含参数的一元二次方程的整数解问题
含参数的一元二次方程的整数解问题
第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程ax2+ bx + c=O(a丸)的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质•本讲结合例题来讲解一些主要的方法•例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0有两个不相等的正整数根.解法1首先，m2-1丸,m工± . A=36(m-3) 2> 0,所以m工3.用求根公式可得6 12由于x i, X2是正整数，所以m-仁1 , 2 , 3, 6, m+1=1 , 2, 3, 4, 6, 12,解得m=2 .这时X1=6 , x2=4 .解法2首先，m2-1丸,m工± .设两个不相等的正整数根为X1, X2,则由根与系数的关系知m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 ,10 ,13, 19,25 , 37 , 73 ,只有m2=4 , 9, 25才有可能，即m= ±2, ±3, ±5.经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法.例2已知关于x的方程a2x2-(3a 2-8a)x + 2a2-13a + 15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值.分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来.解因为a^O,所以(3a2 - Sa) ±- 8a)2 - 4a2(2a r-13a + 15)B = 2?(3a2 -8a) ±(a2+ 2a)= 2? ，所以3a2 -Sa 4-(? 4-2a) 3”—W --------------弘'-亦+ 5Sj=------ 否------ =l_；所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3, 5 .例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m的值.解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数.令△=(m-1) 2-4m = n2.其中n是非负整数，于是m2-6m+1= n 2,所以(m-3)2-n2=8 ,(m-3 + n )(m-3-n) = 8.由于m-3 + n >m-3-n ,并且(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3 + n与m-3-n同奇偶，所以"m -3+ n = 4,m = 6,n = Is in= 1所以m = E遠时方程的两个根为》说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决•例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.解当a=0时，原方程变成-6x-2=0 ,无整数解.当a丸时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式A=4(a-3) 2-4a(a-2) = 4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数.令9-4a=n 2，则n是正奇数，且详3(否则—0)・所以"弓由求根公式痔-- 3) ±2n 3 ±n吩=--------- H ------- =-"一所叹要使x i为整数，而n为正奇数，只能n=1 ,从而a=2 .要使X2为整数，即n-3 | 4, n可取 1 , 5, 7,从而a=2 , -4 , -10 .综上所述,a的值为2, -4 , -10 .说明本题是前面两种方法的综合”•既要用判别式是平方数，又要用直接求根•有时候，往往是几种方法一同使用•例5已知关于x的方程2x2+ (a-6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.解设两个根为X1浓2,由韦达定理得衍+x2 - 6 - a,= a.从上面两式中消去a得X1X2+X 1+X 2= 6 ,所以（X1+ 1）（X2+1）=7 ,昕以所以a=X 1X2=0 或16 •而求解这个说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于X1 , X2的不定方程对称的不定方程往往是容易入手的•例6求所有有理数r,使得方程的所有根是整数分析首先对r=0和r 丸进行讨论.r=0时，是关于x 的一次方程；r 丸时， 的二次方程，由于r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做 不能奏效.可用韦达定理，先把这个有理数r 消去.解当r=0时，原方程为x-仁0 ,所以x=1 .当r 丸 时，原方程是关于x 的一元二次方程，设它的两个整数根为 x i , X 2,且 则消去r 得X 1X 2-X 1-X 2 = 2 ,所以(X i -1)(X 2-1)=3 .综上所述.当2身，X 1时，方程的所有根都是整瓠rx 2+(r+1)x + (r-1)=0关于X ，均X 1 >X 2 ,所以所以例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+ 2(2a-1)x + 4(a-3)=0 至少有一个整数根，求a的值.解将原方程变形为(x + 2)2a= 2(x + 6).显然x+ 2工0,于是2(x + £)由于a是正整数，所以a >1,即(盟+ 2沪，所以X2+2X-8切,(x+ 4)(x-2) <0,所以-4 <x<2(x 左2).当x=-4 , -3 , -1 , 0, 1 , 2 时，得 a 的值为1, 6, 10, 3,14L 1.所％的値为1, X 6. 10.说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4 , 2;当a=3 , 6,10时，方程只 有一个整数根.有时候，在关于x 的一元二次方程中，如果参数: 参数来求解.例8已知方程x 2+bx+c=0 与x 2+cx + b=0各有两个整数根⑵求证：b-1 <c 命+ 1 ;⑶求b , c 的所有可能的值.解⑴由X i X 2> 0知，x i 与X 2同号.若x i > 0 ,则X 2> 0 , 这3T -b=心+知〉山斯以bUD-与君盾.所以.K J CO R 益⑵由(1)知，x i v 0, X 2V 0,所以x i W -1 , X 2W -1 .由韦达定理c-(b-1)=x 1X 2 + X i + X 2+ 1=(x1 + 1)(x2+1) >0,所以c >b-1 .同理有b * (_v -1J 弓洗详)+孟］+ Xjj + 1=(xi +r)(虬 +1丿所以c Wb+1 , 所以b-1 w c 命+1 .⑶由(2)可知，b 与c 的关系有如下三种情况次的，可以先对这个(i)c=b + 1.由韦达定理知X1X2=-(X 1 + X2)+ 1 ,所以(X1+ 1)(X2+ 1)=2 ,叫kj + ] =-2iXj + 1 = -2(z2+ 1~ -1.解得X1 + X2=-5 , X1X2=6 ,所以b=5 , c=6 .(ii)c=b .由韦达定理知X1X2=-(X 1+ X2),所以(X1 + 1)(X2 + 1)=1 ,所以X1=X2=-2 ,从而b=4 , c=4 .(iii)c=b-1.由韦达疋理知-(i| +s2) = * xj -l h 所以〔若;+1〕&；+ l) =解得篦;+誰；=5 £；爲=6,所以b = & t = 5-综上所述,共有三组解：(b , c)=(5 , 6), (4 , 4), (6, 5).。
