一元9次方程的整数解集判别95
2023-2024学年北京市6月初中模拟学业水平考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市6月初中模拟学业水平考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，比的相反数大的是()A.3B.C.2D.12.中国“二十四节气”已被正式列入联合国救科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长，其中159万用科学记数法表示为()A. B. C. D.4.在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为这3个数的位置可能是()A. B. C. D.5.一元二次方程的根的情况为()A.无实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.不能判定6.如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若，则的周长是()A.12B.C.D.7.《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，那么下面列出的方程组中正确的是()A. B. C. D.8.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图．在中，，，延长CB使，连接AD，得，所以类比这种方法，计算的值为()A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.因式分解：_______.10.如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是__________.11.甲口袋中装有两个相同的小球，它们上面分别写有数字1和2，乙口袋中装有三个相同的小球，它们上面分别写有数字3，4和5，从两个口袋中各随机摸一个小球，两个小球上的数字都是偶数的概率是__________.12.如图，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，那么为__________时，才能使公路准确接通．13.已知点，都在反比例函数图象上，则__________.14.方程的解为__________15.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，如果，小圆直径径为6cm，那么大圆半径为______________16.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为__________.三、解答题：本题共12小题，共96分。
人教版初中数学七年级下册第九章一元一次不等式(组)含参专题——有、无解问题课件(共12张PPT)
问题反转，运用自如
问题3：如果不等式组
x x
2m 0 ① 有解，怎样确定
m 3②
m
的取值范围？
解不等式①得x≤2m 解不等式②得x≥3-m
自主操作：在数轴上画出有解的情况.
图⑧
自主分析：3-m和2m的大小关 系是？“=”能取？为什么.
2m 3-m 图⑨
3-m ≤ 2m
∴m的取值范围是：m ≥ 1
x x
2m 0 m3
你能确定不等式组的解集吗？请结合数轴分析.
析：由例题知两个不等式的解集分别为x＜2m和x＞3-m， 那么这两个解集在数轴上会有几种情况？
3-m
2m
图①
2m
3-m
图③
3-m 2m 图②
思考1：图①②③对应解集情况？
问题2：如果这个不等式组
x 2m 0 x m 3
无解，你能确定m
教学重点、难点
重点：
含参一元一次不等式组的分类解法.
难点：
1.一元一次不等式中字母参数的讨论, 2.一元一次不等式中运用数轴分析参数的范围.
温故知新，问题设疑
例1：解下列关于x两个不等式 （1）x-2m<0 （2）x+m＞3
解：（1）得x＜2m （2） 得x＞3-m
问题引导，合作交流
问题1：如果将上述两个不等式联立成不等式组
x x
2m 0① m 3②
时，
不等式组无解，m的取值又会有改变吗？
解不等式①得x≤2m 解不等式②得x≥3-m
思考4：你能在数轴上画出无解的情况？
图⑥
2m 3-m 图⑦
同学们有没有画出图⑦这种情 况的？你认为不等式组无解， 会不会出现像图⑦3-m和2m两 个点重合的情况？
第五讲一元二次方程及不等式课件-2025届高三数学一轮复习
、2 − 16 ≥ 0
、2 − 16 < 0
、2 − 16 ≤ 0
）。
√
一元二次函数 = 2 2 + + 2的二次项系数2 > 0，开口向上；
若不等式2 2 + + 2 < 0的解集为∅，则一元二次函数 = 2 2 +
+ 2的图像全部在轴上或轴上方；
结合开口向上，此时，函数图像与轴有一个交点或没有交点；
c(a > 0)的根
∆> 0
∆= 0
∆< 0
有两个不相等的实 有两个相等的实数 无实数
数根x1 , x2 (x1 < x2 ) 根x1 = x2 = − b
根
2a
ax 2 + bx + c >
{| ≠ − }
< , 或 > } ______________
0(a > 0)的解集 {|
1
1
显然，函数 = + 在 ∈ (0, ]上单调递减；
2
1
1
1
故函数 = − − = −( + )在 ∈ (0, ]上单调递增；
2
1
1
1
5
1
可得：(− − ) = − − 1 = − ( ∈ (0, ])；
2
2
2
2
综上， ≥ (− −
1
)
=
5
− 。
2
反馈检测
2
1
2
+ ) ≤ − × 2 = 0。
反馈检测
1
2
高中数学人教B版 必修第一册 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(1) 课件1
可可解解得得tt11 22或或tt11 22（（舍舍））..
从从而而
xx 11
22，，即即xx 11
22
22 3322
22，，
所所以以原原方方程程的的解解集集为为 3322 22 ..
巩固练习：求方程 2
x2
4 3 0 的解集 x2
.
解：设 1 t , 则t 0 ，且原方程可化为 2t2 4t 3 0 ，
13；2xx1232
10
3
，
易知可通过配方转化为 x 12 1 ；
3
法 法二 二： ：
33xx22 66xx 22 33 xx22 22xx 22 33 xx22 22xx 1111 22 33 xx 1122 11
故 故原 原方 方程 程转 转化 化为 为 33
xx
1122
分析：
因为 x2 2x 1 x2 2x 11 1 x 12 2
所以方程 x2 2x 1 0 可转化为 x 12 2
易知 x 1 2 ，故 x 1 2 ，
因此方程的解集为 1 2,1 2 .
