位阶跃响应）。 并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？
i1 i2 C1 duc1 dt
i1 C1
duc1 dt
C2
duc dt
i2 C 2
duc dt
duc R1C1 R1C2 uc1 ur dt dt du R2C2 c uc uc1 dt
duc1
R1C1 R2 C 2
d 2uc dt 2
T1T2
( R1C1 R1C 2 R2 C 2 )
一阶RC网络系统
duc dt
iC
u1 iR
u1 u c u r
duc RC uc u r dt
T
duc uc u r dt
T RC
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例2.2
二阶RC网络系统
i1R1 uc1 ur
i2 R2 uc uc1
2．零极点形式
k G (s)
(s z )
i i 1 n i i 1
m
(s p )
2( s 1)(s 2) G(s) 3 2 s 5s 8s 6 ( s 3)(s 1 j )(s 1 j )
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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2.1
系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况
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有理分式的分解（3）：出现极点为相异复数数的情况
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系统微分方程的形式与系统分类之间的关系: （1）非线性微分方程描述的是非线性系统； （2）线性微分方程描述的是线性系统; （3）时变系统的微分方程的系数与时间有关； （4）时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。
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例2.1
2s 2 2s 4
2．零极点形式
G (s)
20( s 1) ( s 2)
（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）
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2．零极点形式
G( s) 1 ( s 2)( s 2 j 2)( s 2 j 2)
？
串联
T1T2 d 2uc dt
2
duc (T1 T12 T2 ) uc ur dt
T12=0
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思考： 能否可以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一阶RC网 络的串联？为什么？ 一阶有源网络系统
R1
ur
C
＋
F(t)
＋ i uc(t) －
ur(t)
m
f X(t)
－
d 2U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
d 2 X (t ) dX (t ) m f kX (t ) F (t ) 2 dt dt
完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！
应用拉氏变换的终值定理求 y ( )
注意拉氏变换终值定理的适用条件：
sY (s) 的极点均处在复平面的左半边。
不满足终值定理的条件。
事实上：
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几个拉氏变换定理的证明
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i
R2
uc
二阶有源网络系统
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
控制系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 传递函数模型 结构框图模型
2.6
频率特性模型
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