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。
这里经常要用到一些整除性质。
一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。
但其解法仍然是有章可循的。
一、巧用求根公式法例1、试确定m 为何值时，方程(m 2-1)x 2-6(3m-1)x ＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解：首先，m 2-1≠0，则m ≠±1．又Δ=36(m-3)2＞0，所以m ≠3． 用求根公式可得112,1621+=-=m x m x ∵ x 1，x 2是正整数，∴ m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，6，12。
解得m=2．这时x 1=6，x 2=4。
评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，这是最自然、最常规的解法。
二、巧用因式分解法例2、已知方程a 2x 2 - ( 3a 2- 8a )x + 2a 2-13a +15 = 0（其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值。
.分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax －2a+3=0和ax －a + 5 =0，然后利用整除的知识，求出非负整数a 的值。
解：原方程可化为： a 2x 2－(3a 2－8a)x ＋(2a －3)(a －5)＝0方程左边分解因式,得 (ax －2a ＋3)(ax －a ＋5)＝0∴ a x 321-= ax 512-= ∵ 原方程至少有一个整数根，∴ a 的值为3，或5，或1。
例3、当k 为何整数时，关于x 的二次方程x 2－3kx +2k 2－6=0两根都为整数。
分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数k的值.解：由x 2－3kx +2k 2－6=0，得 (x -2k )(x -k ) = 6∵ x 、k 为整数，∴ 原方程化为⎩⎨⎧±=-±=-322k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-232k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-612k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-162k x k x ∵ 由于x －2k 与x －k 同号，故得八个不定方程组，解得k =－1，1，－5，5。
一元二次方程整数解问题
一元二次方程整数解问题
对于“一元二次方程整数解问题”，我们首先一起来理解这个问题。
一元二次方程是数学中一种基础的方程形式，形如ax²+bx+c=0，其中a，b，c为已知数，x为未知数。
而整数解，则是指这个方程的解为整数。
给定一元二次方程ax²+bx+c=0，要求其整数解，我们需要先判断此方程是否有解。
这需要用到判别式Δ=b²-4ac。
如果Δ大于等于0，方程才有解。
得出两个根分别为x1=(-b+sqrt(Δ))/2a和x2=(-b-sqrt(Δ))/2a。
然后我们需要判断这两个根是否为整数。
即判断sqrt(Δ)是否为2a的倍数。
如果是，那么这两个解就为整数解。
例如，对于一元二次方程2x²-3x-2=0，首先计算判别式Δ=(-3)²-(4*2*-2)=25，然后求解得到两个根为x1=(3+sqrt(25))/2*2=5/2和x2=(3-sqrt(25))/2*2=-1/2。
可以看到这两个解都不是整数，所以这个方程没有整数解。
再例如，对于一元二次方程x²-5x+6=0，首先计算判别式Δ=(-5)²-(4*1*6)=1，然后求解得到两个根为x1=(5+sqrt(1))/2=3和x2=(5-sqrt(1))/2=2。
可以看到这两个解都是整数，所以这个方程的整数解为3和2。
通过以上的分析，你应该对一元二次方程整数解问题有所理解了。
若方程有解并且根为整数，则该方程有整数解；若没有解或者虽有解但解不为整数，则该方程没有整数解。
这就是一元二次方程整数解问题的全部内容。
一元二次方程的整数整数解(含答案)
竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -=．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________ 姓名________________1•利用判别式例1.( 2000年黑龙江中考题) 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2 2 2mx 4x 4 0与x 4mx 4m 4m 5 0的根都是整数。
解：丁方程mx 4x 4 0有整数根，=16-16m>0,得 m K 1又T方程x 2 4 mx 4 m 2 4 m 5 0有整数根二V 16 m24(4 m24m 5) 0 得m545综上所述，—K n K 14/• x可取的整数值是-1 , 0, 1当m=-1时，方程为—x 2-4x+4=0没有整数解，舍去。
而 0 /• m=1例2. (1996年四川竞赛题)已知方程x2mx m 1 0有两个不相等的正整数根，求m的值。
解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=- (x1+x2)为负整数.2-V m 4m 4 一定是完全平方数设m2 4 m 4 k 2 ( k为正整数)二(m 2) 2k 28即: (m 2 k)(m 2 k) 8■/ m+2+k> m+2-k,且奇偶性相同m 2 k 4 或m2k 2 m 2 k 2 m 2 k 4 解得m=1> 0 (舍去)或 m=- 5。
2当m=—5时，原方程为x -5x+6=0，两根分别为x1 =2，x2=3。
2.利用求根公式例 3. ( 2000 年全国联赛)设关于 x 的二次方程根都是整数，那么符合条件的整数 a 有 ______________解:当a=1时,x=1当a z 1时，原方程左边因式分解，得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得X 1 1,X 21 21 a•/ X 是整数/. 1-a= ± 1, ± 2, /• a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有 5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m 是什么整数时,关于x 的方程(k 2 6k 8)X 2 (2k 2 6k 4)X k 24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
