四川省绵阳市2012届高三第三次诊断性考试数学文_(word版)

保密★启用前【考试时间：2012年4月21日15:00—17:00】绵阳市高中2012级第三次诊断性考试数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至3页，第II 卷3至4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2. 选择题使甩2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 考试结束后，将答题卡收回. 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A ，B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 343V R π=那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-=第I 卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M={x||x|<3},N=x|y=lg(x-l)} ,则 M N=(A) {x|<x<3} (B) {x|x>-3} (C) {x|-3<x<1} (D) {x|-3<x<3}2. 设a, b，c为实数，则“a<b”是“ac2<bc2”的(A)充分不必要条件（B)必要不充分条件(C)充要条件（D)既不充分也不必要条件3. 某校高三考生参加某高校自主招生面试时，五位评委给分如下：9.0 9.1 8.9 9.2 8.8则五位评委给分的方差为(A) 0.02 (B) 0.1 (C) (D) 0.64. l1,l2是空间中两条不同的直线，a,是两个不同的平面，则下列命题正确的是(A)(B)(C)(D)5. 函数的图象可由函数y=sinx的图象（纵坐标不变）(A) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位(B) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位(C) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位(D) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位6. 己知曲线在点(a,b)的处的切线与直线垂直，则a的值是(A)-1 (B) ( C) 1 (D)7. 设f(X)是定义在R上周期为4的奇函数,当时，，则f(5)的值为(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -28. 己知正项等差数列的前n项和为S n且，M为的等比中项，则M的最大值为(A) 36 (B) 9 (C) 6 (D) 39. 已知点是圆C:内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为bx-ay=r2，那么(A) l m且w与圆C相切（B)且m与圆C相切(C) l m且m与圆C相离（D)且m与圆C相离10某运输公司有7辆载重量为8吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的b型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务•已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元,5型车180元.该公司每天所花的成本费最低时的派车计划为(A) A型车3辆与B型车3辆（B) A型车5辆与B型车3辆(C) A型车3辆与B型车4辆（D) A型车5辆与B型车4辆11. 已知双曲线C;(a>0, b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B 两点,若，则C的离心率为(A) (B) (C) 2 (D)12. 形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0，1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为(A) (B) (C) (D)第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分.13. 拋物线的焦点坐标为________14. 二项式的展开式中含项的系数为_______(用数字作答）15. 已知正方体的外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为_______16.对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c,.使得对任意,都有,且对任意，当时，恒成立，则称函数f(X)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②“平顶型”函数在定义域内一定没有最小值；③函数为R上的“平顶型”函数；④函数为R上的“平顶型”函数.则以上说法中正确的是_______.(填上你认为正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分）已知向量.(I )当m//n时，求的值；(II)已知在锐角ΔABC中，a，b，c分别为角A,B,C的对边，,函数，求的取值范围.18. (本题满分12分）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.(I) 求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；(II) 求游戏A、B被闯关成功的总人数为3的概率.19. (本题满分12分）正方形与矩形ABCD所在平面互相垂直，,点E为AB的中点.(I )求证：BD1//平面A1DE(II )求二面角D1-A1E-D的大小；(III) 求多面体A1D1DBE的体积.20. (本题满分12分）已知为函数的反函数，S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，且•(I )求证：数列是等差数列;(II)已知数列{b n}满足，T n是数列{b n}的前n项和，求T n.21. (本题满分12分）在ΔABC中，顶点A，B, C所对三边分别是a, b,c.