同理，利用“配方”可以得到：
x2 4x 7 x2 4x 4 3 x 22 3，
我们也做上述类似的考虑，尝试将方程转化为 x k 2 t 的形式.
ax2
bx
c
a
x2
b a
x
c
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
x
b 2a
2
b2 4a
c
a
x
b 2a
2
b2
4ac 4a
所以 ax2 bx c 0 也就转化为
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第2章 二次函数与一元二次方程、不等式
次不等式.
2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+
3
<0就不是一元二次不等式.
3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念.
(1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式;
(2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解
综上所述,当a<-1时,原不等式的解集为{x|a<x<-1};
当a=-1时,原不等式的解集为⌀;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1<x<a}.
图③
规律方法
解含参数的一元二次不等式的步骤
变式训练3 若m∈R,解关于x的不等式(x+m)[x-(3m+1)]>0.
解 方程(x+m)[x-(3m+1)]=0 的根为 x1=-m,x2=3m+1.
1
1
当 m=- 时,不等式的解集为 | ≠ ;
4
4
1
当 m<- 时,不等式的解集为{x|x<3m+1,或 x>-m}.
4
角度3.不等式的恒成立问题
【例4】 (1)已知关于x的不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范
围.
解 当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意.
当k≠0时,令f(x)=kx2+2kx-(k+2),
数根x1=x2=
二次项系数转化为
正数,再套用此结论
ax2+bx+c>0(a>0)的
解集
一元二次方程的根为整数的充要条件
一元二次方程的根为整数的充要条件一元二次方程是数学中常见的一类二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的根是求方程的解集，即使方程成立的x的取值范围。
一元二次方程的根为整数是指方程的解集中的根是整数。
那么，一元二次方程的根为整数的充要条件是什么呢？要判断一元二次方程的根为整数，我们首先需要知道一元二次方程的求根公式。
根据韦达定理，一元二次方程的解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)由此可知，当(b^2 - 4ac)为完全平方数时，方程的根为整数。
因此，充要条件可以表述为：一元二次方程的判别式(b^2 - 4ac)是完全平方数。
接下来，我们来证明这个充要条件。
假设一元二次方程的根为整数，即方程的解集中的根是整数。
根据韦达定理，我们有：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)由于根是整数，那么√(b^2 - 4ac)也必然是整数。
而完全平方数是指一个数的平方根也是整数的数。
因此，(b^2 - 4ac)必然是完全平方数。
然后，假设一元二次方程的判别式(b^2 - 4ac)是完全平方数。
我们需要证明方程的根为整数。
根据韦达定理，我们有：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)由于(b^2 - 4ac)是完全平方数，那么√(b^2 - 4ac)也是整数。
因此，方程的解为有理数。
又由于(b^2 - 4ac)是完全平方数，那么√(b^2 - 4ac)可以表示为一个整数的平方。
我们可以将√(b^2 - 4ac)表示为n^2，其中n为整数。
所以，方程的解可以简化为：x = (-b ± n) / (2a)由于n为整数，那么(-b ± n)也必然是整数。
而整数除以整数仍然是整数，因此方程的根为整数。
一元二次方程的根为整数的充要条件是方程的判别式(b^2 - 4ac)是完全平方数。
数学史话让你爱上数学：史上最贱的数学题
数学史话让你爱上数学：史上最贱的数学题看似侮辱智商，实则智商压制这是一篇最近很火的文章。
一个常见题目，貌似易解的题目出发，发现背后竟然蕴藏了深奥的大道理。
这其实是很多问题，尤其是数论题目的特点：很容易理解，但很难做。
在我碰到这道题之前，它已经被某人心怀恶意地发布在网络上，成为流行的朋友圈图片，肆意捉弄那些老实人（Scridhar，这个人是不是你？）。
我根本没意识到我偶然看到的这道题到底是个什么样的怪物。
它长这个样：你可能已经在朋友圈看到过很多这样的图了，它们一般都是标题党的垃圾：什么“95%的麻省理工毕业生无法解决的问题”，这个“问题”要么很空洞，要么偷换概念，要么就是不重要的脑筋急转弯。
但这个问题不是。
这张图片就是一个精明的，或者说阴险的圈套。
大概99.999995%的人根本没有任何机会解决它，甚至包括一大批顶级大学非数论方向的数学家。
它的确是可解的，但那真的真的不得了的难。
（顺便说一句。
发布的人实际上不是Scridhar，或者说不能怪他。