一元二次方程应用题精选含答案
一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数.2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售,增加赢利，尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2)要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．4。
某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。
为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价O。
1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？三、平均变化率问题增长率(1）原产量+增产量=实际产量．（2）单位时间增产量=原产量×增长率．(3)实际产量=原产量×(1+增长率）．6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少？7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价,现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？四、形积问题8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半,求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．五、围篱笆问题10、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？六、相互问题(传播、循环)11、（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会？(2）要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场，计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛？（3) 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念,全班共送了3080张照片．如果该班有x 名同学，根据题意可列出方程为?12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．(1)求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度,经过三轮传染后共有多少人患上流感?第21题图13、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？七.行程问题：14、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
含参一元二次方程计算100题+详解
含参一元二次方程计算100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元二次方程这一部分的计算能力。
主要有以下几个模块：①公共根；②整数根；③有理根；④已知根的情况求参数；⑤已知根的范围求参数；⑥已知参数范围求根的范围；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一公共根方法总结：①设公共根②代入两方程，联立成方程组③得到新方程④解方程⑤将公共根代入原方程易错总结：最后结果注意代入检验一下是否正确例题解析：已知两方程x2+mx+n=0，x2+nx+m=0有且仅有一个公共根，求m，n的关系．解：设a为两方程的公共根，则……【设公共根】{a2+ma+n=0①a2+na+m=0②，……【将公共根代入两方程，联立】①−②得(m−n)a+(n−m)=0，(m−n)(a−1)=0．……【得到新方程】∵有且只有一个公共根，则m−n≠0．∴a=1，即x=1．……【解出x】将x=1代入原方程得，m+n=−1且m≠n．……【得出m、n关系】巩固练习：1.已知关于x的方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)2012的值．2.已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两根(除公共根外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根．3.若方程x2+bx+1=0与方程x2−x−b=0至少有一个相同的实数根，求实数b的值．4.设c是实数，已知x2−3x+c=0的一个解的相反数是方程x2+3x−c=0的一个解，求方程x2−3x+c=0的解．5.已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．6.当p是什么实数时，方程x2+px−3=0与方程x2−4x−(p−1)=0有一个公共根．7.三个二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根．求证:a+b+ c=0；8.若方程a2x2+ax−1=0和x2−ax−a2=0有公共根，求a的值．9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2−4x+5m=mx+5与x2+√2x+m−1=0互为“友好方程”，求m的值．10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2−2x=0与x2+3x+m−1=0为“友好方程”，求m的值．11.若一元二次方程x2+kx−1=0，x2+x+(k−2)=0有相同的根，求k的值，并求两个方程的根．12.已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程x2+mx−1=0与x2+x+m−2=0仅有一个相同的实数根？13.试求满足方程x2−kx−7=0与x2−6x−(k+1)=0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．模块二整数根方法总结：①讨论二次项系数；（如题干限定为“方程”，则要讨论二次项系数是否为0两种情况；如题干限定为“一元二次方程”，则二次项系数必须不等于0）②根据根的情况确定参数范围及参数的取值；③求出方程的整数解。
含参数的一元二次方程的整数解问题