已知B(-1,0), C(1, 0),且b,a,c成等差数列.(I )求顶点A的轨迹方程；(II)设直线l过点B且与点A的轨迹相交于不同的两点M、N如果满足,求l的方程.22. (本题满分14分）已知函数（其中a, b为实常数).(I )讨论函数/Ce)的单调区间；(II) 当a>0时，函数有三个不同的零点，证明：；(III) 若f(x)在区间[1,2]上是减函数，设关于X的方程的两个非零实数根为x1, x2.试问是否存在实数m,使得对任意满足条件的a及恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.绵阳市高2012级第三次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ABABC BCDCC AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．)041(，-14．-16015．arccos 3116．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）由m//n ，可得3sinx=-cosx ，于是tanx=31-． ∴ 922)31(31312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x x x x x ． …………………………4分 （II ）∵在△ABC 中，A+B=π-C ，于是C B A sin )sin(=+，由正弦定理知：C A C sin sin 2sin 3⋅=， ∴ 23sin =A ，可解得3π=A ． ………………………………………………6分 又△ABC 为锐角三角形，于是26ππ<<B ，∵ )(x f =(m+n)·n=(sinx+cosx ，2)·(sinx ，-1) =sin 2x+sinxcosx-2 =22sin 2122cos 1-+-x x =23)42sin(22--πx ， ∴ 232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ．……………………10分 由26ππ<<B 得ππ<<B 23，∴ 0<sin2B ≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-． 即]232223()8(--∈+，πB f ．………………………………………………12分 18．解：设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件A i (i=0，1，2)，“j 个人游戏B 闯关成功”为事件B j (j=0，1，2)，（I ）“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0． ∴ P(A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0) =P(A 1B 0)+P(A 2B 1)+P(A 2B 0)=P(A 1)·P(B 0)+P(A 2)·P(B 1)+P(A 2)·P(B 0)=202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C367=． 即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367． ……6分 （II ）“游戏A 、B 被闯关成功的总人数为3”为A 2B 1+A 1B 2． ∴ P(A 2B 1+A 1B 2)=P(A 2B 1)+P(A 1B 2)=P(A 2)·P(B 1)+P(A 1)·P(B 2)2121)32(3132)21(1222212222⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=C C C C =31． 即游戏A 、B 被闯关成功的总人数为3的概率为31． ……………………12分 19．（I ）证明：连结AD 1交A 1D 于F ，则F 为中点，连结EF ，如图．∵ E 为中点， ∴ EF//BD 1．又EF ⊂面A 1DE ，BD 1⊄面A 1DE ，∴ BD 1//面A 1DE ．……………………………………………………………3分 （II ）解：由面ABCD ⊥面ADD 1A 1，且四边形ADD 1A 1为正方形，四边形ABCD 为矩形，得D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，DC ⊥DA ．于是以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴ D(0，0，0)、D 1(0，0，1)、A 1(1，0，1)、E(1，1，0)，∴ )101(1，，=DA 、)011(，，=DE 、)001(11，，=A D 、)111(1-=，，E D ．设面A 1DE 的一个法向量为n 1)1(11，，y x =，面D 1A 1E 的一个法向量为n 2)1(22，，y x =， A 1D 1AEBCyxz则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00111DE DA n n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，0012112E D A D n n 即⎩⎨⎧=+=+，，001111y x x ⎩⎨⎧=-+=，，010222y x x 解得：n 1=(-1，1，1)，n 2=(0，1，1)． 设D 1-A 1E-D 的大小为θ，于是36232cos 2121=⋅=⋅⋅=n n n n θ， ∴ 36arccos=θ，即二面角D 1-A 1E-D 的大小为36arccos ．………………5分 （III ）解：D AA E D D AA B D BE D A V V V 11111---=D AA D D AA S EA S AB 1113131∆⋅⋅-⋅⋅==AD AA EA DD D A AB ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1111213131 =112113111231⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 21=． ……………………………………………………12分 20．