）你可能会这样想，如果所有的尝试都失败了，我们还可以直接用电脑计算大力出奇迹。
这年头，写个电脑程序解决这种形式简单的方程真是太容易了，只要它真的有答案，那电脑最终一定会找出来。
但很抱歉，大错特错。
用电脑暴力计算在这里毫无用处。
如果不把Quora的读者都当作椭圆曲线的入门者的话，我不知道怎么才能写出适合的答案。
我在这能做的只是一个简要的概览。
主要参考文献是最近Bremmer和MacLeod2014年在《数学和信息学年鉴（Annales Mathematicae etInformaticae）》上发表的一篇名为《一个不一般的立体代表性问题（An unusual cubic representationproblem）》的精彩论文。
让我们开始吧。
我们求解的是这个方程的整数解：(为了与论文的变量名相适应，我把苹果、香蕉和菠萝修改过来了)面对任何方程，你需要做的第一步是尝试并确定问题背景。
一元一次方程整数解问题
一元一次方程整数解问题一元一次方程是初中数学中的基础知识，它是解决实际问题的基础。
在解一元一次方程时，我们通常需要求出方程的解集，而当方程的系数和常数都是整数时，我们就需要考虑整数解的问题。
一、整数解的定义所谓整数解，就是指方程的解集中只包含整数。
例如，方程2x+1=5就有整数解x=2，因为x=2是方程的唯一解，且x是整数。
二、整数解的判定对于一元一次方程ax+b=c，其中a、b、c均为整数，我们可以通过以下方法来判定它是否有整数解：1. 如果a=0且b≠c，则方程无解；2. 如果a=0且b=c，则方程有无数个解，即x∈Z；3. 如果a≠0且a不能整除b-c，则方程无整数解；4. 如果a≠0且a能整除b-c，则方程有唯一的整数解，即x=(b-c)/a。
三、整数解的求解对于一元一次方程ax+b=c，其中a、b、c均为整数，如果方程有整数解，我们可以通过以下方法来求解：1. 如果a=0且b=c，则方程有无数个解，即x∈Z；2. 如果a≠0且a能整除b-c，则方程有唯一的整数解，即x=(b-c)/a；3. 如果a≠0且a不能整除b-c，则方程无整数解。
四、整数解的应用一元一次方程的整数解在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在商场促销活动中，我们常常会遇到“满减”优惠，即满一定金额后可以减去一定金额。
如果我们设购物金额为x元，优惠金额为y元，满减条件为x≥100且y=20，则可以列出一元一次方程x-20=100，解得x=120，即购物金额至少为120元才能享受优惠。
另外，一元一次方程的整数解还可以用于解决分配问题。
例如，某公司有100个任务需要分配给10个员工完成，每个员工完成的任务数不同，但总任务数必须为100。
如果我们设第i个员工完成的任务数为xi，则可以列出一元一次方程x1+x2+...+x10=100，其中xi为整数。
通过求解这个方程，我们可以得到每个员工应完成的任务数，从而实现任务的合理分配。
综上所述，一元一次方程的整数解问题是初中数学中的基础知识，它在实际问题中有着广泛的应用。
集合的概念课件-2025届高三数学一轮复习
然数，∴ B =
6
{1，2，3，6}.（集合B的代表元素是 ,注意与A区分）
6−x
例2-5 用描述法表示下列集合：
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
（1）{ ， ， ， ， }；
【解析】可表示为{x|x =
n
，n
n+2
∈ + 且n ≤ 5}．
（2）偶数集；
【解析】可表示为{x|x = 2n，n ∈ }．（奇数集可表示为{x|x = 2n + 1,n ∈ }）
列集合和运算：
①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法；
②G = {x|x是偶数}，⊕ 为整数的乘法；
③G = {x|x是二次三项式}，⊕ 为多项式的加法.
①
其中G关于运算⊕ 为“融洽集”的是____.（写出所有满足条件的序号）
【解析】①G = {x|x是非负整数}，⊕ 为整数的加法，满足对任意a,b ∈ G,都有
是( AD
)
A.0 ∈
2
B.
7
∈
C.−3 ∉ Z
D.π ∉ Q
【解析】0是自然数（0是最小的自然数），即有0 ∈ ，故A正确；
2
2
不是整数，即有
7
7
∉ Z，故B错误；
−3是负整数，即有−3 ∈ ，故C错误；
π 是无理数，即有π ∉ Q，故D正确.
例2-4 用列举法表示下列集合：
（1）A = {x ∈
且k + 1 ∉ A，那么k是A的一个“孤立元”.给定S = {1，2，3，4，5，6，7，8}，由S
的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合个数为( D
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一元9次方程的整数解集判别95
张祖华
平阴县职业教育中心济南平阴 250400
摘要：本文对一类一元9次方程的整数解作出判断。
关键词：自然数一元9次方程整数解
定理：设a,b,c为整数，方程x9+bx6+cx+a=0的9个解全为整数,设i为其中任意一个，则
i|a.
证明：由待定系数法即得。
参考文献：
[1]张祖华等.解无约束优化的一种新的xx，数学进展，已录用。
[2]张祖华.一元高次方程根的若干xx(W2017060347599), 数学进展，已录用。
[3]张祖华.第四类超越方程解的可计数性(W2017052145671), 数学进展，已录用。
[4]张祖华.第五类高次不定方程的无穷解(W2017041439231), 数学进展，已录用。