含参数的一元二次方程的整数解问题数学思维的教育第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题数学思维的教育对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a^O) 的实根情况，可以用判别式A =b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质•本讲结合例题来讲解一些主要的方法.例1 m是什么整数时，方程(m2-l) x2-6 (3m-l) x+72=0有两个不相等的正整数根.解法1 首先，H M HO,皿工 + 1. A =36 (m-3)2 >0,所以m^3.用求根公式可得12m +1由于Xi, X2是正整数，所以m-l=l, 2, 3, 6, m+l=l, 2, 3, 4, 6, 12,解得m=2・这时Xi=6, X2=4・解法2首先，朋-1工0, m^± 1 •设两个不相等的正整数根为X1 , X2,则由根与系数的关系知72所以m-仁2, 3，4，6，8，9，12，18，24, 36，72，即卩m= 3, 4，5，7，9，10，13，19，25，37，73,只有m=4, 9, 25才有可能，即m=± 2, ±3,± 5.经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根.说明一般来说，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法.例2已知关于x的方程2 2 2 2a x -(3a -8a)x + 2a -13a + 15=0 (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求 a的值.分析“至少有一个整数根”应分两种情况： 一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根， 一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它 的两个根解出来.解因为a z 0,所以- 3a) i3a )a-4?(2a a -13a + 15)-宓-8a) i (a a + 2a) = 2?所以所以只要a 是3或5的约数即可，即a=1, 3,5.例3设m 是不为零的整数，关于x 的二次 方程2mx-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m 的值.肿■ fl为'r 和一 Qd 十 2il) ” t2?="I解一个整系数的一元二次方程有有理根, 那么它的判别式一定是完全平方数•令2 2△ =(m-1) -4m= n ,其中n是非负整数，于是2 2m-6m+1= n,所以(m-3)2 - n2=8,(m-3 + n)(m-3-n) = 8.由于m-3 + n A m-3-n,并且(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3+ n与m-3-n同奇偶，所以Jzu - 3+n = 4?zn - 3+n=- -2?［：n - 3-n = 2 s (t n ・ 3 - n = .L所以= D这时说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决.例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a -2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.解当a=0时，原方程变成-6x-2=0,无整数解.当a工0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式2△ = 4(a-3) -4a(a-2) = 4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数.令9-4a=n2，则n是正奇数，冃详3(否I服=0).折加=啤.由求龍外弍舒编-9 ±h 3 + n所臥也亠_[ + - I +要使X1为整数，而n为正奇数，只能n=1, 从而a=2.要使X2为整数，即n-3 | 4, n可取1, 5, 7,从而a=2，-4, -10.综上所述，a的值为2, -4, -10.说明本题是前面两种方法的“综合"•既要用判别式是平方数，又要用直接求根.有时候, 往往是几种方法一同使用.例5已知关于x的方程2x + (a -6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.解设两个根为X1> X2，由韦达定理得从上面两式中消去a得X1X2+X1+X2 = 6,所以(X 1 + 1)(X 2+1)=7 ,臥以所以a=x i X2=0 或16.说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于X i, X2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的.例6求所有有理数r，使得方程2rx +(r+1)x + (r -1)=0的所有根是整数.分析首先对r=0和r半0进行讨论.r=0时, 是关于x的一次方程；r工0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效•可用韦达定理，先把这个有理数r消去.解当r=0时，原方程为x-仁0,所以x=1.当r工0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为X i，X2，且X i>X2，则综匕祈述，当「= J ・队闻，方秽箭所有眾鄆杲琴敎例7已知a 是正整数，且使得关于 元二次方程2ax + 2(2a -1)X + 4(a -3)=0至少有一个整数根，求a 的值. 解将原方程变形为(X + 2)2a= 2(X + 6).显然x + 2工0,于是2(x * 6)由于a 是正整数，所以a > 1,即消去r 得X i X 2-x i -X 2 = 2,X 的一 所以（X 1-1）（X 2-Vi £ 一九祈以型十勺〔“卽所以X2+2X-8W 0,(x + 4)(x -2) < 0,所以-4W X< 2(X 丰-2).当X=-4, -3, -1, 0, 1, 2时，得a的值为1, 6, 10, 3, 14—.1-所以湖值为I, X 10.说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4, 2;当a=3, 6, 10时，方程只有一个整数根.有时候，在关于X的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解.例8已知方程x2+bx+c=0与x2+cx + b=0各有两个整数根X1 , X21古》0* xjxj>0,(0 求iiL 冷弋比^3<u. n；Wg, Ej<o((2) 求证：b-1< c< b+ 1;(3) 求b, c的所有可能的值.解(1)由X1X2>0知，X1与X2同号.若X1>0, 则X2 > 0,这时b = Hi-丽丸吒0・A睫JS，所叽0,同舞可证)；K山(2)由⑴知，X i V0, X2v0,所以x i<-1, -1 .由韦达定理c-(b-1)=x 1X2 + X i + X2 + 1=(x1 + 1)(x2+1) >0, 所以c > b-1.同理有b -〔点-1) = + 1=(W1 +0 g；知)> D.所以c < b+1,所以b -1< c< b+1.⑶由⑵ 可知，b与c的关系有如下三种情况:(i)c=b + 1.由韦达定理知X1X2=-(X 1 + X2)+ 1 ,所以(x 1 + 1)(x 2 + 1)=2 ,‘野十1 二-I, K| + 1 =解得X1 + X2=-5, XX=6,所以b=5, c=6.(ii)c=b •由韦达定理知X i X2=-(X i + X2),所以(X i + 1)(X 2+ 1)=1 ,所以X i=X2=-2,从而b=4, c=4.(iii)c=b-1.由韦达定理知-R； - Mj) -Xt • xi - It所以G；i L GJ解得狀；+衍=5 中；=&所以b",综上所述，共有三组解：(b , c)=(5 , 6), (4，4)，(6，5).。