（I ）证明：函数f(x)的反函数为xxx f -=-1)(1（x ≠1）． ∵ n n S S f =+-)(11(n ∈N*)， ∴ 111++-=n n n S S S ，即1111=-+nn S S ， ∴ 数列{nS 1}是以1为公差，首项的等差数列11111==a S ． …………………4分 （II ）由（I ）知，n n S n =⋅-+=1)1(11，即nS n 1=． ∴ 当n=1时，a n =S 1=1， 当n ≥2时，)1(11111--=--=-=-n n n n S S a n n n ， 即⎪⎩⎪⎨⎧≥+-==．，，，2)1(111n n n n a n ………………………………………………………6分 由题意得⎩⎨⎧≥⋅-==．，，，22)1(12n n n b nn …………………………………………………7分 ∴ 当n=1时，T n =T 1=b 1=2． 当n ≥2时，T n =2+1×22+2×23+3×24+…+(n-2)·2n-1+(n-1)·2n， 2T n =22+1×23+2×24+…+(n-2)·2n+(n-1)·2n+1， ∴ T n -2T n =2+23+24+ (2)-(n-1)·2n+11232)1(21)21(22+-⋅----+=n n n ，即-T n =(2-n)·2n+1-6， ∴ T n =(n-2)·2n+1+6，经验证n=1时，T 1的值也符合此公式，∴ 对n ∈N*，T n =(n-2)·2n+1+6． …………………………………………12分21．解：（I ）由题知⎩⎨⎧=+=，，a cb a 22得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．由椭圆定义知，顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点）， 且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3．∴ 顶点A 的轨迹方程为)0(13422≠=+y y x ． ………………………………4分 （II ）∵ ||||CN CM CN CM -=+，∴ 22||||CN CM CN CM -=+，展开得0=⋅CN CM ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，于是CM =(x 1-1，y 1)，CN =(x 2-1，y 2)， ∴ (x 1-1，y 1)·(x 2-1，y 2)=0，即(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0，整理得 x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2=0． (*)…………………………………………6分 ①直线l 的斜率存在时，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，134)1(22y x x k y消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0，则，2221438k k x x +-=+222143124k k x x +-=．由(*)式得x 1x 2-(x 1+x 2)+1+k 2(x 1+1)(x 2+1)=0， 即(1+k 2)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1=0，∴ 01)438()1(43124)1(2222222=+++-⋅-++-⋅+k k k k k k k ， 整理得0439722=+-k k ，解得k=±773.∴ 直线l 的方程为y=773x+773，或y=-773x-773．………………10分 ②当直线l 的斜率不存在时， l 的方程为x=-1，易得M(-1，23)，N(-1，23-)，∴ 0134)232()232(≠=-=--⋅-=⋅，，CN CM ， ∴ 不满足题意．综上所述，直线l 的方程为y=773x+773，或y=-773x-773．……12分 22．解：（I ）∵ )(666)(2a x x ax x x f -=-='，当a=0时，x x f 6)(='≥0，于是)(x f 在R 上单调递增； 当a>0时，x ∈(0，a)，0)(<'x f ，得)(x f 在(0，a)上单调递减；x ∈(-∞，0)∪(a ，+∞)，0)(>'x f ，得)(x f 在(-∞，0)，(a ，+∞)上单调递增； 当a<0时，)0(，a x ∈，0)(<'x f ，得)(x f 在(0，a)上单调递减；x ∈(-∞，a)∪(0，+∞)，，0)(>'x f 得)(x f 在(-∞，a)，(0，+∞)上单调递增． 综上所述：当a=0时，f(x)的增区间为(-∞，+∞)；当a>0时，f(x)的增区间为(-∞，0)，(a ，+∞)；f(x)的减区间为(0，a)； 当a<0时，f(x)的增区间为(-∞，a)，(0，+∞)；f(x)的减区间为(a ，0)． …………………………………3分（II ）当a>0时，由（I ）得f(x)在(-∞，0)，(a ，+∞)上是增函数，f(x)在(0，a)上是减函数；则f(x)的极大值为f(0)=a+b ，f(x)的极小值为f(a)=a+b-a 3． 要使f(x)有三个不同的零点，则⎩⎨⎧<>，，0)(0)0(a f f 即⎩⎨⎧<-+>+，，003a b a b a 可得-a<b<a 3-a ．………………………………………………………………8分 （III ）由2x 3-3ax 2+a+b=x 3-2ax 2+3x+a+b ， 得x 3-ax 2-3x=0即x(x 2-ax-3)=0，由题意得x 2-ax-3=0有两非零实数根x 1，x 2， 则x 1+x 2=a ，x 1x 2=-3，即124)(||1221221212+=-+=-≤++a x x x x x x tm m .∵ f (x)在[1，2]上是减函数，∴ )(666)(2a x x ax x x f -=-='≤0在[1，2]上恒成立，其中x-a ≤0即x ≤a 在[1，2]上恒成立，∴ a ≥2．∴ 122+a ≥4．假设存在实数m 满足条件，则m 2+tm+1≤(122+a )min ，即m 2+tm+1≤4，即m 2+tm-3≤0在t ∈[-1，1]上恒成立，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--，，030322m m m m 解得21132131-≤≤-m ． ∴ 存在实数m 满足条件，此时m ∈[，2131-2113-]． ……………14分。