一元二次方程的整数根问题讲解
一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1） 求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。
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含参数的一元二次方程的整数解问题
数学思维的教育
第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问
题
解法2 首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不
相等的正整数根为x
1，x
2
，则由根与系数的关系
知
所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即
m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，
只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．
说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．
例2 已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．
解因为a≠0，所以
所以
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx2-(m-1)x＋1＝0
有有理根，求m的值．
解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)2-4m＝n2，
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
所以 (m-3)2-n2=8，
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
由于m-3＋n≥m-3-n，并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以
说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方
数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
例4 关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．
解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．
当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)
为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，
要使x
1
为整数，而n为正奇数，只能n=1，
从而a=2．要使x
2
为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．
综上所述，a的值为2，-4，-10．
说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．
例5 已知关于x的方程
x2＋(a-6)x＋a=0
的两根都是整数，求a的值．
解设两个根为x
1≥x
2
，由韦达定理得
从上面两式中消去a得
x
1x
2
+x
1
+x
2
＝6，
所以 (x
1＋1)(x
2
+1)=7，
所以a=x
1x
2
=0或16．
说明利用韦达定理，然后把参数消去，得
到的是关于x
1，x
2
的不定方程，而求解这个对称
的不定方程往往是容易入手的．
例6 求所有有理数r，使得方程
rx2+(r+1)x＋(r-1)=0
的所有根是整数．
分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．
解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．
当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方
程，设它的两个整数根为x
1，x
2
，且x
1
≥x
2
，则
消去r得
x
1x
2
-x
1
-x
2
＝2，
所以(x
1-1)(x
2
-1)=3．
例7 已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程
ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0
至少有一个整数根，求a的值．
解将原方程变形为
(x＋2)2a= 2(x＋6)．
显然x＋2≠0，于是
由于a是正整数，所以a≥1，即
所以 x2+2x-8≤0，
(x＋4)(x-2)≤0，
所以-4≤x≤2(x≠-2)．
当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．
例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各
有两个整数根x
1，x
2
(2)求证：b-1≤c≤b＋1；
(3)求b，c的所有可能的值．
解 (1)由x
1x
2
＞0知，x
1
与x
2
同号．若x
1
＞0，
则x
2
＞0，
(2)由(1)知，x
1＜0，x
2
＜0，所以x
1
≤-1，
x
2
≤-1．由韦达定理
c-(b-1)=x
1x
2
＋x
1
＋x
2
＋1
=(x1＋1)(x2+1)≥0，
所以 c≥b-1．
同理有
所以 c≤b+1，
所以 b-1≤c≤b+1．
(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：
(i)c=b＋1．由韦达定理知
x
1x
2
=-(x
1
＋x
2
)＋1，
所以 (x
1＋1)(x
2
＋1)=2，
解得x
1＋x
2
=-5，x
1
x
2
=6，所以b=5，c=6．
(ii)c=b．由韦达定理知
x
1x
2
=-(x
1
＋x
2
)，
所以 (x
1+1)(x
2
＋1)=1，
所以x
1=x
2
=-2，从而b=4，c=4．
(iii)c=b-1．由韦达定理知
所以
综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．。